1.3.6 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů I

Transkript

1 1.3.6 Řešení slovníh úloh pomoí Vennovýh igrmů I Přepokly: , řešení rovni Pegogiká poznámk: Řešení slovníh množinovýh úloh pomoí Vennovýh igrmů mně přije zjímvé přínosné z těhto ůvoů: je o první příležitost, ky se stuenti snží zpst slovní zání pomoí písmen proměnnýh, učí se postupovt přesně pole textu zohleňovt kžé slovo, řešení úloh vyžuje systemtiký postup louhou ou není viět výsleek (to činí mnoh klukům orovské prolémy. Zčnou ihne počítt nějké částečné výsleky, které neokáží spojit ohromy, le stnrní postup jim přije příliš zlouhvý), stuenti poznjí, že poku se rží lgoritmu nepospíhjí ostnou se k výsleku i ve zánlivě eznějné situi. Poznámk: Je zel zřejmé, že první v příkly je možné vyřešit úvhou leko ryhleji. Jsou ze uveeny hlvně kvůli zvlánutí metoy. Poznámk: U všeh násleujííh příklů je smozřejmě zel jeno, jk si je zkreslíte o orázků neo jk si oznčíte jenotlivé části igrmu. Poku všk hete spoluprovt kontrolovt si svoji prái s osttními nezývá než se n zčátku kžého příklu omluvit použít stejné znčení. Př. 1: K oěu yl svíčková s knelíkem. Kuhřky u okénk se špinvým náoím provely výzkum vráenýh tlířů o hlvního jíl. Alespoň kus knelíku vrátilo 301 strávníků, kus knelíku neo mso okone 328 z nih. Ani kousek ms neyl n 554 tlíříh, pouze mso neo pouze knelík vrátilo 250 oěvjííh. ) Kolik lií snělo všehno? ) Kolik strávníků tento en jelo? ) Kolik oěvjííh vrátilo mso i knelíky? knelíky oěy mso Máme čtyři proměnné, potřeujeme čtyři rovnie. Kžé číslo v zání většinou vee k jené rovnii. Alespoň kus knelíku vrátilo 301 strávníků + = 301. Kus knelíku neo mso okone 328 z nih + + = 328. Ani kousek ms neyl n 554 tlíříh + =

2 Pouze mso neo pouze knelík vrátilo = = = = = 250 Dosíme z + o ruhé rovnie: 301+ = 328 = 27. Dosíme z o čtvrté rovnie: + 27 = 250 = 223. Dosíme z o první rovnie: = 301 = 78. Dosíme z o třetí rovnie: = 554 = 331. Zpíšeme počty o orázku. knelíky oěy =223 =331 =78 =27 mso Nyní opovíme n otázky. Všehno snělo 331 lií (množin ), jelo 659 strávníků (množin ), mso i knelíky vrátilo 78 lií. Pegogiká poznámk: První příkl řešíme při výue společně. N tuli nkreslím igrm, oznčím množiny npíšeme společně první rovnii. Pk čteme lší úje ze zání kžý sestvuje rovnie, které nehoím mo kontrolovt o lvie, le ukzujeme si je po hvile n tuli. Druhý příkl řešíme pooně, le snžím se nehávt žákům větší prostor. Ve čtvrtém příklu postupují víeméně smi. Nejříve seství soustvu rovni, kterou si musí neht shválit oe mě pk se ji snží opočítt. Postupujeme tk, yhom třetí příkl rovnie čtvrtého okázli zkontrolovt n tuli společně. I kyž se tři příkly mohou zát málo, nezžil jsem ještě situi, že y něko neměl n koni hoiny, o ělt, většinou skončí hoin tk, že většin tříy má npsné rovnie z příklu 4, le ořešit je musí om. Pegogiká poznámk: Nejčstější prolémy při sestvování rovni. Použití spojky neo, znmená že tm ptří i tlíře, n kterýh je knelík i mso njenou (to smé s popsnými poškránými lviemi v lším příklě). Ptám se jih: Máš n tlíři knelík, kyž vríš oojí? Je n lvii která je popsná i poškráná nějký škráne? 2

