Základy kvantové teorie (OFY042)

Příklady na cvičení k přednášce Základy kvantové teorie (OFY042) Zimní semestr 2007/2008, pondělí 2:20-3:50 v M3 Určeno pro 3. ročník Příklady jsou vybírány z různých učebnic a sbírek příkladů. Program cvičení lze nalézt na adrese: http://kdf.mff.cuni.cz/ broklova/vyuka.php Budu vděčná za jakékoli připomínky směřující k vylepšení tohoto textu nebo přímo cvičení. Zdeňka Broklová (Zdenka.Broklova @ mff. cuni.cz)

Opakování, základní postuláty a matematika QM.) Mějme dva normované stavy ψ a ψ 2. Pomocí nich vyjádřete normovaný stav ψ 3, který bude kolmý na ψ. Vyjádřete vektor ψ 2 v bázi ψ a ψ 3. 2.) Jak musíme omezit prostor spojitých a spojitě diferencovatelných funkcí, aby operátor p byl hermitovský, pokud pracujeme na a) intervalu (, ) b) konečném intervalu (a, b)? 3.) Spočtěte komutační relace: [ x i, p j ], [ x i, L j ], [ p i, L j ], [ L i, L j ], [ x i, Ĥ], [ p i, Ĥ] 4.) a) U dvou stejných systémů naměřeníme různou energii. Znamená to, že systémy byli před měřením v různých stavech? b) Máme dva zcela stejné systémy ve stejném stavu. V obou nezávisle změříme energii. Mohou se změřené hodnoty se lišit? c) U dvou stejných systému naměříme stejnou energii. Znamená to, že oba systémy byly před měřením ve stejném stavu? 5.) Uvažujme prostor, jehož bázi tvoří 3 vlastní vektory operátoru Q takové, že platí Uvažujme stav Qψ = qψ Qψ2 = 2qψ 2 Qψ3 = 2qψ 3. ψ = 2 (ψ + ψ 2 ) + 6 3 ψ 3. Spočtěte střední hodnotu veličiny Q v tomto stavu, určete možné výsledky měření hodnotu Q a jejich pravděpodobnosti. V jakém stavu bude systém po měření, ve kterém získáme hodnotu 2q? 6.) Najděte vlastní čísla a vlastní funkce operátoru (x + d dx ). 7.) Uvažujme fyzikální veličinu A, která nekomutuje s Hamiltonovým operátorem. A má vlastní stavy ϕ = (ψ + ψ 2 )/ 2 a ϕ 2 = (ψ ψ 2 )/ 2 s vlastními hodnotami a, a 2, kde ψ, ψ 2 jsou vlastní stavy hamiltoniánu s vlastními hodnotami E, E 2. Je-li v čase t = 0 systém ve stavu ϕ, vypočtěte střední hodnotu veličiny A v čase t. 8.) Určete přesnost, se kterou bychom museli určit polohu a rychlost automobilu, pokud bychom chtěli vidět vliv relací neurčitosti? 9.) Svazek protonů s kinetickou energii 0 MeV prošel štěrbinou o velikostí 5 mm. Přesnost nastavení energie je E 0 3 MeV. Porovnejte tuto přesnost s neurčitostí danou Heisenbergovými relacemi neurčitosti. Spočítejte vzdálenost, kterou by musely protony uletět, aby se v kolmém směru odchýlily o 5 mm jen díky vlivu relací neurčitosti. Vztahy pro Kroneckerův a Levi-Civitův symbol Definice: δ ij = i = j, jinak δ ij = 0 Platí: δ ij = δ ji, δ ii = 3, δ ij δ jk = δ ik Definice: ɛ 23 = ɛ 23 = ɛ 32 =, ɛ 32 = ɛ 32 = ɛ 23 =, v ostatních případech ɛ ijk = 0 Platí: ɛ ijk = ɛ jik, ɛ iik = 0, ɛ ijk ɛ ijk = 6, ɛ ijk ɛ ijl = 2δ kl, ɛ ijk ɛ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl 2

