Pružnost, pevnost, plasticita

Pružnost, pevnost, plasticita Pracovní verze výukového skripta. února 018 c Milan Jirásek, Vít Šmilauer, Jan Zeman České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební Katedra mechaniky Thákurova 7 166 9 Praha 6

Kapitola 6 Pružnoplastický prut 6.1 Pracovní diagramy pro jednoosé namáhání Komentář: Začátek je převzat ze skripta PPMA, je potřeba sladit odkazy a překreslit obrázky. Také doladit značení M pl apod., nebo 0 a f Y. Na obr. 6. je ukázka pracovních diagramů pro jednoosé namáhání několika skupin materiálů. Všimněte si, že v jednotlivých grafech jsou použita velmi rozdílná měřítka. Na obr. 6.a jsou výsledky jednoosých tahových zkoušek pro různé druhy oceli a některé další kovy. Relativní protažení vynášená na vodorovné ose nabývají hodnot až do 0,5, jde tedy o skutečně velké deformace. Proto jsou počáteční větve všech pracovních diagramů téměř svislé. Ve skutečnosti i v počátečním stadiu zatěžování se vzorky deformují, ale pouze pružně. Hodnoty pružné deformace jsou maximálně několik promile a v daném měřítku nejsou vůbec patrné. Tím spíš vynikne rozdíl mezi počáteční pružnou odezvou a pozdějším pružnoplastickým chováním, při kterém vznikají skutečně velké plastické deformace. Dříve či později však ve všech případech dojde k porušení vzorku. Materiály mající schopnost se výrazně deformovat a přitom stále přenášet napětí se nazývají tažné, v opačném případě říkáme, že jsou křehké. Pevností rozumíme největší napětí, které je materiál schopen při daném typu namáhání např. tahem, tlakem, nebo smykem) přenést. Z grafů na obr. 6.ab je mimo jiné vidět, že v rámci určité skupiny příbuzných materiálů mají vyšší tažnost obvykle materiály s nižší pevností, i když se samozřejmě najdou výjimky. Na obr. 6.b jsou výsledky jednoosých tahových zkoušek pro různé typy polymerů. Relativní protažení zde také nabývají vysokých hodnot až do 0,, ale protože jsou tyto materiály mnohem poddajnější než kovy mají nižší modul pružnosti), jsou počáteční pružné části pracovních diagramů jasně patrné. Pro kovy i polymery je velmi zřetelně oddělena počáteční pružná odezva od pozdější pružnoplastické, během které deformace výrazně narůstají, zatímco napětí roste jen zvolna, případně zůstává téměř konstantní a před porušením v některých případech mírně klesá. Velmi odlišné je chování betonu, znázorněné pomocí výsledků jednoosé tahové a tlakové zkoušky na obr. 6.cd. V tahu je odezva lineárně pružná až téměř po vrchol pracovního diagramu a následuje zprvu velmi prudký a později pozvolnější pokles napětí za vzrůstající deformace. V tlaku jsou odchylky od linearity ve vzestupné části pracovního diagramu výraznější a přechod do sestupné části plynulejší, nicméně i zde je pokles napětí po vyčerpání pevnosti zřetelný. Za povšimnutí stojí i řádový rozdíl mezi tahovou a tlakovou pevností. V porovnání s kovy a polymery je beton pochopitelně mnohem křehčí a hodnoty relativního protažení se pohybují v řádu tisícin. Komentář: Tady vhodně okomentovat pracovní diagram a zjednodušit 115

