3 RAVDĚODOBNOST Základní vztahy: ravděpodobnost negace jevu A: A 1 A ravděpodobnost sjednocení jevů A,B: A B A B A B - pro disjunktní (neslučitelné) jevy A, B: A B A B ravděpodobnost průniku jevů A, B: A B A B A - pro nezávislé jevy A, B: A B A B 1. de Morganův zákon: A B A B. de Morganův zákon: A B A B odmíněná pravděpodobnost: A B B A B Věta o úplné pravděpodobnosti: A = A B i Bi n i=1 Bayesova věta: B k A = n i=1 k (A B ) B k A B i B i 3.1 ravděpodobnost, že selže hasící systém továrny je 0%, pravděpodobnost, že selže poplachové zařízení je 10% a pravděpodobnost, že selžou jak hasící systém, tak i poplachové zařízení jsou 4%. Jaká je pravděpodobnost,že: a) alespoň jeden systém bude fungovat? b) budou fungovat oba dva systémy? Označme si možné jevy takto: H... hasící systém funguje S... poplachové zařízení (siréna) funguje Víme, že: H 0, 0 S 0, 10 H S 0, 04 Máme zjistit: ada) H S K řešení této otázky můžeme přistupovat dvojím způsobem: - -
odle definice: Nejde o jevy neslučitelné (mohou nastat zároveň), proto: H S H S H S, kde by mohlo být problémem určit nebo H S řes jev opačný: Kdy na základě de Morganových zákonů můžeme psát, že: H S H S1 H S 1, což můžeme vyčíslit přímo. H S 1 0,04 0, 96 ravděpodobnost, že bude fungovat alespoň jeden z ochranných systémů je 96%. adb) H S Což nemůžeme řešit prostřednictvím definičního vztahu: ( H S H S S S H H ), neboť nemáme informace o závislosti poruch jednotlivých ochranných systémů. roto zkusíme znovu postupovat přes jev opačný: H S H S1 H S 1 H S H S 1, což můžeme přímo vyčíslit: H S1 H S H S 1 0,0 0,10 0,04 0, 74 ravděpodobnost, že oba dva ochranné systémy budou fungovat je 74%. 3. Spočtěte pravděpodobnost toho, že z bodu 1 do bodu bude protékat elektrický proud, je-li el. obvod včetně pravděpodobnosti poruch jednotlivých součástek vyznačen na následujícím obrázku. (oruchy jednotlivých součástek jsou na sobě nezávislé.) 0, 0,1 0,3 C 1 A B D 0,3 E 0, - 6 -
Označme si: A... součástka A funguje, C... součástka C funguje, B... součástka B funguje, D... součástka D funguje E... součástka E funguje, ak: A 0,1 A 0, 9 C 0, C 0, 8 B 0,3 B 0, 7 D 0,3 D 0, 7 E 0, E 0, 8 ro zjednodušení si obvod představíme jako sériové zapojení dvou bloků. Blok 1 je tvořen sériovým zapojením součástek A a B, Blok je tvořen paralelním zapojením součástek C, D a E. V první fázi si určíme pravděpodobnosti poruch jednotlivých bloků: Blok 1: B1... Blok 1 funguje Máme-li sériově zapojené součástky, je vhodné určovat přímo pravděpododobnost, že systém (blok) funguje. Blok 1 funguje právě tehdy, jsou-li funkční součástky A i B. Vzhledem k nezávislosti poruch jednotlivých součástek můžeme říci, že: 0,1 0,3 A B Blok 1 ( B1) ( A B) ( A). ( B) 0,9.0,7 0,63 Blok : B Blok funguje Máme-li paralelně zapojené součástky, je vhodné pravděpodobnost toho, že systém (blok) funguje určovat jako doplněk pravděpodobnosti jevu opačného tj. toho, že systém (blok) nefunguje. Blok nefunguje právě tehdy, není-li funkční ani jedna ze součástek C, D, E. Vzhledem k nezávislosti poruch jednotlivých součástek můžeme říci, že: ( B) ( C D E) ( C). ( D). ( E) 0,.0,3.0, 0,01 0, C D 0,3 E 0, Blok ( B) 1 ( B) 1 0,01 0,988 Celý systém je při tomto značení dán sériovým zapojením Bloku 1 a Bloku. Zbývá nám tedy již jen určit spolehlivost celého systému (pravděpodobnost, že systém bude funkční). - 7 -
