4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

Transkript

1 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi pečlivě vzdálenost dvou odů z nih vztyčíme trojúhelníky (s vrholy n viditelnýh místeh), v trojúhelnííh dopočítáme velikosti strn získáme síť trojúhelníků, které pokrývjí nějké území jejihž vrholy nám umožňují změřit liovolný dlší od v krjině. Československá stronomiko geodetiká síť z roku 955 elá síť stojí n změření 6 vzdáleností (geodetikýh záklden) 68 úhlů v 7 trojúhelnííh. Prolém Trojúhelníky nejsou oeně prvoúhlé ztím je nedokážeme dopočítt musíme njít vzore pro oené trojúhelníky. Ztím máme vzore pouze pro prvoúhlé trojúhelníky Pythgorov vět, Definie goniometrikýh funkí. zkusíme njít jejih odoy pro oený trojúhelník. Sinová vět Pro kždý trojúhelník, jehož vnitřní úhly mjí velikosti α, β, strny délky,, pltí = =. sin Pokyny pro numeriké výpočty Ve všeh dlšíh příkldeh počítej úhly s přesností n minuty, délky s přesností n dvě desetinná čísl.

2 Všehny hodnoty počítej, pokud je to možné, z hodnot určenýh v zdání. Všehny vzthy uprv do tvru, kdy vyjádříš proměnnou, kterou potřeuješ určit, vzniklý vzth zdávej do klkulátoru njednou. Př. Urči zývjíí strny úhly v trojúhelníku, je-li dáno =, β =, = 5. Nejdříve určíme úhel α (potřeujeme úhel pro strně ) α + β + = 8 α = 8 β + = = 3 Teď můžeme použít sinovou větu sin β sin = = = = 9,7 sin β sin 3 sin sin 5 = = = = 5,3 sin sin 3 V trojúhelníku pltí =, = 9,7, = 5,3, α = 3, β =, = 5. Poznámk Úhly udné v minutáh (přípdně i vteřináh) zdáváme do většiny klkulček pomoí tlčítk ''', npříkld pro sin 3 5'44'' tkto sin 3 ''' 5 ''' 44 ''' = =. V nejhorším přípdě je možné i převádění minut n stupně dělením 6. Př. Urči zývjíí strny úhly v trojúhelníku, je-li dáno = 5, 3, α = 6 8', = 8 3'. Nejdříve určím úhel β (potřeujeme úhel pro strně ) α + β + = 8 β = 8 α + = 8 6 8' + 8 3' = 9' Teď můžeme použít sinovou větu sin 6 8' = = = 5, 3 = 47,99 sin β sin β sin 9' sin sin 8 3' = = = 5, 3 = 7,8 sin β sin sin β sin 9' V trojúhelníku pltí = 47,99, = 5, 3, = 7,8, α = 6 8', β = 9', = 8 3'. Př. 3 Urči zývjíí strny úhly v trojúhelníku, je-li dáno = 6,, = 7,, α = 55. Nejdříve určíme úhel β (potřeujeme úhel pro strně ). 7, = sin β = = sin 55,96687 β = 75 3' sin β 6, Dopočítáme úhel α + β + = 8 = 8 α + β = ' = ' Teď můžeme určit sin sin ' = = = 6, = 5, 69 sin sin 55

3 V trojúhelníku pltí = 6,, = 7,, = 5,69, α = 55, β = 75 3', = 49 47'. Uvedené řešení předhozího příkldu není správné!!!!! Zdání vyhovuje tké trojúhelník = 6,, = 7,, =,57, α = 55, β = 4 47', = 3'. Př. 4 Ověř, že i druhé řešení vyhovuje zdání njdi v předhozím postupu hyu. Musí pltit součet úhlů v trojúhelníku α + β + = ' + 3' = 8 - pltí. Musí pltit sinová vět = = sin α 6, 7, 447 sin = sin 55 7, 7,447 sin β =,57 7,437 sin4 47' sin = sin 3' Všehny výsledky jsou přiližně stejné jde oprvdu o správné řešení. Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové kružnie, úhly, pro které pltí sin β =,96687, jsou v intervlu ( ;π ) dv musíme počítt s oěm. T T x - S x R - Př. 5 Urči zývjíí strny úhly v trojúhelníku, je-li dáno = 6,; = 7, ; α = 55. Njdi všehn řešení příkldu. Tentokrát to zkusíme správně. Nejdříve určíme úhel β (potřeujeme úhel pro strně ). 7, = sin β = = sin 55,96687 sin β 6, Úhly s touto hodnotou sinu mohou existovt dv musíme zkoumt o. β = 75 3' β = 8 β = ' = 4 47' Dopočítáme úhel Dopočítáme úhel 3

