Katedra konstruování strojů Fakulta strojní Části a mechanismy strojů 1 KKS/CMS1 Podklady k přednáškám část A3 Prof. Ing. Stanislav Hosnedl, CSc. a kol. Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
PRO ÚPLNOST Kapitola A K INFORMACI POTŘEBNÉ TEORETICKÉ ZÁKLADY 1. ČÁSTI A MECHANISMY STROJŮ (ČMS) JAKO STROJNÍ ČÁSTI TECHNICKÝCH SYSTÉMŮ (TS) 2. FYZIKÁLNÍ ZÁKLADY PRO STROJNÍ ČÁSTI TS 3. STATICKÉ (USTÁLENÉ) ZATĚŽOVÁNÍ A NAMÁHÁNÍ STROJNÍCH ČÁSTÍ TS - STATICKÁ PEVNOST A DEFORMACE 4. DYNAMICKÉ (PROMĚNLIVÉ) ZATĚŽOVÁNÍ A NAMÁHÁNÍ STROJ. ČÁSTÍ TS - DYNAMICKÁ (ÚNAVOVÁ) PEVNOST S. Hosnedl 2
3 Statické (ustálené) zatěžování a namáhání strojních částí TS - statická pevnost a deformace OBSAH 3.1 Základní konstrukční charakteristiky materiálu 3.2 Pevnostní podmínky při statickém namáhání 3.2.1 Posuzování pevnosti při jednoosé napjatosti 3.2.2 Posuzování pevnosti při víceosé napjatosti 3.3 Vybrané pevnostní hypotézy pro víceosé statické namáhání 3.3.1 Obecná prostorová napjatost materiálu určená normálovými napětími σ x, σ y, σ z a smykovými napětími τ x, τ y, τ z 3.3.2 Prostorová napjatost materiálu určená hlavními napětími σ 1, σ 2, σ 3 3.3.3 Rovinná napjatost určená normálovým napětím σ x a smykovým napětím τ z 3.4 Napětí a posunutí a natočení od deformace při zákl. způsobech statického namáhání 3.4.1 Napětí a posunutí od deformace pro nosník konstantního průřezu při tahu/tlaku 3.4.2 Napětí a posunutí od deformace pro nosník konstantního průřezu při smyku 3.4.3 Napětí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při krutu 3.4.4 Napětí a posunutí a natočení od deformace pro nosník konst. průřezu při ohybu 3.5 Napětí a posunutí a natočení od deformace při zvl. způsobech statického namáhání 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů 3.5.2 Napětí a posunutí od deformace při namáhání na vzpěr S. Hosnedl 4
Podkapitola 3.1 Základní konstrukční charakteristiky materiálu S. Hosnedl 5
3.1 Základní konstrukční charakteristiky materiálu Smluvní diagram materiálu: Obr. 3.1 9 Smluvní diagram materiálu pro tah tlak S. Hosnedl 6
3.1 Základní konstrukční charakteristiky materiálu kde v obr. 3.1-1 : σ normálové ( normálné ) napětí (odst. 3.4) σ Pt = R m smluvní mez pevnosti σ Kt (tj. σ Kt0,2 ) = R e mez kluzu (smluvní mez kluzu) σ E0,005 smluvní mez pevnosti σ u mez úměrnosti ε poměrné prodloužení (odst. 3.4) ε PL plastické (trvalé) poměrné prodloužení ε EL elastické (pružné) poměrné prodloužení τ smykové ( tečné ) napětí (odst. 3.4) γ zkos (analogie e pro tečné napětí) (odst. 3.4) (3.1-1) Orientačně lze pro oceli při konstruování při standardních podmínkách uvažovat: σ kk 0,6 0,8 σ Pt kde: 0,6 pro nižší σ Pt 0,8 pro vyšší σ Pt (3.1-2) 22.02.2015 S. Hosnedl 7
3.1 Základní konstrukční charakteristiky materiálu Hookeův zákon: - pro tah (rovnice pro přímkovou část charakteristiky σ ε v diagramu na obr. 3.1.1): σ = E ε E = ; ε = kde: E modul pružnosti v tahu/tlaku σ ε σ E (3.1-3) - pro smyk (rovnice pro přímkovou část charakteristiky τ γ v modifikovaném diagr. na obr. 3.1.1): τ = G γ G = ; γ = (3.1-4) kde: G modul pružnosti ve smyku Poměr modulů pružnosti v tahu a smyku: E G = 2 1 + μ, kde: μ = ε pppppé Moduly pružnosti pro ocel a šedou litinu orientačně lze uvažovat hodnoty podle tab. 3.1-1 τ γ ε ppppppp Tab. 3.1-1 Orientační hodnoty modulů pružnosti a Poissonovy konstanty pro ocel a šedou litinu τ G E = G 2 1 + μ E G = 2 1 + μ E μ = 2 G 1 Materiál E [MPa] G [MPa] µ [1] Ocel 2,1 * 10 5 0,8 * 10 5 0,3 Šedá litina 1 * 10 5 0,4 * 10 5 0,25 (3.1-5) S. Hosnedl 8
Podkapitola 3.2 Pevnostní podmínky při statickém namáhání S. Hosnedl 9
3.2 Pevnostní podmínky při statickém namáhání 3.2.1 Posuzování pevnosti při jednoosé napjatosti (1) a) pro houževnaté materiály (mají mez kluzu): σ kk = σ s DDDD σ mmm σ DDDD = kkkk kde lze orientačně při standardních podmínkách uvažovat: σ kk s kkkk - bezpečnost k mezi kluzu pro ocel: s k 1,5 2,5 (3.2-1) (3.2-2) b) pro křehké materiály (nemají mez kluzu): σ pp s pppp = σ DDDD σ mmm σ DDDD = σ pp s pppp kde lze orientačně při standardních podmínkách uvažovat: - bezpečnost k mezi pevnosti pro ocel: s k 2,5 3,5 - bezpečnost k mezi pevnosti pro šedou litinu: s k 4,0 5,0 (3.2-3) (3.2-4) S. Hosnedl 10
3.2 Pevnostní podmínky při statickém namáhání 3.2.1 Posuzování pevnosti při jednoosé napjatosti (2) Poznámky: - Všechny uvedené i další základní poznatky prezentované u jednoosé napjatosti pro tah/tlak (σ = σ t,d ) platí analogicky (pokud není vedeno jinak) též pro smyk ( τ s ), krut ( τ k ) i ohyb (σ o ). - Pozor však, v případě namáhání na tlak může dojít ke dvěma zvláštním případům, kdy standardní kriteria napjatosti pro tlak nelze použít: = Ve styku dvou povrchů strojních částí: v tomto případě obecně dochází k otlačení ještě před dosažením dovoleného napětí dotýkajících se materiálů v tlaku, protože není obecně (z řady důvodů) zaručen rovnoměrný přenos tlakového zatížení tak, jako uvnitř materiálu (nehledě na možnost vzájemného tečného pohybu stykových ploch apod.). Tento způsob namáhání je označován jako namáhání na měrné tlaky. = Při zatěžování dlouhých štíhlých strojních částí (např. tyčí, nosníků, ale i štíhlých stěn apod.) - může ještě před dosažením dovoleného napětí v tlaku dojít k jejich vybočení do stran. Tento způsob namáhání je označován jako vzpěr. Oběma uvedeným zvláštním případům zatěžování a namáhání je věnován samostatný Odst. 3.5. S. Hosnedl 11
3.2 Pevnostní podmínky při statickém namáhání 3.2.2 Posuzování pevnosti při víceosé napjatosti Základní princip: Víceosá napjatost (složená v daném místě materiálu z více druhů napětí) se na základě pevnostních hypotéz přepočítává na ekvivalentní napětí v tahu, které je (velmi nevhodně) označované jako redukované napětí σ red, které se dále posuzuje zcela analogicky jako napětí v tahu/tlaku (σ = σ t,d ) při jednoosé napjatosti: a) pro houževnaté materiály (mají mez kluzu): σ kk s kkkk = σ DDDD σ rrrmmm σ DDDD = kde lze orientačně při standardních podmínkách uvažovat (jako u jednoosé napjatosti): - bezpečnost k mezi kluzu pro ocel: s k (1,5 2,5) b) pro křehké materiály (nemají mez kluzu): σ pp σ kk s kkkk = σ s DDDD σ rrrmmm σ DDDD = pppp s pppp kde lze orientačně při standardních podmínkách uvažovat (jako u jednoosé napjatosti): - bezpečnost k mezi pevnosti pro ocel: s k (2,5 3,5) - bezpečnost k mezi pevnosti pro šedou litinu: s k (4,0 5,0) σ pp (3.2-5) (3.2-6) (3.2-7) (3.2-8) S. Hosnedl 12