1 B1 B S systém je funkční S B1 B B1 B 0,63 0,988 0, 6 ravděpodobnost toho, že z bodu 1 do bodu bude protékat elektrický proud je asi 6%. Geometrická pravděpodobnost používáme ji v případech, které lze převést na toto schéma: V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. ravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: A A, kde A, Ω jsou míry oblastí A a Ω 3.3 Jak je pravděpodobné, že meteorit padne na pevninu, víme-li, že pevnina má rozlohu 149 milionů km a moře 361 milionů km. 149 A 0,9 149 361 3.4 Dva známí se domluví, že se sejdou na určitém místě mezi 1. a 16. hodinou, přičemž doba čekání je 0 minut. Jaká je pravděpodobnost, že se při této dohodě setkají? y 60 40 0 A x... doba po 1.hodině v níž přijde první, x 0,60 y... doba po 1.hodině v níž přijde druhý, y 0;60 jev A... oblast vymezená čtvercem a nerovnicí x y 0 0 délky 40, tedy: 0 40 60 x Ω = 60.60 = 3600 Když spojíme dva nevyšrafované trojúhelníky, tak dostaneme čtverec o straně - 8 -
Takže: A = 3600-40.40 = 000 000 A 0,6 3600 9 odmíněná pravděpodobnost: A B A B B 3. Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že v druhém tahu vytáhneme bílou kuličku. Jev B1 C1 B C Definice jevu při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička při první realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička Stav pytlíku před první realizací pokusu: 10 ks ks ravděpodobnost, že při první realizaci pokusu vytáhnu bílou (černou) kuličku je zřejmě: ( B1) 1, resp. ( C1) 10 1 Je taktéž zřejmé, že stav pytlíku před druhou realizací pokusu závisí na výsledku první realizace. Stav pytlíku před druhou realizací pokusu, byla-li při prvním pokusu vytažena bílá kulička: 10 ks 4 ks Stav pytlíku před druhou realizací pokusu, byla-li při prvním pokusu vytažena černá kulička: 9 ks ks - 9 -
Z obrázku (a z logického úsudku) vidíme, že výsledek druhé realizace pokusu závisí na výsledku první realizace pokusu, jinými slovy: výsledek druhé realizace pokusu je podmíněn výsledkem první realizace pokusu. Můžeme tedy určit pravděpodobnosti následujících jevů: Jev B/B1 C/B1 B/C1 C/C1 Definice jevu při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička, jestliže při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička, jestliže při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička, jestliže při první realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička, jestliže při první realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička Na základě obrázku odpovídajících stavu pytlíku před druhou realizaci pokusu při splnění příslušných podmínek (za lomítkem) můžeme určit: 4 10 ( B / B1), ( C / B1), ( B / C1), ( C / C1) 14 14 14 ozn.: Všimněte si, že: ( A/ B) ( A/ B) Chceme-li tedy určit například pravděpodobnost toho, že v druhém tahu vytáhneme bílou kuličku, musíme vzít v úvahu, že k tomuto jevu může dojít ve dvou případech: ( B B1) nebo ( B C1 ) roto platí: ( B) (( B B1) ( B C1)) Jelikož jevy ( B B1) a ( B C1 ) jsou neslučitelné (nemohou nastat zároveň), platí: 9 14 ( B) ( B B1) ( B C1), ( B) B/ B1 B1 B/ C1 C1 4 14 1 14 10 1 14 4 1 3 Obdobně můžeme určit pravděpodobnost, že v druhém tahu vytáhneme černou kuličku. 3.6 studentů absolvovalo zkoušky z matematiky a z fyziky. 30 z nich nesložilo obě zkoušky, 8 nesložilo pouze zkoušku z matematiky a nesložilo pouze zkoušku z fyziky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný student: a) složil zkoušku z matematiky, víme-li že nesložil zkoušku z fyziky b) složil zkoušku z fyziky, víme-li že nesložil zkoušku z matematiky c) složil zkoušku z matematiky, víme-li že složil zkoušku z fyziky - 30 -