116 KAPITOLA 6. PRUŽNOPLASTICKÝ PRUT 700 700 Tahové napětí [MPa] 600 500 400 300 00 100 Tahové napětí [MPa] 600 500 400 300 00 100 0 0 5 10 15 0 5 30 35 Relativní deformace ε [ 10 3 ] 0 0 5 10 15 0 5 30 35 Relativní deformace ε [ 10 3 ] a) b) Obrázek 6.1: Pracovní diagram pro betonářskou ocel B500B s mezí kluzu 500 MPa a). Idealizace pomocí pružno-plastického diagramu b). [MPa] 1,0 epoxid vinylester polyester polyamid a) 0,5 polyetylen polypropylen polystyren 0,0 0,0 0,05 0,10 0,15 0,0 ε[1] b) [MPa] 4 3 ε[0,001] 9 8 7 6 5 4 3 1 0 0 10 0 30 1 0 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 ε[0,001] [MPa] c) d) 40 Obrázek 6.: Pracovní diagramy pro jednosou napjatost: a) kovy, b) polymery, c) beton v tahu, d) beton v tlaku. řešení následujícího příkladu. PŘÍKLAD 6.1 Pro ideálně pružnoplastický model charakterizovaný modulem pružnosti E = 00 GPa a mezí kluzu 0 = 00 MPa určíme vývoj napětí odpovídající předepsanému vývoji deformace podle obr. 6.4a. V první fázi daného zatěžovacího programu se ideálně pružnoplastický model chová jako pružina s modulem pružnosti E. Dokud totiž je napětí přenášené ideálně plas-

6.1. PRACOVNÍ DIAGRAMY PRO JEDNOOSÉ NAMÁHÁNÍ 117 0 1 E ε 0 ε Obrázek 6.3: Pracovní diagram pro ideálně pružnoplastický materiál. a) b) c) d) Obrázek 6.4: a) Předepsaný vývoj deformace, b) odpovídající vývoj plastické deformace, c) odpovídající vývoj napětí, d) odpovídající pracovní diagram ideálně pružnoplastického modelu. tickým článkem menší než mez kluzu, zůstává tento článek neaktivní a celý model se chová jako lineárně pružný. Jinými slovy, platí ε p = 0, ε e = ε a = Eε e = Eε. Mezní pružná deformace, která omezuje oblast lineárního chování modelu, je určena poměrem meze kluzu a modulu pružnosti, který budeme v dalším textu označovat jako ε 0 = 0 E = 00 MPa 00 GPa = 10 3 6.1) V počátečním intervalu [0,5] s se tedy model chová jako lineárně pružný, hodnota de-

118 KAPITOLA 6. PRUŽNOPLASTICKÝ PRUT formace v pružném článku ε e je rovna celkové deformaci ε a plastická deformace ε p zůstává nulová. V čase t = 5 s je celkové napětí rovno 5 s) = 0 = 00 MPa a plastická deformace ε p 5 s) = 0. Tento stav označujeme v grafech vynesených na obr. 6.4 symbolem A. Jakmile hodnota deformace přestoupí mezní elastickou hodnotu ε 0, dojde k aktivaci ideálně plastického článku. Protože v obou článcích modelu je stejné napětí a ideálně plastický článek přenese pouze napětí odpovídající mezi kluzu 0, musí zůstat deformace v elastickém článku rovna ε 0. Zbylá část deformace ε ε 0 pak odpovídá deformaci ideálně plastického článku. V intervalu [5,10] s se tedy nijak nemění stav pružného článku, veškerá změna deformace se odehrává v plastickém článku a model se chová plasticky. V čase t = 10 s, který je označen na obr. 6.4 jako B, je tedy celkové napětí rovno 10 s) = 0 = 00 MPa, elastická deformace ε e 10 s) je stále rovna ε 0 a plastická deformace je ε p 10 s) = ε10 s) ε e 10 s) = ε 0 ε 0 = ε 0 = 10 3 6.) V čase t = 10 s dochází ke změně charakteru zatěžovacího procesu. Zatímco v intervalu [0,10] s deformace rostla docházelo k protahování), v rozmezí 100 s naopak klesá dochází ke zkracování). V okamžiku, kdy začne deformace klesat, dojde ke zkrácení pružiny a tím pádem i k poklesu napětí a k deaktivaci ideálně plastického článku. Hodnota plastické deformace se nadále nemění a pokles celkové deformace se projeví zkrácením pružiny ε e. Formálně vývoj pružné deformace a napětí popíšeme vztahy ε e t) = εt) ε p 10 s) = ε 0 4 t ) 10 ε 0 = ε 0 t) = Eε e t) = 0 ) 3 t 5 3 t ) 5 6.3) 6.4) K aktivaci ideálně plastického článku v tlaku dojde v okamžiku, kdy napětí nabude hodnoty 0. Odpovídající čas určíme z poslední rovnice: 0 = 0 3 t ) t = 0 s 6.5) 5 Odpovídající hodnota elastické deformace je ε e 0 s) = ε 0. V časovém intervalu [10,0] s se model chová jako lineárně pružný. Na rozdíl od počáteční fáze zatěžovacího programu ale model vykazuje nenulovou počáteční deformaci ε p, která se projeví ve vztahu mezi napětím a deformací např. v čase t = 15 s je celková deformace nulová, hodnota napětí je ale 0 ). Proto toto chování označujeme jako pružné odtížení. Konci pružného odtěžování odpovídá na obr. 6.4 značka C. V čase t = 0 s se opět aktivuje ideálně plastický článek a deformace v elastickém článku ε e zůstává v průběhu dalšího tlakového zatěžování rovna ε 0. Vývoj plastické deformace je popsán funkcí ε p t) = εt) ε e 0 s) = ε 0 t ) ε 0 = ε 0 5 t ), 6.6) 10 5 Na konci tohoto intervalu, v čase t = 30 s odpovídajícím bodu D, je hodnota plastické deformace ε p 30 s) = ε 0. Hodnota napětí zůstává v časovém rozmezí 030 s na záporné mezi kluzu 0. Jedná se tedy opět o fázi plastického přetváření, tentokrát v tlaku.

