ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S. B A K A L Á Ř S K Á P R Á C E

ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S. B A K A L Á Ř S K Á P R Á C E 2013 Per Zápoocký

ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S. Sudijní program: B6208 Ekonomika a managemen Sudijní obor: 6208R088 Podniková ekonomika a managemen provozu ŠKODA AUTO a.s. a její růsová sraegie Per ZÁPOTOCKÝ Vedoucí práce: doc. Ing. Eva Jarošová, CSc.

Děkuji vedoucí bakalářské práce doc. Ing. Evě Jarošové, CSc. za odborné vedení, poskynuí cenných rad a hlavně rpělivos při vypracovávání bakalářské práce. Dále pak rodině a kolegům, keří byli velkou oporou v náročných dnech. 4

Obsah Seznam použiých zkraek a symbolů... 6 Úvod... 7 1 Jednorozměrné časové řady Boxova-Jenkinsova meodologie... 8 1.1 Auokorelační vlasnosi časových řad... 9 1.2 Základní modely Boxovy-Jenkinsovy meodologie... 10 1.3 Model ARIMA a SARIMA... 12 1.4 Konsrukce modelů ARIMA a SARIMA... 13 1.5 Konsrukce předpovědí... 19 2 Vícerozměrné časové řady... 20 2.1 Auokorelační vlasnosi vícerozměrných časových řad... 20 2.2 Vekorový auoregresní model VAR... 21 2.3 Idenifikace řádu modelu VAR(p)... 22 2.4 Odhad paramerů, diagnosika a předpovědi v modelu VAR(p)... 22 2.5 Koinegrace a EC model... 24 3 Predikce vývoje dodávek vozů ŠKODA AUTO a.s.... 30 3.1 Analýza časové řady dodávek vozů na celém svěě... 31 3.2 Analýza časové řady dodávek vozů v Evropské unii... 37 Závěr... 49 Seznam lieraury... 51 Seznam obrázků a abulek... 53 Seznam příloh... 55 5

Seznam použiých zkraek a symbolů ACF ADF es AIC AR ARCH ARIMA ARMA ECM EU HDP HQC LM MA ML NLS OLS PACF SAR SARIMA SMA ŠA VAR VECM auokorelační funkce rozšířený Dickeyův-Fullerův es Akaikeho informační kriérium auoregresní proces auoregresní model s podmíněnou heeroskedasiciou inegrovaný smíšený proces smíšený proces model korekce chyb Evropská unie hrubý domácí produk Hannanovo-Quinnovo informační kriérium Lagrangeův muliplikáor proces klouzavých součů meoda maximální věrohodnosi meoda nelineárních nejmenších čverců meoda nejmenších čverců parciální auokorelační funkce sezónní auoregresní proces muliplikaivní sezónní proces sezónní proces klouzavých průměrů ŠKODA AUTO a.s. vekorový auoregresní proces model vekorové korekce chyb 6

Úvod Koncern Volkswagen si dal za cíl sá se nejpozději do konce roku 2018 nejvěším výrobcem auomobilů na svěě. ŠKODA AUTO a.s., jako jedna ze značek koncernu, se musí podíle na splnění ohoo cíle prodejem minimálně 1,5 miliónu vozů za rok. V dnešní době není možné vyváře dlouhodobé plány bez podrobných ekonomických analýz. Cílem bakalářské práce je predikce budoucího vývoje dodávek vozů zákazníkům společnosí ŠKODA AUTO a.s. a posouzení dosažielnosi uvedeného objemu prodeje založená na saisické analýze da. V eoreické čási práce jsou popsány základy Boxovy-Jenkinsovy meodologie, někeré modely pro analýzu vícerozměrných časových řad, meody idenifikace vhodných modelů a ověření pořebných předpokladů. Aplikační čás obsahuje dva samosané oddíly; první je zaměřen na predikci vývoje celkových dodávek vozů ŠA prosřednicvím muliplikaivního sezónního procesu SARIMA, druhý se zabývá předpovědí vývoje dodávek vozů zákazníkům na nejvěším rhu auomobilky (v roce 2012), edy v Evropské unii. Přiom pro EU je opě použi SARIMA model a zároveň je analýza provedena i pomocí vícerozměrného EC modelu, kde se očekává přesnější předpověď. Druhou analyzovanou časovou řadou je hrubý domácí produk, kerý je přeneseně chápán jako ukazael růsu ekonomiky. Analýza vícerozměrných časových řad není aplikována na celkové dodávky vozů, proože není jednoduché naléz (pokud vůbec exisuje) ekonomický ukazael, kerý by měl spojios s celkovými dodávkami na všech rzích společnosi. V závěru práce jsou diskuovány odlišnosi vývoje poču dodávek vozů v Evropské unii a celosvěově, je porovnána přesnos předpovědí modelu SARIMA a EC modelu a naznačena možnos dalšího posupu v závislosi na získaných informacích. 7

1 Jednorozměrné časové řady Boxova-Jenkinsova meodologie Pro analýzu jednorozměrných časových řad je možné použí různé meody, např. dekompoziční meody (meoda klouzavých průměrů, exponenciální vyrovnávání), auokorelační meody vycházející z Boxovy-Jenkinsovy meodologie, nelineární modely nebo spekrální analýzu. Pro bakalářskou práci byl vybrán model založený na auokorelačních vlasnosech reziduí, proože je značně flexibilní a rychle se adapuje na změny charakeru modelovaného procesu. Pomocí něj je možné modelova vývoj dodávek vozů, kerý se vyznačuje obecným průběhem. Meodologie je pojmenována podle auorů monografie Time Series Analysis: Forecasing and Conrol (Box a Jenkins, 1970). Jedná se o sochasické modelování rendu a sezónní složky, kde základním prvkem konsrukce modelu časové řady je reziduální složka, kerá může bý vořena korelovanými (závislými) náhodnými veličinami (Cipra, 1986). Těžišě éo meodologie spočívá ve vyšeřování vzájemných závislosí pozorování v dané časové řadě. Meodologie vyžaduje delší časové řady, uvádí se minimální poče 50 pozorování (Cipra, 2008, s. 327). V Boxově-Jenkinsově meodologii lze modelova pouze sacionární časové řady, nicméně nesacionární časové řady lze převés vhodnou ransformací na řady sacionární (věšina časových řad je v ekonomické praxi nesacionární). Je nuné rozlišova mezi deerminisickou nesacionariou, kerá je způsobena např. deerminisickým rendem, a sochasickou nesacionariou. V prvním případě se dosáhne sacionariy pomocí eliminace rendu, v druhém případě prosřednicvím diferencování. Sacionaria (slabá sacionaria) znamená, že příslušný sochasický proces má konsanní sřední hodnou, konsanní rozpyl a kovarianční srukuru druhého řádu invarianní vůči posunům v čase, j. E y kons (1) 2 y var y kons (2) y y y y y y cov s, E s cov sh, h pro libovolné h (3) 8

Pro vyjádření časového posunu se používá operáor B a plaí By (4) y 1 Obecně edy j-á mocnina vyjadřuje zpoždění veličiny o j časových jednoek B y B By B y y (5) j j 1 j 1 1 j Používá se aké diferenční operáor a plaí 1 1 Obecně d-á mocnina diferenčního operáoru y y y B y (6) d má var d d d d y y y y y y B y 1 2 d1 d 1 2 1 d 1 (7) 1.1 Auokorelační vlasnosi časových řad Korelovanos v čase popisují auokovariační a auokorelační funkce. Auokovariační funkce pro zpoždění k je definována jako cov y, y E y y, k, 1,0,1 (8) k k k Auokorelační funkce (ACF) pro zpoždění k je k k, k, 1,0,1 (9) 0 k 2 y y je konsanní rozpyl dané časové řady. Auokorelační funkce kde 2 0 var y se graficky znázorňuje pomocí korelogramu. Pro odhad auokovariační funkce pro zpoždění k plaí kde n 1 c y y y y k n, 0,1,, 1 (10) k k n k1 1 n y n 1 y (11) 9

