VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV Ing. Vladimír Habán, Ph.D. VYSOKOFREKVENČNÍ PULSACE VE VODNÍCH STROJÍCH HIGH-FREQUENCY PULSATIONS IN HYDRAULIC MACHINES ZKRÁCENÁ VERZE HABILITAČNÍ PRÁCE Brno 1

Klíčová slova: pulsace, tlak, průtok, dynamika, vysokofrekvenční pulsace, přenosové matice, rychlost zvuku, hydraulické stroje, druhá viskozita, genetický algoritmus, Keywords: pulsation, pressure, discharge, flow, dynamics, high-frequency pulsation, transfer matrix, celerity, sound velocity, hydraulic machines, genetic algorithm, second viscosity, MÍSTO ULOŽENÍ PRÁCE Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, Energetický ústav, odbor Fluidního inženýrství Victora Kaplana. Vladimír Habán, 1 ISBN 978-8-14-4169-9 ISSN 113-418X

OBSAH OBSAH...3 PŘEDSTAVENÍ AUTORA...4 1 ÚVOD...5 METODA PŘENOSOVÝCH MATIC...6.1 přenosové matice...6.1.1 Zákon zachování hmotnosti (rovnice kontinuity)...6.1. Rovnice silové rovnováhy...7.1.3 Stanovení přenosové matice...7 3 VÝPOČETNÍ PROGRAM F-ACHAR.EXE...9 4 RYCHLOST ZVUKU...1 4.1 Rychlost zvuku v kapalině...1 4.1.1 Rychlost zvuku v čisté vodě...1 4.1. Rychlost zvuku ve směsi voda-vzduch...1 5 DRUHÁ VISKOZITA...1 5.1 Experimentální stanovení druhé viskozity...13 5. Stanovení druhé viskozity z vlastního čísla...13 5.3 Stanovení druhé viskozity z měřených vynucených tlakových pulsací...15 5.4 Vliv druhé viskozity a rychlosti zvuku na vlastní frekvenci...18 5.5 Vliv druhé viskozity na vynucené tlakové pulsace... 6 ŘEŠENÍ ZPĚTNÉ ÚLOHY...1 6.1 Přiklad na řešení zpětné úlohy modelování kulového rezonátoru... 6.1.1 Matematický model... 6.1. Porovnání naměřených a vypočtených tlakových pulsací...3 6.1.3 Závěr ke kapitole modelování kulového rezonátoru...4 7 MODELOVÁNÍ VYSOKOFREKVENČNÍCH PULSACÍ POMOCÍ METODY PŘENOSOVÝCH MATIC...5 7.1 Výpočet tlakových pulsací pro model PVE Dlouhé Stráně...6 7.1.1 Turbínový provoz na modelu...7 7.1. Čerpadlový provoz na modelu...8 8 ZÁVĚR...9 9 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY...3 ANNOTATION:...31 3

PŘEDSTAVENÍ AUTORA Ing. Vladimír HABÁN, Ph.D. Narozen: 9.1.197 v Brně Vzdělání a akademická kvalifikace: 1 Ph.D., Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 1994 Ing., FSI, VUT v Brně, obor Hydraulické stroje a zařízení 1989-1994 Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 1985-1989 Střední průmyslová škola strojnická, Brno, Kotlářská Zaměstnání: 1-dosud odborný asistent, Energetický ústav, FSI VUT v Brně. 1997-1 asistent, Energetický ústav, FSI VUT v Brně. 1997 částečný pracovní úvazek ČKD Blansko. Pedagogická činnost: Přednášky a cvičení z předmětů Dynamika energetických strojů a jejich příslušenství, Potrubní technika, Měření tekutinových systémů. Vedoucí diplomových a 4 bakalářských prací. Vědeckovýzkumná činnost: řešitel 5 projektů, z toho tři projekty GAČR, jeden projekt MPO a jeden projekt EUREKA spoluřešitel 16 projektů autor nebo spoluautor 37 odborných článků v časopisech nebo konferenčních sbornících řešitel 43 zakázek pro průmysl. 4

1 ÚVOD V hydraulických strojích mohou vznikat tlakové a průtokové pulsace tří základních typů. Vlastní, samobuzené a vynucené. Ve výjimečných případech se mohou vyskytovat i parametrické pulsace. Typickým příkladem vlastního kmitání je přechodový děj při vodním rázu. Dochází k němu například při otevření nebo uzavření ventilu. Dále u hydrogenerátorů, při jejich uvedení do provozu nebo odstavení. Ke stanovení tlaku a průtoku, za těchto podmínek je nutno řešit základní rovnice hydrodynamiky, které představují soustavu parciálních diferenciálních rovnic. Tyto rovnice se pro třídu tlakových a průtokových pulsací redukují na systém dvou nelineárních parciálních diferenciálních rovnic pro závisle proměnné (p,q), které jsou linearizovány. Typickým příkladem samobuzeného kmitání jsou pulsace vyvolané virovým copem v savce vodní turbíny, při provozu mimo optimum. K tomuto jevu dochází při zatížení od 4 do 7% jmenovitého výkonu turbíny, nebo při přetížení. Tedy při výkonech větších než 1% jmenovitého výkonu. Dalším příkladem je samobuzené kmitání kuželky ventilu, kmitání vlivem odtrhávání Kármánových vírů a podobně. Samobuzeného kmitání bylo v praxi dříve využíváno ve vodních trkačích. Mezi vynucené tlakové a průtokové pulsace patří pulsace vyvolané periodicky se opakujícím pohybem pístu v plunžrových čerpadlech, průchodem lopatek oběžného kola v blízkosti rozvaděče. Typickým znakem těchto pulsací je buzení harmonickou funkcí a konstantní frekvence odezvy. Většinou se jedná o frekvenci určenou otáčkami stroje nebo jejími násobky. Ty závisí na počtu lopatek rotoru a statoru stroje. K parametrickým pulsacím dochází při periodické změně vstupního parametru, například dráhy pístu, kdy se periodicky mění objem činného prostoru. Tato práce je zaměřena zejména na výpočtové modelování vysokofrekvenčních pulsací v interiéru hydraulických strojů. Tyto pulsace je možno modelovat jako vynucené a většinou buzené přechodem lopatek oběžného kola, v těsné blízkosti lopatek rozváděcích. Při tomto přechodu je vybuzen krátký tlakový impuls. Tento tlakový impuls působí na lopatky rozvaděče, spirálu a přivaděč. V savce turbíny jsou vysokofrekvenční pulsace minimální. Je nutno si uvědomit, že impuls se periodicky opakuje na frekvenci určené otáčkami stroje a všech jejích násobcích. Významné jsou zejména rezonanční frekvence, kdy vektor vnějšího buzení není ortogonální k adjungovanému vlastnímu vektoru soustavy. Tento stav je charakterizován dynamickým zesílením v oběžném kole, spirále a přivaděči, na rozváděcích lopatkách nebo na víku hydraulického stroje. V práci jsou uvedeny možnosti modelování vysokofrekvenčních pulsací tlaku ve vodní turbíně a porovnání s naměřenými hodnotami na modelu a na díle. Dále jou uvedeny možnosti minimalizace těchto pulsací. Při modelování a optimalizaci výpočtového algoritmu je použito metody Genetického algoritmu pro stanovení vstupních parametrů modelu, a to z podmínky minimálních odchylek měřených a vypočtených tlakových amplitud. Tento postup optimalizace matematického modelu (jedná se o inverzní úlohu) je uveden na několika jednoduchých příkladech. 5

