Projektování dopravní obslužnosti Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení Ing. Zdeněk Michl Ústav logistiky a managementu dopravy ČVUT v Praze Fakulta dopravní
Rekapitulace zadání Je dána následující síť se sedmi uzly (viz cvičení Eliminace vazeb z TDL). Metodou optimalizace síťově podmíněných (synchronizačních) čekacích dob sestavte optimální jízdní řád. Pro zjednodušení použijte interval t T = 0 min. 5 Linka1 110 190 2 150 1 Linka2 Linka3 80 150 150 180 Ohodnocení hran: vzdálenosti [km] Uvažujte průměrnou rychlost 100 km/h 3 Přepravní vztahy [celkem osob / den] 1 2 3 5 1 0 2 50 0 3 20 522 0 235 385 100 0 5 5 88 15 55 0 280 255 315 5 185 0 10 15 5 20 8 08 0 2
Optimalizace síťově podmíněných dob čekání Cíl: ohodnocení hran minimálními přepravně technologickými dobami Síťově podmíněná doba čekání t síť,j = t hrana,plán,j - t hrana, min,j Připuštění existence síťově podmíněných dob čekání => určitý systém Mezikrok připuštění existence těchto dob na všech hranách Optimalizace rozsahu a rozvržení těchto dob na síť s ohledem na minimální celkové dopady Mnoho ohraničených proměnných s cílem dosažení jejich nejlepších hodnot Neurčitý systém Optimalizace Cílová funkce 3
Optimalizace síťově podmíněných dob čekání Postup 1. Graf přepravních řetězců 2. Počet kružnic v grafu 3. Soustava rovnic. Ohodnocení hran přepravními vztahy 5. Účelová funkce. Lineární optimalizační problém. Systematická konstrukce jízdního řádu 8. Hodnocení jízdního řádu
Příklad výchozí plán sítě linek 5 Linka1 11 2 90 1 Linka2 Linka3 90 90 Ohodnocení hran: cestovní doby t c [min] 8 108 3 Pevně stanovené konstanty: Min. doba pobytu Min. přestupní doba v uzlu t pob = 3 min t př = min t př = min 5
Graf přepravních řetězců kružnice v grafu 5 1 2 1 2 3 5 2 3 3 1 2 13 11 2 15 5 1 12 10 3 9 3 2 8 2 1 pobyt v uzlu přestupní vazba v uzlu Hrany jsou očíslovány pro odkazování ve výpočtu.
Graf přepravních řetězců kružnice v grafu Stanice 2 Stanice 5 1 2 1 2 3 5 2 3 3 1 Stanice 2 13 11 2 15 Stanice 5 1 12 10 3 9 3 2 8 2 1 Stanice 2 pobyt v uzlu přestupní vazba v uzlu Hrany jsou očíslovány pro odkazování ve výpočtu.
Graf přepravních řetězců kružnice v grafu 5 1 2 1 2 3 5 2 3 3 1 2 13 11 2 15 5 1 12 10 3 9 3 2 8 2 1 Linka1 Linka2 Linka3 pobyt v uzlu přestupní vazba v uzlu Hrany jsou očíslovány pro odkazování ve výpočtu. 8
Graf přepravních řetězců kružnice v grafu 5 1 2 1 2 3 5 2 3 3 1 2 13 11 2 15 5 1 12 10 3 9 3 2 8 2 1 Linka1 Linka2 Linka3 pobyt v uzlu přestupní vazba v uzlu Hrany jsou očíslovány pro odkazování ve výpočtu. 9
Graf přepravních řetězců kružnice v grafu 5 1 2 1 2 3 5 2 3 3 1 2 13 11 2 15 5 1 12 10 3 9 3 2 8 2 1 Linka1 Linka2 Linka3 pobyt v uzlu přestupní vazba v uzlu Hrany jsou očíslovány pro odkazování ve výpočtu. 10
Okrajové podmínky Každé kružnici v grafu přepravních řetězců odpovídá obvodová rovnice P K xi t jízdy, i y j ( thrana,min, j tsíť, j ) 0 (modtt ) i 1 j 1 kde t jízdy, i pravidelná jízdní doba pro orientovaný uzel P počet uzlů grafu přepravních řetězců x i = 1, jestliže je uzel i orientován ve směru kružnice t hrana,min,j K = -1, v ostatních případech minimální časové ohodnocení hrany j počet hran v grafu přepravních řetězců y j = 1, jestliže je hrana j orientována ve směru kružnice t síť,j n t = -1, v ostatních případech síťově podmíněná doba čekání přiřazená hraně j Pravidelné jízdní doby a minimální časová ohodnocení hran vystupují v rámci optimalizace jízdního řádu jako zadané hodnoty (konstanty) součet t c K j 1 y j t síť, j tc 0 (modtt ) n t T T 11