Moment hybnosti 0.) Odvoďte tvar operátoru orbitálního momentu hybnosti ve Schrödingerově reprezentaci ve sférických souřadnicích. Sférické souřadnice: x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ, kde θ (0, π), ϕ = (0, 2π) r = x 2 + y 2 + z 2 ϕ = arctan y x θ = arctan Výsledek: L x = i (sin ϕ θ + cot θ cos ϕ L z = i ϕ, L2 = 2 ( 2 θ 2.) Spočtěte L L. ϕ ), + cot θ ϕ + sin 2 θ x 2 +y 2 z L y = i (cos ϕ θ 2 ϕ 2 ) x = r x r + θ x θ + ϕ x + cot θ sin ϕ ϕ ), ϕ,... 2.) Určete maticové elementy operátoru L z a L x v bázi sférických funkcí Y ml. Operátor L x diagonalizujte a porovnejte jeho vlastní čísla s vlastními čísly operátoru L z. maticová reprezentace: l= m = Y = ψ = ( 3 2 2π ) sin θ eiϕ 0, 0 m = 0 Y 0 = ψ 0 = ( 3 2 π ) cos θ 0, 0 0 m = Y = ψ = ( 3 2 2π ) sin θ e iϕ 0 0, L x = 0 0 2 0 L y = 0 i 0 2 i 0 i L z = 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 3.) Pro moment hybnosti l = ověřte platnost základních vztahů: v maticovém vyjádření. L 2 = 2 2 0 0 0 0 0 0 L 2 x + L 2 y + L 2 z = L 2, [L x, L y ] = i L z, [L x, L 2 ] = 0 atd., L z l, m >= m l, m >, L 2 l, m >= 2 l(l + ) l, m > Maticová reprezentace 4.) Uvažujme matici (operátor daný touto maticí): 0 0 0 0 0 Spočtěte její vlastní čísla a příslušné vlastní vektory, oveřte, že vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou vzájemně ortogonální. Nalezněte unitární transformaci do báze vlastních vektorů. 5.) Uvažujme dva operátory /2 0 0 Q = 0 /2 0 0 0 3 R = 0 /2 0 /2 0 0 0 0

Spočtěte jejich vlastní stavy. Rozhodněte, zda operátory komutují. Pokud ano, najděte společný systém vlastních funkcí. Pokud ne, nalezněte vlastní funkce každého zvlášť. 6.) Dokažte, že stopa matice nezávisí na volbě báze, ve které je vyjádřená. 7.) Napište matici, která odpovídá operátoru projekce do jednoho směru (např. do stavu ) v třístavovém systému, 2, 3. x -reprezentace a p-reprezentace 8.) Ukažte, že komutační vztah pro souřadnici a hybnost nelze splnit žádnými konečně rozměrnými maticemi. 9.) Odvoďte tvar operátorů x, p v x-reprezentaci. 20.) Odvoďte tvar operátorů x, p v p-reprezentaci. 2.) Napište v p-reprezentaci Schrödingerovu rovnici pro pohyb částice v potenciálu V. 22.) Částice se nachází ve stavu ψ = a l =, m = + b l =, m = 0 + c l =, m = Vypočtěte L x, L y, L z, L 2 x, L 2 y, L 2 z v tomto stavu. Pozn.: Využijte maticové reprezentace. 23.) Částice s vlastní hodnotou operátoru momentu hybnosti odpovídající l = projdou Stern-Gerlachovým přístrojem mířícím ve směru osy z, kde se roštěpí na tři proudy částic. Proud odpovídající Lz = vedeme do druhého Stern-Gerlachova přístroje orientovaného ve směru osy x. Jaké hodnoty L x a s jakými pravděpodobnostmi naměříme? Harmonický oscilátor ve Fockově reprezentaci Šplhací operátory (anihilační a kreační operátory): â = 2m ω (ωm x + i p) â = 2m ω (ωm x i p) N = â â Vlastní stav N odpovídající vlastnímu číslu n (n = 0,, 2,...) označme n. Potom â n = n n, â n = n + n +. A n = n! (â ) n 0. 24.) Dokažte, že [â, â ] =, H = ω(n + /2). Najděte komutátory [â, N] a [â, N]. 25.) Najděte maticovou reprezentaci operátorů â a â. Pomocí definičních vztahů pro â, â napište maticové vyjádření operátorů x, p, Ĥ. 26.) Dokažte, že stavy n tvoří ortonormální bázi. 27.) Pomocí vztahu â 0 = 0 vypočtěte vlnovou funkci základního stavu v x-reprezentaci. Napište rekurentní vztah pro ψ n a ověřte, že odpovídá stacionárním stavům spočteným přímo z Schrödingerovy rovnice. 28.) Určete střední hodnoty operátorů x, x 2, p, p 2 ve stacionárních stavech n. Dále ověřte relace neurčitosti a spočítejte podíl střední hodnoty kinetické a potenciální energie ve stacionárních stavech. 4