Odhad auokorelační funkce pro zpoždění k je kde n je poče pozorování časové řady. Kromě auokorelační funkce (PACF) značená jako kk. Hodnoa kk je definována jako parciální korelační koeficien mezi ck rk, k 0,1,, n 1 (12) c 0 k se používá aké parciální auokorelační funkce y a y k při pevných hodnoách y k 1,, y. Odhad r 1 kk parciální auokorelační funkce kk pro zpoždění k je roven odhadu parameru kk v modelu kde y y y y (13) k1 1 k 2 2 kk k je bílý šum (j. posloupnos nekorelovaných náhodných veličin s nulovou sřední hodnoou a konsanním konečným rozpylem 2 0 ) a je konsana (může bý i nulová). V praxi, prosřednicvím počíačových programů, se používá rekurenní výpoče r kk (Durbin, 1960) r r, 11 1 kde r kk k 1 r r r k k1, j k j j1 k 1 1 r r k 1, j j j1 pro k 1 (14) rkj rk 1, j rkk rk 1, k j pro j 1,, k 1 (15) 1.2 Základní modely Boxovy-Jenkinsovy meodologie Meodologie vychází z lineárního procesu, kerý lze zapsa jako 2 1 y B B B (16) 1 1 2 2 1 2 kde j jsou neznámé paramery. Lze dokáza (viz Box a Jenkins, 1970, s. 49), že posačující podmínka pro exisenci lineárního procesu má var B konverguje pro B 1 (17) 10

přičemž s B zacházíme jako s komplexní proměnnou. Tao podmínka zároveň zaručí, že lineární proces je sacionární. Lze-li lineární proces vyjádři ve varu y y y, j. y y y B y (18) 1 1 2 2 1 1 2 2 jde o inveribilní proces. Posačující podmínka pro inveribiliu lineárního procesu má var (Box a Jenkins, 1970) B konverguje pro B 1 (19) Základní modely Boxovy-Jenkinsovy meodologie jsou proces klouzavých součů MA, auoregresní proces AR a smíšený proces ARMA. Proces klouzavých součů řádu q značený jako MA(q) má var kde 1,, q y 1 1 q q q B (20) jsou neznámé paramery a q 1 q B 1 B B je operáor klouzavých součů. Proces vznikne useknuím lineárního procesu (16) v bodě, kerý odpovídá zpoždění q. Auoregresní proces řádu p značený jako AR(p) má var kde 1, y y y, j. y y y B y (21) 1 1 p p 1 1 p p p jsou neznámé paramery a p 1, p p B 1 B B je auoregresní operáor. Proces vznikne useknuím inverovaného varu lineárního procesu (18) v bodě, kerý odpovídá zpoždění p. Smíšený proces řádu p a q značený jako ARMA(p,q) má var p q y 1 y 1 p y p 1 1 qq, j. p B y q B (22) kde operáory B a B p jsou definovány výše. q Kromě rendu je možné sochasicky modelova i sezónnos. Sezónní varianou auoregresního procesu řádu P označovaného jako SAR(P) je y y y y (23) 1 s 2 2s P Ps 11

proces lze zapsa ve varu 2 kde P s s 2 s Ps 1 2 B y B B B y (24) P P B B B B je sezónní auoregresní operáor a s s s Ps 1 2 P,, 1 P jsou neznámé paramery. Sezónní varianou procesu klouzavých průměrů řádu Q označovaného jako SMA(Q) je 2 kde s 2 1 s Qs s 1 2 y B B B B (25) Q Q B 1 B B B je sezónní operáor klouzavých průměrů Q s s s Qs 1 2 Q a,, 1 Q jsou neznámé paramery. 1.3 Model ARIMA a SARIMA Nesacionární časová řada svědčí o příomnosi rendu. Jak bylo zmíněno v úvodu, v případě deerminisického rendu je nuné eno rend eliminova. Časové řady se sochasickým rendem lze sacionarizova pomocí diferencování. V Boxově-Jenkinsově meodologii jsou k omu určeny procesy ypu ARIMA (Cipra, 2008). Inegrovaný smíšený proces řádu p,d,q značený jako ARIMA(p,d,q) má var d kde 1 d d B1 B y B (26) p q y B y je d-á diference modelované časové řady. Časová řada se sacionarizuje prosřednicvím vhodně zvoleného řádu diferencování a následně se sacionární řada modeluje pomocí smíšeného procesu ARMA. V případě, že časová řada vykazuje sezónnos s periodou o délce s, použije se pro časové období model kde s D s B y B (27) P s Q je zv. sezónní diferenční operáor, pro kerý plaí s 1 B (28) s s s y 1 B y y y s (29) 12

ad., a s 2 s s y 1 B y 1 2B B y y 2y y (30) 2 2 s s 2s je náhodná složka. Řadu lze vyjádři ARIMA modelem varu d B1 B B (31) p q kde již předsavuje bílý šum. Modely (27) a (31) lze spoji do jediného modelu s d s D s B B1 B 1 B y B B (32) P p q Q Model (32) se nazývá muliplikaivní sezónní proces řádu p d q P D Q,,,, nebo s aké SARIMA model. Zde p značí řád procesu AR, q je řád procesu MA, d je řád nesezónní diference, P je řád sezónní čási procesu AR, Q je řád sezónního procesu MA, D je řád sezónní diference a s je délka sezónní periody. Variana SARIMA modelu s konsanou má var s s d s D s B B1 B 1 B y D, B B (33) P p j j q Q j1 nesezónní AR(p) sezónní diference nesezónní MA(q) sezónní SAR(P) nesezónní diference konsana sezónní SMA(Q) Proces (33) obsahuje konsanu, kerá je rozdílná pro každou sezónu j, j 1,, s D j, je nula-jedničková sezónní pomocná proměnná. 1.4 Konsrukce modelů ARIMA a SARIMA Prvním krokem je grafický rozbor dané časové řady, ze kerého můžeme zjisi její vlasnosi důležié pro další posup. Jde hlavně o nesacionariu, příomnos sezónní složky či použií vhodné ransformace. V ekonomických časových řadách se časo používá logarimická ransformace (Cipra, 2008), kerá linearizuje průběh a sabilizuje výkyvy v sezónnosi, redukuje heeroskedasiciu a šikmos. Následnou konsrukci modelu v rámci Boxovy-Jenkinsovy meodologie je možné rozděli na ři základní fáze, keré se mohou opakova, o jes idenifikace, odhad a ověření modelu. 13

1.4.1 Idenifikace modelu Idenifikace je posup vedoucí ke zjišění vhodného řádu diferencování a řádu pq, a PQ, jednolivých složek SARIMA modelu. U základních modelů lze využí grafické analýzy varu auokorelační a parciální auokorelační funkce. U sezónních modelů může bý ao meoda idenifikace z důvodu sezónnosi obížná, proo se pro idenifikaci řádu diferencování používají esy na jednokový kořen a pro idenifikaci řádu pq, a PQ, se používají informační kriéria. V bakalářské práci bude grafický rozbor ACF a PACF použi pouze pro zjišění pořeby linearizace či diferencování (viz Cipra, 1986; Cipra, 2008; Arl a Arlová, 2009). Tesy na jednokový kořen Pro ověření sacionariy se používají esy na jednokový kořen (Uni Roo Tes), kdy příomnos jednokového kořenu ukazuje na možnos sacionarizace diferencováním. Exisuje několik saisických esů jako např. Dickeyův-Fullerův es, Phillipsův-Perronův es nebo KPSS es. V éo práci bude použi rozšířený Dickeyův-Fullerův es (ADF es), kerý používá i saisický program EViews. ADF es má ři variany (viz Fuller, 1976; Dickey a Fuller, 1979; Dickey a Fuller, 1981), keré se souhrnně označují jako -esy. V prvním esu se uvažuje model bez konsany, v druhém esu model s konsanou a ve řeím esu model s konsanou i rendem. Nulovou hypoézu pro všechny ři esy lze zapsa jako alernaivní jako H : y y y pro 0, (34) 0 1 i i i1 p H : y. y y pro 0, (35) 1 1 i i i1 kde 1 1 a dále pro první es plaí 0, pro druhý es plaí 0. Tesová saisika je pro všechny ři ADF esy sejná p ˆ ADF (36) ˆ ˆ 14

s odhady pořízenými momenovou meodou. Vzorce pro momenové odhady a směrodané odchylky odhadů jsou uvedeny např. v Cipra (2008, s. 344). Kriický obor esu je vořen hodnoami ADF, pro něž plaí ADF n (37) Kriické hodnoy se určí simulací. Tabulka 1 obsahuje ukázku kriických hodno pro n 50 a zpoždění lag 4. Tab. 1 Kriické hodnoy ADF esů pro n 50 a zpoždění lag 4 Hladina významnosi 10% 5% 1% první es () -1,612-1,948-2,617 druhý es ( µ ) -2,602-2,928-3,585 řeí es ( ) -3,187-3,513-4,176 Nezamíneme-li u žádného ze ří esů nulovou hypoézu, je nuné provés první diferenci časové řady a es opakova. U věšiny ekonomických časových řad dosáhneme sacionarizace pomocí první, maximálně druhé diference (Cipra, 2008, s. 360). Informační kriéria pro volbu modelu Bylo navrženo několik kriérií, kerá jsou založena na porovnávání reziduí jednolivých modelů (předpokladem je již vhodně zvolený řád diferencování). Model je vybrán na základě nejnižší hodnoy daných kriérií. V práci budou používána dvě informační kriéria: Akaikeho kriérium AIC (Akaike, 1974) ve formě kde M p q P Q 1 AIC M M (38) n 2 2 ln ˆ je poče paramerů v modelu SARIMA p d q P D Q 2 s konsanou, ˆ je reziduální rozpyl modelu a n je poče pozorování. Hannanovo-Quinnovo kriérium HQC (Hannan a Quinn, 1979) ve formě HQC M,,,, s 2M ln ln n 2 ln ˆ (39) n 15