6.. PRUŽNOPLASTICKÉ PŘETVÁŘENÍ PRŮŘEZU ZA OHYBU 119 V čase t = 30 s dochází znovu ke změně znaménka rychlosti deformace a z tlakového namáhání přecházíme postupně do tahového. Stejně jako v čase t = 10 s i v tomto případě dojde k vypnutí ideálně plastického členu a tedy k zapnutí pružiny. Probíhá elastické odtěžování, při kterém je vývoj pružné deformace a napětí popsán funkcemi ε e t) = εt) ε p 30 s) = ε 0 4 t ) 10 ε 0 = ε 0 t) = Eε e t) = 0 ) 7 t 5 7 t ) 5 6.7) 6.8) Dosazením do posledního vztahu vidíme, že v čase t = 40 s bude hodnota napětí 40 s) = 0, elastické odtěžování tedy trvá do konce uvažovaného zatěžovacího programu, označeného jako stav E. 6. Pružnoplastické přetváření průřezu za ohybu PŘÍKLAD 6. Pružnoplastická analýza obdélníkového průřezu namáhaného ohybem. Zkoumáme vývoj napětí v obdélníkovém průřezu, ve kterém postupně vzrůstá ohybový moment M. Už v článku 3..1 jsme vysvětlili, že jedním z důsledků předpokladu o zachování rovinnosti průřezu je lineární rozdělení poměrného protažení po průřezu, popsané v případě jednoduchého ohybu kolem osy y rovnicí 3.38). Poměrné protažení tedy lze vyjádřit jako εx,z) = κx) z, kde κ je křivost. V tomto příkladu se soustředíme na jediný průřez, a proto nebudeme závislost veličin ε a κ na podélné souřadnici x vyznačovat. Pro lineárně pružný materiál je z) = Eεz) = Eκz, takže i napětí je po průřezu rozděleno lineárně a integrací jeho součinu se souřadnicí z vypočítáme ohybový moment k ose y: h/ M = z z)da = b Eκz dz = Ebh3 h/ 1 κ 6.9) A Získali jsme samozřejmě známý vztah mezi momentem a křivostí, M = EIκ, kde I je obecně moment setrvačnosti průřezu k ose y a pro obdélník se vypočte jako I = bh 3 /1. b - 0-0 - 0 h y T h e z 0 M = M el M el < M < M pl M = M pl Obrázek 6.5: Pružnoplastická analýza obdélníkového průřezu: rozložení napětí a) v mezním pružném stavu, b) v obecném pružnoplastickém stavu a c) v mezním plastickém stavu šedá oblast označuje zplastizovanou část průřezu) 0 0 Hookeův zákon = Eε ovšem platí pouze, dokud napětí nepřekročí mez kluzu 0. Meze kluzu bude poprvé dosaženo v krajních vláknech, viz obr. 6.5a. Dojde k tomu při