29.) Najděte stav ψ, který je lineární kombinací stavů 0 a a ve kterém je maximální střední hodnota x. V tomto stavu spočítejte také střední hodnotu operátoru hybnosti. Částice v elmag. poli Hamiltonián bezespinové částice v elmag. poli je: H = 2m ( p q A ) 2 + qφ + V 30.) Dokažte, že pro homogenní elektrické a magnetické pole lze potenciály vyjádřit jako: φ = r E a A = /2 r B. 3.) Ukažte, že ve slabém homogenním magnetickém poli lze hamiltonián bezspinové nabité částice psát jako H = 2m p 2 2m q B L. Jaký je význam jednotlivých členů? Jak interakce s magnetickým polem přispívá k energii? 32.) Ukažte, že klasické Hamiltonovy pohybové rovnice odvozené z H odpovídají Newtonovým pohybovým rovnicím, v kterých vystupuje Lorentzova síla. ( pozn. p je kanonicky sdružená hybnost k polohovému vektoru r, je různá od p mech = m v ). 33.) Najděte operátor rychlosti v = (v, v 2, v 3 ) bezspinové částice v elektromagnetickom poli. Vypočtěte komutátor [v i, v j ]. Obecná teorie impulzmomentu Předpokládejme o operátoru J = (J, J 2, J 3 ), že splňuje komutační relace impulzmomentu: [J i, J j ] = iɛ ijk J k, [J i, J 2 ] = 0. A dále označme λm společný vlastní stav J 2, J z, tj. J 2 λm = λ λm, J z λm = m λm. Definujme posunovací operátory J ± = J ± ij 2. (Využijte maticové vyjádřeno operátorů momentu hybnosti.) 34.) Spočtěte komutátory [J 3, J ± ], [J 2, J ± ]. 35.) Vyjádřete J + J a J J + pomocí J 2 a J 3. 36.) Pomocí předcházejících výsledků nalezněte působení J ± na λm včetně normování. V průběhu výpočtu naleznete i podmínky pro kvantová čísla. 37.) Pomocí maticového vyjádření J ± napište maticově i J x, J y, J z, J 2. 38.) Najděte střední hodnotu operátoru Ĵx a jeho střední kvadratickou odchylku ve stavu j, m (tj. ve společném vlastním stavu operátorů Ĵ 2 a Ĵz). Pozn. Střední kvadratická odchylka: ( Ĵx) 2 = (Ĵx Ĵx ) 2 39.) Uvažujme částici ve stavu j, m nalezněte střední hodnotu operátoru Ĵ n, tj. operátoru průmětu spinu do směru n a střední hodnoty operátorů Ĵ x 2 a Ĵ y 2. Skládání momentů hybnosti 40.) Ukažte, že báze j m j 2 m 2 a jm (kde j = j + j 2,... j j 2 ) mají stejný počet členů. 4.) Vyjádřete J 2 = ( J I + J II ) 2 pomocí operátorů, jejichž působení na jm známe. Poznámka: J 2 = 2 2 J I + JII + JI + JII + J I 42.) Ukažte, jak lze pomocí šplhacích operátorů skložit dva impulzmomenty m, m 2. JII + 5