1.4.2 Odhad paramerů modelu Pro odhad paramerů modelu exisuje několik meod. Např. pro paramery AR(p) modelu lze použí meodu nejmenších čverců (OLS), pro odhad paramerů ARMA(p,q) modelu lze použí meodu nelineárních nejmenších čverců (NLS). V práci bude použia meoda maximální věrohodnosi (ML). Proože výpoče odhadů je složiý, používají se počíačové programy (např. EViews, GiveWin nebo Sagraphics). Meody jsou blíže popsány např. v Cipra (2008, s. 343), Cipra (1986, s. 127) nebo Arl a Arlová (2009, s. 54). 1.4.3 Diagnosika modelu Diagnosika slouží k ověření předpokladů modelu. V éo fázi musí dojí k rozhodnuí o přijaelnosi modelu pro následnou konsrukci předpovědí. V případě, že nejsou splněny předpoklady normaliy, rozpylu nebo nekorelovanosi náhodné složky, je pořeba se vrái k idenifikaci modelu a zvoli model jiný. Náhodná složka v ARIMA modelu nebo SARIMA modelu q B (1 B B ) p d y (40) q s B B 1 d 1 s B B P p s D B B y (41) Q by měla mí vlasnosi bílého šumu. Základní diagnosická konrola edy spočívá v posouzení reziduí resp. kde ˆ ˆ s ˆ s ˆ p B, q B, P B, Q B ˆ p B d ˆ (1 B) y (42) ˆ B q s B ˆ B d ˆ s B B ˆ P p s D ˆ 1 B 1 B y (43) ˆ q vzniknou z B B s s p, q, P B, QB po dosazení odhadů paramerů. Q 16

Normalia náhodné složky Normalia je důležiým předpokladem pro esování paramerů modelu a konsrukci inervalových předpovědí, ale aké např. esu homoskedasiciy či nekorelovanosi náhodné složky. Tesů na posouzení normaliy je více, v éo práci je použi Jarqueův-Berův es (Jarque a Bera, 1980), kerý esuje současně šikmos i špičaos a je součásí počíačového programu GiveWin. Sdružená esová saisika má var 2 2 JB SK KU (44) kde SK je esová saisika pro esování šikmosi rozdělení n SK 6 1/2 mˆ mˆ 3 3/2 2 (45) a KU je esová saisika pro esování špičaosi rozdělení kde KU 1/2 n mˆ 4 3 2 24 mˆ 2 (46) ˆ m j n 1 ˆ n j a n 1 ˆ n j 2,3,4 (47) Za předpokladu planosi nulové hypoézy, kerá znamená normaliu náhodné složky modelu, mají saisiky SK a KU asympoicky normované normální rozdělení N 0,1. Sdružená saisika JB má rozdělení chí-kvadrá se dvěma supni volnosi. Rozpyl náhodné složky Tesů pro ověření konsanního rozpylu náhodné složky exisuje několik. V práci je použi zv. ARCH(q) (AuoRegressive Condiional Heeroscedasiciy) model, kerý je součásí počíačového programu GiveWin. Tes heeroskedasiciy je založen na modelu vyjadřujícím závislos na rozpylu náhodné složky v čase, na rozpylech,, 1 v časech 1 q ad. K odhadu náhodné složky využijeme rezidua, model má var ˆ ˆ ˆ ˆ u (48) 2 2 2 2 0 1 1 2 2 q q 17

kde,, 0 q jsou neznámé paramery a u je náhodná složka s vlasnosmi bílého šumu. Paramery se odhadují meodou nejmenších čverců. Nulová hypoéza H0 1 2 q : 0 vyjadřuje homoskedasiciu náhodné složky v modelu. Tesová saisika má var kde n je délka časové řady a ARCH q 2 nr (49) 2 R je koeficien deerminace modelu (48). Za planosi nulové hypoézy má esová saisika rozdělení chí-kvadrá s q supni volnosi. Nekorelovanos náhodné složky Exisenci auokorelace lze posoudi pomocí výběrové auokorelační funkce r k ˆˆ ˆ k 2 (50) kde nulová hypoéza je H : 0 0 k proi alernaivě H : 0 1 k. Kriický obor je vořen akovými hodnoami r k, pro něž plaí r k 2. n Dalším esem auokorelace je zv. pormaneau es (Box a Pierce, 1970). Tesuje se nulová hypoéza H0 : 1 2 K 0 proi alernaivě H1:non H 0, kde k, k 1,, K, jsou auokorelace náhodné složky modelu pro zpoždění k, kde K je blízké n. Tesová saisika má var K Q n ˆ (51) a za planosi nulové hypoézy má rozdělení chí-kvadrá s K p q supni volnosi. k 1 2 k 18

1.5 Konsrukce předpovědí Jedním z hlavních cílů analýzy ekonomických časových řad je vorba předpovědí. V Boxově-Jenkinsově meodologii lze konsruova předpovědi na základě vzahu kerý lze přepsa jako y y y (52) k 1 k1 p k p k 1 k1 q kq ˆ ˆ ˆ yˆ yˆ yˆ (53) k 1 k1 p k p k 1 k1 q kq kde yˆ k je předpověď hodnoy y k konsruované v čase (o k kroků dopředu). Rovnice (53) je základním vzahem pro výpoče bodových předpovědí (Cipra, 2008, s. 367), kde plaí yˆ y pro j 0 (54) j j ˆ j 0 pro j 0 y yˆ j 1 pro j 0 j j j (55) Dále se posupuje rekurenně, edy nejprve se konsruují předpovědi ˆ yˆ q, y q 1, q1 q2 o jeden krok dopředu, následně předpovědi ˆ yˆ q, y q 1, q2 q3 o dva kroky dopředu ad. Tako posupujeme, dokud nedosáhneme předpovědního horizonu. Každá bodová předpověď je zaížena chybou, je edy vhodné urči i předpovědní inerval. Za předpokladu normaliy má var yˆ 2 ˆ 1, ˆ 2 ˆ k j y k 1 j j1 j1 k1 1/2 k1 1/2 2 2 (56) 19

2 Vícerozměrné časové řady Kapiola se zabývá meodami pro idenifikaci, odhad paramerů a diagnosiku opimálního modelu vícerozměrných časových řad. Výsledný model, kerý zohledňuje vzahy mezi jednolivými řadami, se poom používá ke konsrukci předpovědí. Na modely vícerozměrných časových řad se pohlíží jako na zobecnění modelů jednorozměrných časových řad, kde míso skalárních veličin v čase m-rozměrné vekorové veličiny y y pozorujeme y,, 1 y. V případě sacionárních m řad se konsruuje VAR (vekorový auoregresní) model a pro nesacionární časové řady se konsruuje EC (error correcion) model. Přičemž sacionaria (slabá sacionaria) vícerozměrné časové řady y sejně jako u jednorozměrné časové řady znamená, že příslušný proces je invarianní vůči posunům v čase v rámci momenů do druhého řádu, j. E y μ kons (57) var y Σ kons (58) yy cov y, y E y μ y μ cov y, y (59) s s sh h pro libovolné h, kde μ Ey je m-rozměrný vekor sředních hodno a Σyy var y je kovariační maice rozměru m m s rozpyly na diagonále. 2.1 Auokorelační vlasnosi vícerozměrných časových řad Analogicky s jednorozměrným případem je maicová auokovariční funkce pro zpoždění k rozměru m m Γ cov y, y E y μ y μ,, 1,0,1 (60) k k k k Maicová auokorelační funkce pro zpoždění k rozměru m m má var 1/2 ρ D Γ D 1/2,, 1,0,1 (61) k k k kde D je maice s rozpyly na diagonále. 20