Okrajové podmínky Obvodové rovnice jako omezující podmínky vnitřní kružnice: střední kružnice: vnější kružnice: přičemž pro t c ve vnitřní kružnici platí t c = pro t c ve střední kružnici platí t c = pro t c ve vnější kružnici platí t c = 12
Okrajové podmínky Obvodové rovnice jako omezující podmínky vnitřní kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť13 + t síť1 - t síť15 t síť1 + t c 0 (mod t T ) střední kružnice: vnější kružnice: přičemž pro t c ve vnitřní kružnici platí t c = pro t c ve střední kružnici platí t c = pro t c ve vnější kružnici platí t c = 13
Okrajové podmínky Obvodové rovnice jako omezující podmínky vnitřní kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť13 + t síť1 - t síť15 t síť1 + t c 0 (mod t T ) střední kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 t síť + t síť11 - t síť10 + t síť12 + t síť1 t síť15 - t síť1 + t c 0 (mod t T ) vnější kružnice: přičemž pro t c ve vnitřní kružnici platí t c = pro t c ve střední kružnici platí t c = pro t c ve vnější kružnici platí t c = 1
Okrajové podmínky Obvodové rovnice jako omezující podmínky vnitřní kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť13 + t síť1 - t síť15 t síť1 + t c 0 (mod t T ) střední kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 t síť + t síť11 - t síť10 + t síť12 + t síť1 t síť15 - t síť1 + t c 0 (mod t T ) vnější kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 - t síť - t síť5 + t síť + t síť - t síť8 - t síť9 - t síť10 + t síť12 + t síť1 - t síť15 - t síť1 + t c 0 (mod t T ) přičemž pro t c ve vnitřní kružnici platí t c = pro t c ve střední kružnici platí t c = pro t c ve vnější kružnici platí t c = 15
Okrajové podmínky Obvodové rovnice jako omezující podmínky vnitřní kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť13 + t síť1 - t síť15 t síť1 + t c 0 (mod t T ) střední kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 t síť + t síť11 - t síť10 + t síť12 + t síť1 t síť15 - t síť1 + t c 0 (mod t T ) vnější kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 - t síť - t síť5 + t síť + t síť - t síť8 - t síť9 - t síť10 + t síť12 + t síť1 - t síť15 - t síť1 + t c 0 (mod t T ) přičemž pro t c ve vnitřní kružnici platí t c = t pobyt,min,2 + t jízdy,2-3 + t pobyt,min,3 + t jízdy,3- + t přestup,min, + t jízdy,- + t pobyt,min, t přestup,min, - t jízdy,2- t přestup,min,2 = pro t c ve střední kružnici platí t c = t pobyt,min,2 + t jízdy,2-3 + t pobyt,min,3 + t jízdy,3- + t pobyt,min, - t přestup,min, + t přestup,min, - t pobyt,min, + t přestup,min, + t jízdy,- + t pobyt,min, t přestup,min, - t jízdy,2- t přestup,min,2 = pro t c ve vnější kružnici platí t c = t pobyt,min,2 + t jízdy,2-3 + t pobyt,min,3 + t jízdy,3- + t pobyt,min, - t přestup,min, - t jízdy,- - t pobyt,min, + t přestup,min, + t jízdy,-2 + t přestup,min,2 - t pobyt,min,2 - t jízdy,3-2 - t pobyt,min,3 - t jízdy,-3 - t pobyt,min, + t přestup,min, + t jízdy,- + t pobyt,min, t přestup,min, - t jízdy,2- t přestup,min,2 = 1