Označme si možné jevy takto: M... složil zkoušku z matematiky F... složil zkoušku z fyziky Víme, že: M F M F M F 30 8 Máme zjistit: ada) M F což určíme jednoduše podle definice podmíněné pravděpodobnosti: M F M F F M F M F M F, kde pravděpodobnost, že student nesložil zkoušku z fyziky určujeme podle věty o úplné pravděpodobnosti jako součet pravděpodobnosti, že student nesložil pouze zkoušku z fyziky a pravděpodobnosti, že student nesložil obě zkoušky. o vyčíslení tedy víme, že: M F M F M F M F 30 3 1 0,14 7 ravděpodobnost, že student složil zkoušku z matematiky, víme-li že nesložil zkoušku z fyziky je asi 14%. adb) F M což určíme obdobně jako při řešení předcházející úlohy: F M F M M o vyčíslení tedy víme, že: F M F M F M F M F M F M F M 8, 8 30 8 38 4 19 0,1 ravděpodobnost, že student složil zkoušku z fyziky, víme-li že nesložil zkoušku z matematiky je asi 1%. - 31 -
adc) M F opět si napíšeme definiční vztah: M F M F (F), k němuž můžeme přistoupit dvojím způsobem: Buď se pokusíme tento vztah upravit na základě známých vztahů tak, abychom jej mohli prostřednictvím zadaných parametrů vyčíslit: M F 1 M F 1 M F ( F) 1 F 1 1 M F F M F M 1 1 F M F M F M F M F M 1 F M F M F M F M F M F M 1 F M F M F M 1 F M F M 8 30 1 30 1 77 8 77 0,91 8 nebo se pokusíme potřebné pravděpodobnosti vyčíst ze zadání: Zadané údaje si zapíšeme do tabulky: Složili zkoušku z Nesložili zkoušku z Celkem matematiky matematiky Složili zkoušku z fyziky 8 Nesložili zkoušku z fyziky 30 3 Celkem 38 a zbylé údaje v tabulce jednoduše dopočítáme: Kolik studentů složilo zkoušku z fyziky? To je celkový počet () mínus počet studentů, kteří zkoušku z fyziky nesložili (3), což je 8. Obdobně určíme počet studentů, kteří složili zkoušku z matematiky, což je 38 = 8. A konečně počet těch, kteří složili obě zkoušky určíme např. jako počet těch, kteří složili zkoušku z matematiky (8) mínus počet těch, kteří složili pouze zkoušku z matematiky (), což je 77. Složili zkoušku z Nesložili zkoušku z Celkem matematiky matematiky Složili zkoušku z fyziky 77 8 8 Nesložili zkoušku z fyziky 30 3 Celkem 8 38-3 -
Hledané pravděpodobnosti tedy jsou: 77 8 M F ; F, z čehož plyne: M F M F ( F) 77 8 77 0,91 8 ravděpodobnost, že student složil zkoušku z matematiky, víme-li že složil zkoušku z fyziky je asi 91%. ozn.: odle údajů v tabulce bychom mohli řešit i úkoly a) a b). 3.7 Z výrobků určitého druhu dosahuje 9% předepsanou kvalitu. V určitém závodě, který vyrábí 80% celkové produkce, však předepsanou kvalitu má 98% výrobků. Mějme náhodně vybraný výrobek předepsané kvality. Jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben ve výše uvedeném závodě? jev A...výrobek je vyroben ve zmiňovaném závodě jev B...výrobek je předepsané kvality A B 0,8.0,98 A/ B 0,8 B 0,9 Opakované závislé pokusy Nechť je dán soubor N prvků, z nichž M má určitou vlastnost a (N - M) nikoliv. Vybereme postupně n prvků, z nichž žádný nevracíme. ravděpodobnost, že mezi n vybranými bude k takových, že mají sledovanou vlastnost, vypočteme podle vzorce: M N M ( ) k n k k ; pro max(n - N m;0) k min(m;n) N n 3.8 Mezi 00 vajíčky určenými pro prodej v jisté maloobchodní prodejně je 0 vajíček prasklých. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme-li si náhodně 0 vajec, bude 8 z nich prasklých? Jde o výběr bez vracení (vybrané vajíčko nevracíme zpět), jednotlivé pokusy jsou závislé v tomto případě mluvíme o opakovaných závislých pokusech. Hledanou pravděpodobnost určíme z klasické definice pravděpodobnosti: - 33 -
