1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

Transkript

1 .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit poocí rcioálí ociy. Klíčová slov této kpitoly: přirozeá, celá, rcioálí oecá reálá oci, přirozeá odoci v reálé ooru. Čs potřeý k prostudováí učiv kpitoly: 0,5 + 0,75 hodiy (teorie + řešeí příkldů)

2 Pozák. Defiici oecé ociy reálého čísl s reálý epoete je uté připrvit defiicei speciálějších oci s přirozeý, celý rcioálí epoete defiicí odociy. Je tké uté sledovt defiičí oory jedotlivých opercí, zejé to, zd je dá oci (odoci) defiová i pro ulu, příp. záporý zákld. Z kždou defiicí jsou uvedey zákldí vlstosti, které je ezpodíečě uté zát, protože ich jsou zložey úprvy výrzů s ocii odocii. Moci s přirozeý epoete. Defiice. Nechť R, N. Pk -tou ociou čísl je číslo =..., kde v zčeé součiu se vyskytuje právě -krát. Vět. Pro kždé R,, Npltí: + =, ( ) ( ) =, ( ) =. Moci s celý epoete. Defiice. 0 Nechť R, Z. Je-li = 0, pk pro 0 defiujee =. Je-li < 0 0, pk defiujee =. Syol je yí defiová pro kždé 0 kždé celé. Vět. Pro kždé, R,, 0,, Z pltí: + =, ( ) ( ) =, ( ) =, =, =. Odoci v reálé ooru. Defiice. Nechť R, N. Jestliže > 0, pk -tou odociou čísl je tkové kldé reálé číslo, pro které pltí =. Toto číslo je právě jedo zčí se. Místo se píše. Pro = 0 se defiuje 0 = 0. Jestliže < 0 liché, pk se defiuje =. (př. 8 = 8 = ). Pozák. Pro sudé vždy pltí ( ) =, ikoli = =, ikoliv. Npř. řešeí rovice = = = = =±. =, což pltí pouze pro 0. Proto př. = v R vypdá tkto:

3 Vět. Pro kždé, R,, > 0,, N, k Z pltí: =, k =, ( ) k =, =, ( ) =. Moci s rcioálí epoete. Defiice. Nechť > 0 je reálé číslo, r rcioálí číslo, které se dá (vždy) vyjádřit ve tvru p je celé q přirozeé číslo. Pk defiujee =, Oecá oci. =. r q p =. Speciálě pro N dostáváe Defiice. Nechť je kldé reálé číslo, liovolé reálé číslo. Pk eistuje posloupost { } rcioálích čísel tková, že její liit je rov. Oecá oci, tj. liit poslouposti oci s rcioálí epoete. poslouposti { } p r =, kde q se defiuje jko liit Pozák. ) Více je o posloupostech uvedeo v šesté kpitole. ) Oecá i rcioálí oci je defiová pouze pro kldý zákld, protože je tk je zruče eistece její reálé fukčí hodoty. Vět. Pro kždé y,,, R, y, > 0 pltí: y = y, =, ( ) y = y, =, = +, =, =, ( ) =.

4 Shrutí kpitoly: Mezi zákldí lgerické fukce v reálé (i kopleí) ooru ptří oci odoci. Oecou reálou ociu, tz. ociu s liovolý reálý epoete, defiujee postupě v ěkolik krocích. Nejprve defiujee ociu přirozeou (tj. s přirozeý epoete), pk celou (tj. s celý epoete), dále přirozeou odociu, rcioálí ociu (tj. s rcioálí epoete) koec poocí teorie posloupostí reálých čísel oecou ociu. Vlstosti růzých typů oci jsou si podoé, je všk uté dávt pozor defiičí oor. Přirozeá oci je defiová pro všech reálá čísl, celá oci pro všech reálá čísl kroě uly. Přirozeá odoci sudá je defiová pro kldá čísl lichá pro všech reálá čísl. Defiičí oor rcioálí oecé reálé ociy tvoří pouze kldá čísl. Otázky: Defiujte postupě přirozeou celou ociu, přirozeou odociu, rcioálí ociu oecou reálou ociu. U všech typů oci odociy určete defiičí oor. Pro které fukce jsou přípusté i záporé hodoty rguetu? Příkld : Vypočtěte ociy odociy: ) i) ;) ( ) ; c) 4 ; j) ( 4) ; k) ; d) ( ) 0, ; l) ; e) 9; f) 9 ; g) 8 ; h) 8 ; 0 68 ; ; ) 4 ; ) 4. Příkld : Zjedodušte výrzy: 4 4 ) 5 ( c ); ) ; c) y : y , 0 0 8y 0y d) ; e) :. 0, 00 0, 0, 00 7z 5z ;

5 Řešeí příkldů: ) 9; ) 9; c) 8, d) 8 ; e) ; f) edef. ; g), h) ; i) 6 ; j) ; k) 0, 6 l) ; ) 8 ; ) 8. ) c ; ) 4 7, 0; c) 9,, 0 7 y y y > ; d) 0 ; e), yz 0. z Dlší zdroje:. POLÁK, J. Přehled středoškolské tetiky. 6. vyd. Prh: Proetheus, POLÁK, J. Středoškolská tetik v úlohách I.. vyd. Prh: Proetheus, POLÁK, J. Středoškolská tetik v úlohách II.. vyd. Prh: Proetheus, REKTORYS, K. spol. Přehled užité tetiky. 6. přepr. vyd. Prh: Proetheus, 995. ZÁVĚR: [Tdy klepěte pište]