10 KAPITOLA 6. PRUŽNOPLASTICKÝ PRUT Obrázek 6.6: Pružnoplastická analýza obdélníkového průřezu: graf závislosti mezi momentem a křivostí plná čára) a jeho bilineární aproximace čárkovaná). Komentář: Obrázek předěláme do latexu, místo M 0 bude M el, místo κ 0 bude κ el. křivosti κ el = 0 /Eh, spočtené z podmínky h/) = Eκ el h/ = 0. Průřez přitom přenáší mezní elastický moment M el = 1 1 Ebh3 κ el = 1 6 bh 0 = W el 0 6.10) kde W el = bh /6 je elastický průřezový modul. Při dalším vzrůstu křivosti se při horním a dolním okraji průřezu vytvoří plastické oblasti, ve kterých je napětí na mezi kluzu v tahu dole) a v tlaku nahoře), viz obr. 6.5b. Ve střední části průřezu je stále napětí pod mezí kluzu, materiál se chová lineárně pružně a napětí je zde rozděleno lineárně. Označíme-li výšku pružné oblasti h e, můžeme z podmínky εh e /) = κh e / = ε 0 = 0 /E najít závislost této výšky na křivosti. Dostáváme h e = 0 /Eκ, takže výška pružné oblasti je nepřímo úměrná křivosti a pro křivost rostoucí nade všechny meze se blíží nule. Každé hodnotě h e mezi h a nulou odpovídá pružnoplastický stav průřezu s rozdělením napětí podle obr. 6.5b a odpovídající ohybový moment vypočteme jako M = he/ he/ z h/ z z)dydz = b z 0 )dz b z 0 dz b z 0 dz = h/ h e/ h e h e/ h e b 0 6 b h h e 3h h ) e 0 = b 0 = bh 0 1 h e 8 1 4 3h 6.11) A = b 0 h h e 8 Při růstu křivosti κ se výška pružné oblasti h e blíží k nule a moment přenášený průřezem se asymptoticky blíží k hodnotě M pl = 1 4 bh 0 6.1) která představuje mezní plastický moment. Odpovídající rozdělení napětí v mezním plastickém stavu průřezu je vykresleno na obr. 6.5c. Již zmíněný vztah h e = 0 /Eκ mezi výškou pružné oblasti h e a křivostí κ platí pro stavy mezi mezním elastickým a mezním plastickým. V mezním elastickém stavu je h e = h a κ = κ el, takže platí h = 0 /Eκ el. Poměr h e /h je tedy roven poměru κ el /κ a vyjádření momentu podle 6.11) můžeme přepsat jako vztah mezi momentem a křivostí, ) M = M pl 1 κ el 3κ 6.13)