METODA PŘENOSOVÝCH MATIC Výpočet tlakových a průtokových pulsací v hydraulických systémech je založen na řešení dvou nelineárních parciálních diferenciálních rovnic podle času a podle souřadnice. Jedná se o konzervativní rovnice, a to o zákon zachování hmotnosti a zákon zachování hybnosti. Při výpočtech v časovém prostoru, kdy dochází k velkým změnám průtoku, je nutno tyto nelineární rovnice i pro jednoduché trubice řešit numericky. Pro řešení ve frekvenčním prostoru, s uvažováním malých změn průtoku, je možno tyto rovnice linearizovat a řešit pomocí Laplaceovy transformace podle času i podle souřadnice. V přenosových matic je nově uvažován vliv druhé viskozity v Navier-Stokesově rovnici a vliv tlumení materiálu trubice v rovnici kontinuity. Pomocí druhé viskozity lze numericky modelovat reálné hodnoty tlumení při tlakových a průtokových pulsacích. Tlumení v materiálu trubic má význam při výpočtovém modelování pulsací ve výrazně poddajných trubicích (plastová potrubí, pružné hadice a pod.)..1 PŘENOSOVÉ MATICE.1.1 Zákon zachování hmotnosti (rovnice kontinuity) V pohybující se stlačitelné tekutině platí zákon zachování hmotnosti, který je možno psát ve tvaru (1) ρ ρ v i + vi + ρ = (1) t x i x i Zavedením rychlosti zvuku ve tvaru () lze rovnici (1) upravit do tvaru (3) pro malé hodnoty rychlosti v vzhledem k rychlosti zvuku (v<<c ). dp K c = = () dρ ρ 1 p v i + ρ = (3) c t x i Po integraci (3) přes objem V dle Obr. 1 a jednoduchých úpravách dostaneme (4). c Obr. 1 Obr. v n ds p Q S + ρ + ρ = t x dx 1 P Integrál v n ds vyjadřuje průtok vyvolaný deformací trubice, jedná se o malé změny plochy P trubice. Pokud bude trubice absolutně tuhá, bude tento integrál nulový, avšak v běžné technické praxi dochází k deformaci trubice. Tato poddajnost trubice ovlivňuje rychlost zvuku a hodnota poddajnosti trubice se řádově shoduje s poddajností kapaliny. Při uvažování modelu materiálu trubice ve smyslu standardního tělesa dle Obr., lze psát vztah (5) mezi napětím v trubici a deformaci po Laplaceově transformaci podle času. (4) 6

s E 1 b1 σ = E + ε (5) E1 + s b1 Zde je výhodné zavést komplexní modul tuhosti vztahem (6) s E1 b1 E c = E + (6) E1 + s b1 Po Laplaceově transformaci rovnice (4) při zanedbání počátečních podmínek je možno výslednou podobu rovnice kontinuity po Laplaceově transformaci podle času psát ve tvaru (7), při uvažování komplexní rychlosti zvuku ve tvaru (8). Q + x S s p = ρ c E c c = c E + c ρ D c (7) (8).1. Rovnice silové rovnováhy Tato rovnice vyjadřuje rovnováhu sil setrvačných, tlakových a viskózních, působících na elementární částici. vi v Π i ij p ρ + ρ v j + = (9) t x x x j j i Po integraci rovnice (9), pro směr osy potrubí přes objem trubice dle Obr. 1 s uvažováním rychlostí pouze ve směru osy potrubí, získáme vztah (1) t Q Q ν S p ( ν + ξ) Γ( t τ) Q( τ) dτ + = 4 t x R (1) ρ x V tomto vztahu je zavedena bezrozměrná paměťová funkce Γ v konvolučním integrálu. Tato funkce vyjadřuje ztráty vlivem nestacionárního rychlostního profilu. Byla odvozena v Lit [1], má značný význam při nestacionárním proudění viskózních kapalin (oleje) nebo při proudění v kapilárách. V běžné technické praxi při proudění vody je její význam zanedbatelný proti vlivu druhé viskozity ξ. Uvažováním Laplaceových obrazů podle času { Q} Q L{ Γ} = ψ L{ p} L = = p je možno psát vztah (1) po Laplaceově transformaci podle času ve tvaru (11). ν Q R S ψ Q+ + ρ S s ρ c s 4.1.3 Stanovení přenosové matice p x ( ν + ξ) = Pro stanovení přenosových matic je nutno řešit dvě diferenciální rovnice (11) a (7). Přenosová matice stanovuje přenos stavového vektoru z místa x= do místa x po délce trubice. Zavedeme nové funkce A, B a C tak, aby bylo možno psát rovnici silové rovnováhy (11) ve tvaru (1) a rovnici kontinuity (7) ve tvaru (13). p A + B Q = x (11) (1) 7

8 p s x Q C = + (13) Z porovnání rovnic (11) a (1) plyne vztah pro funkce A a B a z (13) a (7) pro C. ( ) c s S S A ρ ν + ξ + ρ = ψ ν = 4 R s B S c C ρ = (14) Rovnice (1) a (13) lze zapsat v maticové podobě ve tvaru (15). = + p Q s B p Q x C A (15) Zavedením nových funkcí dle (16) je možno rovnici (15) upravit do tvaru (17). C s = γ A B = µ C A B s µ = γ = λ (16) = µ γ + p Q p Q x (17) Řešení soustavy diferenciálních rovnic dle vztahu (17) lze nalézt pomocí Laplaceovy transformace podle souřadnice x. Při této transformaci je nutno uvažovat okrajové podmínky v poloze x=. Získáme vztah (18). x / / p Q p Q p Q = = µ γ + ε (18) Po zpětné Laplaceově transformaci podle souřadnice získáme vztah (19) x 1 1 p Q L p Q = µ γ + ε ε = (19) Zavedením přenosové matice ve tvaru () lze vztah (19) zjednodušit do tvaru (1). ( ) µ γ + ε ε = 1 1 L x,s P () ( ) ( ) ( ),s u x,s x,s u = P (1) Přenosová matice umožňuje stanovit stavový vektor v libovolném místě trubice, pokud známe stavový vektor na jejím počátku. Nyní určíme jednotlivé členy přenosové matice. Vyjdeme z rovnice () a upravíme ji do tvaru (). ( ) ε µ γ ε = 1 1 L x,s P () Po zpětné Laplaceově transformaci jednotlivých členů matice získáme konečnou podobu přenosové matice ve tvaru (3). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ µ λ λ γ λ = x cosh x sinh x sinh x cosh x,s P (3)