Podkapitola 3.3 Vybrané pevnostní hypotézy pro víceosé statické namáhání S. Hosnedl 13
3.3 Vybrané pevnostní hypotézy pro víceosé namáhání POTŘEBNÉ 3.3.1 Obecná prostorová napjatost materiálu určená normálovými napětími σ x, σ y, σ z a smykovými napětími τ x, τ y, τ z Obr. 3.3 1 Model obecné prostorové napjatosti materiálu Vztah pro výpočet redukovaného napětí, který je obecně vyjádřen funkcí: σ rrr = f( σ x, σ y, σ z, τ x, τ y, τ z ),která je v tomto případě obecně velmi složitou a prakticky neřešitelnou funkcí. (3.3-1) Tato složitá úplná trojosá napjatost se však v praxi vyskytuje jen velmi zřídka, případně ji lze vhodnou orientací (natočením) souřadného systému převést/vyjádřit jako jeden ze dvou následujících speciálních jednodušších příkladů víceosé napjatosti (odst. 3.3.2 a 3.3.3). V mezním případě lze při orientačních inženýrskotechnických výpočtech uvažovat jen (velikostí) významná napětí a ostatní napětí zanedbat, čímž se napjatost převede na některý z následujících jednodušších případů. S. Hosnedl 14
3.3 Vybrané pevnostní hypotézy pro víceosé namáhání 3.3.2 Prostorová napjatost materiálu určená hlavními napětími σ 1, σ 2, σ 3 (1) Obr. 3.3 2 Model prostorové napjatosti materiálu určené hlavními napětími σ1, σ2, σ3 a) Hypotéza maximálního smykového napětí τ max (Guest, Mohr) : (pro houževnaté materiály) Obr. 3.3 3 Mohrova kružnice pro prostorovou napjatost určenou hlavními napětími σ 1 σ 3 σ 2 Odpovídající pevnostní podmínka: σ DDDD σ rrr = σ 1 σ 2 σ DDDD (3.3-2) S. Hosnedl 15
3.3 Vybrané pevnostní hypotézy pro víceosé namáhání 3.3.2 Prostorová napjatost materiálu určená hlavními napětími σ 1, σ 2, σ 3 (2) b) Hypotéza deformační energie změny tvaru λ F (HMH: Huber - Mises Henky): (pro houževnaté materiály) Odpovídající pevnostní podmínka (bez odvozování σ red ): σ DDDD σ rrr = σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 1 σ 3 σ DDDD (3.3-3) c) Hypotéza celkové deformační energie λ max (Beltrami): (pro houževnaté i křehké materiály) Odpovídající pevnostní podmínka (bez odvozování σ red ): σ DDDD σ rrr = σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 2 μ σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 1 σ 3 σ DDDD (3.3-4) takže např. pro ocel ( μ = 0,3 ): σ DDDD σ rrr = σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 0,6 σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 1 σ 3 σ DDDD (3.3-5) S. Hosnedl 16
3.3 Vybrané pevnostní hypotézy pro víceosé namáhání 3.3.3 Rovinná napjatost určená normálovým napětím σ x a smykovým napětím τ z (1) Obr. 3.3 4 Model rovinné napjatosti materiálu určené normálovým napětím σ x a smykovým napětím τ z a) Hypotéza τ max (Guest) (pro houževnaté materiály): Obr. 3.3 5 Mohrova kružnice pro rovinnou napjatost určenou normálovým napětím σ x Odpovídající pevnostní podmínka (bez odvozování σ red ): a smykovým napětím τ z 2 2 σ DDDD σ rrr = σ (x) + 4 τ (z) σ DDDD (3.3-6) S. Hosnedl 17
3.3 Vybrané pevnostní hypotézy pro víceosé namáhání 3.3.3 Rovinná napjatost určená normálovým napětím σ x a smykovým napětím τ z Pro čistý smyk: dostaneme: σ (x) = 0 σ rrr = 2 τ (z) σ DDDD (3.3-7) z (3.3-7) vyplývá: takže lze uvažovat, že : σ DDDD τ (z) τ 2 DDDD σ DDDD 2 b) Hypotéza λ F (HMH) (pro houževnaté materiály) Odpovídající pevnostní podmínka (bez odvozování σ red ): = 0,5 σ D (3.3-8) 2 2 σ DDDD σ rrr = σ (x) + 3 τ (z) σ DDDD Pro čistý smyk: dostaneme: σ (x) = 0 σ red = 3 τ z σ Dmax z (3.3-10) vyplývá: takže lze uvažovat, že : τ (z) σ DDDD 3 τ DDDD σ D 3 0,6 σ D (3.3-9) (3.3-10) (3.3-11) S. Hosnedl 18
3.3 Vybrané pevnostní hypotézy pro víceosé namáhání 3.3.3 Rovinná napjatost určená normálovým napětím σ x a smykovým napětím τ z c) Hypotéza λ max (Beltrami) (pro houževnaté i křehké materiály): Odpovídající pevnostní podmínka (bez odvozování σ red ): σ DDDD σ rrr = σ 2 (x) + E G τ 2 (z) σ DDDD (3.3-12) Pro čistý smyk: dostaneme: σ (x) = 0 σ rrr = E G τ (z) σ DDDD (3.3-13) z (3.3-13) vyplývá: takže lze uvažovat, že : τ (z) σ DDDD E τ DDDD σ D E = σ D G G 2 1 + μ kdy např. pro ocel (μ = 0,3): G E = σ D 2 1 + μ (3.3-14) τ DDDD σ D 2,6 0,6 σ D σ D τ DDDD 0,6 (3.3-15) S. Hosnedl 19
Podkapitola 3.4 Napětí a posunutí a natočení od deformace při základních způsobech statického namáhání S. Hosnedl 20
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.1 Napětí a posunutí od deformace pro nosník konstantního průřezu při tahu/tlaku (1) Obr. 3.4 1 Nosník konstantního průřezu o ploše S namáhaný na tah od síly F, příp. tlak (při opačném smyslu F ) a) Napětí σ t/d : σ t/d = F S F = σ t/d S ; S = F σ t/d (3.4-1) b) Posunutí od deformace u t/d : σ = E ε viz (odst. 3.1) E = σ ε ; ε = σ E (3.4-2) Hookeův zákon pro tah/tlak (viz odst. 3.1) kde: ε = u t/d L poměrné prodloužení, viz (obr. 3.4-1) (3.4-3) S. Hosnedl 21
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.1 Napětí a posunutí od deformace pro nosník konstantního průřezu při tahu/tlaku (2) po dosazení vzt. (3.4-1) za σ a vzt. (3.4-3) za ε do vzt. (3.4-2): F S = E u t/d L u t/d = Posunutí od deformace u t/d n F L E S u t/d = u t/dd i = 1 c) Tuhost k t/d a poddajnost p t/d : F E S k t/d = = u t/d L p t/d = u t/d F = L E S F = u t/d E S L S = F L u t/d E ; L = u t/d E S F ; E = F L u t/d S pro n úseků konstantního průřezu (pružiny v serii): n = F E L i i = 1 S i (3.4-4) (3.4-5) (3.4-6) (3.4-7) (3.4-8) 5.3.2015 S. Hosnedl 22
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.1 Napětí a posunutí od deformace pro nosník konstantního průřezu při tahu/tlaku (2) c) Tuhost k t/d a poddajnost p t/d : k t/d = F u t/d = E S L F = k t/d u t/d = u t E S d L ; u t/d = F F L = k t/d E S (3.4-7) S = k t/d L E = F L u t/d E ; L = E S k t/d = u t/d E S F p t/d = u t/d F = L E S E = k t/d L S F = u t/d p t/d S = L p t/d E = F L u t/d S = u t/d E S L = F L u t/d E ; u t/d = F p t/d = F L E S ; L = p t/d E S = u t/d E S F (3.4-8) E = L = F L p t/d S u t/d S S. Hosnedl 23