6.. PRUŽNOPLASTICKÉ PŘETVÁŘENÍ PRŮŘEZU ZA OHYBU 11 Graf závislosti mezi momentem a křivostí v celém rozsahu možných hodnot je vynesen na obr. 6.6. Rozeznáváme zde počáteční přímou část, popsanou vztahem M = EIκ a odpovídající pružnému chování celého průřezu, a navazující nelineární část, popsanou vztahem 6.13) a odpovídající postupné plastifikaci až po vytvoření plastického kloubu, ve kterém již moment nemůže růst. Pro účely mezní plastické analýzy ohýbaných konstrukcí má zásadní význam pojem mezního plastického momentu, což je maximální moment, který v nepřítomnosti normálové síly daný průřez z ideálně pružnoplastického materiálu přenese. Tento moment lze vždy vyjádřit jako M pl = 0 W pl 6.14) kde 0 je mez kluzu, charakterizující materiál, a W pl je plastický průřezový modul, závislý na tvaru a rozměrech průřezu. Jak vyplývá z předcházejícího příkladu, pro obdélníkový průřez o šířce b a výšce h je tento modul dán vzorcem W pl = 1 4 bh 6.15) Při postupném pružnoplastickém přetváření ohýbaného průřezu dochází k rozvoji plastické oblasti nejen v průřezu samotném, ale i v jeho blízkém okolí. Výsledný plastický kloub není omezen na jediný průřez, ale je to prostorový útvar o určité nenulové délce ve směru osy prutu. Přesný tvar a rozměry plastického kloubu by bylo možno podrobně vyšetřovat, ale z hlediska analýzy celé konstrukce tyto detaily zpravidla nejsou podstatné. Proto si zjednodušeně představíme, že plastický kloub vzniká pouze v průřezu s maximálním ohybovým momentem a okolní materiál zůstává v pružném stavu. Navíc zanedbáme i skutečnost, že vztah mezi ohybovým momentem a křivostí je při pružnoplastickém chování průřezu po překročení mezního pružného momentu nelineární a příslušná ohybová tuhost se postupně snižuje. Místo toho budeme předpokládat, že se odchylka od lineárně pružného chování projeví až při dosažení mezního plastického momentu, po kterém začne křivost prutu v daném průřezu neomezeně narůstat a ohybový moment zůstává konstantní. Skutečný nelineární vztah mezi momentem a křivostí tedy přibližně nahradíme idealizovaným bilineárním modelem, podobně jako jsme takovým modelem aproximovali nelineární vztah mezi napětím a deformací na úrovni materiálového bodu. Toto zjednodušení vede k určitým nepřesnostem ve tvaru vypočteného pracovního diagramu na úrovni konstrukce, ale mezní hodnotu zatížení vedoucí k plastickému kolapsu nijak neovlivní. Komentář: Konec části převzaté ze skripta PPMA, je potřeba vhodně napojit následující příklad. PŘÍKLAD 6.3 Pro dvojose symetrický průřez ve tvaru I o rozměrech podle obr. 6.7a vypočtěte mezní pružný moment M el, pružnoplastický moment při zplastizování obou pásnic M ep a mezní plastický moment M pl při ohybu okolo vodorovné osy y. Vykreslete průběhy normálového napětí. Mez kluzu v tahu i v tlaku je f Y = 30 MPa. Řešení: Až po dosažení mezního pružného momentu je normálové napětí po výšce rozloženo lineárně a platí veškeré vztahy odvozené pro pružný ohyb. Vzhledem k symetrii průřezu podle vodorovné osy je extrémní tlakové napětí v horních vláknech v absolutní hodnotě stejně velké jako extrémní tahové napětí v dolních vláknech. Mezního pružného stavu průřezu je dosaženo v okamžiku, kdy toto napětí dosáhne meze kluzu. Příslušný

1 KAPITOLA 6. PRUŽNOPLASTICKÝ PRUT a) b) c) d) 0 1-30 MPa -30 MPa N 1 =0,69 MN N =0,76 MN -30 MPa N 1 =0,69 MN N 3 =0,55 MN 400 mm T Neutrální osa M el =0,344 MNm M elpl =0,363 MNm M pl =0,400 MNm 0 150 mm [mm] 30 MPa z =133,3 z 1 =10 30 MPa N =0,76 MN N 1 =0,69 MN 10 100 30 MPa N 3 =0,55 MN N 1 =0,69 MN Obrázek 6.7: Vývoj normálového napětí v ohýbaném průřezu tvaru I při postupné plastizaci. ohybový moment vypočteme podle 3.43). Úpravou a dosazením dostáváme I y = 1 0,15 0,44 3 0,138 0,4 3) m 4 = 3,9 10 4 m 4 6.16) 1 M el = f Y I y z d = 30 3,9 10 4 0, MNm = 344 knm 6.17) Rozložení napětí v mezním pružném stavu je vyneseno na obr. 6.7b. Při dalším zvyšování ohybového momentu začnou vznikat poblíž horních a dolních vláken plastické oblasti. Vzhledem k symetrii průřezu podle vodorovné osy prochází neutrální osa i nadále těžištěm. Rozložení napětí při plném zplastizování obou pásnic je vyneseno na obr. 6.7c. Jsou zde také naznačeny čtyři síly, které představují výslednice napětí v dolní pásnici, tažené části stojiny tj. pod neutrální osou), tlačené části stojiny nad neutrální osou) a v horní pásnici. Výsledný pružnoplastický moment M ep získáme sečtením momentů jednotlivých sil k těžišťové ose y. Vzhledem k symetrii stačí vyčíslit příspěvky sil N 1 a N a vynásobit je dvěma: M ep = N 1 z 1 N z ) = 0,69 0,10 0,76 0,1333) MNm = 363 knm 6.18) I po zplastizování pásnic může ohybový moment růst a plastické oblasti se pak šíří shora i zdola do stojiny. Mezního plastického momentu je dosaženo, pokud pružná oblast kolem neutrální osy zcela vymizí, celá oblast pod neutrální osou je zplastizována v tahu a celá oblast nad neutrální osou je zplastizována v tlaku. Neutrální osa stále prochází těžištěm. Rozložení napětí v mezním plastickém stavu průřezu je vyneseno na obr. 6.7d. Mezní plastický moment lze vyčíslit jako M pl = N 1 z 1 N 3 z 3 ) = 0,69 0,10 0,55 0,1) MNm = 400 knm 6.19) PŘÍKLAD 6.4 Pro průřez ve tvaru T o rozměrech podle obr. 6.8a vypočtěte následující významné hodnoty ohybového momentu při ohybu okolo vodorovné osy y): 1. mezní pružný moment M el,