43.) Složte orbitální moment L se spinem /2. Najděte vlastní stavy celkového momentu hybnosti. 44.) Pomocí tabulek Clebsh-Gordanových koeficientů napište stavy s m = /2, které vzniknou složením momentu l = 2 a s = /2. Spin /2 maticová reprezentace: s = ) /2 ) ( ( 0, = + = =, 2 2 0, = = = 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 i 0 S x = S 2 0 y = S 2 i 0 z = 2 0 (( ) ( ) ( pozn.: Pauliho matice 0 0 i 0 σ = ( σ x, σ y, σ z ) =,, 0 i 0 0 45.) Vlastnosti Pauliho matic - přímým výpočtem ukažte: [σ i, σ j ] = 2iɛ ijk σ k σ i σ j = δ ij + iɛ ijk σ k, {σ i, σ j } σ i σ j + σ j, σ i = 2δ ij 46.) Napište operátor průmětu spinu do obecného směru n = (n x, n y, n z ) = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ ). Najděte jeho vlastní čísla a vlastní vektory. 47.) a) Napište operátor průmětu spinu elektronu do směru (,0,). Najděte jeho vlastní hodnoty a funkce. Pracujte v reprezentaci Ŝz. b) Pomocí nehomogenního magnetického pole (jako v S-G experimentu) vytvoříme svazek elektronů s průmětem spinu do kladného směru osy z. Tento svazek necháme procházet dalším magnetem natočeným ve výše popsaném směru. Popište, co se stane (včetně číselných hodnot). ( ) a 48.) Nechť částice je ve spinovém stavu, kde a, b jsou reálná. Spočítejte pravděpodobnost naměření jednotlivých hodnot a střední hodnotu průmětu spinu do směru x, b resp. y, resp. z. ( ) cos(θ/2) 49.) Pro částici ve spinovém stavu určete možné naměřitelné hodnoty pro sin(θ/2) S z, příslušné pravděpodobnosti a střední hodnotu S z v tomto stavu. 50.) Spočtěte [S 2 x, S z ] pro spin /2. 5.) Spočtěte pravděpodobnost naměření obou průmětů spinu do směru, který je odchýlen o úhel θ od osy z (ϕ = 0) ve stavu z+, tj. ve stavu, který odpovídá vlastnímu stavu s vlastní hodnotou +/2 průmětu spinu do osy z. 52.) Pomocí Stern-Gerlachova zařízení natočeného ve směru z vybereme z původně nepolarizovaného svazku pouze elektrony, které mají průmět spinu do osy z roven + /2. Tento svazek necháme projít dalším Stern-Gerlachovým přístrojem natočeným ve směru x, pokud dojde k rozštěpení svazku vybereme opět svazek s kladným průmetem spinu. Ten necháme projít Stern-Gerlachovým přístrojem natočeným opět ve směru z. Spočtěte poměry, v jakých se štěpí svazky ve všech přístrojích, a vysvětlete rozdíl, oproti klasickému chování. )) 6

Pauliho rovnice Pauliho( hamiltonián (I je jednotková matice 2x2): H P = ( p q ) A ) 2 + qφ + V I + µ 2m B σ B + HSO, kde H SO L S 53.) Rozepište H P do matic. Variační počet 54.) Uvažujme částici v nekonečné potenciální jámě. Pomocí variačního počtu nalezněte vlnovou funkci základního stavu ve tvaru ψ = a λ x λ. Určete o kolik se liší energie tohoto základního stavu od přesného řešení. Stacionární poruchový počet 55.) Elektron je vázaný na úsečku L/2 x L/2. Najděte korekce k energii dané malou poruchou V (x) = αx (resp. V (x) = βx 2 ). Jak se změní energie fotonu emitovaného při přechodu z prvního excitovaného stavu do základního? 56.) Jednorozměrný harmonický oscilátor s nábojem e vložíme do slabého elektrostatického pole s intenzitou E. Určete změnu energie základního stavu danou touto poruchou v prvním a druhém řádu poruchové teorie. Spočítejte i přesnou hodnotu energie a porovnejte ji s výsledkem poruchového výpočtu. 57.) Uvažujme neporušený hamiltonián H 0 a poruchu V dané maticemi: 5 0 0 0 c 0 H 0 = 0 2 0 V = c 0 0 0 0 0 0 2c Určete: - Korekci k energii v prvním řádu poruchového počtu. - Korekci k energii v druhém řádu poruchového počtu. - Korekci k vlastním stavům v prvním řádu poruchového počtu. - Korekci k vlastním stavům řádu poruchového počtu. - Rozviňte přesné energie v mocninách c a porovnejte s předchozími výsledky. 58.) Uvažujme elektron se spinem /2 v silném magnetickém poli B ve směru osy z. Toto pole složíme se slabým polem b ve směru osy x. Najděte vlastní hodnoty energie a spinory přesně a pomocí poruchové metody. (Řešte pouze spinovou část Pauliho rovnice) Stacionární poruchový počet pro degenerovaný případ 59.) Ilustrujte použití poruchového počtu v degenerovaném případě na dvojhladinovém systému s energií E, kde porucha je popsána jako V = V 2 + V 2. 60.) Starkův efekt - Jak se změní energie atomu vodíku v základním a prvním excitovaném stavu, pokud je vložen do homogenního elektrického pole? Počítejte v prvním řádu poruchové teorie a určete vlastní stavy přizpůsobené poruše. 7