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.2 Napětí a posunutí od deformace pro nosník konstantního průřezu při smyku (1) Obr. 3.4 2 Nosník konstantního průřezu o ploše S namáhaný na smyk od síly F a) Napětí τ s : F = τ mmm = α τ S sss = α F S kde: - pro čistý smyk: α = 1 pro všechny typy průřezů τ mmm S α α = τ mmm S F - pro smyk za ohybu (vlivem sdružených smykových napětí): ; S = α F τ mmm (3.4-9) (3.4-10) α = 4 3 α = 3 2 pro kruhový průřez pro obdélníkový průřez S. Hosnedl 24
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.2 Napětí a posunutí od deformace pro nosník konstantního průřezu při smyku (2) Pro výpočet posunutí od deformace lze obecně vyjádřit ekvivalentní napětí τ: τ s eee = β τ s sss = β F S kde: - pro čistý smyk: β = 1 pro všechny typy průřezů - pro smyk za ohybu (vlivem sdružených smykových napětí): β = 10 pro kruhový průřez 9 F = S = τ s eee S β β F τ s eee β = τ s eee S F (3.4-11) (3.4-12) β = 6 pro obdélníkový průřez 5 b) Posunutí od deformace u s : τ = G γ viz (odst. 3.1) Hookeův zákon pro smyk kde: γ = u s L skos (úhel!), viz (obr. 3.4.-2) L = u s γ G = τ γ ; γ = ; u s = γ L (3.4-13) (3.4-14) S. Hosnedl 25 τ G
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.2 Napětí a posunutí od deformace pro nosník konstantního průřezu při smyku (3) po dosazení vzt. (3.4-11) za τ a vzt. (3.4-14) do vzt. (3.4-13): β F S = G u s L F L u s = β G S F = u s G S β L G = β F L u s S ; L = u s G S β F ; S = β F L u s G (3.4-15) (3.4-16) Posunutí od deformace u s pro n úseků konstantního průřezu (pružiny v serii): u s = u ss n n = β F G L i i = 1 i = 1 S i (3.4-17) 24.02.2015 S. Hosnedl 26
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.2 Napětí a posunutí od deformace pro nosník konstantního průřezu při smyku (3) c) Tuhost k s a poddajnost p s : k s = F u s = G S β L (3.4-18) F = k s u s = u s G S G = k s β L L = S G S β k s β L F β L = u s S = u s G S β F ; u s = F k s = ; S = k s β L ; β = G G S L k s F β L G S F β L = u s G = u s G S L F p s = u s F = β L G S F = u s G = p s β L p s S L = p s G S β = u s G S β L F β L = u s S = u s G S β F ; u s = F p s = ; S = β L p s G ; β = p s G S L = = F β L G S F β L u s G u s G S L F (3.4-19) S. Hosnedl 27
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.3 Napětí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při krutu (1) a) Napětí τ k : Obr. 3.4 3 Nosník konstantního (na obr. kruhového) průřezu zatížený krutem od točivého momentu M k τ k mmm = M k W k kde: průřezový modul pro krut (viz tab. 3.4.-1) W k b) Natočení od deformace φ k : τ = G γ viz (odst. 3.1) M k = W k τ k mmm ; W k = G = τ γ ; γ = M k τ k mmm τ G (3.4-20) (3.4-21) γ L = φ k d 2 viz (obr. 3.4-3) S. Hosnedl 28 (3.4-22)
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.3 Napětí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při krutu (2) po dosazení vzt. (3.4-20) za τ k max a vzt. (3.4-22) do vzt. (3.4-21): M k W k φ k = = G φ k L d 2 M k L G W k d 2 = M k L G I k M k G = = φ k G I k L ; L = φ k G I k M k M k L ; I φ k I k = M k L k φ k G (3.4-23) (3.4-24) kde (pozor, platí jen pro kruhový a mezikruhový průřez, viz poznámky!): I k = W k e = W k d 2 e = d 2 kvadratický moment průřezu pro krut (tab. 3.4 1) vzdálenost krajního vlákna průřezu od neutrální osy Natočení od deformace φ k pro n úseků konstantního průřezu (pružiny v serii): n φ k = φ kk i = 1 = M k G L i I kk c) Torzní tuhost k φ k a poddajnost p φ k : n i = 1 (3.4-25) (3.4-26) 5.3.2015 k φφ = M k φ = G I k 1 φ p φφ = = L = k φ M k L G I k S. Hosnedl (3.4-27) (3.4-28) 29
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.3 Napětí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při krutu (2) c) Torzní tuhost k φ k a poddajnost p φ k : k φφ = M k φ = G I k L (3.4-27) M k = k φφ φ = φ G I k L G = k φφ L = M k L L = I k G I k = k φφ ; φ = M k k φφ φ I k ; I k = k φφ L φ G I k M k G = M k L G I k = M k L φ G p φφ = 1 k φ = φ M k = L G I k (3.4-28) M k = G = φ φ G I = k p φφ L L = M k L p φφ I k φ I k ; I k = ; φ = M k p φφ = M k L L p φφ G = G I k M k L φ G L = p φφ G I k = φ G I k M k S. Hosnedl 30
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.3 Napětí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při krutu (3) Tab. 3.4.- 1: Průřezové charakteristiky I k a W k pro krut pro vybrané průřezy: S. Hosnedl 31
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.4.3 Napětí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při krutu (4) Poznámky: - Průřezové charakteristiky I k a W k lze teoreticky odvodit pouze pro kruhový a mezikruhový průřez. Z publikovaných vztahů pro max. napětí v krutu a pro natočení od deformace nosníku s konstantním čtvercovým a obdélníkovým průřezem v krutu (viz např. [Černoch 1959]) lze však odvodit uvedené ekvivalentní průřezové charakteristiky, které lze s výhodou používat i ve vztazích, které jsou formálně shodné jako výrazy pro kruhový, příp. mezikruhový průřez ve vzt. (3.4-20), (3.4-24), (3.4-25) - Pozor však, vypočtená max. napětí jsou u čtvercového průřezu uprostřed (shodných) stran h a u obdélníkového průřezu uprostřed delších stran (v rozích obou průřezů jsou napětí od krutu nulová!). S. Hosnedl 32
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.4 Napětí a posunutí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při ohybu (1) Poznámka: Neutrální přímka každého průřezu (v místech nulového napětí) je totožná s příslušnou hlavní centrální osou (procházející těžištěm) tohoto průřezu (pokud lze uvažovat jako dlouhý štíhlý nosník). a) Napětí σ o : Obr. 3.4 4 Nosník konstantního (obecně nesymetrického) průřezu zatížený ohybem od ohybového momentu M o σ ommm = M o W oxmmm = W oxmmm M o σ ommm ; M o = σ ommm W oxmmm (3.4-29) kde: W oxmmm = I oo e mmm min. průřezový modul pro ohyb (tab. 3.4.-2) e mmm = e 2 max. vzdálenost krajního vlákna (3.4-30) S. Hosnedl 33
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.4.4 Napětí a posunutí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při ohybu (2) b) Posunutí u o a natočení φ o od deformace: Vztah pro posunutí a natočení od ohybových deformací je pro dlouhé štíhlé nosníky konstantního průřezu vyjádřen diferenciální rovnicí průhybové čáry (procházející u dlouhého štíhlého nosníku těžišti jednotlivých průřezů): 1 ρ = u o z " = M o z E I o M o z = u o z " E I o M o z I o = u o z " E (3.4-31) kde: kvadratický moment průřezu pro ohyb (tab. 3.4 2) Po prvé integraci diferenciální rovnice (3.4-31) se pro daný průběh ohybového momentu získají obecné rovnice pro výpočet natočení φ 0 a po druhé integraci vztahy pro výpočet posuvů u o se dvěma integračními konstantami, které se konkretizují pro dané okrajové podmínky, tj. pro způsob uložení nosníku. Příklady výsledných vztahů pro dva nejobvyklejší případy uložení a zatížení jsou uvedeny v dalším textu. Vztahy pro další běžné případy lze najít v odborných příručkách a publikacích, případně je možné si je odvodit viz (Odd. C, odst. 2.1.4). S. Hosnedl 34