6.. PRUŽNOPLASTICKÉ PŘETVÁŘENÍ PRŮŘEZU ZA OHYBU 13. pružnoplastický moment při zplastizování horních vláken M ep1, 3. pružnoplastický moment při zplastizování horní pásnice M ep, 4. mezní plastický moment M pl. Pro všechny tyto případy vykreslete odpovídající průběhy normálového napětí. Mez kluzu v tahu i v tlaku je f Y = 30 MPa. 400 0 139 150 mm -114 MPa 1 N =65 kn M el =119 knm T Těžišťová osa N.O. r =133 r 5 =177 r 1 =19 r 4 =37 r 3 =91 33-30 MPa N 1 =560 kn N 3 =96 kn M ep =197 knm N 4 =146 kn 81 08 N 5 =575 kn 30 MPa 30 MPa 0 400 139 81 44 150 mm 1 Neutráln osa T Těžišťová osa r 1 =19 r 3 =94-30 MPa r 4 =156 r 3 =6 N 1 =690 kn N =104 kn M ep =07 knm N 3 =104 kn N 4 =690 kn r 1 =19 r =8-30 MPa N 1 =690 kn N =07 kn M pl =1 knm r 3 =118 N 3 =897 kn [mm] 30 MPa 30 MPa Obrázek 6.8: Vývoj normálového napětí v ohýbaném průřezu tvaru T při postupné plastizaci. Řešení: Mezní pružný stav: 1 I y = 0,15 0,0 3 0,4 0,01 3) ) 0,01 T z ) A 1 0, T z ) A 1 m 4 = = 1,46 10 4 m 4 6.0) M el = f Y I y z d = 30 1,46 10 4 0,808 MNm = 119 knm 6.1)

14 KAPITOLA 6. PRUŽNOPLASTICKÝ PRUT Stav, ve kterém právě začínají plastizovat horní vlákna: Délku zplastizované části od spodních vláken označíme x a vzdálenost N.O. od spodních vláken k. 0,4 x N3 = f y 0,0 N1 = f y 0,15 0,0 1 0,0 ) 0,4 x N = f 0,0 0,15 0,0 y ) N 4 0,4 x 0.01 1 1 0,0 0,4 x 1 ) 6.) 6.3) 6.4) = f y 0,4 x 0,01 6.5) N 5 = f y 0,01 x 6.6) N 1 N N 3 N 4 N 5 = 0 6.7) x = 0,08 m 6.8) k = x 0,4 x = 0,314 m 6.9) r 3 = T z 0,0 r 1 = T z 0,0 r = T z 0,0 3 0,4 k 0,0 3 r 4 = 0,4 T z x 0,4 x 3 = 0,19 m 6.30) = 0,133 m 6.31) = 0,091 m 6.3) = 0,037 m 6.33) r 5 = 0,4 T z 1 x = 0,177 m 6.34) M ep1 = N 1 r 1 N r N 3 r 3 N 4 r 4 N 5 r 5 = = 560 0,19 65 0,133 96 0,091 146 0,037 575 0,177) knm = = 197 knm 6.35) Výpočet polohy neutrální osy pro stav, kdy je zplastizována celá pásnice. Délku zplastizované části od spodních vláken označíme x a vzdálenost N.O. od spodních vláken k. N = f y N 1 = f y 0,15 0,0 6.36) 0,4 x) 1 0,01 6.37) N 3 = N 6.38) N 4 = f y x 0,01 6.39) N 1 N N 3 N 4 = 0 6.40) k = x 0,4 x x = 0,5 m 6.41) = 0,35 m 6.4)