Odhad auokovariační funkce pro zpoždění k má var n 1 C y y y y, k 0,1,, n1 (62) k k n k1 a odhad auokorelační funkce pro zpoždění k je ˆ 1/2 ˆ 1/2, 0,1,, 1 Rk D CkD k n (63) kde diagonální maice ˆD má diagonálu shodnou s diagonálou maice C 0. 2.2 Vekorový auoregresní model VAR Vícerozměrný lineární proces můžeme zapsa jako kde 2 1 B B B y ε Ψ ε Ψ ε Ψ Ψ ε Ψ ε (64) 1 1 2 2 1 2 Ψ i jsou maicové paramery, keré musí splňova podmínku sacionariy. Podmínkou sacionariy a inveribiliy daného procesu je, že všechny kořeny polynomu 1 p Ψ B Ι Ψ B Ψ pb leží vně jednokového kruhu v komplexní rovině. Ι je jednoková maice. Náhodná složka ε předsavuje vícerozměrný bílý šum, zn. složky vekorů ε mají nulovou sřední hodnou, jsou v různých časech navzájem nekorelované, ale ve sejném čase mohou bý korelované s konsanní poziivně defininí kovariační maicí Σ. Speciálním případem modelu (64) je model vekorové auoregrese VAR(p). Model s konsanou má var y φ Φ y Φ y ε (65) 0 1 1 p p B 0 1y 1 y 0 Φ y φ y Φ Φ φ ε (66) p p p kde φ 0 je neznámá m-rozměrná konsana, Φ,, 1 Φ p jsou neznámé maicové paramery rozměru m m p Φ B 1Φ B Φ B je vekorový auoregresní a p 1 operáor. Například pro VAR(1) s konsanou má model var 0 1 1 p y φ Φ y ε (67) Tomuo zápisu se říká redukovaný var modelu VAR. Je-li m 2, pak model VAR(1) je vyjádřen dvěma rovnicemi 21

y y y 1 10 11 1, 1 12 2, 1 1 y y y (68) 2 20 21 1, 1 22 2, 1 2 2.3 Idenifikace řádu modelu VAR(p) Prvním krokem konsrukce modelu je idenifikace řádu p modelu VAR. V praxi se používají idenifikační procedury založené na saisických esech nebo na informačních kriériích (Cipra, 2008, s. 430). Obecně dáváme přednos modelu s minimální hodnoou zvolených kriérií. V práci bude použio Akaikeho a Hannanovo-Quinnovo informační kriérium. Akaikeho kriérium pro vícerozměrné časové řady má var (Arl a Arlová, 2009, s. 205) AIC p kde p je poče zpoždění, m je rozměr časových řad a maice modelu VAR(p), pro niž plaí 2m p m 1 ln Σ (69) n 1 Σ je reziduální kovarianční n 1 Σ ˆˆ n m p (70) 1 Hannanovo-Quinnovo kriérium pro vícerozměrné časové řady má var (Arl a Arlová, 2009, s. 205) HQC p n m p m 2ln ln 1 ln Σ (71) n 2.4 Odhad paramerů, diagnosika a předpovědi v modelu VAR(p) Paramery modelu VAR lze odhadnou pomocí meody maximální věrohodnosi nebo v případě redukovaného varu VAR modelu i klasickou meodou nejmenších čverců. Diagnosika sejně jako u jednorozměrných časových řad slouží k ověření předpokladů modelu. Nejdůležiější vlasnosí je sacionaria odhadnuého modelu. V případě, že ao podmínka není splněna, není možné pokračova s VAR modelem a musí se zavés EC model (viz kapiola 2.5). Model je sacionární v případě, že inverzní hodnoy kořenů odhadnuého auoregresního operáoru leží uvniř jednokového kruhu v komplexní rovině (Cipra, 2008, s. 431) 22

Normalia náhodné složky V případě vícerozměrného modelu ověřujeme, zda veličiny ε mají m-rozměrné normální rozdělení. Exisuje několik esů ověřování vícerozměrné normaliy, saisický program EViews používá vícerozměrnou verzi esu Jarque-Bera. Sdružená esová saisika je uvedena v Arl a Arlová (2009, s. 204). Za planosi nulové hypoézy, kerá znamená normaliu náhodné složky, má sdružená saisika asympoicky rozdělení chí-kvadrá s 2m supni volnosi. Nekorelovanos náhodné složky Tesy vycházejí z řady vekorů reziduí, získaných na základě VAR(p) modelu εˆ y Φˆ Φˆ y Φˆ y, 1,2,, (72) 0 1 1 p p n Exisenci auokorelace lze posoudi pomocí výběrové auokorelační maicové funkce (63). Pomocí Barleovy aproximace auokorelační funkce se určí, přibližné meze 95% inervalu spolehlivosi pro R k bílého šumu ρ k ve varu 2/ n a aplikuje se na jednolivé odhadnué auokorelace a vzájemné korelace odhadnué reziduální složky, keré mají nenulové zpoždění (Cipra, 2008, s. 431). Dalším esem exisence auokorelace je pormaneau es (např. Hosking, 1980; Lükepohl, 1993). Tesuje se nulová hypoéza H0 : ρ1 ρ2 ρk 0 mm kde ρ k, k 1,, K, jsou maicové auokorelace náhodné složky modelu pro zpoždění k. Tesová saisika má var 1 Q n r C C C C (73) 2 K 1 1 m k 0 k 0 k1 n k kde C k je odhad auokovariační funkce pro zpoždění k. Jedná se o modifikovanou verzi pro nízké hodnoy K. Za planosi nulové hypoézy má saisika 2 asympoicky rozdělení chí-kvadrá s m K p supni volnosi. Konsrukce předpovědí Konsrukce předpovědí vychází z modelu (67) a lze ji zapsa jako yˆ φ Φ yˆ Φ y ˆ (74) k 0 1 k1 p k p 23

kde yˆ y pro j0 (75) j j 2.5 Koinegrace a EC model U vícerozměrných nesacionárních řad se nedoporučuje diferencování jednolivých časových řad, proože by se mohly vyrai vzahy založené na dlouhodobé rovnováze. Míso oho se vyváří lineární kombinace nesacionárních časových řad se společným rendem ak, aby výsledná řada byla již sacionární. Teno případ se označuje jako koinegrace (Cipra, 2008, s. 445). 2.5.1 EC model EC model pro dvě nesacionární časové řady 1 y a y ypu (1), edy časových řad u kerých se dosáhne sacionariy pomocí první diference, má var y y y y (76) 1 2 1, 1 2, 1 2 EC model popisuje krákodobý vzah mezi přírůsky y1 a y2, a zároveň provádí korekci pro případ, že krákodobé změny odchylují veličiny od dlouhodobého rovnovážného vzahu. Výrazu y1, 1 y2, 1 se říká korekční člen. Paramery popisují dlouhodobé koinegrační vzahy a zapisují se do zv. koinegračních vekorů ypu 1,, paramery ypu popisují krákodobé vzahy mezi proměnnými a paramery ypu určují rychlos přizpůsobení rovnovážnému savu (Cipra, 2008, s. 448). 24

2.5.2 EC model jako vekorová auoregrese VAR Jednou z varian modelu korekce chyb je kombinace s vekorovým auoregresním modelem VAR, někdy označovaném jako VEC (vecor error correcion) model. V práci bude aplikován dvourozměrný model VAR(1) ypu (67), kerý lze zapsa jako y φ Πy ε, kde Π ΦΙ (77) 0 1 Klíčovou roli pro zařazení modelu mezi EC modely hraje hodnos r maice Π. Mohou nasa ři siuace: 1) r h 0 Π : Je-li Π 0, ak o znamená, že r 0 a obě časové řady jsou nesacionární ypu (1) a neexisuje mezi nimi koinegrační vzah. 2) r hπ m: V omo případě má Π plnou hodnos, což znamená, že všechna její vlasní čísla jsou nenulová. Za jisých předpokladů můžeme říci, že VAR model je sacionární a není edy nuné konsruova EC model. 3) 0 r m: Ze všech vlasních čísel Π je alespoň jedno nenulové, pak poče nenulových vlasních čísel r předsavuje poče koinegračních vzahů v daném EC modelu (Cipra, 2008, s. 449). V obecném vícerozměrném modelu VAR(p) varu y φ Φ y Φ y ε (78) 0 1 1 p p zkonsruovaném pro m časových řad ypu (1) má EC model var y φ Πy Γ y Γ y ε (79) 0 1 1 1 p1 p1 Má-li maice Π právě hodnos r, 0 r m, pak exisují maice α a β (rozměru m r s plnou hodnosí r ) pro keré plaí vzah je ypu (0). Exisuje edy EC model varu Π αβ a každá složka vekoru βy y φ αβ y Γ y Γ y ε (80) 0 1 1 1 p1 p1 s r koinegračními vzahy, kde každý sloupec maice β reprezenuje jeden koinergrační vekor (Cipra, 2008, s. 451) 25