3 VÝPOČETNÍ PROGRAM F-ACHAR.EXE Výpočet tlakových a průtokových pulsací pomocí metodiky přenosových matic je analyticky možný, ale pouze pro jednoduché hydraulické systémy. V praxi je nutno k tomuto výpočtu použít softwarové zpracování této metodiky výpočtu. V kapitole byla odvozena přenosová matice potrubí, která umožňuje výpočet stavového vektoru v poloze x, při znalosti stavového vektoru v místě x=. Aby bylo možno počítat tlakové a průtokové pulsace v hydraulickém systému, je nutno při výpočtu uvažovat okrajové podmínky v místě počátku trubice a v místě konce trubice. Každá trubice je na obou koncích napojena na uzly, ve kterých jsou tyto podmínky zadány. Pro řešení je využita styčníková metoda. Na následujícím Obr. 3 je znázorněno schéma matematického modelu, které je sestaveno z 66 uzlů a 15 trubic, jde o model pro výpočet vysokofrekvenčních pulsací. Obr. 3 Matice neznámých veličin při výpočtu větveného obvodu je stanovena následovně. Je počítán Laplaceův obraz tlaku v každém uzlu obvodu a Laplaceův obraz průtoku na počátku každého pole. (Řešená matice má tedy rozměr počet uzlů + počet trubic). Pro řešení těchto neznámých máme dva typy rovnic. První je okrajová podmínka v každém uzlu systému (např. průtoková podmínka přítok a odtok z uzlu je roven nule, nebo buzení v tomto uzlu, tlaková podmínka, případně vztah mezi Laplaceovým obrazem průtoku a tlaku, plynový akumulátor, dynamický tlumič apod.) Druhá rovnice počítá Laplaceův obraz tlaku na konci každého úseku potrubí a porovnává s Laplaceovým obrazem tlaku v uzlu, kam tato trubice ústí. Pomocí těchto dvou podmínek dostáváme úplnou soustavu rovnic pro řešení dříve uvedených neznámých. Tuto soustavu rovnic lze sestavit do matice a pomocí Gausovy eliminace řešit. Jedná se o řešení soustavy lineárních rovnic v komplexní proměnné. 9

4 RYCHLOST ZVUKU Rychlost šíření tlakových a průtokových pulsací kapaliny v trubici je možno stanovit ze vztahu (8). Rychlost zvuku pro kapalinu v trubici bude pro všechny běžné technické aplikace nižší, než je rychlost zvuku v samotné kapalině. 4.1 RYCHLOST ZVUKU V KAPALINĚ Rychlost zvuku v kapalině je dána vztahem (). V běžné technické praxi má na rychlost zvuku ve vodě největší vliv obsah vzduchu, statický tlak a teplota. 4.1.1 Rychlost zvuku v čisté vodě Rychlost zvuku, hustota i modul pružnosti v čisté vodě (bez vlivu obsahu vzduchu), je pouze funkcí teploty a statického tlaku. Rychlost zvuku a hustotu pro čistou vodu je možno počítat dle Lit. [1], [11] nebo [1]. Na Obr. 4 je zobrazena závislost rychlosti zvuku na statickém tlaku při teplotě o C. Černou čarou teoreticky vypočtená dle vztahů IAPWS-IF97, body rychlost zvuku ve vodě jsou vyhodnoceny z měření. Červené trojúhelníky jsou pro rychlost stanovenou z vynuceného kmitání a černé čtverce pro rychlost stanovenou z vlastní frekvence. 17 165 16 c (m/s) 155 15 145 14 1 3 4 5 6 7 8 9 1 p (MPa) Obr. 4 Závislost rychlosti zvuku na statickém tlaku při teplotě o C 4.1. Rychlost zvuku ve směsi voda-vzduch I malé množství vzduchu výrazně ovlivňuje rychlost zvuku. Budeme předpokládat homogenní směs vody a vzduchu. Objem této směsi je možno počítat ze vtahu (4). V = V + V (4) sm vody vz Kde V sm (m 3 ) objem směsi V vody (m 3 ) objem vody V vz (m 3 ) objem vzduchu Po dělení objemem směsi získáme vztah (5), kde je možno zavést poměrné objemové množství vody a vzduchu ve směsi. Vvody Vvz 1 = + = v vody + v vz Vsm Vsm (5) Kde v vody (1) poměrné objemové množství vody ve směsi v vz (1) poměrné objemové množství vzduchu ve směsi Obdobně lze postupovat při stanovení hmotnosti směsi. Platí vztah (6) ve tvaru: 1

m = m + m (6) sm vody vz Kde m sm (kg) hmotnost směsi m vody (kg) hmotnost vody m vz (kg) hmotnost vzduchu Nebo po dělení hmotností směsi získáme vztah (7), kde je možno zavést poměrné hmotnostní podíly vody a vzduchu ve směsi. mvody mvz 1 = + = M vody + M vz (7) msm msm Rychlost zvuku ve směsi voda-vzduch lze potom počítat ze vztahu (8) pro poměrné hmotnosti, nebo ze vztahu (9) pro poměrné objemy vzduchu a vody. ρ vody ρ vz c vody c vz 1 csm = (8) ρ M ρ c + M ρ c c sm sm sm vody vody vz ρ vody ρ vz 1 = c vody c vz (9) ρ v ρ c + v ρ c vz V následujících grafech je znázorněna rychlost zvuku ve směsi voda vzduch vypočtená z předchozích vztahů. vz vz vz vz vody vody vody vody Rychlost zvuku (m/s) 1 1 1 1kPa 4kPa 1kPa 1..4.6.8 1 Objemový poměr vzduchu v vz Obr. 5 Závislost rychlosti zvuku ve směsi na objemovém poměru vzduchu při tlacích daných legendou grafu v (kpa). 16 14 Rychlost zvuku (m/s) 1 1 8 6 4 mvz=.1 mvz=.1 mvz=.1.e+.e+6 4.E+6 6.E+6 8.E+6 1.E+7 Statický tlak (Pa) Obr. 6 Závislost rychlosti zvuku ve směsi voda vzduch na statickém tlaku a na hmotnostním poměrném množství vzduchu m vz daném legendou grafu. 11

5 DRUHÁ VISKOZITA Druhá viskozita byla zavedena v rovnici silové rovnováhy tenzorem nevratných napětí po derivaci podle x j je možno psát: Π ij, kde Π ij v v j i v k = η + + b δij x j x j x j x i x j x k x j Jak je ze vztahu patrné, ztráty způsobené druhou viskozitou narůstají lineárně s divergencí rychlosti. Tyto ztráty souvisí se stlačitelností a pro nestlačitelnou tekutinu budou nulové. Při stacionárním průtoku bez pulsací je vliv ztrát způsobených druhou viskozitou zanedbatelně malý, vzhledem k ztrátám třecím. Význam druhé viskozity je tedy pouze pro řešení pulsací ve stlačitelné tekutině. Pro popsaní reálných hodnot tlumení při tlakových pulsacích je uvažování druhé viskozity nutné. Na následujícím Obr. 7 je znázorněna závislost druhé kinematické viskozity na frekvenci. Data pro tuto závislost byla získána z měření na různých dílech a experimentálních stendech, např. PVE Dalešice, PVE Dlouhé Stráně, měření rázu na tratích zkušebny VUT FSI EU Brno, měření vynuceného kmitání při frekvenci 19,4 khz ve spolupráci s AVČR Ústavem geoniky v Ostravě. Druha kinematická viskozita (m /s) 1 1 1 1 1 1.1 y = 9.485E+3x 1.13E+-.1 1 1 1 1 1 1 Frekvence (Hz) Obr. 7 Závislost druhé kinematické viskozity na frekvenci. Druhá viskozita je funkcí frekvence. Jedná se o hyperbolickou závislost a druhou viskozitu je pak možno stanovit z následujícího regresního vztahu (3). ξ H ξ =, (3) fr kde pro vodu platí koeficient druhé viskozity ξ H =9485 m.s. Skutečnost, že druhá viskozita závisí na frekvenci, má zásadní význam. Matematický model nevratného tenzoru napětí lze využívat pouze pro řešení vynuceného kmitání buzeného harmonickou funkcí. Nelze ho využívat pro řešení přechodového kmitání kapaliny. K tomuto účelu je nutno nalézt vztah pro druhou viskozitu v časové oblasti, s největší pravděpodobností ve tvaru konvolučního integrálu. Na problematice se pracuje. 1