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.4 Napětí a posunutí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při ohybu (3) α) Vetknutý nosník namáhaný ohybem od osamělé sily na volném konci (obr. 3.4 5 ): Obr. 3.4 5 Vetknutý nosník namáhaný ohybem od osamělé sily na volném konci (posunutí od deformací smykem není uvažováno) Posunutí u o od ohybové deformace v místě síly F: F L 3 F = u o = 3 E I E = o Natočení φ o od ohybové deformace v místě síly F: 3 E I o u o L 3 ; I o = F L 3 3 u o I o ; L = F L 3 3 u o E 3 3 E I o u o F (3.4-32) φ o = F L 2 2 E I o F = E = 2 E I o φ o ; I L 2 o = F L 2 ; L = 2 φ o I o F L 2 2 φ o E 2 2 E I o φ o F (3.4-33) S. Hosnedl 35
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.4 Napětí a posunutí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při ohybu (4) β) Nosník na dvou podporách namáhaný ohybem od osamělé sily uprostřed (obr. 3.4 6 ) Obr. 3.4-6 Nosník na dvou podporách namáhaný ohybem od osamělé sily uprostřed (posunutí od deformací smykem není uvažováno) Posunutí u o od ohybové deformace v místě síly F: F L 3 48 E I F = o u o F L ; I L u o = 3 o = 3 48 u o E F L 48 E I E = 3 3 48 E I ; L = o u o o 48 u o I o F Natočení φ o od ohybové deformace v místě síly F: φ 0 = 0 (3.4-34) (3.4-35) Posunutí u o a natočení φ o od deformací pro n úseků konstantního průřezu: Tato úloha nelze řešit pro ohyb obecně postup řešení je proto uveden až v Oddílu C specializovaném na dlouhé štíhlé přenosové části (hřídele, osy, apod.) S. Hosnedl 36
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.4 Napětí a posunutí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při ohybu (5) b) Tuhost k o a poddajnost p o : α) Vetknutý nosník namáhaný ohybem od osamělé sily na volném konci (obr. 3.4 5 ) : F k = = 3 E I o L 3 u o (3.4-36) F = k u o = u o 3 E I o ; u L 3 o = k L3 F L E = = 3 ; I 3 I o u o 3 I o = o L = 3 3 E I o u o F = 3 3 E I o k F = F L 3 k 3 E I o k L3 = F L 3 3 E u o 3 E p = 1 k = u o F = L 3 3 E I o (3.4-37) F = u o p E = L = 3 L 3 3 I o p = u o 3 E I o 3 E I o u o F ; u L 3 o = F p = F L = 3 L ; I u o 3 I o = 3 = o 3 E p = 3 3 E I o k F L 3 3 E I o F L 3 u o 3 E S. Hosnedl 37
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.4 Napětí a posunutí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při ohybu (5) b) Tuhost k o a poddajnost p o : β) Nosník na dvou podporách namáhaný ohybem od osamělé sily uprostřed (obr. 3.4 6 ) : F k = = 48 E I o L 3 u o (3.4-38) F = k u o = u o 48 E I o ; u L 3 o = k L E = 3 F L = 3 ; I 48 I o u o 48 I o = o L = 3 48 E I o u o F = 3 48 E I o k F = F L 3 k 48 E I o k L 3 = F L 3 48 E u o 48 E p = 1 k = u o F = L 3 48 E I o (3.4-39) F = u o p E = L = = u o 48 E I o L 3 48 I o p 3 48 E I o u o F ; u L 3 o = F p = F L = 3 L ; I u o 48 I o = 3 o 48 E p = 3 48 E I o k F L 3 48 E I o F L 3 = u o 48 E S. Hosnedl 38
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.4 Napětí a posunutí a natočení od deformace pro nosník konstantního průřezu při ohybu (6) Tab. 3.4.-2 Průřezové charakteristiky I o a W o pro ohyb pro vybrané průřezy S. Hosnedl 39
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.5 Napětí a posunutí od deformace pro tenkostěnnou nádobu bez den Tenkostěnná nádoba namáhaná vnitřním/vnějším tlakem: σ p F Ød 1 Ød s Ød 2 σ S. Hosnedl 40
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.4.5 Napětí a posunutí od deformace pro tenkostěnnou nádobu bez den Napětí: σ F S = p d 1 l 2 t l = p σ D d 2 d 1 d 1 = p d 1 2 d 2 d1 2 2 σ D t = d 1 ; p d 1 d 2 d 1 t p d 1 2 σ D Posunutí od deformace (zvětšení d s ): d s = l s ooo π = F l s ooo E S π = p d 1 l π d s E 2 t l π = p d 1 d s 2 E t = p d d 1 1 + d 2 2 2 E t = = p d 1 (d 1 +d 2 ) 4 E t = p d 1 (d 1 +d 2 ) d 4 E 2 d 1 2 = p d 1 (d 1 +d 2 ) 2 E (d 2 d 1 ) t = p d 1 d s 2 E d s ; p = 2 E t d s d 1 d s = 2 E (d 2 d 1 ) d s d 1 (d 1 +d 2 ) S. Hosnedl 41
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den Silnostěnná nádoba namáhaná vnitřním tlakem: p 2 = 0 p 2 = 0 p 1 = p Ød s Ød 2 p 2 = 0 p 2 = 0 S. Hosnedl 42
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den Napětí: Vnitřním tlakem p od nalisování vzniká napětí: a) ve stěně nádoby: radiální σ r tečné σ t b) na vnitřním průměru: měrný tlak p Průběh napětí σ r, σ t v nádobě v závislosti na vzdálenosti od osy, tj. na poloměru, je vyjádřen polytropami: σ r = I C II C x 2 (1) a σ t = I C + II C x 2 (2) x ϵ { d 1 2 Integrační konstanta I C je matematicky rovna osovému napětí v tlakové nádobě odpovídající vnějšímu kroužku ( náboji ) (při p 1 = p, p 2 = 0). Protože však skutečné osové napětí I σ 0 = II σ 0 = 0 ("nádoba" nemá dna), integrační konstanty I C a II C s využitím σ 0 vyjádříme: 2, d 2 2 2 } I C = "σo" = p d 1 2 d 2 2 d 1 2 a II C = "σ o ". d 2 2 4 = p. d 1 2 d 2 2 d 1 2. d 2 2 4 S. Hosnedl 43
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den Dosazením za x do (1) a (2) dostaneme: pro x = d 1 : σ 2 r1 = p, σ t1 = 2 "σ 0 " σ r1 = p II C pro x = d 2 : σ 2 r2 = 0, σ t2 = 2 "σ 0 " σ r2 = p ( II C 1) kde: kde: II C = d 2 + d 2 1 d 2 2 d2 ; ( II C > 1 ) x ϵ { d 1 2 1 2, d 2 2 2 } S. Hosnedl 44
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den Průběhy napětí : Poznámka: - Na vnitřním průměru nádoby je větší tečné napětí σ t1 = p. II C než na na jeho vnějším průměru σ t2 = p. ( II C 1) Na vnitřním půměru nádoby je proto v kombinaci s příslušným radiálním (tlak.) napětím σ r1 = p i největší redukované napětí σ redmax = σ red1 ve spoji. S. Hosnedl 45
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den Max. napětí v nádobě na ø d 1 (dvojosá rovinná napjatost) A) dle τ max (GM) σ r1 = - p σ t1 = p. II C σ rrrr = σ 2 1 σ 2 2 = σ tt σ rr = p II C ( p) = p ( II C + 1) σ DD S. Hosnedl 46