2.5.3 Tes koinegrace Dalším krokem konsrukce modelu je es koinegrace neboli sanovení hodnosi maice Π a edy odhalení poču koinegračních vzahů v sysému. Pro sanovení hodnosi r exisuje několik esů. V programu EViews se používají Johansenovy esy (viz Johansen, 1991) založené na odhadu kanonických korelací meodou maximální věrohodnosi. Kanonické korelace v EC modelu (80) měří parciální závislos mezi vekory y a 1 y při pevných hodnoách vekorů y 1,, y p1. Jde o esy věrohodnosním poměrem. První es (race es) používá saisiku (Cipra, 2008, s. 453) m r n ln 1 race i ir1 (81) posupně pro jednolivé r 0,1,, m 1. Tesuje se nulová hypoéza H : 0 poče koinegračních vzahů je menší nebo roven r proi alernaivní hypoéze H1: non H0. Druhý es (maximum Eigenvalue es) používá saisiku (Cipra, 2008, s. 453) ln 1 r1 ma x r n (82) posupně pro jednolivé r 0,1,, m 1. Tesuje se nulová hypoéza H : 0 poče koinegračních vzahů je roven r proi alernaivní hypoéze H : 1 poče koinegračních vzahů je roven r 1. Nulová hypoéza se v obou případech zamíne, pokud je esová saisika věší než kriická hodnoa nebo je-li příslušná p-hodnoa menší než zvolená hladina významnosi. Kriické hodnoy se určí simulací a p-hodnoy jsou uvedeny např. na výsupu programu EViews, p-hodnoa vychází z abulek v MacKinnon a kol., (1999). Příklad kriických hodno z programu EViews pro model s konsanou, n 50, m 2 a lag 1 je uveden v následující abulce 2. 26

Tab. 2 Kriické hodnoy Johansenových esů pro n 50, m 2 a lag 1 race es max es Poče koinegračních vzahů Hladina významnosi 10% 5% 1% H : 0 0 r 13,429 15,495 19,937 H : 1 0 r 2,706 3,841 6,635 H : 0 0 r 12,297 14,265 18,52 H : 1 0 r 2,706 3,841 6,635 2.5.4 Konsrukce a diagnosika EC modelu Jak již bylo zmíněno, nejdříve se esuje sacionaria (např. pomocí ADF esu) daných časových řad. V případě, že jsou sacionární, konsruuje se VAR model. Pokud nejsou sacionární, pokračuje se Johansenovými esy na koinegraci. Exisuje-li r koinegračních vzahů, přičemž plaí 0 r m, odhadne se pro y,, 1 y n příslušný EC model (80) např. kombinací meod maximální věrohodnosi a nejmenších čverců (viz Johansen, 1995). Odhad lze doplni o omezení paramerů maic α a β, oo omezení umožňuje empiricky esova specifické ekonomické hypoézy (Arl a Arlová 2009, s. 265). V případě, že je výsledný model posouzen jako přijaelný, je možné ho použí ke konsrukci bodových a inervalových předpovědí. Normalia náhodné složky se esuje obdobně jako u modelu VAR (viz kapiola 2.4). Nekorelovanos náhodné složky Pro esování exisence sériové korelace můžeme použí např. Breuschův- Godfreyův LM es, kerý používá i EViews. Tes auokorelovanosi reziduí, kerý se aplikuje na jednolivé rovnice modelu, používá k modelování náhodné složky auoregresní model AR(p) vyššího řádu p 1 (Cipra, 2008, s. 97) u (83) 1 1 2 2 p p kde u je náhodná složka s vlasnosmi bílého šumu. Pomocný model má var ˆ y y ˆ ˆ ˆ u (84) 1 2 2 k k 1 1 2 2 p p 27

kde k je poče regresorů a,, 0 p jsou neznámé paramery. Paramery se odhadují meodou nejmenších čverců. Nulová hypoéza H0 : 1 2 p 0 vyjadřuje nekorelovanos náhodné složky. Tesová saisika má var LM 2 nr (85) kde 2 R je koeficien deerminace regresního modelu (84). Při planosi nulové hypoézy má esová saisika rozdělení chí-kvadrá s p supni volnosi. Volba řádu p se doporučuje dle frekvence da, např. pro čvrlení daa p 4 (Cipra, 2008, s. 98). Rozpyl náhodné složky Pro esování heeroskedasiciy můžeme použí např. dva esy, keré jsou součási programu EViews, auorů Breusche, Pagana a Godfreye (Breusch a Pagan, 2 1979; Godfrey, 1978). Tesy jsou založeny na modelech ypu hzγ 1,, n, kde 2 je rozpyl náhodné složky, h je známá funkce a z 2 ; 1,z,,z k je vekor pozorovaelných proměnných, keré mohou mí vliv na variabiliu modelu, a γ 0, 1,, k je vekor neznámých paramerů (Cipra, 2008, s. 88). Pomocný model má v prvním případě var a v druhém z z z u (86) 2 ˆ 0 1 1 2 2 k k ˆ 2 2 ˆ 0 1z 1 2z 2 k z k u (87) kde u je náhodná složka s vlasnosmi bílého šumu. Paramery se odhadují meodou nejmenších čverců. Nulová hypoéza H0 : 1 2 k 0 vyjadřuje homoskedasiciu náhodné složky v modelu. Tesová saisika má v prvním případě var a v druhém LM 2 nr (88) 1 2 ESS (89) 28

kde 2 R je koeficien deerminace regresního modelu (86) a ESS je vysvělovaný souče čverců regresního modelu (87). Při planosi nulové hypoézy mají esové saisiky asympoicky rozdělení chí-kvadrá s k supni volnosi. 29

3 Predikce vývoje dodávek vozů ŠKODA AUTO a.s. Hlavním cílem je konsrukce předpovědí (s horizonem predikce konec roku 2018) prosřednicvím Boxovy-Jenkinsovy meodologie a EC modelu. V první čási bude zkonsruován model a následná předpověď pro celosvěové dodávky společnosi. Druhá čás bude zaměřena na předpověď poču dodaných vozů v Evropské unii. Tabulka s kompleními vsupními day je součásí přílohy č. 1. Obrázek 1 znázorňuje vývoj ročních dodávek vozů společnosí ŠKODA AUTO a.s. za posledních 12 le. Obr. 1 Roční prodeje vozů ŠKODA AUTO a.s. za posledních 12 le 30

3.1 Analýza časové řady dodávek vozů na celém svěě Pro čvrlení časovou řadu poču dodaných vozů zákazníkům (obr. 2) v leech 2001 2013 zkonsruujeme model, odhadneme paramery a ověříme předpoklady diagnosikou reziduí. Obr. 2 Vývoj čvrleních dodávek vozů v období 2001 2013 Obr. 3 Výběrové auokorelační a parciální auokorelační funkce Pozvolně klesající průběh výběrové auokorelační funkce (obr. 3) naznačuje, že je vhodné linearizova danou časovou řadu pomocí logarimické ransformace. Porovnání původní a zlogarimované řady je vidě na obrázku 4, kde obě řady jsou zobrazeny ve vhodném měříku. 31

Obr. 4 Původní a zlogarimovaná časová řada Ze soupajícího průběhu grafu poču dodávek (obr. 4) a z varu výběrové auokorelační a parciální auokorelační funkce (první hodnoa je blízká jedné) na obrázku 3 vyplývá, že se jedná o nesacionární časovou řadu. Tuo skuečnos povrzují i rozšířené Dickeyovy-Fullerovy esy v abulce 3. Pro všechny ři esy je p-hodnoa esové saisiky věší než 0,05, nezamíáme edy nulovou hypoézu a prokázali jsme na 5% hladině významnosi, že analyzovaná časová řada je nesacionární. Při opakování ohoo esu pro první diference zamíáme nulovou hypoézu ve všech řech esech a můžeme říci, že se jedná o časovou řadu ypu (1). Dále je z grafického rozboru parné, že časová řada obsahuje sezónní složku a bude nuno použí model SARIMA. 32