Okrajové podmínky Obvodové rovnice jako omezující podmínky vnitřní kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť13 + t síť1 - t síť15 t síť1 + t c 0 (mod t T ) střední kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 t síť + t síť11 - t síť10 + t síť12 + t síť1 t síť15 - t síť1 + t c 0 (mod t T ) vnější kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 - t síť - t síť5 + t síť + t síť - t síť8 - t síť9 - t síť10 + t síť12 + t síť1 - t síť15 - t síť1 + t c 0 (mod t T ) přičemž pro t c ve vnitřní kružnici platí t c = t pobyt,min,2 + t jízdy,2-3 + t pobyt,min,3 + t jízdy,3- + t přestup,min, + t jízdy,- + t pobyt,min, t přestup,min, - t jízdy,2- t přestup,min,2 = 3 + 90 + 3 + 108 + + 90 + 3 11 = 181 pro t c ve střední kružnici platí t c = t pobyt,min,2 + t jízdy,2-3 + t pobyt,min,3 + t jízdy,3- + t pobyt,min, - t přestup,min, + t přestup,min, - t pobyt,min, + t přestup,min, + t jízdy,- + t pobyt,min, t přestup,min, - t jízdy,2- t přestup,min,2 = 3 + 90 + 3 + 108 + 3 + 3 + + 90 + 3 11 = 181 pro t c ve vnější kružnici platí t c = t pobyt,min,2 + t jízdy,2-3 + t pobyt,min,3 + t jízdy,3- + t pobyt,min, - t přestup,min, - t jízdy,- - t pobyt,min, + t přestup,min, + t jízdy,-2 + t přestup,min,2 - t pobyt,min,2 - t jízdy,3-2 - t pobyt,min,3 - t jízdy,-3 - t pobyt,min, + t přestup,min, + t jízdy,- + t pobyt,min, t přestup,min, - t jízdy,2- t přestup,min,2 = 3 + 90 + 3 + 108 + 3-90 3 + + 11 + 3 90 3 108 3 + + 90 + 3 11 = 0 1
Okrajové podmínky Obvodové rovnice jako omezující podmínky vnitřní kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť13 + t síť1 - t síť15 t síť1 + 181 0 (mod 0) střední kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 t síť + t síť11 - t síť10 + t síť12 + t síť1 t síť15 - t síť1 + 181 0 (mod 0) vnější kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 - t síť - t síť5 + t síť + t síť - t síť8 - t síť9 - t síť10 + t síť12 + t síť1 - t síť15 - t síť1 + 0 0 (mod 0) 18
Okrajové podmínky Obvodové rovnice jako omezující podmínky vnitřní kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť13 + t síť1 - t síť15 t síť1 + 181 0 (mod 0) střední kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 t síť + t síť11 - t síť10 + t síť12 + t síť1 t síť15 - t síť1 + 181 0 (mod 0) vnější kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 - t síť - t síť5 + t síť + t síť - t síť8 - t síť9 - t síť10 + t síť12 + t síť1 - t síť15 - t síť1 + 0 0 (mod 0) Po úpravě modulo dělení t síť1 + t síť2 + t síť13 + t síť1 - t síť15 t síť1 + 1 = 0 střední kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 t síť + t síť11 - t síť10 + t síť12 + t síť1 t síť15 - t síť1 + 1 = 0 vnější kružnice: t síť1 + t síť2 + t síť3 - t síť - t síť5 + t síť + t síť - t síť8 - t síť9 - t síť10 + t síť12 + t síť1 - t síť15 - t síť1 = 0 19
Přepravní proudy na hranách I 1 = I 2 = I 3 = I = I 5 = I = I = I 8 = I 9 = I 10 = I 11 = I 12 = I 13 = I 15 = I 1 = 20
Přepravní proudy na hranách I 1 = Q 13 + Q 1 + Q 1 = 20 + 280 + 10 = 80 I 2 = I 3 = I = I 5 = I = I = I 8 = I 9 = I 10 = I 11 = I 12 = I 13 = I 15 = I 1 = 21