5.1 EXPERIMENTÁLNÍ STANOVENÍ DRUHÉ VISKOZITY Druhou viskozitu je možno stanovit z porovnání naměřených a vypočtených tlakových pulsací. Existují dvě metody. První je založena na shodnosti vlastních čísel vypočtených a naměřených. Vlastní číslo má reálnou i imaginární část, vyjadřující tlumení a vlastní úhlovou rychlost. Druhá metoda je založena na porovnání vynucených tlakových pulsací. V obou případech je možno stanovit i rychlost zvuku. Pomocí obou metod stanovíme druhou viskozitu i rychlost zvuku pro soustavu kapalina-trubice. V běžné technické praxi nám toto řešení většinou postačuje a postupujeme tak, že předpokládáme nekonečně tuhou trubici. Stlačitelnost je potom uvažována pouze v kapalině podle rychlosti zvuku a tlumení dle druhé viskozity. Pro stanovení druhé viskozity a rychlosti zvuku v samotné kapalině je nutno počítat s materiálovým modelem trubice a stanovit vlastnosti kapaliny samostatně. 5. STANOVENÍ DRUHÉ VISKOZITY Z VLASTNÍHO ČÍSLA Touto problematikou se zabývaly výzkumné práce Lit.[3] a Lit.[4], později diplomová práce Lit. [19]. Prvně je nutno experimentálně stanovit vlastní číslo měřením tlakových pulsací, obvykle z odezvy na impuls. Tímto impulsem může být úder do trubice s kapalinou, nebo zavření potrubí při stacionárním průtoku. Z naměřených tlakových pulsací stanovíme vlastní číslo ve tvaru s = α ± iω rad.s -1. Na Obr. 8 je uvedeno schéma experimentálního stendu a na Obr. 9 je fotografie. Na obrázcích je znázorněna trubice s kapalinou, snímače zrychlení na čelech trubice, tlakové snímače na obou koncích trubice, měřící technika, přívod kapaliny do trubice, odvzdušnění trubice a kladivo, kterým byl vyvolán ráz v trubici. Obr. 8 Schéma experimentálního stendu. 13

Obr. 9 Fotografie experimentálního stendu Odezva tlaku na impuls je znárodněna na Obr. 1. V tomto případě pro hodnotu statického tlaku 1, MPa Obr. 1 Měřený tlak v závislosti na čase Toto kmitání je možno modelovat podle teorie přenosových matic. Schématicky je tento model zobrazen na Obr. 11. Uvažujeme přenosovou matici podélného kmitání tyče s hmotnými přírubami, přenosovou matici tlakových a průtokových pulsací kapaliny v trubici a vazbové podmínky. Ohybové kmitání trubice je zanedbáno. Obr. 11 Schéma trubice s kapalinou a přírubami 14

Porovnáním takto vypočteného vlastního čísla z naměřených hodnot je možno stanovit velikosti rychlosti zvuku a druhé viskozity kapaliny. Dle Obr. 7 je druhá viskozita závislá na frekvenci. Frekvence, při kterých lze touto metodikou stanovit druhou viskozitu, jsou omezeny rozměry trubice. Identifikace je možná pouze z první vlastní frekvence. Na vyšších frekvencích se již výrazně projevují ohybové kmity trubice a c nepřesnosti měření. První vlastní frekvenci lze přibližně odhadnout ze vztahu fr =, kde c je L rychlost zvuku kapaliny v trubici a L délka trubice. Pokud uvažujeme rychlost zvuku 13 m/s a reálnou délku trubice v rozsahu,1- m, lze takto stanovit druhou viskozitu pouze v rozsahu frekvencí 35-65Hz. Výhodou této metodiky je možnost stanovit druhou viskozitu a rychlost zvuku v závislosti na statickém tlaku. 5.3 STANOVENÍ DRUHÉ VISKOZITY Z MĚŘENÝCH VYNUCENÝCH TLAKOVÝCH PULSACÍ Tato metodika je založena na porovnání měřených a vypočtených tlakových pulsací. Optimalizace matematického modelu je prováděna dle kap. 6. V tomto případě optimalizujeme v matematickém modelu rychlost zvuku a druhou viskozitu. Teoreticky je možné stanovit rychlost zvuku a druhou viskozitu ze třech podmínek po délce trubice, pro jednu měřenou frekvenci. Na Obr. 1 je znázorněna fotografie měřicího stendu. Jsou zde označena místa tlakových snímačů, přívod tlakové kapaliny a ultrazvukový generátor tlakových pulsací. Na Obr. 13 jsou znázorněny polohy tlakových snímačů, vnitřní průměr trubice a geometrie celé trubice. Obr. 1 Fotografie měřícího stendu Obr. 13 Schéma trubice Při měření byla trubice dle Obr. 1 a Obr. 13 nejprve zavodněna a odvzdušněna při nízkém přetlaku. Následně byl nastaven požadovaný přetlak od 1 do 1 MPa. Po natlakování byly vyvolány pulsace pomocí ultrazvukového generátoru. Frekvence pulsací vyplynula z regulátoru ultrazvuku, nebylo možné ji nastavovat, frekvence se pohybovaly mezi 19- khz. Vzorkovací frekvence byla 3 khz a doba měření,1 s. Z toho plyne 3 vzorků pro jeden měřený tlak. Pro měření takto vysokých frekvencí je možno použít pouze piezoelektrické tlakové snímače. 15

18 16 14 Tlak (MPa) 1 1 98 Tlak 1 Tlak Tlak 3 96 94 9.5.1.15..5.3.35.4.45.5 Čas (s) Obr. 14 Časový záznam měřených tlaků Na Obr. 14 je znázorněn časový záznam měřených tlaků. Polohy jednotlivých tlakových snímačů na trubici plynou z nákresů na Obr. 1 a Obr. 13. Tvar kmitu tlaku Hodnoty tlaku pro φ=o Hodnoty tlaku pro φ=1 o Hodnoty tlaku pro φ=4 o Obr. 15 Tvar kmitu tlaku a závislost tlaku v jednotlivých časech. Čas je definován pomocí fáze kmitu φ při frekvenci 19351 Hz. Kroužky jsou označeny výsledky měření pro všechny tři tlakové snímače a červená plocha znázorňuje výsledky výpočtu. 16