3 Př. 2: Z 15 kontrolovnýh lvi je poškránýh neo popsnýh 14 kusů. 10 lvi má nejvýše jeen ruh poškození. Poškránýh lvi je o 3 víe než popsnýh. Kolik lvi je: ) jenom poškránýh, ) poškránýh i popsnýh. škráne lvie nápisy Máme čtyři proměnné (určují počet prvků v jenotlivýh políh igrmu), potřeujeme čtyři rovnie. Kžé číslo v zání většinou vee k jené rovnii. Z 15 lvi = poškránýh neo popsnýh + + = 14 (popsná neo pokreslená je i lvie poškozená oěm způsoy). 10 lvi má nejvýše jeen ruh poškození + + = 10 (nejvýše jeen znmená jeen neo žáný). Poškránýh lvi je o 3 víe než popsnýh + = (poškráné lvie jsou uď jenom poškráné neo poškráné i popsné, k počtu popsnýh musíme přit 3, y se vyrovnl poškráným) = = = 10 + = Dosíme z + + o první rovnie: 14 + = 15 = 1. Dosíme z o třetí rovnie: = 10 + = 9. Uprvíme čtvrtou rovnii: = + 3. Dosíme z o třetí rovnie + = + 3+ = = 9 = 3. Dopočteme : = + 3 = = 6. Z ruhé rovnie spočteme : = 14 = 5. Zpíšeme počty o orázku: 3

4 škráne lvie =6 =1 =5 =3 nápisy Nyní opovíme n otázky: Jenom poškránýh je 6 lvi (množin ), poškránýh i popsnýh je 5 lvi (množin ). Př. 3: Zpiš v oeh postup n řešení slovníh o počteh prvků úloh pomoí Vennovýh igrmů. N o musíme při řešení ávt pozor? Pole zání zvolíme množiny pole jejih počtu nkreslíme igrm. Zhytíme situi pomoí jenotlivýh olstí v igrmu o rovni (jeno číslo v zání vee ovykle k jené rovnii). Získnou soustvu rovni vyřešíme. Největší zárhele: Jk přepst slovní zání o rovni (hlvně význmy slov neo, právě jeen, nejméně v po.). Neztrtit přehle o soustvě rovni vyřešit ji. Př. 4: Během jenoho roku vystoupil vkrát v jenom městě známá roková skupin. Z 450 stuentů gymnázi se konertu této skupiny spoň jenou zúčstnilo 290 stuentů, právě jenou 200 stuentů. Počet stuentů, kteří yli pouze n prvním konertu, je třikrát větší než počet stuentů, kteří yli pouze n ruhém. Kolik stuentů ylo: ) n 1. konertu, ) n ruhém konertu. 1.konert stuenti 2.konert Z 450 stuentů gymnázi = 450. Konertu se spoň jenou zúčstnilo 290 stuentů + + = 290. Zúčstnilo se právě jenou 200 stuentů + =

5 Počet stuentů, kteří yli pouze n prvním konertu, je třikrát větší než počet stuentů, kteří yli pouze n ruhém = 3. Získli jsme soustvu rovni = = = 200 = 3 Dosíme z + + o první rovnie: = 450 = 160. Dosíme z + o ruhé rovnie: = 290 = 90. Dosíme = 3 o třetí rovnie: 3 + = 200 = 50. Dopočítáme = 3 = 150. Zpíšeme počty o orázku. 1.konert stuenti =150 =160 =90 =50 2.konert Nyní opovíme n otázky. N prvním konertu ylo 240 stuentů (množiny ). N ruhém konertu ylo 140 stuentů (množiny ). Shrnutí: Systemtiký postup umožňuje řešit i velmi těžké příkly. 5