9.2.1 Náhodné pokusy, možné výsledky, jevy

Transkript

1 9.2.1 Náhodné pokusy, možné výsedky, jevy Předpokady: 9110, 9114 Hodím kámen za normáních okoností jediný výsedek = spadne na zem Hodíme kámen na terč někoik možných výsedků (trefíme desítku, devítku,, střea půjde zcea vede) = náhodný pokus i když se snažíme vždy o stejné provedení (a stejný výsedek- trefení desítky) získáváme různé výsedky, které závisí na náhodě Př. 1: Jmenuj některé daší náhodné pokusy a naopak pokusy, které nemůžeme označit za náhodné. Nejběžnější náhodné pokusy: hod hrací kostkou hod mincí sejmutí karty z baíčku osování sportky měření rychosti moeku vzduchu testování účinnosti nového éku zkoumání výnosů nové podiny pokus o uměé opodnění (vastně i opodnění přirozenou cestou) Pokusy, které nemůžeme považovat za náhodné: zfiaovění fenoftaeinu v zásaditém prostředí zapáení sirky vhozené do ohně zničení auta, které narazí v pné rychosti do stěny pokud začneme i jevy, které se nezdají být náhodné pozorovat podrobněji, zjistíme náhodné maičkost (jak fenoftaein obarvuje zkumavku, kde sirka chytne, jakým směrem odétne kus krytu předního světa ) v minuosti bya náhodnost pokusů brána jako důsedek nedostatečné znaosti počátečních podmínek (kdybychom věděi přesně, jak jsme kostku hodii a jak vypadá podožka, měi bychom být schopni spočítat, jaké číso padne), dnes víme, že ani teoreticky není možné některé pokusy (havně v mikrosvětě) předpovědět jinak než jako náhodné pokusy s pravděpodobnostmi různých výsedků Co potřebujeme na prozkoumání náhodného pokusu: musíme znát všechny možné výsedky, kterými pokus může dopadnout a které spňují dvě podmínky: navzájem se vyučují (nemohou nastat dva naráz) jeden z nich nastane vždy množina všech možných výsedků pokusu (značíme Ω ), jednotivé výsedky (prvky množiny všech možných výsedků) značíme ω Pode náhodného pokusu, který zkoumáme může být Ω konečná (naše případy) i nekonečná. Př. 2: Urči množinu všech možných výsedků při násedujících náhodných pokusech: a) hod kasickou hrací kostkou 1

2 b) hod mincí c) sejmutí karty na začátku hry (vyšší vyhrává, mariášové karty) a) hod kasickou hrací kostkou na kostce může padnout šest různých hodnot Ω = { 1;2;3;4;5;6 } b) hod mincí mince má dvě strany (rub a íc) Ω = { r; } c) sejmutí karty na začátku hry (vyšší vyhrává) Ω = 7;8;9;10, spodek; svršek; krá; eso v baíčku je osm hodnot karet V některých případech má množina toik prvků, že se spojíme s tím, že určíme jejich počet a nepokoušíme se je všechny vypsat. Př. 3: Do třídy 4B2009 chodí 31 studentů. Urči koika způsoby může dopadnout osování: a) šesti studentů, kteří budou postupně maturovat v první maturitní den b) tří studentů, kteří zajistí vázy na květiny pro maturitní komisi a) šesti studentů, kteří budou postupně maturovat v první maturitní den šest studentů vybírám, maturovat budou postupně záeží na tom, kterého vybereme jako prvního a kterého jako druhého, vybíráme ze 31, bez opakování a záeží na pořadí 31! = = V6 ( 31) možností, prvků Ω 25! b) tří studentů, kteří zajistí vázy na květiny pro maturitní komisi tři studenti musí zajistit vázy, nezáeží na tom, kterého vybereme jako prvního vybíráme ze 31 bez opakování, nezáeží na pořadí sestavujeme tříčenné kombinace bez opakování 31 31! K3 ( 31) = = možností, prvků Ω 3 28! 3! Tak už je jasné, že budeme kombinatoriku docea často potřebovat. Pedagogická poznámka: Z pedagogického hediska není sovní zadání předchozího příkadu nejvhodnější. Jakmie se objevio sovo maturita, propada třída panice a začay se ozývat vzdechy: Radši o tom ani nemuv! V některých případech můžeme množinu všech možných výsedků sestavovat více způsoby: Př. 4: Sestav množinu všech možných výsedků náhodného pokusu hod třemi stejnými mincemi. první přístup: mince jsou stejné a nerozišujeme je Ω má čtyři prvky: Ω = 3 r ; 2 r,1 ; 1 r;2 ; 3 {( ) ( ) ( ) ( )} druhý přístup: všímáme si, na které z mincí, co pado rozišujeme mince mezi sebou Ω = r, r, r ; r, r, ; r,, r ;, r, r ; r,, ;, r, ;,, r ;,, Ω má osm prvků: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