Vzhledem k rozměrům trubice viz Obr. 13, kde vnitřní průměr byl 1 mm a vnější průměr 46 mm, byla trubice modelována jako tuhá. Z toho plyne, že stanovujeme rychlost zvuku v samotné kapalině bez vlivu trubice a i druhá viskozita byla stanovena bez vlivu tlumení v materiálu trubice. Po stanovení rychlosti zvuku a druhé kinematické viskozity pro všechny měřené soubory, to je pro všechny měřené statické tlaky, je možno znázornit jednotlivé závislosti. Závislost rychlosti zvuku na statickém tlaku viz Obr. 16 a závislost druhé kinematické viskozity na statickém tlaku viz. Obr. 17. 158 Rychlost zvuku c [m/s]. 157 156 155 154 153 15 151 15 149 4 6 8 1 Statický tlak [MPa] Obr. 16 Závislost rychlosti zvuku na statickém tlaku pro budící frekvenci khz 1. 1.8 ξ [m /s].6.4. 4 6 8 1 Statický tlak [MPa] Obr. 17 Závislost druhé viskozity na statickém tlaku pro budící frekvenci khz. 17

5.4 VLIV DRUHÉ VISKOZITY A RYCHLOSTI ZVUKU NA VLASTNÍ FREKVENCI Tento vliv je možno představit na jednoduchém příkladě. Na trubici dle Obr. 18 provedeme výpočet vlastních čísel pro zvolené parametry kapaliny. Obr. 18 Schéma trubice Vstupní data pro výpočet: Délka trubice L 1m Vnitřní průměr D,1m První kinematická viskozita ν 1e-6 m /s Rychlost zvuku v kapalině c 13 m/s Hustota kapaliny ρ 1 kg/m 3 Druhá kinematická viskozita bude stanovena ze vztahu (3) ve tvaru ξ = fr m /s, kde koeficient druhé kinematické viskozity byl ξ H = 1 m /s. Okrajové podmínky: V poloze volíme průtokovou okrajovou podmínku. V poloze L volíme tlakovou okrajovou podmínku. ξ H s 1 = -44.31556 +i35.18683 rad/s f= 33.9145 Hz s = -14.88966 +i6113.6413 rad/s f= 973.16366 Hz s 3 = -4.15 +i1193.6961 rad/s f= 16.3771 Hz Tab. 1 První tři vlastní tvary kmitu absolutní hodnoty tlaku 18

Na Obr. 19 je uvedena závislost vlastního čísla na koeficientu druhé kinematické viskozity ξ H, který stanovuje hodnotu frekvenčně závislé druhé viskozity pro okrajové podmínky průtok tlak. 34. Vl.fr (Hz) 34 33.8 33.6 33.4 Vl.Re Vl.fr -1 - -3-4 -5-6 -7 Vl.Re (rad/s) 33. -8-9 33 4 6 8 1 1 14 16 18-1 ξ H (m.s - ) Obr. 19 Závislost vlastního čísla na hodnotě koeficientu druhé. Z Obr. 19 plyne vlastní frekvence v závislosti na rostoucí druhé viskozitě nepatrně klesá, ale pro reálné hodnoty druhé viskozity je změna vlastní frekvence pouze o,1%, takže pro běžnou technickou praxi je tento pokles zanedbatelně malý. Reálná část vlastního čísla klesá lineárně s druhou viskozitou, z toho plyne významná změna tlumení v závislosti na druhé viskozitě. Na Obr. je uvedena závislost vlastního čísla na rychlosti zvuku v trubici. 4 35 3 Vl.fr -1 - Vl.fr (Hz) 5 15 1 5 Vl.Re -3-4 -5-6 -7 Vl.Re (rad/s) -8 8 9 1 11 1 13 14 15 c (m.s -1 ) Obr. Závislost vlastního čísla na rychlosti zvuku 19

5.5 VLIV DRUHÉ VISKOZITY NA VYNUCENÉ TLAKOVÉ PULSACE Tento vliv bude stanoven na jednoduchém příkladě. Předpokládejme stejnou trubici jako v kapitole 5.4. Na konci trubice v poloze L bude tlakové buzení s amplitudou tlaku 1Pa. Po výpočtu je možno zobrazit frekvenčně amplitudovou charakteristiku v libovolném místě trubice. Na Obr. 1 je zobrazena pro polohu x= a pro tři hodnoty koeficientu druhé viskozity uvedené v legendě grafu v m /s.. 1 Amplituda tlaku pro x= (Pa) 1 1 1 Koeficient druhé viskozity Koeficient druhé viskozity 1 Koeficient druhé viskozity 1.1 1 3 4 5 6 7 8 Frekvence (Hz) Obr. 1 Závislost amplitudy kmitu tlaku na frekvenci pro polohu x=, amplituda je v logaritmickém měřítku. Na obrázku Obr. je znázorněn tvar kmitu při frekvenci 7 Hz, jedná se o tvar kmitu tlaku v blízkosti čtvrté vlastní frekvence, kde dochází k maximálnímu dynamickému zesílení pro tři koeficienty druhé viskozity uvedené v legendě grafu v m /s 35 3 Budící frekvence 7Hz Koeficient druhé viskozity Koeficient druhé viskozity 1 Koeficient druhé viskozity 1 Amplituda tlaku (Pa) 5 15 1 5.1..3.4.5.6.7.8.9 1 Poloha x (m) Obr.