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den B) dle λ F (HMH) σ rrrr = σ 2 1 + σ 2 2 + σ 2 3 σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 = σ 2 tt + σ 2 rr σ tt σ rr = p II C 2 + II C + 1 σ DD C) dle λ max (B) σ rrrr = σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 2μ σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 = σ 2 tt + σ 2 rr 2μ σ tt σ rr = p II C 2 + 2μ II C + 1 σ DD S. Hosnedl 47
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den Silnostěnná nádoba namáhaná vnějším tlakem: p 1 = p p 0 = 0 p 0 = 0 Ød 0 Ød 1 p 1 = p S. Hosnedl 48
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den Průběhy napětí (ø d 0 0): σ r1 = p σ t = σ r = p Průběhy napětí (ø d 0 = 0) S. Hosnedl 49
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den Max. napětí v nádobě na ø d 0 0 (dvojosá rovinná napjatost) A) dle τ max (GM) τ τ max σ 2 σ 1 = σ 3 = 0 - σ + σ σ t0 = - p ( I C + 1) I σ r0 = 0 σ rrrr = σ 2 1 σ 2 2 = σ rr σ tt = 0 p I C + 1 = p I C + 1 σ DD S. Hosnedl 50
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den B) dle λ F (HMH) σ rrrr = σ 2 1 + σ 2 2 + σ 2 3 σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 = σ 2 tt + σ 2 rr σ tt σ rr = p I C 2 + I C + 1 σ DD C) dle λ max (B) σ rrrr = σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 2μ σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 = σ 2 t0 + σ 2 r0 2μ σ t0 σ r0 = p II C 2 + 2μ II C + 1 σ DD S. Hosnedl 51
3.4 Napětí a posunutí a natočení od def. při zákl. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.4.6 Napětí a posunutí od deformace pro silnostěnnou nádobu bez den Posunutí od deformace "σ red1 = E. ε"... fiktivní Hookeův zákon jako mnemotechnická pomůcka kde: Poznámky: σ red1 (dle τ max ) = p 1 ( II C + 1) [viz dále: max. redukované napětí v náboji ] ε = d 1 d 1 Vztah je zjednodušen pro I E = II E = E ; I μ = II μ = μ ; d 0 = 0, μ Poissonova konstanta Obecně platí : d 1 = d 1 p ( kde: I C = d 1 2 + d 0 2 I C I µ I E + II C + II µ I E d 1 2 d 0 2 kde: d 0 průměr otvoru v čepu, II C = d 2 ) 2 + d 1 2 d 2 2 d 1 2 Vztah vyjadřuje výslednou deformaci obou větví předepjatého spoje náboje a čepu d 1(PP) = I d 1 (B PP) + II d 1 (A PP) při předpětí p (pp). I C = 1 p ( II C + 1) = E. d 1 d d 1 = d 1 p ( C 1 pro dutý hřídel, tj. d 0 = 0, viz níže II + 1) E Při návrhu nalisovaného spoje: p potř ød 1potř S. Hosnedl 52
Podkapitola 3.5 Napětí a posunutí a natočení při zvláštních způsobech statického namáhání S. Hosnedl 53
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (1) Základní poznatky: Mezi zatíženými stykovými plochami strojních částí obecně vznikají normálová napětí (často též označovaná jako měrné tlaky a smyková ( tečná ) napětí označovaná značkou p pro odlišení od normálových napětí σ a smykových napětí τ uvnitř materiálu (v jeho řešených myšlených řezech). Tato styková napětí sice mají charakter tlakových (normálových) a tečných (smykových) napětí, avšak při nepříznivějším způsobu namáhání na otlačení, příp. skluz, neboť: a) dotyk není ve styku strojních částí/ts dokonalý vlivem: - mikronerovností stykových povrchů - výrobních a montážních odchylek vzájemné polohy stykových ploch - rozdílného zakřivení stykových ploch (proložených stykovými povrchy)vlivem výrobních odchylek - apod. b) někdy při něm navíc dochází i k vzájemnému pohybu/posuvu stykových povrchů: - po odlehčení zatížení - nebo i při plném zatížení To vše má vliv i na nižší hodnoty dovolených měrných tlaků p D, příp. vyšší bezpečnosti s vůči mezi kluzu σ kd, příp. mezi pevnosti σ pd, než pro tlak. Navíc je nutné vždy uvažovat méně kvalitní z dvojice stýkajících se materiálů! U strojních částí TS se vyskytují dva typické případy styku povrchů, odlišující se podle (ne)shodnosti a velikosti křivosti stykových ploch (proložených skutečnými stykovými povrchy). S. Hosnedl 54
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (2) I. Stykové plochy mají shodné křivosti: Optimální inženýrský způsob zjištění napjatosti ve styku povrchů spočívá ve výpočtu fiktivních normálových napětí p t,d,o (kolmých ke styku povrchů) a smykových napětí p τk,s (tečných ke styku povrchů) ( fiktivnost těchto napětí je vyznačena pruhem nad značkou p pro měrný tlak ), která by namáhala stykovou plochu, kdyby byla nahrazena myšleným fiktivním řezem v materiálu shodně zatíženého tělesa vzniklého z obou dotýkajících se částí TS. Další postup záleží na velikosti "fiktivních" napětí p, p τ, jak je popsáno v dalším textu kde: Obr. 3.5-1 Příklady styku strojních částí rotačního průřezu se shodnou (a nulovou, příp. velmi malou) křivostí povrchů kde: a) plný kruhový profil, b) mezikruhový profil, c) plný kulový profil tenzor výsledného fiktivního normálového napětí tenzor výsledného fiktivního smykového napětí Poznámka: - Tenzor je pro napětí analogií vektoru pro síly, má tedy velikost i směr. p p τ S. Hosnedl 55
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (3) Pevnostní podmínky pro styk povrchů: - pro měrné tlakové (normálové) napětí: - pro měrné smykové (tečné) napětí: 1 p τ p f p s ττ(max) f kde: p D(max) (nejvyšší) dovolený (normálový) měrný tlak mezi stýkajícími se povrchy p τd(max) (nejvyšší) dovolený (tečný) smykový měrný tlak mezi stýkajícími se povrchy f součinitel tření ve stykové ploše součinitel bezpečnosti proti prokluzu s f p p D(max) (3.5-1) (3.5-2) Poznámka: - Tak jako při posuzování standardních případů napjatosti, i zde platí, že by měrné tlaky měly být omezeny jak shora, tak zdola, aby příslušné strojní části nebyly předimenzované ani z tohoto hlediska. Pro zjednodušení však není toto zde ani dalším textu již zdůrazňováno. S. Hosnedl 56
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. K INFORMACI 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (4) Posunutí od normálových a tečných deformací ve styku povrchů: - normálové posunutí u ss od stykové deformace a u ss = k ss p [mm] kde: k st a [1] MMM mm normálová styková tuhost exponenciální součinitel pro normálovou stykovou tuhost - tečné (smykové) posunutí u τ ss od stykové deformace: a u τττ = k τ τττ pτ a [mm] k τ u τττ τττ = kde: k τst a τ [1] MMM mm a k ss = u ss p ; p = u ss a k ss ; p p τ = u τττ a τ τ k τττ tečná ( smyková ) styková tuhost exponenciální součinitel pro smykovou (tečnou) tuhost (3.5-3) (3.5-4) S. Hosnedl 57
