Tangens a kotangens

Transkript

1 Tngens kotngens Předpokldy: Př. 1: Úhel, pod kterým je možné ze pozorovt vrhol věže ze vzdálenosti 19 m od její pty, yl změřen n 53 od vodorovné roviny. Jk je věž vysoká? h m Z orázku je vidět, že v nkresleném prvoúhlém trojúhelníku známe jednu odvěsnu potřeujeme njít délku druhé nemůžeme použít ni funki ni funki osα (oě předstvují poměr vůči přeponě) potřeujeme zvést dlší funki. Př. 2: Jk y měl ýt definován funke potřená k vypočtení předhozího příkldu? Potřeujeme funki, která ude z hodnoty úhlu určovt hodnotu poměru oou odvěsen. Tkové funke jsou dvě, známější je funke tngens. Funki, která udává poměr protilehlé přilehlé odvěsny v prvoúhlém trojúhelníku s vnitřním úhlem α nzýváme tngens. Píšeme přilehlá odvěsn Druhou funkí, kterou yhom mohli použít je funke kotngens, která udává poměr přilehlé protilehlé odvěsny v prvoúhlém trojúhelníku s vnitřním úhlem α. Píšeme přilehlá odvěsn o =. Protože funke kotngens nám nepřináší žádné nové možnosti při řešení reálnýh prolémů, udeme se dále zývt pouze funkí tngens. Dodtek: Většin svět nepoužívá pro tngens zkrtku, místo ní píše tnα, podoně u kotngens se čstěji setkáte s otα. 1

2 Př. 3: N orázíh jsou zkresleny trojúhelníky s vyznčenými úhly. Zpiš čemu se rovnjí hodnoty funke tngens pro vyznčené úhly. F g e ) C ) E f G ) = = přilehlá odvěsn tgγ = = přilehlá odvěsn F C g ) E f e G f tg β = = přilehlá odvěsn g g tgγ = = přilehlá odvěsn f Př. 4: Nrýsuj vhodný trojúhelník, ze kterého ez klkulčky zjistíš hodnotu tg53. Získnou hodnotu využij n vypočtení úvodního příkldu. = potřeujeme nrýsovt trojúhelník, u kterého přilehlá odvěsn přilehlá odvěsn k úhlu 53 ude mít délku, kterou se sndno dělí (nejlépe tedy m) rýsujeme prvoúhlý trojúhelník s odvěsnou m přilehlým úhlem 53. Protože v tkový trojúhelník je poměrně velký, nrýsujeme v učenii trojúhelník o poloviční velikosti (s přilehlou odvěsnou o déle 5 m). 2

3 6,6 Protilehlá odvěsn má velikost 6,6 m tg53 = = 6,6 0, 2 = 1,32. 5 h Vypočtení úvodního příkldu: tg 53 = h = 19 tg 53 = 25, 08 m 25 m. 19 Věž z úvodního příkldu má výšku 25 m. Př. 5: Doplň v tule první dvě řádky hodnotmi z předhozíh dvou hodin. Njdi způso, jk využít orázek s půlkruhem pro určování hodnot funke. Jk souvisí hodnoty funkí, osα? Doplň poslední řádek tulky. α osα 1 C 60 C 50 C 40 C 30 C 70 C 20 C 80 C Pltí: = pro určení tg změříme úsečky C (protilehlá přilehlá odvěsn odvěsn) C (přilehlá odvěsn) spočteme podíl C C. Ve skutečnosti nemusíme oě úsečky ni měřit, protože jejih délky již máme zpsné v tule jko hodnoty funkí (úsečk C x ) osα (úsečk C x ) pltí osα 3

4 α ,17 0,34 0,50 0,64 0,77 0,87 0,94 0,98 1 osα 1 0,98 0,94 0,87 0,77 0,64 0,50 0,34 0, ,18 0,36 0,58 0,84 1,19 1,73 2,75 5,57 nejde Vzth Př. 6: = dokážeme pomoí strn v trojúhelníku: sin α osα osα = = = Urči pomoí klkulčky s přesností n desetitisíiny. ) tg89 ) tg89,5 ) tg89 59 d) tg Co je n hodnotáh zjímvého? Vysvětli. Při zdávání minut vteřin, uď můžeme využít n klkulče tlčítko ''' (jinde je znčeno DMS) neo můžeme převést vteřiny minuty n stupně ). ) tg89 = 57,2900 ) tg89,5 = 114,5887 ) tg89 59 = 3 437,7467 d) tg = ,7897 Hodnoty funke se pro α, lížíí se 90 velmi ryhle zvětšují. Je to jsné ze vzore = - dělíme čísl skoro rovná 1, velmi mlými čísly, která se líží nule osα získáváme čím dál větší čísl. Př. 7: Urči pomoí klkulčky úhel, pro který pltí: ) = 0,7, ) tg β = 3,2. Podoně jko u předhozíh goniometrikýh funkí využijeme tlčítko ) = 0,7 α = ) tg β = 3,2 β = tn. Př. 8: ez použití klkulčky zjisti, pro který úhel pltí = 1. Ověř pomoí klkulčky. = 1 oě odvěsny musí mít stejnou délku jde o rovnormenný prvoúhlý trojúhelník neprvé úhly jsou shodné mjí velikost 45. Pltí tg 45 = 1. Př. 9: V nčrtnutém trojúhelníku porovnej hodnoty, osα pro vyznčený úhel α. V orázku si oznčíme vrholy strny. 4

5 C Z orázku vidíme: > = > osα Porovnáváme = =, čittelé oou zlomků jsou si rovny, odvěsn je menší než přepon = > U nčrtnutého trojúhelníku pltí: > > osα. Př. : Využij hodnoty funke tngens získné v předhozíh příkldeh k nkreslení grfu funke y =, pro x 0 α < 90. Shrnutí: Funke udává poměr protilehlé přilehlé odvěsny. 5