Přepravní proudy na hranách I 1 = Q 13 + Q 1 + Q 1 = 20 + 280 + 10 = 80 I 2 = Q 1 + Q 1 + Q 2 + Q 2 = 280 + 10 + 255 + 15 = 831 I 3 = I = I 5 = I = I = I 8 = I 9 = I 10 = I 11 = I 12 = I 13 = I 1 = I 15 = I 1 = 22
Přepravní proudy na hranách I 1 = Q 13 + Q 1 + Q 1 = 20 + 280 + 10 = 80 I 2 = Q 1 + Q 1 + Q 2 + Q 2 = 280 + 10 + 255 + 15 = 831 I 3 = Q 1 + Q 2 + Q 3 = 10 + 15 + 5 = 1 I = I 5 = I = I = I 8 = I 9 = I 10 = I 11 = I 12 = I 13 = I 1 = I 15 = I 1 = 23
Přepravní proudy na hranách I 1 = Q 13 + Q 1 + Q 1 = 20 + 280 + 10 = 80 I 2 = Q 1 + Q 1 + Q 2 + Q 2 = 280 + 10 + 255 + 15 = 831 I 3 = Q 1 + Q 2 + Q 3 = 10 + 15 + 5 = 1 I = Q + Q 5 = 20 + 8 = 32 I 5 = I = I = I 8 = I 9 = I 10 = I 11 = I 12 = I 13 = I 1 = I 15 = I 1 = 2
Přepravní proudy na hranách I 1 = Q 13 + Q 1 + Q 1 = 20 + 280 + 10 = 80 I 2 = Q 1 + Q 1 + Q 2 + Q 2 = 280 + 10 + 255 + 15 = 831 I 3 = Q 1 + Q 2 + Q 3 = 10 + 15 + 5 = 1 I = Q + Q 5 = 20 + 8 = 32 I 5 = Q 5 + Q 5 + Q 53 = 185 + 8 + 15 = I = Q 52 + Q 51 = 88 + 5 = 153 I = Q 1 + Q 51 = 235 + 5 = 300 I 8 = Q 31 + Q 1 + Q 1 = 20 + 280 + 10 = 80 I 9 = Q 1 + Q 1 + Q 2 + Q 2 = 280 + 10 + 255 + 15 = 831 I 10 = Q 3 + Q 2 + Q 1 = 10 + 15 + 5 = 1 I 11 = Q 3 + Q 53 = 100 + 15 = 25 I 12 = Q + Q 5 = 20 + 8 = 32 I 13 = Q 3 + Q 35 = 100 + 15 = 25 I 1 = Q 35 + Q 5 + Q 5 = 15 + 185 + 8 = I 15 = Q 25 + Q 15 = 88 + 5 = 153 I 1 = Q 1 + Q 15 = 235 + 5 = 300 25
Účelová funkce, bazické proměnné minimalizujeme vážený součet síťově podmíněných (synchronizačních) dob váha = počet cestujících na hraně grafu přepravních řetězců (pobyt v uzlu, přestup) 2
Účelová funkce, bazické proměnné minimalizujeme vážený součet síťově podmíněných (synchronizačních) dob váha = počet cestujících na hraně grafu přepravních řetězců (pobyt v uzlu, přestup) I 1 t síť,1 + I 2 t síť,2 + I 3 t síť,3 + I t síť, + I 5 t síť,5 + I t síť, + I t síť, + I 8 t síť,8 + I 9 t síť,9 + + I 10 t síť,10 + I 11 t síť,11 + I 12 t síť,12 + I 13 t síť,13 + I 1 t síť,1 + I 15 t síť,15 + I 1 t síť,1 min 2
Účelová funkce, bazické proměnné minimalizujeme vážený součet síťově podmíněných (synchronizačních) dob váha = počet cestujících na hraně grafu přepravních řetězců (pobyt v uzlu, přestup) I 1 t síť,1 + I 2 t síť,2 + I 3 t síť,3 + I t síť, + I 5 t síť,5 + I t síť, + I t síť, + I 8 t síť,8 + I 9 t síť,9 + + I 10 t síť,10 + I 11 t síť,11 + I 12 t síť,12 + I 13 t síť,13 + I 1 t síť,1 + I 15 t síť,15 + I 1 t síť,1 min 80 t síť,1 + 831 t síť,2 + 1 t síť,3 + 32 t síť, + t síť,5 + 153 t síť, + 300 t síť, + + 80 t síť,8 + 831 t síť,9 + 1 t síť,10 + 25 t síť,11 + 32 t síť,12 + 25 t síť,13 + t síť,1 + 153 t síť,15 + 300 t síť,1 min 28
Účelová funkce, bazické proměnné minimalizujeme vážený součet síťově podmíněných (synchronizačních) dob váha = počet cestujících na hraně grafu přepravních řetězců (pobyt v uzlu, přestup) I 1 t síť,1 + I 2 t síť,2 + I 3 t síť,3 + I t síť, + I 5 t síť,5 + I t síť, + I t síť, + I 8 t síť,8 + I 9 t síť,9 + + I 10 t síť,10 + I 11 t síť,11 + I 12 t síť,12 + I 13 t síť,13 + I 1 t síť,1 + I 15 t síť,15 + I 1 t síť,1 min 80 t síť,1 + 831 t síť,2 + 1 t síť,3 + 32 t síť, + t síť,5 + 153 t síť, + 300 t