6 Řšní soustv linárníh rovni rozšiřujíí opkování Tto kpitol j rozšiřujíí ěžné učivo. Poku uvné mtoy zvlánt, zkrátí vám to čs potřný k výpočtům. Nní to všk učivo nzytné, řšit soustvy linárníh rovni lz i známými mtomi: oszoví sčítí. 6. Příkl: Řšt soustvu vou rovni pro vě nznámé ) mtoou oszoví ) mtoou sčítí x x y y Řšní: [,] Mtoy jsou opkováním z kvrty kvinty. Uváím j n připomnutí: mto oszoví: vyrm si rovnii z ní vypočtm jnu proměnnou (v tomto přípě j njjnoušší vypočítt z ruhé rovni proměnnou y); získám vzth mzi nznámými y = x - tu osím o zývjíí rovni x + (x - ) = x - = x = x = výslk osím vzthu vypočtm y = x = 9 = mto sčítí jnu no oě rovni vynásoím vhonými čísly tk, yhom s po sčtní oou rovni zvili jné proměnné x + y = x + y = x y = / 9x y = ------------------- x = z vzniklé rovni vypočítám nznámou x = osím o jné rovni vypočtm ruhou nznámou, npř. + y = => y = zkoušk Nílnou součástí při řšní rovni jjih soustv j zkoušk. Jjí správné provní j oszní o lvé strny postupnými výpočty s ostt k honotě n prvé strně L =. +. = 6 + 6 = = P L =. = 9 = = P Mnozí z vás s příliš spoléhát n svou nomylnost n tzv. kvivlntní úprvy. Ty si xistují, l př vlstními omyly hymi vás nohrání. Proto vžyky ěljt zkoušky spoň pro s v uhu. Určitě tím ni nztrtít můžt ty jn získt.
6. ini: trminnt ruhého řáu Nhť,,, R jsou rálná čísl. Tulk rovn číslu -. s nzývá trminnt ruhého řáu j 6. Vět: Crmrovo prvilo Nhť,,,,, R jsou rálná čísl x x j soustv vou linárníh rovni pro vě nznámé x,y R. Oznčm náslujíí trminnty x y, y y trminnt s nzývá trminnt soustvy. Pk pltí: J-li, pk xistuj jiné řšní x = x /, y = y /. Jsou-li všhny trminnty rovny nul = x = y =, pk má soustv nkončně mnoho řšní, ktré s určí z něktré rovni. J-li = zárovň x no y (j-li trminnt soustvy rovn nul spoň jn z trmnintů x, y různý o nuly), pk soustv nmá řšní. 6. Poznámk: výhoné uspořáání - - - x y - - - x = -/- = y = -/- = 6. Příkly: x y x y x y x y x y 8 x 6 y x y x y Řšní: [/,-] [-/,] [+y,y]
6.6 ini: trminnt třtího řáu Nhť,,,,,,g,h,i R jsou rálná čísl. Tulk třtího řáu j rovn číslu i+g+h-h-i-h. 6. Poznámk: g h i i g g h h - h - i - h i s nzývá trminnt 6.8 Příkly: 6 8
6.9 Gussov liminční mto ukážm si ji n příklu (j o sčítí mtou jn přsně orgnizovnou) x - y z u = -8 x - y + z + u = x + y - z + u = x + y + z - u = řšní: njprv si vypíšm koiinty ruhé strny o tulky zvné mti; kkoiinty nznámé hzky po s (sloup pro x, pro y, pro z, pro u prvé strny). 8 Nyní můžm řáky přhzovt, násoit nnulovým číslm no sčítt (očítt) jnotlivé řáky mzi sou. Pozor, při sčítání vou řáku jn zůstn v tul z změny ruhý u nhrzn součtm. Cílm j ostt po igonálu smé nuly. V nšm přípě. řák ponhám z změny osttní řáky změním tk, ž o nih očtm řák první. Jké jsm provl úprvy vžyky npíšu u příslušného řáku z uprvnou mtii; číslování řáků s vžy vzthuj n přhozí mtii. 8 8 () 8 () () () () () () Po igonálou mám smé nuly. Přpíšm nyní z mti zpět soustvu rovni x -y z u = -8 => x = / y +u = => y = z +u = => z = u = => u = / Z poslní rovni snno vypočítám nznámou u, osím ji o rovni n ní vypočítám nznámou z, t. (o přhozí rovni osím již vypočítné nznámé vypočtm zývjíí nznámou). V nšm příklu j výslkm uspořáná čtvři [/,,, /] () 8 () () () () () () () () ()
6. Příkl: Řšt soustvy rovni, výslk j uvn po soustvou. x y + 6z = x - z + u = y - 6z + u = x + 9y - u = 9 x + y = x + v + t = y + z + v = y - v + t = 9 z + u = v - t + u = - [, 8/, 9/, 9/] [,,, -,, ] x + y z + u = x u = - y + z = x + y = - x y + 6z = x - z + u = y - 6z + u = x + 9y - u = 9 [,-/,/,] [6,,, ] KONEC