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (5) Poznámky: - Stykové deformace tudíž mají v závislosti na zatížení (normálovým a smykovým napětím ve styku) nelineární průběh. Kromě toho se liší při prvém a při opakovaném zatížení (příp. zatěžování). - Větší posunutí od deformací jsou zejména při prvém zatížení a menších napětích ve styku. Při opakovaném zatěžování a velkých napětích ve styku je lze linearizovat v závislosti na napětích ve styku tzn., že je můžeme považovat za lineární pružiny. - Uvedené normálové i tečné (smykové) tuhosti styku (stykové tuhosti) i příslušné exponenciální součinitele a (pro prvé a další zatěžování) závisejí zejména na druhu a stavu stýkajících se materiálů, stavu povrchů i podpovrchových vrstev a příp. i na dalších faktorech. Lze je proto zjišťovat prakticky výhradně pouze experimentálně, takže příslušné hodnoty jsou k dispozici prakticky výhradně jen ve speciální odborné literatuře. - U běžných plochých styků uvažovaného typu lze uvažovat pro (maximální) dovolené hodnoty měrných tlaků ( namáhání na otlačení ) pro méně kvalitní z dvojice stýkajících se materiálů: p D p D(max) = p D = p D(max) c ppp c ppp (3.5-5) c ppp c ppp kde součinitele pohybu při zatížení c ppz a rovnoměrnosti zatížení c prz lze orientačně volit podle tab. 3.5.-1. Tab. 3.5.-1: Součinitele měrného tlaku c ppz pro pohyb při zatížení a c prz pro rovnoměrnost zatížení : 1 - bez pohybu c ppz 3 - při pohybu bez zatížení ( po odlehčení ) 5 až 10 - při pohybu se zatížením ( pod zatížením ) 1 - pro staticky určité ploché styky PRO ÚPLNOST c prz 2 - pro styky v drážkovaných spojích 5 - pro styky v závitech S. Hosnedl 58
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (6) - Při dynamickém zatížení styku lze orientačně uvažovat zvýšení statického (středního) zatížení součinitelem c dyn ~ 2x. Toto je přirozenější způsob než fiktivní snižování dovolených hodnot, jak je často v odborné literatuře, a někdy i v normách doporučováno. Nesmí se ovšem jednat o dynamická zatížení vedoucí k únavě (např. k vydrolování ) povrchů, která se musí řešit jinými metodami, protože v těchto případech opravdu ke snižování dovolených hodnot měrných tlaků dochází (podobně jako u standardního namáhání materiálu na únavu)! - Pozor, pokud mají povrchy ve styku shodnou, ale větší křivost (např. válcový čep ve válcovém uložení/otvoru, kulička v kruhové dráze, příp. v kulovém uložení), může již malá změna jednoho z průměrů (i v mezích tolerancí!) způsobit značné rozdíly ve vzájemném tyku (obr. 3.5 2). a) Ideální rozložení d č = d o b) Reálné rozložení pro d č > d o c) Reálné rozložení pro d č < d o Obr. 3.5-2 Charakteristické případy rozložení měrného tlaku p v uložení válcového čepu (příp. kuličky v kulovém lůžku) S. Hosnedl 59
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (7) - Pro přechodná a jim blízká uložení lze orientačně uvažovat rozložení dle sinusovky (obr. 3.5 3): p sss = kde: l stř c NP Obr. 3.5-3 Teoretický předpoklad reálného rozložení měrného tlaku v uložení válcového čepu F d l sss délka (šířka) stykové plochy čepu součinitel nerovnoměrnosti rozložení měrného tlaku, orientačně lze uvažovat: c NP = 1 - při předpokladu rovnoměrného rozložení tlaku c NP = 2 - při předpokladu rozložení tlaku podle sinusovky c NP = 4 π styková plocha p mmm = c NN p sss p sss = F = p sss d l sss ; d = - pro tzv. zaběhané styky/uložení p mmm c NN ; c NN = F p sss l sss ; l sss = p mmm p sss F p sss d (3.5-6) (3.5-7) (3.5-8) S. Hosnedl 60
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (8) Stanovení podmínek pro zachování styku povrchů: A) V celé stykové ploše není žádné smykové napětí, tj. p τ = 0 : a) v celé stykové ploše je tlak, tj. p d 0 (obr. 3.5 4): styk je schopen přenášet takové zatížení bez dalších opatření. styková plocha Obr. 3.5-4 Příklad styku povrchů, kdy je v celé stykové ploše (v příčném směru je předpokládáno shodné rozložení tlaku) b) někde ve stykové ploše je tah, tj. p t > 0 (obr. 3.5 5): styková plocha není schopna přenášet takové zatížení, a je nutné: a) buď zachytit odpovídající záporný měrný tlak reálným (tj. kladným) měrným tlakem na další protiploše, čímž však vznikne statická neurčitost. b) nebo vyvodit takové tlakové předpětí p PP ve stykové ploše (obr. 3.5-5), aby při max. vnějším zatížení (tj. při superpozici s p t,d ) byl i v místě největšího záporného měrného tlaku zaručen min. měrný tlak p min odpovídající požadovanému součiniteli neodlehnutí (někdy nevhodně označovaném jako součinitel těsnosti ) spoje c Ψ (obr. 3.5-5): S. Hosnedl 61
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (9) p mmm = c ψ p t mmm Obr. 3.5-5 Příklad styku, kdy (obr. 3.5-5) p t mmm (min. v části stykové plochy) (3.5-9) Poznámky: p tttt p t mmm + p mmm = p t mmm + c ψ p t mmm = 1 + c ψ p t mmm - p t mmm je max. záporný měrný tlak ve stykové ploše, který musí být zachycen s požadovanou bezpečností předepjatým spojem předepínací elementy - styk ploch.. - p t MMM je MAX. záporný měrný tlak ve stykové ploše, který musí být zachycen (na mezi odlehnutí) předepjatým spojem předepínací elementy - styk ploch (tj. není to největší reálný měrný tlak p max, který v předepjaté stykové ploše při jejím zatížení vznikne). (3.5-10) S. Hosnedl 62
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. PRO ÚPLNOST 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (10) Přesnost výpočtu potřebného tlakového předpětí p PP stykových ploch je závislá na přesnosti uvažovaného modelu předepjaté soustavy: předepínací elementy - styk ploch : - Při zjednodušeném výpočtu se zanedbává tuhost předepínacích elementů (tj. jejich poddajnost se uvažuje jako nulová) (obr. 3.5-6). Předpětí p pp stykové plochy proto musí být rovno absolutní hodnotě (záporného) "tahového měrného tlaku zvětšené o hodnotu odpovídající požadovanému součiniteli neodlehnutí c Ψ, tj. celkem hodnotě v rov. (3.5-10) Obr. 3.5-6 Diagram předepjatého stykového spoje s uvažováním nulové tuhosti předepínacích elementů p pp = p tttt (obr. 3.5-6) Vliv předepínacích elementů se tudíž při uvažování tohoto zjednodušeného modelu na vypočteném předpětí ve stykové ploše neuplatňuje. (3.5-11) S. Hosnedl 63