Nestacionární poruchový počet 6.) LHO je umístěn v kondenzátoru a v čase t je v základním stavu. Zapneme a vypneme pole uvnitř kondenzátoru ɛ = ɛ 0 exp( t 2 /τ 2 ). Určete pravděpodobnost, že v čase t bude oscilátor v excitovaném stavu. Diskutujte vztah mezi pravděpodobností a velikosti parametru τ. 62.) Porucha konstantní v čase - v čase t = 0 je systém ve stacionárním stavu, v tomto čase zapneme konstantní poruchu. Spočtěte pravděpodobnost přechodu do jiného stacionárního stavu v daném čase t > 0. 63.) Porucha periodická v čase - v čase t = 0 začne působit porucha ve tvaru V = V exp(iωt)+v exp( iω), určete pravděpodobnost přechodu z počátečního stacionárního stavu i do koncového stacionárního stavu f v čase t > 0. Částice a atomy v elmag. poli 64.) Uvažujete nabitou částici v homogenním magnetickém poli (A = ( By, 0, 0)). Najděte přesné řešení pro energie - tzv. Landauovy hladiny. (Hint: Vlnovou funkci předpokládejte ve tvaru ψ( x ) = χ(y)e i (pxx+pzz) ). 65.) LS-vazba je popsána ĤLS = f (r) LS L S. Ukažte, že je diagonální ve společné bázi vlastních vektorů operátorů 2 L, 2 S, 2 J, J z, kde J = L + S. 66.) Zeemanův jev - atom ve slabém homogenním magnetickém poli. a) Pro bezspinový eletron ukažte, že dojde k úplnému sejmutí degenerace vůči m. b) Uvažujte reálný elektron se spinem /2, H = H 0 +H LS +H B, kde H B = e B (L 2mc z+2s z ). b) Uvažujme velmi slabé mag. pole, které přidáme jako poruchu. b2) Uvažujme silnější magnetické pole, takže LS-vazbu přidáme jako poruchu. Vícečásticové systémy 67.) Separace těžišťových a relativních souřadnic v Schrödingerově rovnici se sféricky symetrickým potenciálem. 68.) Ukažte, že vlnová funkce pro dvě (resp. tři) nerozlišitelné částice musí být buď symetrická nebo antisymetrická. Vycházejte z toho, že vícečásticová vlnová funkce musí být vlastní funkcí operátoru permutace. 69.) Ve stavu s S = a L = 0 je potenciální energie neutronu a protonu (v těžišťovém systému) popsána funkcí V (r) = V 0 exp( r/a), kde a = 2, 2 0 5 m a V 0 = 32 MeV. Variační metodou odhadněte vazbovou energii deuteronu. (Volte zkušební funkci ve tvaru φ(r) = A exp( αr), kde α je volný parametr a A je dáno normováním.) Porovnejte s experimentální hodnotou -2,225 MeV. 70.) Zahrňte vzájemnou interakci obou elektronů v atomu helia do energie základního stavu a) poruchovou metodou b) variační metodou (tvar funkce volte jako bez zahrnutí vzájemné interakce, parametrem 8

je v ní uvedený náboj jádra Z - stínění jádra druhým elektronem) c) jak by byla zahrnuta symetrie/antisymetrie prostorové části vlnové funkce při zahrnutí možných spinových stavů, jak se to projeví na spektru helia. 9