6 ŘEŠENÍ ZPĚTNÉ ÚLOHY V technické praxi se často setkáváme s problematikou optimalizace matematického modelu dle naměřených hodnot tlaku v závislosti na čase. Při výpočtu pomocí přenosových matic se jedná o amplitudy a fáze při měřené frekvenci. I při pečlivém zadávaní parametrů matematického modelu nelze model zadat přesně. Tato optimalizace umožní nastavit vstupní parametry modelu tak, aby podle zvoleného kriteria model popisoval skutečné měřené hodnoty. Nejjednodušším řešením této problematiky je ruční optimalizace modelu dle měření. Toto spočívá v ručním měnění vstupních parametrů modelu tak, aby byla dosažena shoda mezi měřením a výpočtem. Pro ruční optimalizaci je výhodné a pro numerickou optimalizaci nutné vyčíslit odchylku mezi měřením a výpočtem. Je možno minimalizovat sumu čtverců odchylek pro všechny měřené tlaky a frekvence. Základní vztah je možno psát ve tvaru (31). m n j= 1 i= 1 ( p,f ( ) res = (31) Mij p Vij Kde suma přes i představuje výpočet přes všechna místa kde jsme měřili tlak, a kde je možno porovnat měření s výpočtem. Počet těchto míst je n. Suma přes j představuje porovnání přes všechny měřené frekvence, jejichž počet je m. Porovnáváme tlak měřený p M a tlak vypočtený p V, ve stejném místě a při stejné frekvenci. Je nutno si uvědomit, že oba tlaky, vypočtený i měřený, jsou komplexní čísla, většinou znázorňované ve formě amplitudy a fáze. Ve vztahu (31) vystupuje funkce f() a funkce (). Funkce f() lze volit ve tvaru (3). f p = a p (3) ( vij ) j vij Konstanta a j představuje komplexní číslo, vyjadřující zesílení vypočtených hodnot a fázové posunutí mezi měřením a výpočtem. Je funkcí pouze frekvence, pro všechna porovnávaná (měřená) místa, pro jednu frekvenci bude konstantní. Dle typu zadání je možno volit pro tuto hodnotu další omezení dle vztahů (33) nebo (34). a j = 1 (33) i ϕ j a j = e (34) Funkce () ze vztahu (31) zahrnuje čtverec odchylek výpočtu a měření. Tuto funkci je možno volit ve tvaru (35) kde porovnáváme pouze amplitudy tlaku, (36) kde počítáme rozdíl mezi komplexním tlakem měřeným p M a vypočteným p V nebo (37) kde počítáme rozdíl mezi logaritmy tlaku vypočteného a měřeného. ( ) ( ) = p f ( p ) ( p Mij,f ( p Vij ) = p Mij f ( p Vij ) ( p Mij,f ( p Vij ) = p Mij f ( p Vij ) f ( ( ) ( p Vij ) p,f p = ln (35) ( ) ( p f ( p ) * (36) Mij Vij Mij Vij (37) p Mij Postup při optimalizaci modelu vychází z minimalizace rezidua dle vztahu (31). Aby bylo možno toto reziduum počítat, je nutno provést měření na díle. Měřené tlaky pomocí Fourierovy transformace převedeme do frekvenční závislosti, kde získáme amplitudy a fáze pro jednotlivé frekvence a polohy tlakových snímačů. Ve stejných místech a při stejných frekvencích vypočteme tlaky dle matematického modelu. Dosazením měřených a vypočtených tlaků do vztahu (31) s uvažováním vztahu (3) je možno stanovit reziduum. Výpočet konstant a j ve vztahu (3) je možný pomocí regresní analýzy analyticky, pro všechny volby funkce (), dle vztahu (35), (36) nebo (37). Po stanovení konstant a j je možno vyčíslit reziduum dle vztahu (31). Dále je nutno provést minimalizaci tohoto rezidua závislého na vstupních parametrech modelu. Minimalizaci je možno provádět ručně, nebo využít vhodného softwarového zpracovaní. Jedná se o nelineární Mij Vij 1

závislost. Vzhledem k tomu, že výpočet pro jednu variantu trvá řádově 1/1 s, je možno využít genetického algoritmu pro jeho minimalizaci. Reziduum minimalizujeme na několika vybraných vstupních parametrech modelu. Většinou se jedná o rychlost zvuku, druhou viskozitu, odpor na počátku nebo na konci trubice. Obecně je samozřejmě možno vybrat libovolný vstupní parametr matematického modelu. 6.1 PŘIKLAD NA ŘEŠENÍ ZPĚTNÉ ÚLOHY MODELOVÁNÍ KULOVÉHO REZONÁTORU Kulový rezonátor může být použit ve směru průtoku za plunžrovým čerpadlem k tlumení tlakových a průtokových pulsací vyvolaných tímto čerpadlem. Statický tlak v kulovém rezonátoru bývá v řádu desítek MPa. Při použití v aplikacích řezání vodním paprskem i stovek MPa. Jeho návrh vycházel většinou se zkušeností. Zde je uveden postup stanovení parametrů kulového rezonátoru modelovaného pomocí metodiky přenosových matic. Matematický model je možno využít pro praktický návrh kulového rezonátoru. Na obrázku Obr. 3 je schématicky zobrazen měřicí stend pro měření dynamických vlastností kulového rezonátoru. Je zde znázorněn pulsátor, ocelové přívodní potrubí se dvěma tlakovými snímači, kulový rezonátor, vysokotlaká hadice, kde v kovových částech na vstupu do hadice i na výstupu je tlakový snímač. 6.1.1 Matematický model Obr. 3 Na Obr. 4 je znázorněn matematický model měřícího stendu. Obr. 4 V uzlu 1 je zadáno průtokové buzení. V uzlech 1-6 je zadána rovnice kontinuity ve tvaru Q =. Trubice 1 modeluje potrubí od pulsátoru ke kulovému rezonátoru. Trubice a 3 modelují rezonátor. Trubice 4 modeluje vysokotlakou hadici od rezonátoru k pevnému konci. Trubice 5 modeluje potrubí uvnitř rezonátoru k tlakovému snímači p3.

6.1. Porovnání naměřených a vypočtených tlakových pulsací V jednom grafu jsou vykresleny měřené a vypočtené amplitudy a fáze tlaku pro jednotlivé snímače. Pro všechny grafy platí: červeně měření, modře výpočet V prvním grafu je pro všechny polohy tlakových snímačů dle Obr. 3 znázorněna amplituda tlaku jako funkce frekvence, a na druhém je znázorněn fázový posuv mezi tlakem v dané poloze a měřením tlakem na snímači P1. V poloze tlakového snímače P1 za pulsátorem. Pro ostatní měřené tlaky je uveden rozdíl fází tlaku v daném místě a fáze P1. Tedy pro fázi tlaku P1 měřenou i vypočtenou, předpokládáme absolutní shodu. 1 1 AP1 (MPa) 1.1.1 5 1 15 5 3 35 4 45 Fr (Hz) V místě tlakového snímače před kulovým rezonátorem P 1 1 AP (MPa).1.1.1.1 5 1 15 5 3 35 4 45 Fr (Hz) faze P ( o ) 3-3 -6-9 -1-15 -18-1 -4 5 1 15 5 3 35 4 45 Fr (Hz) 3

Na konci vysokotlaké hadice P4 1.1 AP4 (MPa).1.1.1 5 1 15 5 3 35 4 45 Fr (Hz) faze P3 ( o ) 3-3 -6-9 -1-15 -18-1 -4-7 -3-33 -36 5 1 15 5 3 35 4 45 Fr (Hz) 6.1.3 Závěr ke kapitole modelování kulového rezonátoru Na základě zde uvedené metodiky identifikace přenosové matice rezonátoru je možno řešit tlakové a průtokové pulsace v jednorozměrných hydraulických systémech. Přenosová matice je využitelná pro sériově řazený rezonátor do potrubního systému. Uvedenou metodikou se podařilo transformovat trojrozměrný model Helmholtzova rezonátoru na jednorozměrný systém, využitelný v metodě přenosových matic. Matematickým modelem se dá velmi přesně nahradit trojrozměrný model jednorozměrným, pro dané využití. Shoda naměřených a vypočtených hodnot je tak dobrá, že jeho aplikací bude možno spolehlivě stanovit modální a spektrální charakteristiky hydraulického systému s Helmholtzovým rezonátorem. Spolehlivě lze tedy řešit i vynucené a samobuzené kmitání hydraulických systémů s jednorozměrnými prvky. 4

