6..4 Kontrake déek Předpokady: 603 Existuje na Zemi jev, na kterém je diatae času opravdu vidět? Př. :Částie mion má poočas rozpadu (doba, za kterou se rozpadne přibižně poovina části) 2,2μs. Vysvěti, jak je možné, že tyto částie doetí k povrhu Země, i když vznikají v horníh vrstváh atmosféry ve výše 5 km a pohybují se směrem k Zemí ryhostí v=0,999. Jakou dráhu částie uetí pode kasiké fyziky? s=v t=0,999 300 000 000 0,000 002 2 m=660m Jak douho by mion muse žít, aby doetě k zemi? t= s v = 5000 0,999 300000000 s=5 5 s 0 Koikrát je potřebný čas deší než poočas rozpadu? 5 5 0 n= 2,2 0 6=22,7=23 Skoro všehny částie by se rozpady před tím než by doetěy k povrhu Země, zbyo by jih jen 0,5 23 =,2 0 7 původního počtu. Nápad: Mion etí vemi vekou ryhostí jeho hodiny jdou o dost pomaeji. Na koik se prodouží jeho poočas rozpadu (z našeho pohedu)? 2,2 0 6 t= t 0 = s=4,9 0 5 s 0,999 - jen o trohu kratší doba než je potřeba k estě na povrh Země téměř poovina mionů doetí. Př. 2: Najdi nedostatek v předhozím vysvětení experimentáního faktu dopadu mionů na povrh Země. Předhozí příkad vysvětuje, jak mohou miony doetět k povrhu Země z hediska vnějšího pozorovatee (Země). Vnější pozorovate vidí miony etět vekou ryhostí vidí, že pro miony pyne pomaeji a ony mají dostatek času, aby doetěy k povrhu Země. Předhozí vysvětení nepatí z hediska mionů. Miony se samy vůči sobě nepohybují (naopak zdá se jim, že se k nim strašivou ryhostí bíží povrh Země) jejih čas pyne normáně nemají dost času, aby doetěy k povrhu Země. Na vysvětení faktu, že miony doetí k povrhu Země z jejih pohedu naše dosavadní vědomosti nestačí musí existovat daší reativistiký efekt, který ještě neznáme a který: buď nějakým způsobem prodouží život mionů i z jejih pohedu, nebo nějakým způsobem zkrátí dráhu, kterou musí miony uetět. Kontrake déek Reativistiké zkráení déek ve směru pohybu předmětu vůči pozorovatei = mion vidí vzdáenost od okraje atmosféry k povrhu Země kratší, protože se vůči této vzdáenosti pohybuje.
Pozorovate na Zemi tuto vzdáenosti vidí normání, protože vůči ní stojí. Vzore: = 0 0 - vzdáenost, kterou naměří pozorovate, který se vůči vzdáenosti nepohybuje (ze všeh nejdeší), - vzdáenost, kterou naměří pozorovate, který se vůči ní pohybuje (vždy menší než 0 ). Vzdáenosti komé na směr pohybu se nezkraují. Dodatek: Odvození vzorů provádím většinou pouze pro zájeme. Probém: Déka tyče je vzdáenost konovýh bodů, jejihž poohu změříme současně vzhedem k soustavě, ve které měříme déku tyče (kvůi reativitě současnosti nemůžeme změřit kone tyče současně pro všehny pozorovatee. Pokud tyč má nějakou déku déku, nejsou změření obou konů soumístné a tedy ani současné udáosti). Déku tyče změříme pomoí světeného paprsku, který vyšeme z jednoho kone k tyče k druhému, kde se odrazí od zrada a vrátí se zpět. Změříme dobu, kterou paprsek stráví na estě a z ní spočteme déku tyče. Tyč o dée 0 je umístěna v soustavě S', která se vůči soustavě S pohybuje ryhostí v. V čase t=t '=0 s spývají počátky soustav souřadni S a S' a v tomto počátku se nahází jeden kone tyče (označíme A), v tomto okamžiku vyšeme světo k zradu umístěném na druhém koni tyče (označíme Z). Situae v tomto okamžiku je na obrázku. v S=S y=y Z měříí paprsek A z=z tyč 0 x=x Sedujeme, jak douho paprsek eží tam a zpět. Let paprsku po trase AZA trvá: v soustavě S' dobu: t 0 = 2 0, t= t 0 v soustavě S dobu: (ze soustavy S vidíme děje v soustavě probíhat pomaeji kvůi diatai času). Hedáme jiné vyjádření času t v soustavě S pomoí déky tyče. Dráha, kterou urazí světo v soustavě S na trase AZ (kone tyče před ním utíká): t =vt t =. v Dráha, kterou urazí světo v soustavě S na trase ZA (kone tyče mu jde vstří): t 2 = vt 2 t 2 =. v Ceková doba etu světa v soustavě S: t=t t 2 = v v v = v v = 2 2.