3 Ačkoiv se zdá, že první přístup je bižší skutečnosti (pokud mince hodíme najednou budeme je těžko rozišovat) a je jednodušší (množina Ω má méně prvků), v počtu pravděpodobnosti je daeko výhodnější druhý postup, protože všechny možnosti jsou v něm rovnocenné ( stejně pravděpodobné ) a v takovém případě jsou všechny úvahy snazší (je zřejmé, že 2 r,1 ; 1 r;2 pravděpodobnější než možnosti zbývající v prvním přístupu jsou možnosti ( ) ( ) protože mohou nastat třemi způsoby. Zásada: Pokud to bude jen trochu možné, budeme množinu všech možných výsedků sestavovat tak, aby všechny výsedky v této množině byy rovnocenné. Vrátíme se k našemu pokusu se třemi mincemi. Množina všech možných výsedků má osm Ω = r, r, r ; r, r, ; r,, r ;, r, r ; r,, ;, r, ;,, r ;,,. Zjišťovat zda prvků: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nastaa pouze možnost ( r,, ) není příiš zajímavé. Zajímá nás napříkad zda na všech mincích pado to samé takový výsedek nemáme, ae máme dva výsedky, které tuto podmínku spňují, pokud je dáme dohromady vytvoří podmnožinu množiny Ω, které říkáme jev. Jezy většinou značíme vekými písmeny: A = r, r, r ;,, - jev A, že všech mincích pado to samé {( ) ( )} Př. 5: Urči výpisem násedující jevy, které mohou nastat při hodu třemi mincemi: b) jev B, při hodu pad na aespoň jedné minci rub a aespoň na jedné íc c) jev C, při hodu pad aespoň dvakrát íc d) jev D, při hodu pad jenom íc b) jev B, při hodu pad na aespoň jedné kostce rub a aespoň na jedné íc B = r, r, ; r,, r ;, r, r ; r,, ;, r, ;,, r {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} c) jev C, při hodu pad aespoň dvakrát íc C = r,, ;, r, ;,, r ;,, {( ) ( ) ( ) ( )} d) jev D, při hodu pad jenom íc D =,, {( )} Ceá obast jevů má svoji terminoogii: E = = nemožný jev (napříkad: padnou čtyři íce, jev je jednom jeden, ae popsat ho můžeme mnoha způsoby) F = Ω = jistý jev (napříkad: padne kombinace íců a rubů ),, r B (obecně ω B ), výsedek ω je příznivý jevu B ( ) D C = jev D je podjevem jevu C jev A B je průnikem jevů A a B a nastává pokud nastávají najednou jevy A a B jev A B je sjednocením jevů A a B a nastává pokud nastává aespoň jeden z jevů A a B Je-i A B = = jevy A a B se navzájem vyučují A = jev opačný k jevu A (nastává právě tehdy, když jev A nenastává) 3

4 Pedagogická poznámka: Stihnout oba zbývající příkady je obtížné, ae mysím, že to není veký probém. Př. 6: Pro předchozí příkad hodu třemi mincemi najdi: a) jev, který je podjevem jevu C b) jev, který se vyučuje s jevem B c) jev opačný k jevu B d) jev, který je průnikem jevů B a C e) jev, který je sjednocením jevů A a C a) jev, který je podjevem jevu C podjevem jevu C je napříkad jev D (pady jenom íce), E = r,, ;, r, ;,, r - pady dva íce a jeden rub jiný daší podjev ( ) ( ) ( ) b) jev, který se vyučuje s jevem B A r, r, r ;,, s jevem B se vyučuje jev = ( ) ( ), nebo jev D = (,, ) c) jev opačný k jevu B opačným jevem k jevu B je jev A ( r, r, r) ;(,, ) výsedek ( r, r, r ) d) jev, který je průnikem jevů B a C patí: B C = E = (jev D opačný není, protože neobsahuje e) jev, který je sjednocením jevů A a C F = r, r, r ; r,, ;, r, ;,, r ;,, - nepad právě sjednocením jevů A a C je jev ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jeden íc Př. 7: Osudí obsahuje čtyři barevné koue: bíou, fiaovou, zeenou, a modrou. Při pokusu náhodně najednou vytáhneme z osudí dvě koue. a) sestav množinu Ω (množinu všech možných výsedků pokusu) b) Najdi výsedky příznivé jevu M (tažena modrá koue) a B (tažena bíá koue) c) Urči jevy M B a M B. U všech jevů urči počet příznivých výsedků. a) sestav množinu Ω (množinu všech možných výsedků pokusu) všechny možné dvojice ze čtyř možností, nezáeží na uspořádání Ω = b, f ; b, z ; b, m ; f, z ; f, m ; z, m (všechny výsedky jsou rovnocenné), 6 prvků {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} b) Najdi výsedky příznivé jevu M (tažena modrá koue) a B (tažena bíá koue) M = b, m ; f, m ; z, m - 3 prvky {( ) ( ) ( )} (, );(, );(, ) B = b f b z b m - 3 prvky c) Urči jevy M B a M B. M B = b, f ; b, z ; b, m ; f, m ; z, m - 5 prvků {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} (, ) M B = b m 4

5 Shrnutí: Množinu všech možných výsedků se snažíme sestavit tak, aby všechny její prvky byy rovnocenné. 5