7 MODELOVÁNÍ VYSOKOFREKVENČNÍCH PULSACÍ POMOCÍ METODY PŘENOSOVÝCH MATIC V hydraulických lopatkových strojích (čerpadlo, turbína) bývá pevná a rotující lopatková mříž. Při proudění kapaliny dochází k interakci těchto dvou mříží. Při průchodu rotující lopatky v blízkosti pevné lopatky vzniká tlakový impuls. Opakování těchto impulsů je z pohledu pevného souřadnicového systému dáno lopatkovou frekvencí. Z pohledu rotujícího souřadnicového systému frekvencí, danou frekvencí otáčení násobenou počtem rozváděcích lopat. Rozložení buzení nestacionárním tlakovým a rychlostním polem v závislosti na počtu oběžných a rozváděcích lopat plyne z následujícího vztahu (38) k z r m z s = N (38) kde: z r.. počet oběžných lopat z s počet rozváděcích lopat k,m celé číslo,,1,,3 N celé číslo (může být i záporné) N určuje počet vln po obvodu mezilopatkového prostoru, kladná hodnota N znamená rotaci tlakového buzení ve směru rotace oběžného kola, záporná proti směru rotace oběžného kola. Na Obr. 5 a Obr. 6 je zobrazen tvar rotujícího tlakového pole v MLP pro N=1 a dle popisu. k potom určuje frekvenci tlakových pulsací v pevném souřadnicovém systému (MLP, spirála apod.). Tuto frekvenci lze stanovit ze vztahu (39) f = f n k z r. (39) kde: f n frekvence otáčení rotoru m stanovuje budící frekvenci v rotujícím souřadnicovém systému (buzení oběžného kola, hřídele apod.) Tuto frekvenci lze počítat ze vztahu (4) f = f m (4) n z s Obr. 5 Tvar tlakového pole pro N=1 Obr. 6 Tvar tlakového pole pro N= Ze vztahu (38) a následujících vztahů pro výpočet frekvencí v pevném a rotujícím souřadnicovém systému, lze počítat buzení na nekonečně mnoha frekvencích pro jedny otáčky stroje. Každé takto vypočtené frekvenci bude odpovídat jiné tlakové pole v mezilopatkovém prostoru. Při provozu hydraulického stroje dojde k dynamickému zesílení tlakových pulsací ve spirále, pokud tlakové buzení není ortogonální k adjungovanému vlastnímu vektoru hydraulického systému ve spirále. To znamená, pokud vlastní tvar kmitu ve spirále a buzení z mezilopatkového prostoru mají podobný tvar. Vždy je nutné provést výpočty pro řadu frekvencí, ale problematické bývají frekvence odpovídající nízké hodnotě počtu vln (N) po obvodu mezilopatkového prostoru. Pro kombinaci rozvaděcích a 7 rotujících lopat dostaneme k=3, m=1 a N=1. Z toho plyne buzení v pevném souřadnicovém systému na trojnásobek lopatkové frekvence, neboli 1-tém 5

násobku otáčkové frekvence. Buzení pro rotující systém bude na násobku otáčkové frekvence. Tvar tlakového pole bude odpovídat N=1, a toto pole bude rotovat ve směru rotace oběžného kola. Potvrzení těchto frekvencí je uvedeno na Obr. 7 a Obr. 8, kde je uvedeno měřené spektrum pro přečerpávací vodní elektrárnu Dlouhé Stráně v mezilopatkovém prostoru i na hrdle spirály. Kde je otáčková frekvence 7,14 Hz, bude pro 7 oběžných lopat lopatková frekvence 5 Hz a největší amplitudy jsou zřetelné pro k=3 na frekvenci 15 Hz. 14 Amplituda tlaku v MLP (kpa) 1 1 8 6 4 5 1 15 5 3 Frekvence (Hz) Obr. 7 Amplituda tlaku v MLP pro čerpadlový provoz PVE Dlouhé Stráně Amplituda tlaku na hrdle spirály (kpa) 8 7 6 5 4 3 1 5 1 15 5 3 Frekvence (Hz) Obr. 8 Amplituda tlaku na hrdle spirály pro čerpadlový provoz PVE Dlouhé Stráně Pro výpočet kmitání tlaku a průtoku v závislosti na frekvenci bylo použito metody přenosových matic s vlivem druhé viskozity a tlumení v materiálu trubice. Druhá viskozita představuje frekvenčně závislé tlumení. Pokud chceme popsat tlumení na vyšších frekvencích, je nutno vliv druhé viskozity uvažovat. 7.1 VÝPOČET TLAKOVÝCH PULSACÍ PRO MODEL PVE DLOUHÉ STRÁNĚ Na Obr. 9 je znázorněn model turbíny s přivaděčem a savkou. Uzel 1 modeluje prostor pod oběžným kolem. Uzly -1 modelují vstup kapaliny do oběžného kola při turbínovém průtoku, uzly -41 výstup kapaliny z rozvaděče. Tedy pomocí uzlů -41 je modelován mezilopatkový prostor (dále MLP). Uzly 4-6 modelují výtoky ze spirály do prostoru rozváděcích lopatek. Navazující trubice spirály ve směru turbínového toku kapaliny, na obrázku ve směru hodinových 6

ručiček mají skokově menší průřez. Uzel 64 modeluje okrajovou podmínku spodní nádrže. Je v něm zadán konstantní tlak stejně jako v uzlu 66, který modeluje horní nádrž. Ve všech ostatních uzlech je zadána průtoková okrajová podmínka. Obr. 9 Trubice 1- modelují oběžné kolo. V trubicích 1-4 je modelován tlakový skok získaný z měření na frekvenci 15 Hz ve tvaru excentru po obvodu MLP, toto je dáno kombinací lopatek rozvaděče a oběžného kola -7. Trubice 41-6 modelují prostor mezi lopatkami rozvaděče. Trubice 61-81 modelují spirálu, každá následující má větší plochu odpovídající ploše spirály v daném místě. Trubice 8-11 modelují MLP. Trubice 1-13 modelují savku turbíny a trubice 14-15 modelují přivaděč. V Tab. 1 jsou uvedeny parametry jednotlivých trubic matematického modelu, v prvním sloupci index trubice, ve druhém plocha trubice, ve třetím délka trubice, ve čtvrtém rychlost zvuku, v pátém linearizovaný odpor na vstupu do trubice, v šestém linearizovaný odpor na výstupu z trubice a v sedmém koeficient druhé kinematické viskozity. Stanovení tvarů kmitu tlaku V následujících obrázcích jsou znázorněny tvary kmitu tlaku a tlaky v jednotlivých fázích. Poloha odpovídá obrázku 1, kromě trubic 1 a 13, které jsou z důvodu větší názornosti posunuty doprostřed MLP. Je zde znázorněn tvar tlaku v savce, MLP, spirále a přivaděči. Červenou barvou je vyznačen vypočtený tlak, černými kroužky tlak měřený. 7.1.1 Turbínový provoz na modelu Na následujících obrázcích je uveden tvar kmitu tlaku a tvar tlakového pole pro jednotlivé fáze kmitu dle Φ při turbínovém provozu. Jednotlivé obrázky odpovídají poloze Obr. 9. Na obrázcích je znázorněn vypočtený tlak červenou barvou a kroužky je vyznačen tlak měřený v poloze tlakových snímačů. Jedná se o turbínový provoz při otáčkách modelu 115 min -1 vyhodnocovaná frekvence je na 1-tém násobku otáčkové, to je 4,5 Hz. 7