očet všech možností: vybíráme 0 vajec z 00 vajec (bez ohledu na pořadí) C 0(00) 00 0 očet příznivých možností: mezi vybranými 0-ti vejci má být 8 prasklých, tj. vybíráme 8 prasklých vajec z 0-ti prasklých a zároveň 1 (0-8) dobrých vajec ze 10-ti : A proto: 010 C 8( 0) C1(10) 8 1 0 10 8 1 ( X 8) 0,07,7% 00 0 ravděpodobnost, že mezi 0-ti vybranými vejci bude 8 prasklých je 0,07. Věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta Věta o úplné pravděpodobnosti: A = A B i Bi n i=1 Bayesova věta: B k A = n i=1 k (A B ) B k A B i B i 3.9 Laboratoř, která provádí rozbory krve, potvrdí s pravděpodobností 9% existencí protilátek na virus určité nemoci, jestliže jí pacient skutečně trpí. Zároveň test určí jako pozitivní 1% osob, které však touto nemocí netrpí. Jestliže 0,% populace trpí zmíněnou nemocí, jaká je pravděpodobnost, že určitá osoba, jejíž test byl pozitivní, skutečně onu nemoc má? Takovéto problémy směřují k řešení pomocí věty o úplné pravděpodobnosti, popř. pomocí Bayesova teorému. ro přehledný zápis situace často využíváme tzv. rozhodovací strom. Označme si: N... pacient trpí nemocí T... test na protilátky vyšel pozitivní Rozhodovací strom pak vypadá takto: - 34 -
Daný stav Výsledek testu 0,9 T 0,00.0,9 = 0,0047 opulace 0,00 N 0, 0 T 0,00.0,0 = 0,000 T 0,99 N 0,01 T T 0,99.0,01 = 0,0099 0,99 T 0,99.0,99 = 0,980 Na spojnice prvního větvení zapisujeme pravděpodobnosti výskytu daného stavu, tj. (N) a N, přičemž součet pravděpodobností v jednom větvení dává vždy 1 (100%). V našem případě tedy (N) známe ze zadání a N určíme jako 1 (N). Na spojnice druhého větvení se pak zapisují podmíněné pravděpodobnosti výsledek testu za předpokladu daný stav. V našem případě jsou to pravděpodobnosti: T N, T N, T N, T N. Opět platí, že součet pravděpodobností v jednom větvení dává vždy 1. Ze zadání známe T N a T N a zbylé dvě podmíněné pravděpodobnosti dopočítáme jako doplňky do 1. Chceme-li určit, jaká je pravděpodobnost toho, že nastal daný stav a zároveň výsledek testu, stačí vynásobit hodnoty uvedené u příslušné větve. Např.: pravděpodobnost toho, že pacient trpí nemocí a zároveň mu vyšel negativní test je 0,000 ). říslušné pravděpodobnosti jsou uvedeny ve ( N T N T N 0,00 0,0 0, 000 sloupci vedle rozhodovacího stromu. ravděpodobnosti toho, že dojde k určitému výsledku testu, se určují prostřednictvím věty o úplné pravděpodobnosti. My je okamžitě vyčteme ze sloupce uvedeného vedle rozhodovacího stromu. Např.: T N T N T 0,0047 0,0099 0, 0147. A nyní již přejděme k naší otázce: Měli jsme určit jaká je pravděpodobnost, že určitá osoba, jejíž test byl pozitivní, skutečně onu nemoc má neboli: N T Tuto podmíněnou pravděpodobnost z rozhodovacího stromu přímo nevyčteme, pro její určení použijeme Bayesův teorém: N T N T, T do nějž již stačí pouze dosadit hodnoty vyčtené z rozhodovacího stromu: N T N T T 0,0047 0,0047 0,33 0,0047 0,0099 0,0147-3 -