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. PRO ÚPLNOST 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (11) - Při zpřesněném výpočtu se zahrnuje i tuhost předepínacích elementů (tj. jejich poddajnost se uvažuje jako nenulová). Při odlehčování stykové plochy se proto jejich vliv uplatňuje (obr. 3.5-7). Takto vypočtené měrné tlakové předpětí p pp stykové plochy je proto při shodném "tahovém měrném tlaku a shodném součiniteli neodlehnutí c Ψ, tj. při shodném ve vzt. (3.5-10), nižší než v předchozím případě (c pp < 1): Obr. 3.5-7 Diagram předepjatého stykového spoje s uvažováním (nenulové) tuhosti předepínacích elementů p pp < p tttt (obr. 3.5-7) Vliv předepínacích elementů se tudíž při uvažování tohoto přesnějšího modelu projevuje snížením vypočteného potřebného předpětí ve stykové ploše. Poznámka: - Veličiny ze soustavy předepínacích elementů (síly) se transformují na veličiny v soustavě stykových ploch (měrné tlaky) a naopak prostřednictvím vzájemných silových a deformačních relací: F p např.: F = p s ss pro transformace: F p a u = = pro transformace: k k ss k k ss (3.5-12) S. Hosnedl 64
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. PRO ÚPLNOST 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (12) B) Ve stykové ploše se vyskytuje smykové napětí p τ > 0 : a) Pokud v celé stykové ploše platí: - u nepředepjatých styků ( viz A), a) ): p f p p τ s f p τ s f f ; f p τ s f p - u předepjatých styků ( viz A), b), β) ): p PP f p p τ s f s τ p PP ; f f f potom existující měrný tlak ve spoji postačuje i pro přenos tečných sil. b) Pokud však kdekoli ve stykové ploše: - u nepředepjatých styků ( viz A), a) ): p f < p τ s f ; s f p τ s f p PP ; s f p f p τ p PP f p τ (3.5-13) (3.5-14) (3.5-15) - u předepjatých styků ( viz A), b), β) ): p PP f (3.5-16) < p s τ f je nutné: a) buď zachytit toto měrné smykové napětí" normálovým tlakem na další příčné (stat.neurč.ploše) b) nebo vytvořit (příp. zvýšit) měrné tlakové předpětí na hodnotu tak, aby všude platilo: p PP f (3.5-17) p s τ f S. Hosnedl 65
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (13) Poznámky: - Součinitel smykového tření f mezi stýkajícími se povrchy běžných plochých styků uvažovaného typu lze pro ocel na oceli orientačně volit podle tab. 3.5 1. Tab. 3.5-1 Orientační hodnoty součinitele tření f pro ocel na oceli Podmínky Styk s mazivem Styk bez maziva Tření je zdrojem síly: Tření je zdrojem síly: Požadované překonávané požadované překonávané za pohybu: 0,05 0,10 0,10 0,10 za klidu: 0,10 0,12 0,15* (0,20 **) 0,15 (0,25*) *) u nalisovaných spojů při montáži za studena (při montáži lisováním dojde k ohlazení povrchů) **) u nalisovaných spojů při montáži za tepla (při montáži nasunutím nedojde k ohlazení povrchů) - Součinitel bezpečnosti s f proti prokluzu ve stykové ploše ze orientačně volit: s f = (1,5 2,5) S. Hosnedl 66
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (13) - Součinitel smykového tření f mezi stýkajícími se povrchy uvažovaného typu s mazivem je závislý na vzájemné kluzné rychlosti v a (stykovém) tlaku p dle obr. 3.5-8. Obr. 3.5-8 Stribeckův diagram změna součinitele tření f v závislosti na vzájemné rychlosti pohybu v stýkajících se povrchů a orientačně na (stykovém) tlaku p [Bureš 1988, s. 132], [Bolek 1989, s. 435], - Orientačně lze uvažovat (obr. 3.5-8), že s využ. naměř. údajů podle [Grote et al 2008, s. 303] při p 20 MPa pro: v = 0 m/s : suché tření v = (0 0,0005) m/s : mezní tření v = (0,0005 0,25) m/s : smíšené tření v > 0,25 m/s : kapalinné tření S. Hosnedl 67
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (14) II. Stykové plochy mají minimálně dvě ze svých křivostí rozdílné: a) koule příp. válec na rovině b) koule příp. válec na vnitřní kulové příp. válcové ploše c) koule příp. válec na kouli příp. válci Obr. 3.5-8 Typické případy bodových a čárových styků s rozdílnou křivostí stykových ploch Napětí v blízkosti dotyku mají charakter trojosé prostorové napjatosti a dosahují mimořádně vysokých hodnot. Měrné tlaky p i posunutí od deformace ve styku u st proto nelze řešit pomocí standardních vztahů pevnosti a pružnosti (plocha dotyku je bez uvažování deformací ve styku nulová) a musí se řešit pomocí speciálních - Hertzových vztahů (tab. 3.5.-2). S. Hosnedl 68
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (15) Tab. 3.5-2 Vybrané Hertzovy vztahy pro výpočet stykových tlaků p POTŘEBNÉ F [N], E [MPa], d [mm], l [mm] p [MPa] p [MPa] pro ocel (μ = 0,3) dvě koule kde: koule na rovině Druh dotyku kde pro: p max dva válce kde: válec na rovině 24.02.2015 S. Hosnedl kde pro: 69
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.5.1 Napětí a posunutí od deformace při namáhání styku povrchů (16) Poznámky: - Pokud mají materiály stýkajících se částí rozdílné moduly pružnosti E 1 a E 2, uvažuje se: E 1 E 2 E = E 2 E E 1 E E 1 + E 2 E 1 = ; E E 2 E 2 = E 1 E (3.5-18) - Vztahy pro výpočet příslušných posunutí od deformací lze vyhledat ve speciální odborné literatuře. - Vzhledem k vysokým namáháním mohou být v těchto případech používány pouze do hloubky tvrzené materiály (tvrzené povrchové vrstvy, např. po cementování a zakalení, se drtí a odlupují) o povrchových tvrdostech 62-64 HRC. - Pro styk/dotyk takovýchto materiálů lze orientačně uvažovat dovolené hodnoty měrných tlaků uvedené v tab. 3.5-3. Uvedené hodnoty jsou velmi orientační, údaje se v odborné literatuře obtížně vyhledávají a nalezené hodnoty se někdy i dosti odlišují. Tab. 3.5-3 Orientační hodnoty dovolených Hertzových tlaků pro ocel na oceli Dovolené hodnoty Hertzových tlaků p D(max) [MPa] za klidu (tj. bez vzájemného pohybu): 1800 2000 při valení: 1000 1200 při smýkání: 600 1000 S. Hosnedl 70
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. 3.5.2 Napětí a posunutí od deformace při namáhání na vzpěr (1) Základní poznatky: Při osovém zatížení (procházejícím osou, tj. těžištěm příčných průřezů) štíhlých strojních částí (např. tyčí, nosníků, ale i stěn apod.) na tlak může v kritických případech dojít ještě před dosažením dovoleného napětí v tlaku k jejich vybočení do stran. To vyvolá vznik ohybových momentů osové síly vůči vybočenému těžišti průřezů nosníku (obr. 3.5 9), což dále zvyšuje zatížení a tím i vybočení až do překročení meze kluzu, příp. pevnosti pro ohybové napětí, a k následnému zhroucení příslušné strojní části. Tento způsob namáhání je označován jako vzpěr. Obr. 3.5-9 Vznik ohybových momentů při vybočení nosníku namáhaného na tlak (nosník je v kloubových podporách A a B veden svisle posuvně tak, že nemůže vybočit do stran) S. Hosnedl 71