Tab. 3 Tesy na jednokový kořen Augmened Dickey-Fuller Uni Roo Tes on Log Dodavky zakaznikum Null Hypohesis: Log Dodavky zakaznikum has a uni roo Lag Lengh: 4 -Saisic Prob.* -es ADF es saisic 2,080 0,9900 Tes criical value (5% level) -1,948 µ -es ADF es saisic -0,283 0,9193 Tes criical value (5% level) -2,928 -es ADF es saisic -2,880 0,1784 Tes criical value (5% level) -3,513 *MacKinnon (1996) one-sided p-values Zdroj: Tesy na jednokový kořen v programu EViews Pro idenifikaci vhodného SARIMA modelu byl použi počíačový program Sagraphics, kerý na základě hodno informačních kriérií zvolil několik modelů (viz abulka 4). Dle Akaikeho informačního kriéria i Hannanova-Quinnova kriéria byl zvolen model SARIMA(0,1,0)x(0,1,1)4 bez konsany. První model v abulce má sice nižší hodnou kriérií, ale neobsahuje požadovanou diferenci v nesezónní složce. Tab. 4 Volba SARIMA modelu pomocí informačních kriérií Model AIC HQC ARIMA(1,0,0)x(0,1,1)4 s konsanou -5,59426-5,55057 ARIMA(0,1,0)x(0,1,1)4-5,56347-5,54891 ARIMA(1,0,1)x(0,1,1)4-5,56031-5,51662 ARIMA(1,0,0)x(1,1,1)4-5,54696-5,50328 ARIMA(1,0,0)x(1,1,1)4 s konsanou -5,53601-5,47776 Zdroj: Sagraphics Odhad paramerů zvoleného SARIMA modelu meodou maximální věrohodnosi je zobrazen v abulce 5. Z abulky je parné, že odhadnuý paramer 1 0,8398. 33

Tab. 5 Odhad paramerů modelu SARIMA(0,1,0)x(0,1,1)4 MODEL DEFINITION for Dodavky zakaznikum Transformaion: Log(y) ARIMA Model: (0 1 0)(0 1 1)4 regarima Model Span: 2001Q1 o 2013Q2 MODEL ESTIMATION/EVALUATION Esimaion converged in 11 ARMA ieraions, 23 funcion evaluaions. ARIMA Model: (0 1 0)(0 1 1)4 Nonseasonal differences: 1 Seasonal differences: 1 Sandard Parameer Esimae Errors ------------------------------------------------------------------- Seasonal MA Lag 4 0,8398 0,09913 Variance 0,387E-02 ------------------------------------------------------------------- Effecive number of observaions (nefobs) 45 Number of parameers esimaed (np) 2 Zdroj: Zpracováno v programu GiveWin Výsledný var modelu (32) pro celkové dodávky vozů je 4 4 B B y 1B 1 1 Po roznásobení a následném dosazení odhadnuého parameru y y y y y y y 0,8398 1 4 5 1 4 1 4 5 4 Na obrázku 5 jsou znázorněny odhady auokorelační a parciální auokorelační funkce reziduí včeně mezí inervalu spolehlivosi ve vzdálenosi 2 / 50. 34

Obr. 5 Reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(0,1,0)x(0,1,1)4 Proože všechny hodnoy ACF a PACF leží uvniř mezí, rezidua modelu SARIMA(0,1,0)x(0,1,1)4 nevykazují auokorelaci. Tuo skuečnos povrzuje i pormaneau es (ab. 6); proože p-hodnoa 0,5586 příslušná esové saisice 5,8394, nezamíáme nulovou hypoézu. Na výsupu obou esů normaliy, kde asympoic es odpovídá esu (44) a normaliy es je jeho modifikací pro malé výběry, je parné, že předpoklad normálního rozdělení můžeme považova za splněný, jak plyne z vysokých p-hodno obou esů. Výsledkem ARCH esu je opě vysoká p-hodnoa čímž jsme prokázali, že rezidua nevykazují heeroskedasiciu. Z výše uvedeného plyne, že model lze považova za přijaelný. Tab. 6 Diagnosika modelu SARIMA(0,1,0)x(0,1,1)4 Pormaneau saisic for residuals Pormaneau(7): Chi^2(7) = 5,8394 [0,5586] Normaliy es for residuals Asympoic es: Chi^2(2) = 0,26907 [0,8741] Normaliy es: Chi^2(2) = 1,8224 [0,4020] ARCH coefficiens: Lag Coefficien Sd.Error 1-0,098117 0,1455 RSS = 0,00142168 sigma = 0,00549987 Tesing for error ARCH from lags 1 o 1 ARCH 1-1 es: F(1,47) = 0,45476 [0,5034] [v závorce p-hodnoa] Zdroj: Zpracováno v programu GiveWin 35

Obrázek 6 zachycuje průběh celé časové řady včeně bodových a inervalových předpovědí daného SARIMA modelu. Numerické výsledky jsou součásí přílohy č. 2. Obr. 6 Předpověď celosvěových dodávek do konce roku 2018 36

3.2 Analýza časové řady dodávek vozů v Evropské unii Sejná analýza byla provedena i pro čvrlení dodávky vozů zákazníkům v EU. Obr. 7 Vývoj čvrleních dodávek v Evropské unii v leech 2001 2013 Obr. 8 Výběrové auokorelační a parciální auokorelační funkce Z průběhu výběrové auokorelační funkce (obr. 8) již nevyplývá pořeba použií logarimické ransformace, ale je z ní dobře parná sezónnos. Ze soupajícího průběhu grafu dodávek v EU (obr. 7) vyplývá, že se jedná o nesacionární časovou řadu. Tuo skuečnos povrzují i rozšířené Dickeyovy-Fullerovy esy v abulce 7. Pro všechny ři esy je p-hodnoa esové saisiky věší než 0,05, 37

nezamíáme edy nulovou hypoézu a prokázali jsme na 5% hladině významnosi, že analyzovaná časová řada je nesacionární. Při opakování ohoo esu pro první diference zamíáme nulovou hypoézu ve všech řech esech a můžeme říci, že se jedná o časovou řadu ypu (1). Tab. 7 Tesy na jednokový kořen Augmened Dickey-Fuller Uni Roo Tes on Dodavky zakaznikum EU Null Hypohesis: Dodavky zakaznikum EU has a uni roo Lag Lengh: 4 -Saisic Prob.* -es ADF es saisic 0,472 0,8128 Tes criical value (5% level) -1,948 µ -es ADF es saisic -1,763 0,3937 Tes criical value (5% level) -2,928 -es ADF es saisic -2,252 0,4503 Tes criical value (5% level) -3,513 *MacKinnon (1996) one-sided p-values Zdroj: Tesy na jednokový kořen v programu EViews Pro idenifikaci vhodného SARIMA modelu byl použi počíačový program Sagraphics, kerý na základě hodno informačních kriérií zvolil několik modelů (viz abulka 8). Dle AIC byl zvolen model SARIMA(0,1,2)x(2,1,2)4 bez konsany. První model v abulce má sice nižší hodnou kriérií, ale neobsahuje požadovanou diferenci v nesezónní složce. Tab. 8 Volba SARIMA modelu pomocí informačních kriérií Model AIC HQC ARIMA(0,0,1)x(2,1,2)4 17,4682 17,541 ARIMA(0,1,2)x(2,1,2)4 17,5713 17,6587 ARIMA(1,0,2)x(2,1,2)4 17,5917 17,6937 ARIMA(2,1,0)x(2,1,2)4 17,6034 17,6908 ARIMA(1,0,0)x(0,1,1)4 17,6089 17,6381 Zdroj: Sagraphics Odhad paramerů zvoleného SARIMA modelu pomocí meody maximální věrohodnosi je zobrazen v abulce 9. Z abulky je parné, že odhadnué paramery 0,5615, 0,2925, 0,1771, 0,4579 1,3819 a 0,3866. 1 2 1 2 1 2 38