síť, + + 80 t síť,8 + 831 t síť,9 + 1 t síť,10 + 25 t síť,11 + 32 t síť,12 + 25 t síť,13 + t síť,1 + 153 t síť,15 + 300 t síť,1 min t síť1 + t síť2 + t síť13 + t síť1 - t síť15 t síť1 = -1 t síť1 + t síť2 + t síť3 t síť + t síť11 - t síť10 + t síť12 + t síť1 t síť15 - t síť1 = -1 t síť1 + t síť2 + t síť3 - t síť - t síť5 + t síť + t síť - t síť8 - t síť9 - t síť10 + t síť12 + t síť1 - t síť15 - t síť1 = 0 Smíšená celočíselná lineární optimalizace Kromě okrajových podmínek vyjádřených obvodovými rovnicemi nutno dodržet podmínku nezápornosti synchronizačních dob t síť,j 0 29
Řešení Postup manuálního řešení Vyjádření bazických proměnných z každé obvodové rovnice Nebazické proměnné rovny nule Počáteční řešení (není optimální), kdy bazické proměnné jsou konstanty t c n t T Řešení formou redukované simplexové metody Lze využít libovolného nástroje pro řešení celočíselné úlohy (např. LP Solve) Nenulové síťově podmíněné (synchronizační) doby čekání t síť, t síť,15 30
Systematická konstrukce jízdního řádu Stanovení výchozího časového okamžiku systematické přičítání a odečítání jízdních dob, pobytů, přestupních a síťově podmíněných čekacích dob podle výsledného grafu přepravních řetězců V příkladu výchozí relativní časový okamžik 00 v uzlu 1 s přičtením jízdní doby do uzlu 2 uvažujeme taktový jízdní řád t T = 0 min 5 2 1 11 90 00 90 90 8 108 3 31
Graf přepravních řetězců 5 1 2 1 2 3 5 2 3 3 1 2 13 11 2 15 5 1 12 10 3 9 3 2 8 2 1 pobyt v uzlu přestupní vazba v uzlu Hrany jsou očíslovány pro odkazování ve výpočtu. 32
Systematická konstrukce jízdního řádu Vnitřní kružnice 5 39 33 28 11 3 2 30 90 00 1 30 33 90 90 00 5 0 03 8 108 3 33
Systematická konstrukce jízdního řádu Střední kružnice 5 39 12 33 18 28 11 3 2 30 90 00 1 30 21 33 90 90 5 0 8 00 5 51 5 5 5 108 0 03 3 3
Systematická konstrukce jízdního řádu Vnější kružnice 5 39 12 33 18 28 30 23 21 11 2 1 3 30 90 00 1 18 21 51 33 90 90 00 8 5 5 51 5 0 03 0 5 5 5 8 108 3 35
Hodnocení jízdního řádu Síťově podmíněné doby čekání Vzniklé nutností prodloužení přestupních dob vážená délka síťově podmíněných dob čekání střední délka síťově podmíněných dob čekání 3
Hodnocení jízdního řádu Síťově podmíněné doby čekání Vzniklé nutností prodloužení přestupních dob 5 2 t síť, = 1 min 2 5 t síť,15 = 1 min vážená délka síťově podmíněných dob čekání střední délka síťově podmíněných dob čekání 3
Hodnocení jízdního řádu Síťově podmíněné doby čekání Vzniklé nutností prodloužení přestupních dob 5 2 t síť, = 1 min 2 5 t síť,15 = 1 min vážená délka síťově podmíněných dob čekání I k. t síť,k = I t síť, + I 15 t síť,15 =153. 1 + 153. 1 = 30 osmin/t T střední délka síťově podmíněných dob čekání 38
Hodnocení jízdního řádu Síťově podmíněné doby čekání Vzniklé nutností prodloužení přestupních dob 5 2 t síť, = 1 min 2 5 t síť,15 = 1 min vážená délka síťově podmíněných dob čekání I k. t síť,k = I t síť, + I 15 t síť,15 =153. 1 + 153. 1 = 30 osmin/den střední délka síťově podmíněných dob čekání t síť,1 = ( I k. t síť,k )/Q celk = 30 / 1282 = 0,02 min t síť,2 = ( I k. t síť,k )/P celk = 30 / 2110 = 0,15 min SHODNÉ VÝSLEDKY JAKO V PŘÍPADĚ APLIKACE METODY ELIMINACE VAZEB V JÍZDNÍM ŘÁDU 39
Děkuji za pozornost.