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.5.2 Napětí a posunutí od deformace při namáhání na vzpěr (2) a) b) c) d) Obr. 3.5-10 Čtyři základní případy vzpěru s vyznačením jejich ekvivalentních délek l o pro řešení vzpěru ( ekvivalentní délky l o jsou násobkem délky l pro základní případ vzpěru na obr. 3.5 9, tj. zde varianty b) ) a) Čistý vzpěr podle Eulera: K tomuto druhu namáhání dochází pro oblast štíhlosti nosníků, kdy platí viz vzt. (3.5-26): Obecná Eulerova rovnice pro výpočet kritické Eulerovy síly, od níž začíná namáhání nosníku čistým vzpěrem a tudíž nebezpečí jeho vybočení: λ m λ F E = π 2 E I mmm l 0 2 2 F E l 0 I mmm = π 2 E 2 F E l 0 E = π 2 I mmm ; l 0 = π 2 E I mmm F E (3.5-20) (3.5-21) S. Hosnedl 72
3 Statické zatížení a namáhání strojních částí TS 3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.5.2 Napětí a posunutí od deformace při namáhání na vzpěr (3) Odpovídající kritické Eulerovo napětí v tlaku, od nějž začíná nebezpečí vybočení nosníku podle vzt. (3.5-21): σ E = F E S = π2 E I mmm 2 = π2 E l o S l2 = π2 σ E E λ 2 E = π 2 o λ 2 π 2 E λ = (3.5-22) I mmm σ E kde: S σ E kritické Eulerovo napětí v tlaku, kdy začíná nebezpečí vybočení nosníku l o ekvivalentní délka nosníku závislá na způsobu jeho uložení (obr. 3.5 10) S plocha průřezu nosníku I min minimální kvadratický moment průřezu nosníku (pokud je osově symetrický I min = I ) λ = l o S I mmm = l o I mmm S 1 štíhlostní poměr nosníku l o = λ I mmm = λ 2 S I mmm S l 2 (3.5-23) Podmínka pro začínající čistý vzpěr, tj. překročení kritického Eulerova napětí v tlaku ještě před dosažením meze úměrnosti : σ E σ u kde: σ u mez úměrnosti, pro níž platí: σ u = σ Kt pro houževnaté materiály (s mezí kluzu) σ u = σ Pt pro ostatní druhy materiálů (bez meze kluzu) 24.01.2015 (3.5-24) (3.5-25) S. Hosnedl 73
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. 3.5.2 Napětí a posunutí od deformace při namáhání na vzpěr (4) Z podmínky pro čistý vzpěr ve vzt. (3.5-24 ) po dosazení do vzt. (3.5-22) tudíž vyplývá: π 2 E λ 2 σ u λ π 2 E σ u λ m = π E σ u POTŘEBNÉ (3.5-26) kde: λ m [1] kritický štíhlostní poměr, od nějž pro λ > λ m viz vzt. (3.5 20) začínají být nosníky zatěžované tlakem namáhány na čistý vzpěr dříve, než napětí v tlaku dosáhne meze úměrnosti σ u viz vzt. (3.5 25) Tab. 3.5-3 Orientační hodnoty λ m pro vybrané druhy materiálů Kritické štíhlostní poměry λ m [1] dřevo 100 šedá litina 80 měkké oceli < 11 420 105 ocel 11 500 90 uhlíková ocel 90-105 niklová ocel 86 ocel 16 430 Cr - Ni 80 pružinová ocel 60 duraluminium 60 Bezpečnost s E proti vybočení nosníku při namáhání na čistý vzpěr podle Eulera: s E = σ E σ E σ E = s E σ ; σ = σ s E kde: σ = F normálové napětí v tlaku při osovém zatížení nosníku (obr. 3.5 10) S (3.5-27) (3.5-28) S. Hosnedl 74
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. K INFORMACI 3.5.2 Napětí a posunutí od deformace při namáhání na vzpěr (5) b) Přechodový vzpěr podle Tetmayera: K tomuto druhu namáhání dochází pro oblast štíhlosti nosníků, kdy platí: 10 < λ < λ m Rovnice pro výpočet kritické Tetmayerovy síly, od níž začíná namáhání nosníku přechodovým vzpěrem, a tudíž jej nelze kontrolovat pouze na čistý tlak: F TTT = S σ TTT σ TTT = Odpovídající kritické Tetmayerovo napětí v tlaku kdy začíná oblast přechodového vzpěru: σ TTT = a b λ + c λ 2 kde: mezní síla pro namáhání nosníku na přechodový vzpěr podle Tetmayera mezní napětí pro namáhání nosníku na vzpěr podle Tetmayera a, b, c součinitele závislé na druhu materiálu (tab 3.5 4) (význam ostatních veličin viz výše) F TTT σ TTT F TTT S S = F TTT σ TTT (3.5-29) (3.5-30) (3.5-31) S. Hosnedl 75
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. K INFORMACI 3.5.2 Napětí a posunutí od deformace při namáhání na vzpěr (6) Tab. 3.5-4 Vztahy pro výpočet mezní síly F TET pro namáhání nosníků na přechodový vzpěr podle Tetmayera pro vybrané druhy materiálů Vztahy pro výpočet mezní síly F TTT MMM pro namáhání nosníků na přechodový vzpěr podle Tetmayera dřevo měkké 29,3-0,194 λ dřevo tvrdé 37,5-0,275 λ oceli do 11 420 310-1,14 λ ocel 11 500 335-0,62 λ slitinové oceli 589-3,82 λ litina 776-12 λ + 0,053 λ 2 Bezpečnost s TET při namáhání na přechodový vzpěr podle Tetmayera: s TTT = σ TTT σ kde : σ TET viz vzt. (3.5-31) a σ viz vzt. (3.5-28) c = 0 (3.5-32) S. Hosnedl 76
3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. POTŘEBNÉ 3.5.2 Napětí a posunutí od deformace při namáhání na vzpěr (7) b) Čistý tlak: K tomuto druhu namáhání dochází pro oblast štíhlosti nosníků, kdy platí: λ < 10 Bezpečnost s při namáhání nosníku na čistý tlak (zde pouze pro úplnost - viz odst. 3.2): - pro houževnaté materiály k mezi kluzu: s k = σ kk σ - křehké materiály k mezi pevnosti: s p = σ pp σ (3.5-33) (3.5-34) (3.5-35) S. Hosnedl 77
3 Statické zatížení a namáhání strojních částí TS 3.5 Napětí a posunutí a natočení od def. při zvlášt. způs. stat. nam. K INFORMACI 3.5.2 Napětí a posunutí od deformace při namáhání na vzpěr (7) Poznámky: - Ve výše uvedeném textu jsou v rámečcích uvedeny základní vztahy pro výpočtovou kontrolu nosníků konstantního průřezu namáhaných osovou silou. Po vypočtení těchto vztahů lze na základě kriterií uvedených u jednotlivých typických případů pro čistý vzpěr, přechodový vzpěr nebo čistý tlak rozhodnout, do které oblasti namáhání v tlaku řešený případ patří a vypočítat příslušnou bezpečnost s. - Pro tyto typické případy lze orientačně uvažovat doporučené bezpečnosti s uvedené v tab 3.5 5. Tab. 3.5-5 Orientační hodnoty bezpečnosti s pro nosníky zatížené osovou silou na tlak Druh materiálu Čistý vzpěr podle Eulera Bezpečnost s [1] Přechodový vzpěr podle Tetmayera Čistý tlak ocel 2,5 3,5 2,5 3,5 - k mezi kluzu: 1,5 2,5 - k mezi pevnosti: 2,5 3,5 šedá litina 5,0 6,0 5,0 6,0 4,0 5,0 S. Hosnedl 78
Děkuji za pozornost Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci projektu č. CZ.1.07/2.2.00/28.0206 Inovace výuky podpořená praxí.