ravděpodobnost toho, že osoba jejíž test vyšel pozitivní, skutečně onu nemoc má je asi 3,3%. (Zamyslete se nad tím, co by znamenalo, kdyby lékař pouze na základě jednoho pozitivního výsledku testu, označil člověka za nemocného (např. AIDS)). 3.10 Restaurace zakoupila 1 chladniček z 1. závodu, 0 z. závodu a 18 z 3. závodu. ravděpodobnost, že chladnička je výborné jakosti, pochází-li z 1.závodu je 0,9, z.závodu 0,6 a z 3.závodu 0,9. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná chladnička bude výborné jakosti? jev A...náhodně vybraná chladnička bude výborné jakosti jev B i... náhodně vybraná chladnička pochází z i-tého závodu Chladniček je dohromady 0. Ledničky 1/0 0/0 18/0 0,9 B 1 1. závod 0,1 0,6 B. závod 0,4 0,9 B 3 3. závod 0,1 A/B 1 A/B A/B A /B 3 1 A /B A /B 3 A A B A B A B 1 3 Věta o úplné pravděpodobnosti: A A B A B A B 1 3 (A) = (B 1 ).(A/B 1 ) + (B ).(A/B ) + (B 3 ).(A/B 3 ) 1 0 18 A.0,9.0, 6.0,9 0, 78 0 0 0 3.11 Ve společnosti je 4% mužů a % žen. Vysokých nad 190 cm je % mužů a 1 % žen. Náhodně vybraná osoba je vyšší než 190 cm. Jaká je pravděpodobnost, že je to žena? jev A...vybraný člověk je vyšší než 190 cm jev B 1...vybraný člověk je muž jev B...vybraný člověk je žena - 36 -
Společnost 0,4 0, 0,0 B 1 muž 0,9 0,01 B žena 0,99 A/B 1 A /B 1 A/B 3 A /B 3 Věta o úplné pravděpodobnosti: A A B1 A B 0, 4.0,0 0,.0,01 0,08 Bayesova věta: B A B 0,.0, 01 0,08 / A 0,196 A 3.1 Student jde na zkoušku, ale neví, který ze tří možných předmětů (STA,LA,MA) se zkouší. Ví, že neumí 40% otázek ze STA, 1% z LA a 0% z MA. a) Jaká je pravděpodobnost, že bude od zkoušky vyhozen? b) Jaká je pravděpodobnost, že bude vyhozen z STA? c) Bude-li vyhozen, jaká je pravděpodobnost toho, že to bude ze STA? ravděpodobnosti konání zkoušky z jednotlivých předmětů jsou si rovny. LA MA ( STA) 1 3 odmíněné pravděpodobnosti vyhození od zkoušky jsou: V STA 0,40 V LA 0,1 V MA 0, 0 ada) Ze vztahu pro úplnou pravděpodobnost určíme pravděpodobnost vyhození: - 37 -
V STA STA V LA LA V MA MA V 1 1 1 0,40 0,1 0,0 3 3 3 0, adb) ravděpodobnost, že bude vyhozen ze STA: 4 30 1 V STA V STA STA 0, 133 adc) Z Bayesovy věty plyne: STAV V STA V 0,133 0, 0,3 3.13 V obchodě jsou tři pokladny na nichž dojde k chybě v účtování s pravděpodobností: 0,1; 0,0 a 0,, přičemž z hlediska umístění pokladen v obchodě jsou pravděpodobnosti odbavení pokladnami 0,3; 0, a 0,4. a) Jaká je pravděpodobnost, že osoba opouštějící obchod má chybný účet? b) Jaká je pravděpodobnost, že jsme byli u druhé pokladny, máme-li chybný účet? jev A: došlo k chybě v účtování jev B i : odbavení i-tou pokladnou okladny 0,30 0, 0,4 0,10 B 1 1. pokl. 0,90 0,0 B. pokl. 0,9 0, B 3 3. pokl. 0,8 A/B 1 A/B A/B A /B 3 1 A /B A /B 3 ada) Věta o úplné pravděpodobnosti: A A B A B A B 1 3-38 -
(A) = (B 1 ).(A/B 1 ) + (B ).(A/B ) + (B 3 ).(A/B 3 ) A 0, 30010, 0, 0,0 0,4 0,0 013, 0, 133 adb) Bayesova věta: B A B A B A B A 0, 0, 0 0 094 013, A, DALŠÍ NEŘEŠENÉ ŘÍKLADY: Geometrická pravděpodobnost: 1. Na zastávku místní dopravy přijíždí autobus každých 7 minut a zdrží se 0, minuty. Jaká je pravděpodobnost, že příjdu a zastihnu autobus na zastávce? [0,07]. Autobus přijíždí na zastávku každé 4 minuty, tramvaj (má zastávku vedle) každých 6 minut. Určete pravděpodobnost, že se cestující dočká: a) autobusu před tramvají b) autobusu nebo tramvaje v průběhu minut [0,66; 0,66] 3. acient se léčí doma a od 7 do 0 hod. je možné jej kontrolovat. Vycházky má od 13 do 1 hod. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 7. a 0. hodinou bude doma k zastižení? [0,846] 4. Hodiny, které nebyly ve stanovenou dobu nataženy, se po určitém čase zastaví. Jaká je pravděpodobnost, že se velká ručička zastaví mezi 6 a 9? [0,]. Tyč délky 10m je náhodně rozlomena na části. Jaká je pravděpodobnost, že menší část bude delší než 4m? [0,] - 39 -