Tab. 9 Odhad paramerů modelu SARIMA(0,1,2)x(2,1,2)4 MODEL DEFINITION for Dodavky zakaznikum EU Transformaion: No ransformaion ARIMA Model: (0 1 2)(2 1 2)4 regarima Model Span: 2001Q1 o 2013Q2 MODEL ESTIMATION/EVALUATION Esimaion converged in 53 ARMA ieraions, 372 funcion evaluaions. ARIMA Model: (0 1 2)(2 1 2)4 Nonseasonal differences: 1 Seasonal differences: 1 Sandard Parameer Esimae Errors ------------------------------------------------------------------- Seasonal AR Lag 4 0,5615 0,24651 Lag 8-0,2925 0,15527 Nonseasonal MA Lag 1 0,1771 0,12295 Lag 2 0,4579 0,13744 Seasonal MA Lag 4 1,3819 0,25284 Lag 8-0,3866 0,26303 Variance 0,33451E+08 ------------------------------------------------------------------- Effecive number of observaions (nefobs) 45 Number of parameers esimaed (np) 7 Zdroj: Zpracováno v programu GiveWin Výsledný var modelu (32) pro celkové dodávky vozů je 1 4 8 4 2 4 8 1B 2B 1 B 1 B y 1 1B 2B 1 1B 2B Po roznásobení a následném dosazení odhadnuých paramerů y y y y y y y y y y y y 1 4 1 4 5 1 5 1 8 2 8 1 9 2 9 2 12 2 13 1 1 2 2 1 4 1 1 5 2 1 6 2 8 1 2 9 2 2 10 y y 1 1,5615 y 4 1,5615 y 5 0,854 y 8 0,854 y 9 0, 2925y 12 0, 2925y 13 0,1771 0, 4579 1,3819 0, 2447 0, 6328 0,3866 1 2 4 5 6 8 0, 0685 0,177 9 10 Na obrázku 9 jsou znázorněny odhady auokorelační a parciální auokorelační funkce reziduí včeně mezí inervalu spolehlivosi ve vzdálenosi 2 / 50. 39

Obr. 9 Reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(0,1,2)x(2,1,2)4 Proože všechny hodnoy ACF a PACF leží uvniř mezí, rezidua modelu SARIMA(0,1,2)x(2,1,2)4 nevykazují auokorelaci. Tuo skuečnos povrzuje i pormaneau es (ab. 10); proože p-hodnoa 0,6561 příslušná esové saisice 5,0319, nezamíáme nulovou hypoézu. Na výsupu obou esů normaliy je parné, že předpoklad normálního rozdělení můžeme považova za splněný, jak plyne z vysokých p-hodno obou esů. Výsledkem ARCH esu je opě vysoká p-hodnoa čímž jsme prokázali, že rezidua nevykazují heeroskedasiciu. Z výše uvedeného plyne, že model lze považova za přijaelný. Tab. 10 Diagnosika modelu SARIMA(0,1,2)x(2,1,2)4 Pormaneau saisic for residuals Pormaneau(7): Chi^2(7) = 5,0319 [0,6561] Normaliy es for residuals Asympoic es: Chi^2(2) = 1,0714 [0,5853] Normaliy es: Chi^2(2) = 2,1391 [0,3432] ARCH coefficiens: Lag Coefficien Sd.Error 1 0,043173 0,1461 RSS = 8,72468e+016 sigma = 4,3085e+007 Tesing for error ARCH from lags 1 o 1 ARCH 1-1 es: F(1,47) = 0,087346 [0,7689] [v závorce p hodnoa] Zdroj: Zpracováno v programu GiveWin 40

Obrázek 10 zachycuje průběh celé časové řady včeně bodových a inervalových předpovědí daného SARIMA modelu pro dodávky vozů v Evropské unii do konce roku 2018. Numerické výsledky jsou součásí přílohy č. 3. Obr. 10 Předpověď dodávek vozů v Evropské unii do konce roku 2018 41

V poslední čási práce bude ke konsrukci předpovědí použi vícerozměrný model. Lze předpokláda, že prodeje vozů v Evropské unii souvisí se savem ekonomiky a že využií vývoje HDP by mohlo zpřesni konsrukci bodových a inervalových předpovědí. Z grafu časových řad (obr. 11) vyplývá, že obě řady vykazují saisicky významnou sezónnos, a zároveň se jedná o nesacionární řady. Pro lepší porovnání jsou obě řady zobrazeny ve vhodném měříku. Obr. 11 Vývoj dodávek vozů a HDP v Evropské unii v leech 2001 2013 Proože VAR model nelze aplikova na daa obsahující sezónní složku, jsou do modelu zahrnuy ři nula-jedničkové proměnné. Předpokládá se model s konsanou a pomocí kombinace proměnných D2 až D4 lze pro každé čvrleí uvažova jinou konsanu (obecně se používá s 1 proměnných, kde s je poče období), jak naznačuje následující schéma D2 D3 D4 Q1 0 0 0 Q2 1 0 0 Q3 0 1 0 Q4 0 0 1 42

Prvním krokem je volba poču zpoždění výsledného modelu. Tabulka 11 ukazuje výsup programu EViews pro posupnou aplikaci saisického esu (LR-es) a informačních kriérií FPE, AIC, SC a HQC v rámci idenifikace poču zpoždění. Na základě jednoznačného výsupu je zvolen řád p = 1. Tab. 11 Idenifikace řádu modelu VAR(p) VAR Lag Order Selecion Crieria Endogenous variables: DODAVKY_EU HDP_EU Exogenous variables: D2 D3 D4 Sample: 2001Q1 2013Q2 Included observaions: 46 Lag LogL LR FPE AIC SC HQ 0-1185,935 NA 1,10e+20 51,82324 52,06176 51,91259 1-1007,480 318,1153* 5,60e+16* 44,23825* 44,63578* 44,38716* 2-1004,480 5,086930 5,87e+16 44,28172 44,83827 44,49021 3-999,6164 7,823493 5,68e+16 44,24419 44,95975 44,51224 4-997,5902 3,083395 6,24e+16 44,33001 45,20458 44,65763 * indicaes lag order seleced by he crierion Zdroj: Zpracováno v programu EViews Následujícím krokem je idenifikace poču koinegračních vzahů v sysému prosřednicvím Johansenových esů (81, 82). Z výsledků (ab. 12) je parné, že pro r 0 (první řádek) se H 0 zamíá, pro r 1 (druhý řádek) už ne, o znamená, že na 5% hladině významnosi prokazují exisenci jediného koinegračního vzahu. Exisencí právě jednoho koinegračního vzahu byl povrzen důležiý předpoklad, z kapioly 2.5.2 bod 3, kdy sesava má 0r 2 koinegračních vzahů, pro konsrukci EC modelu. 43

Tab. 12 Johansenovy esy pro idenifikaci poču koinegračních vzahů Sample (adjused): 2001Q3 2013Q2 Included observaions: 48 afer adjusmens Trend assumpion: Linear deerminisic rend Series: DODAVKY_EU HDP_EU Unresriced Coinegraion Rank Tes (Trace) Hypohesized Trace 0,05 No. of CE(s) Eigenvalue Saisic Criical Value Prob.** None 0,710285 60,72225 15,49471 0,0000 A mos 1 0,025848 1,257018 3,841466 0,2622 Trace es indicaes 1 coinegraing eqn a he 0.05 level **MacKinnon-Haug-Michelis (1999) p-values Unresriced Coinegraion Rank Tes (Maximum Eigenvalue) Hypohesized Max-Eigen 0,05 No. of CE(s) Eigenvalue Saisic Criical Value Prob.** None 0,710285 59,46523 14,26460 0,0000 A mos 1 0,025848 1,257018 3,841466 0,2622 Max-eigenvalue es indicaes 1 coinegraing eqn a he 0.05 level **MacKinnon-Haug-Michelis (1999) p-values Zdroj: Zpracováno v programu EViews Odhad paramerů modelu je zobrazen v abulce 13. V horní čási abulky se nachází koinegrační vekor β 1, 0,0287 a konsana, kerá je součásí koinegračního vzahu. V dolní čási abulky jsou koeficieny pro sesavení jednolivých rovnic EC modelů 393, 0386 0,69 φ 0, α a 162077, 2 0,8839 0,3053 0, 0164 Γ 0, 6253 0,3204 z modelu (80). Paramery u proměnných D2 až D4 ukazují změnu vůči prvnímu čvrleí. Po dosazení odhadnuých paramerů má rovnice dodávek vozů zákazníkům var D(DODAVKY_EU) = -0,69 (DODAVKY_EU - 0,0287HDP_EU - 1 1-27477,747) + 0,3053D(DODAVKY_EU ) - 0,0164D(HDP_EU ) + 1 1 + 393,0386 + 9067,6681 D2-11203,2629D3 + 2270,942D4 44