Tvar kmitu tlaku Tlak pro Φ= o Tlak pro Φ=1 o Tlak pro Φ=4 o 7.1. Čerpadlový provoz na modelu Na následujících obrázcích je uveden tvar kmitu tlaku a tvar tlakového pole pro jednotlivé fáze kmitu, dle Φ při čerpadlovém provozu. Jednotlivé obrázky odpovídají poloze Obr. 9. Na obrázcích je znázorněn vypočtený tlak červenou barvou a kroužky je vyznačen tlak měřený v poloze tlakových snímačů. Jedná se o čerpadlový provoz při otáčkách modelu 13 min -1, vyhodnocovaná frekvence je na 1-tém násobku otáčkové, to je 455 Hz. Tvar kmitu tlaku Tlak pro Φ= o Tlak pro Φ=1 o Tlak pro Φ=4 o 8

8 ZÁVĚR V práci je uveden algoritmus řešení vysokofrekvenčních tlakových a průtokových pulsací v hydraulických strojích. Metodika je založena na metodě přenosových matic pro větvené hydrodynamické systémy. Byl vytvořen vlastní software, na základě kterého je možno řešit jak vlastní, tak vynucené kmitání málo stlačitelných kapalin. Software umožňuje řešit i nelineární problém vlastních hodnot v komplexním prostoru. Originalita uvedené metodiky spočívá v zahrnutí druhé viskozity kapaliny, která se při řešení podobných problémů zanedbává. V habilitační práci se naopak prokazuje její zásadní vliv při řešení vysokofrekvenčních tlakových pulsací v hydraulických strojích. Navržený algoritmus umožňuje řešení vzájemné interakce oběžného kola a rozvaděče hydraulického stroje a předvídání možných rezonančních stavů hydraulického systému. Úspěšnost navrhovaného matematického modelu je prokázána v aplikacích na reálná vodní díla. Význam uvedeného softwaru podporuje i skutečnost, že je využíván jedním z největších výrobců vodních turbín, firmou Voith v Heidenheimu. V práci je dále uvedena metoda pro stanovení druhé viskozity kapalin a plynů na základě experimentu.výsledkem je poznání, že druhá viskozita závisí na frekvenci a představuje v obecnosti objemovou paměť tekutiny. Závislost na frekvenci je přibližně hyperbolická, takže je možno vzhledem k této zkušenosti přenášet tlakové pulsace na ultrazvukových frekvencích na velké vzdálenosti, což má velký praktický význam a je to další důležitý výsledek habilitační práce. Dále jsou v práci uvedeny postupy řešení zpětné úlohy identifikace neznámých parametrů hydraulických systémů, zejména při tvorbě nových matematických modelů hydraulických prvků. Metodika identifikace využívá genetického algoritmu a naměřených datových souborů. Tato problematika je v práci uvedena na několika vzorových příkladech, zejména při identifikaci neznámých parametrů dynamického tlumiče. Všechny výpočty jsou porovnány s naměřenými daty hydraulických prvků, čerpadel a vodních turbín. Některá měření byla provedena i na dílech, například na přečerpávacích vodních elektrárnách Dlouhé Stráně a Dalešice. 9

9 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [1] HABÁN, V. Tlumení tlakových a průtokových pulzací.. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 1. 57s. Disertační práce školitel Prof.Ing.František Pochyl,CSc. [] POCHYLÝ, F.: Dynamika tekutinových systémů. 1. vydání, Brno: VUT, 199, 11 s. ISBN 8-14-139-7 [3] POCHYLÝ, F., HABÁN, V. Vlnová rovnice a druhá viskozita kapalin Technická zpráva -. Brno 1. VUT-EU-QR-34-1 [4] POCHYLÝ, F., HABÁN, V. Nestacionární proudění stlačitelné kapaliny v trubici kruhového průřezu. Technická zpráva - Brno 1.VUT-EU-QR-7-1 [5] BRDIČKA, M., SAMEK, L., SOPKO, B.: Mechanika kontinua.. vydání, nakladatelství AV ČR Praha,, 8 s. ISBN 8--77-5. [6] POCHYLÝ, F, HABÁN,V. : Prognóza únavové životnosti a tlumení tlakových pulsací oběžného kola čerpadlové turbiny Dlouhé Stráně. Technické zpráva VUT FSI EU OFI Brno, prosinec 5, č. VUT-EU1333-QR--5. [7] POCHYLÝ, F., HABÁN, V. : Prodloužení životnosti OK čerpadlových turbin Elektrárna Dlouhé stráně. Technické zpráva VUT FSI EU OFI Brno, květen 6, č. VUT-EU1333-QR-8-6. [8] VARCHOLA, M., KNIŽAT, B., TÓTH, P. Hydraulické riešenie potrubných systemov. 1. vydání, nakladatelství Vienala Košice, Bratislava 4, 65 s. ISBN 8-873-16-8. [9] The Engineering ToolBox 5 [online]. [cit.8-11-13] Dostupné z: <http://www.engineeringtoolbox.com/sound-speed-water-d_598.html>. [1] Release on the IAPWS Industrial Formulation 1997 for the Thermodynamic Properties of Water and Steam IAPWS-IF97. IAPWS Sekretariat, Dooley, B, EPRI, Palo Alto CA (1997) [11] International Association for the Properties of Water and Steam (IAPWS) [online]. last revision September 15, 8 [cit.8-11-13] Dostupné z: <http://www.iapws.org/>. [1] Thermodynamic and Transport Properties of Water and Steam [online]. [cit.8-11-13] Dostupné z: <http://www.cheresources.com/iapwsif97.shtml>. [13] HABÁN, V., POCHYLÝ, F. Vliv druhé viskozity a tlumení v materiálu trubice na vlastní frekvence kapaliny v trubici. Colloquium FLUID DYNAMICS. Sborník přednášek p.48. ISBN 8-85918-77-3. Praha AV. [14] JULIŠ, K., BREPTA, R. Mechanika II.díl Dynamika. 1.vyd. Praha: SNTL, 1987. 688 s. 4--87 [15] TŮMA, J. Zpracování signálů získaných z mechanických systémů užitím FFT. 1.vyd. Praha: Sdělovací technika, 1997. 169 s. ISBN 8-91936-1-7 [16] KOUTNÍK, J.: TLAKOVÉ PULZACE V HYDRAULICKÝCH SYSTÉMECH VODNÍCH TURBIN Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 1997. 41s. Disertační práce školitel Prof.Ing.František Pochyl,CSc. 3

[17] Medlík J.: Modelování tlakových pulsací v pružných potrubích. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 3. xx s. Vedoucí diplomové práce Ing. Vladimír Habán, Ph.D. [18] PANKO, M. Tlumení tlakových pulsací v pružných potrubích. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 8. 6 s. Vedoucí diplomové práce Ing. Vladimír Habán, Ph.D. [19] ROUŠ, J.: Stanovení druhé viskozity kapaliny z modální analýzy trubice s kapalinou. Brno, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 4. 6 s. Vedoucí diplomové práce Ing. Vladimír Habán, Ph.D. ANNOTATION: Habilitation thesis presents modeling of pressure and discharge pulsations using transfer matrix method with influence of the second viscosity. Second viscosity enables modeling of the real magnitude of pulsations damping in hydraulic systems. Identification of second viscosity coefficient is based on measured real part of the eigen value or from logarithmic decrement of the damped pressure pulsations of the transient event. It also possible to use forced pressure mode shape under condition of constant excitation amplitude. Thesis presents several solved cases and comparison of measured and computed frequency and pressure mode shapes. 31