6.3. PRUŽNOPLASTICKÉ PŘETVÁŘENÍ PRŮŘEZU ZA KOMBINACE OHYBU S TAHEM NEBO TLA r 1 = T z 0,0 r = T z 0,0 0,4 x 3 r 3 = 0,4 T z x 0,4 x 3 r 4 = 0,4 T z x = 0,19 m 6.43) = 0,094 m 6.44) = 0,006 m 6.45) = 0,156 m 6.46) M ep = N 1 r 1 N r N 3 r 3 N 4 r 4 = = 690 0,19 104 0,094 104 0,006 690 0,156) knm = 07 knm 6.47) Výpočet polohy neutrální osy pro mezní plastický stav. Vzdálenost N.O. od spodních vláken označíme k. N1 = f y 0,15 0,0 6.48) N = f y 0,4 k 0,0) 0,01 6.49) N 3 = f y k 0,01 6.50) N1 N N 3 = 0 6.51) k = 0,35 m 6.5) r 1 = T z 0,0 = 0,19 m 6.53) r = T z 0,0 0,4 k = 0,08 m 6.54) r 3 = 0,4 T z k = 0,118 m 6.55) M pl = N 1 r 1 N r N 3 r 3 = = 690 0,19 07 0,08 897 0,118) knm = = 1 knm 6.56) 6.3 Pružnoplastické přetváření průřezu za kombinace ohybu s tahem nebo tlakem Výpočet Michala Šmejkala, týkající se mezních plastických stavů pro průřez tvaru T o rozměrech podle obr. 6.8a. T z je vzdálenost těžiště od horních vláken. 1) Výpočet pro neutrální osu procházející stojinou. E z je vzdálenost neutrální osy

16 KAPITOLA 6. PRUŽNOPLASTICKÝ PRUT b a) b b) h y T N.O. T.O. h r r - N - N h y T N.O. T.O. h r r - 0 N - N 0 z z Obrázek 6.9: Rozložení napětí v obdélníkovém průřezu namáhaném kombinací ohybového momentu a normálové síly: a) jeden z mezních pružných stavů, b) jeden z mezních plastických stavů 0 - M M el a) b) c) M M - M pl - M pl M el pružné stavy -N el N el - -M el N -N pl N pl N -M el - -M pl - -M pl -N pl N pl N pružnoplastické stavy Obrázek 6.10: Interakční diagramy pro obdélníkový průřez namáhaný kombinací ohybového momentu a normálové síly: a) mezní pružné stavy a odpovídající rozložení napětí po průřezu, b) mezní plastické stavy a odpovídající rozložení napětí po průřezu, c) kompletní interakční diagram s vyznačením stavů odpovídajících různým kombinacím vnitřních sil. M max,el M M el a) b) M M max M pl -N el -M el Mmin,el N el N -N pl -M pl Mmin N pl N Obrázek 6.11: Interakční diagramy pro průřez tvaru T namáhaný kombinací ohybového momentu a normálové síly: a) mezní pružné stavy, b) mezní plastické stavy. od spodních vláken. N 1 = A 1 f y 6.57) N = 0,4 E z) 0,01 f y 6.58) N 3 = E z 0,01 f y 6.59) N = N 1 N N 3 6.60) 6.61) r 1 = T z 0,01 6.6) r = T z 0,0 0,4 E z r 3 = 0,4 T z E z 6.63) 6.64)

6.3. PRUŽNOPLASTICKÉ PŘETVÁŘENÍ PRŮŘEZU ZA KOMBINACE OHYBU S TAHEM NEBO TLA ) Výpočet pro neutrální osu procházející pásnicí. E z je vzdálenost neutrální osy od spodního okraje pásnice. N 1 = 0,0 E z) 0,15 f y 6.68) N = E z 0,15 f y 6.69) N 3 = A f y 6.70) N = N 1 N N 3 6.71) r 1 = T z 0,0 E z r = T z 0,0 E z r 3 = 0,4 T z 0,4 6.7) 6.73) 6.74) 6.75) 6.76) M = N 1 r 1 N r N 3 r 3 6.77)

18 KAPITOLA 6. PRUŽNOPLASTICKÝ PRUT