Tab. 13 Odhad paramerů EC modelu Vecor Error Correcion Esimaes Sample (adjused): 2001Q3 2013Q2 Included observaions: 48 afer adjusmens Coinegraing Eq: CoinEq1 DODAVKY EU(-1) 1,000000 HDP EU(-1) -0,028670 C -27477,75 Error Correcion: D(DODAVKY EU) D(HDP EU) CoinEq1-0,690069 0,883856 D(DODAVKY EU(-1)) 0,305315 0,625293 D(HDP EU(-1)) -0,016363 0,320430 C 393,0386-162077,2 D2 9067,668 283845,6 D3-11203,26 125356,8 D4 2270,942 287888,2 Zdroj: Zpracováno v programu EViews Po dosazení odhadnuých paramerů má rovnice HDP var D(HDP_EU) = 0,8839 (DODAVKY_EU - 0,0287HDP_EU - 27477,747) + 1 1 + 0,6253D(DODAVKY_EU ) + 0,3204D(HDP_EU ) - 162077,228 + 1 1 + 283845,5526D2 + 125356,831 D3 + 287888,2247D4 Koinegrační vzah c DODAVKY_EU - 0,0287 HDP_EU - 27477,747 je právě jedinou lineární kombinací, kerá vede ke sacionariě obou časových řad. Společný koinegrační pohyb můžeme prohlási za sacionární i dle grafické analýzy (obr. 12). Obr. 12 Koinegrační vzah dodávek vozů a HDP 45

Před samonou konsrukcí předpovědí musí dojí k ověření předpokladů modelu. V abulce 14 jsou zobrazeny jednolivé koeficieny odhadnuého modelu (jedná se o odhad paramerů pouze pro dodávky vozů pomocí OLS meody) s jejich p-hodnoami. C(1) je paramer 1 z rovnice (80), kerý udává rychlos přizpůsobení dodávek vozů k rovnovážnému savu, a dle jeho p-hodnoy může bý považován za saisicky významný, sejně ak jeho záporná hodnoa opě povrzuje exisenci koinegračního vzahu. Tab. 14 Odhad paramerů EC modelu pouze pro dodávky v EU Dependen Variable: D(DODAVKY_EU) Mehod: Leas Squares Sample (adjused): 2001Q3 2013Q2 Included observaions: 48 afer adjusmens D(DODAVKY_EU) = C(1)*(DODAVKY_EU(-1) 0,0287 *HDP_EU(-1) 27477,747) + C(2)*D(DODAVKY_EU(-1)) + C(3) *D(HDP_EU(-1)) + C(4) + C(5)*D2 + C(6)*D3 + C(7)*D4 Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C(1) -0,690069 0,175300-3,936503 0,0003 C(2) 0,305315 0,151961 2,009168 0,0511 C(3) -0,016363 0,024306-0,673184 0,5046 C(4) 393,0386 3766,388 0,104354 0,9174 C(5) 9067,668 6854,960 1,322789 0,1932 C(6) -11203,26 4008,991-2,794534 0,0079 C(7) 2270,942 4571,696 0,496739 0,6220 Adjused R-squared 0,787831 F-saisic 30,08690 Prob(F-saisic) 0,000000 Zdroj: Zpracováno v programu EViews V abulce 15 a na obrázku 13 je zobrazena diagnosická konrola EC modelu dodávek vozů. Vysoká p-hodnoa 0,8345 příslušná esové saisice (85) 1,4557 esu korelace znamená, že nezamíáme nulovou hypoézu. Vysoké p-hodnoy 0,2736 a 0,4408 příslušných esových saisik (88, 89) 8,7171 a 6,886 esu heeroskedasiciy znamenají, že nezamíáme nulové hypoézy obou esů. Sejně ak nezamíáme nulovou hypoézu u esu normaliy (p-hodnoa značena jako Probabiliy ). Z esů vyplývá, že sysém má normální rozdělení reziduí, je homoskedasický a není v něm příomna sériová korelace. Z výše popsaného je možné posoudi eno model jako přijaelný a přisoupi ke konsrukci bodových a inervalových předpovědí. 46

Tab. 15 Breuschův-Godfreyův es korelace a Breuschův-Paganův-Godfreyův es heeroskedasiciy Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes: F-saisic 0,289290 Prob. F(4,37) 0,8831 Obs*R-squared 1,455655 Prob. Chi-Square(4) 0,8345 Heeroskedasiciy Tes: Breusch-Pagan-Godfrey F-saisic 1,268034 Prob. F(7,40) 0,2905 Obs*R-squared 8,717107 Prob. Chi-Square(7) 0,2736 Scaled explained SS 6,886044 Prob. Chi-Square(7) 0,4408 Zdroj: Zpracováno v programu EViews 12 10 8 6 4 2 Series: Residuals Sample 2001Q3 2013Q2 Observaions 48 Mean -7.81e-12 Median -348.1362 Maximum 11031.40 Minimum -14625.56 Sd. Dev. 5378.062 Skewness -0.133064 Kurosis 3.165420 Jarque-Bera 0.196377 Probabiliy 0.906478 0-15000 -10000-5000 0 5000 10000 Zdroj: Zpracováno v programu EViews Obr. 13 Jarqueův-Berův normaliy es Na obrázku 14 je zobrazena časová řada dodávek vozů zákazníkům včeně předpovědi konsruované za pomoci EC modelu. Pro grafické porovnání jednolivých meod jsou na obrázku 15 zobrazeny předpovědi pomocí SARIMA a EC modelu současně. Numerické výsledky jsou součásí přílohy č. 3. Všechny analýzy, výpočy a grafy byly zpracovány pomocí počíačových programů EViews, GiveWin a Sagraphics. 47

Obr. 14 Předpověď dodávek vozů v EU do konce roku 2018 Obr. 15 Předpověď dodávek vozů v EU pomocí EC a SARIMA modelů 48

Závěr Cílem bakalářské práce bylo posouzení reálnosi sanoveného objemu prodejů společnosi ŠKODA AUTO a.s. pomocí saisických meod. K dispozici byla komplení čvrlení daa dodávek vozů zákazníkům na všech rzích auomobilky a čvrlení daa HDP Evropské unie v období 2001 2013. Proože vývoj dodávek vozů má značně nepravidelný průběh a nelze edy modelova rend analyicky, byly pro analýzu použiy Boxova-Jenkinsova meodologie a EC model. Již z úvodního grafu celkových ročních dodávek vozů je parná rosoucí endence. Pomocí SARIMA modelu byly zkonsruovány bodové a inervalové předpovědi pro dodávky vozů zákazníkům pro rok 2018. Hodnoa bodové předpovědi je 1 186 607 dodaných vozů a meze 95% inervalu mají hodnoy 562 217 a 2 507 313. Vzhledem k horizonu predikce (5 le) je inerval značně široký, z čehož plyne značná nejisoa spojená s odhadem. Průběh jednorozměrné časové řady dodávek vozů zákazníkům v Evropské unii naznačuje, že hodnoy budoucích dodávek budou mírně růs či sagnova. Bodové a inervalové předpovědi zkonsruované opě pomocí SARIMA modelu mají hodnoy 503 201 (413 033, 593 370). Předpověď pomocí vícerozměrného modelu dodávek v EU opě naznačuje mírný růs, kerý je ovlivněn i růsovou endencí HDP. Bodové a inervalové předpovědi zkonsruované pomocí EC modelu mají hodnoy 523 704 (453 486, 593 578). Obě meody předpovědí dodávek vozů v EU vedou k přibližně sejnému závěru, ale vícerozměrný model oproi jednorozměrnému má užší předpovědní inerval (obr. 15). ŠKODA AUTO a.s. dosáhla růsu celkových prodejů i v době celosvěové krize (v leech 2008 2010), a o díky rosoucím prodejům na asijských rzích (viz obr. 1). Z výše popsaného je parné, že Evropa nebude hrá hlavní roli v růsové sraegii. Je edy pořeba se zaměři na mladší rhy jakými jsou Čína, Rusko a Indie. Oázkou je, zda je vůbec možné v dnešním dynamicky měnícím se svěě odhadnou vývoj prodejů s horizonem 5-6 le? Podíváme-li se na vývoj prodejů auomobilky rerospekivně, zjisíme, že před 5 ley byly prodeje nižší o řeinu a před 7 ley dokonce o polovinu. Po analýze dosupných da je možné vrdi, že pokud nenasane nečekaný propad prodejů na evropských nebo asijských rzích, mohl by bý cíl sanovený pro auomobilového výrobce ŠKODA AUTO a.s. dosažielný. 49