Pokračujeme v úpraváh: Vztahy t 0 = 2 0 a t= t= 2 čímž z rovnosti odstraníme časy = 0 = 0 2 = v2 2 2 v2 2( 2) = 2 v2. dosadíme do vztahu pro diatai času v2 = 2 ( v2 )2= 2 0. t= t 0, Př. 3: Urči, jak se díky kontraki déek z pohedu mionů zkrátí dráha, kterou musí uetět. Miony vznikají ve výše 5 km a etí k povrhu Země ryhostí v=0,999. = 0,999 0 2 m=670 m 2=5000 Mion vidí, že musí urazit k povrhu Země vzdáenost 670 m (má tedy téměř pooviční pravděpodobnost, že k ní doetí). Př. 4: Na oběžné dráze se potkají tři stejné rakety. Modrá vůči Zemi stojí, zeená se vůči Zemi pohybuje ryhostí 0,5 (ve směru komo od Sune) a oranžová se ve stejném směru pohybuje ryhostí 0,99. Která z odí je nejkratší? Co uvidí pioti jednotivýh raket? Země 0,5 0,99 Sune Déka odě závisí na soustavě, ze které ji měříme není možné tvrdit, že některá z raket je kratší. Pohed piota modré rakety: zeená raketa je trohu kratší než moje (pohybuje se vůči mě ryhostí 0,5 ), oranžová raketa je o hodně kratší než moje (pohybuje se vůči mě ryhostí 0,99 ). Pohed piota zeené rakety: modrá raketa je kratší než moje (pohybuje se vůči mě ryhostí 0,5 ), oranžová raketa je kratší než moje a nepatrně deší než modrá (pohybuje se vůči mě
ryhostí 0,49 ). Pohed piota oranžové rakety: zeená raketa je trohu kratší než moje (pohybuje se vůči mě ryhostí 0,49 ), modrá raketa je o hodně kratší než moje (pohybuje se vůči mě ryhostí 0,99 ). Zdůrazněme ještě jednou: Kontrake déek neznamená, že se etíí raketa zkrátí, protože déka etíí rakety iší v závisosti na ryhosti pozorovatee vůči raketě. Kosmonaut, který uvnitř rakety sedí, ji vidí nezkráenou (nepohybuje se vůči ní). Není tedy třeba, aby na raketu působia nějaká sía, která by ji stačia, protože k žádnému absoutnímu zkráení rakety nedohází. Dohází pouze k tomu, že pozorovateé, kteří se vůči raketě vemi ryhe pohybují, vnímají díky své ryhosti jednu z dimenzí prostoru zkráeně a kvůi tomu se jim zkráeně jeví i raketa. STR předpovídá oproti kasiké mehanie i některé absoutní rozdíy. STR napříkad pro miony v úvodním příkadu vysvětuje, proč dopadnou na Zemi (kasiká fyzika fakt, že dopadnou na Zemi v pozorovanýh počteh, vysvětit neumí). Neděje se tak kvůi tomu, že by doházeo ke změnám v souřadnýh soustaváh pozorovateů (mion se nevidí stárnout pomaeji, Země se nevidí zkráeně), ae kvůi tomu, že dohází ke změnám v souřadnýh soustaváh, které se vůči pozorovatei pohybují (Země vidí etíí mion stárnout pomaeji, mion vidí přibižujíí se Zemi zkráenou). Pedagogiká poznámka: Předhozí poznámka je důežitá a je třeba ji zmínit i v případě, že se žákům předhozí příkad podaří vyřešit a nikdo se řešení nebrání. Př. 5: Na oběžné dráze se potkají tři stejné rakety. Modrá vůči Zemi stojí, zeená se vůči Zemi pohybuje ryhostí 0,99 (ve směru komo ke Suni) a oranžová se vůči Zemi pohybuje ryhostí 0,99 ve směru komo od Sune. Která z odí je nejkratší? Co uvidí pioti jednotivýh raket? Země 0,99 0,99 Sune Déka odě závisí na soustavě, ze které ji měříme není možné tvrdit, že některá z raket je kratší. Pohed piota modré rakety: zeená raketa je kratší než moje (pohybuje se vůči mě ryhostí 0,99 ), oranžová raketa je kratší než moje (pohybuje se vůči mě ryhostí 0,99 ). Pohed piota zeené rakety: modrá raketa je kratší než moje (pohybuje se vůči mě ryhostí 0,99 ), oranžová raketa je ještě kratší než modrá (pohybuje se vůči mě ryheji než 0,99 koik přesně nevím, protože sčítat ryhosti normáně v reativitě nemůžeme). Pohed piota oranžové rakety:
modrá raketa je kratší než moje (pohybuje se vůči mě ryhostí 0,99 ), zeená raketa je ještě kratší než modrá (pohybuje se vůči mě ryheji než 0,99 koik přesně nevím, protože sčítat ryhosti normáně v reativitě nemůžeme). Př. 6: Co by muse Abert Einstein děat při svádění své budouí manžeky, aby díky kontraki déek vypada hubenější než ve skutečnosti? Muse by neustáe běhat ryhostí bízkou ryhosti světa ke své áse a od ní. Př. 7: Déku jedouího vaku můžeme měřit tak, že změříme dobu která upyne než nás mine začátek a kone vaku a pak ji vynásobíme ryhostí vaku. Odvoď pomoí tohoto postupu vztah pro kontraki déek. Déku vaku měříme ve dvou soustaváh: soustava nádraží S, soustava vaku S'. Déka vaku: v soustavě S nádraží = t v (čas t upyne než se na jednom místě, kde měříme, objeví začátek a kone vaku), v soustavě S' nádraží 0 = t ' v (v soustavě S' má vak největší déku 0, čas t ' je čas, který upynu při měření v soustavě S, při pohedu z vaku, tedy deší t '= t než čas t, tedy ). = t v Určíme poměr 0 t ' v = t t Stejný vzore jako u kasikého odvození. = = 0 Shrnutí: Podobně jako pozorujeme v soustaváh, které se vůči nám pohybují produžování času, pozorujeme v těhto soustaváh také zkraování déek.