4 α + β + = 8 = 8 ( α + β ) = 8 ( ' ) = 49 47' Teď můžeme vypočítt sin = = sin sin sin ' = = 6, = 5, 69 sin 55 α + β + = 8 = 8 ( α + β ) = 8 ( ') = 3' Teď můžeme vypočítt sin = = sin sin sin 3' = = 6, =, 57 sin 55 Příkld má dvě řešení ) = 6,, = 7,, = 5,69, α = 55, β = 75 3', = 49 47'. ) = 6,, = 7,, =,57, α = 55, β = 4 47 ', = 3'. Př. 6 V trojúhelníku jsou dány dvě strny (o velikosteh 8,7 5,3) úhel proti větší z nih (85 35' ). Urči všehny strny úhly v trojúhelníku. Při výpočtu udeme používt vzore můžeme si ulehčit prái pojmenováním strn. Strny si můžeme pojmenovt liovolně, npříkld = 8,7, = 5,3. Zdný úhel má ležet proti delší ze zdnýh strn leží proti strně α = 85 35'. Nejdříve určím úhel β (potřeujeme úhel pro strně ). 5,3 = sin β = = sin 85 35', sin β 8, 7 Úhly s touto hodnotou sinu mohou existují dv musíme využít o. β = 37 4' β = 8 β = ' = 4 36' Dopočítáme úhel Dopočítáme úhel α + β + = 8 = 8 α + β α + β + = 8 = 8 α + β = 8 ( 85 35' ' ) = 57 ' Teď můžeme vypočítt sin = = sin sin sin 57 ' = = 8,7 = 7,3 sin 85 35' = ' ' = 48 ' Záporný úhel není možný příkld má jediné řešení. Příkld má jedno řešení = 8,7, = 5,3, = 7,3, α = 85 35', β = 37 4', = 57 '. Př. 7 Njdi důvod, proč utor zvolil oznčení strn v předhozím příkldě právě tímto způsoem. Důvod není mtemtiký, le souvisí s používáním počítčů. Jelikož dv předhozí příkldy jsou stejné liší se jen doszením. Mohli jsme získt poslední příkld pouhým zkopírováním přepsáním hodnot. Sinová vět si koleduje o důkz, nejdříve zkusíme vzth =. 4

5 Máme ostroúhlý trojúhelník. Sestrojíme výšku v, její ptu oznčíme. Vzniknou dv dlší trojúhelníky - (modrý) (zelený) o prvoúhlé s nimi umíme počítt. v V oou trojúhelnííh vyjádříme velikost výšky v. v trojúhelník (modrý) = v =, v trojúhelník (zelený) sin β = v = sin β. O výrzy pro v se musejí rovnt v = = sin β. = sin β / sin β = (to jsme měli dokázt) sin β Pltí toto odvození vždy? Pltí pouze pro úhly α < 9 (y situe odpovídl orázku). Př. 8 Proveď důkz pltnosti vzore =, když pltí α = 9. sin β sin α Nkreslíme orázek =v = Modrý trojúhelník zmizel, le pltí v =. v Trojúhelník (zelený) sin β = v = sin β. Důkz se zdří, když ude pltit v = =. Víme, že pltí 5

6 π v = = =, protože = sin =. O výrzy pro v se musejí rovnt v = = sin β. = sin β / sin β = (to jsme měli dokázt) sin β Př. 9 Proveď důkz pltnosti vzore =, když pltí 8 > α > 9. sin β sin α Nkreslíme orázek v Modrý trojúhelník částečně překrývá trojúhelník šrfovný (původně zelený). v trojúhelník (modrý) sin ( π α ) = v = sin ( π α ), v trojúhelník (šrfovný) sin β = v = sin β. sin π α. Potřeujeme, ne sin π α = sinπ osα osπ = osα = tedy v =. O výrzy pro v se musejí rovnt v = = sin β. = sin β / sin β = (to jsme měli dokázt) sin β Žádn dlší možnost velikosti úhlu α není vzth = jsme dokázli pro všehny oené trojúhelníky. Postřeh Tímto jsem fktiky dokázl i pltnost vzthů = =. Při sin β sin sin α sin kreslení orázku nezáleželo n tom, jkým písmenem si strny, se kterými jsme provli, oznčíme stčí změnit oznčení vrholů dokážeme místo rovnosti = jednu ze zývjííh dvou rovností. 6

7 Př. Nkresli orázek pro první část důkzu tk, y z ní vyplynul rovnost =. sin β sin Prohodíme oznčení vrholů tk, y vrhol yl nhoře. v Změňování vrholů se u trojúhelníků používá čsto, postup se nzývá ykliká záměn v tulkáh ývá popisován těmito shémty Vzore = získáme ze vzore = tk, že se posuneme ve směru šipek o sin β sin jeden znk dále. Př. Ve větě o oeném trojúhelníku vystupují vrholy, strn úhel. Pomoí ykliké záměny urči, které vrholy strny udou vystupovt ve větě s úhlem β. Úhel β získáme z úhlu posunutím o dv kroky (o dvě šipky) posuneme všehno o dv kroky ve větě udou vystupovt vrholy, strn úhel β. Poznámk Při formuli věty se tké můžeme zel oejít ez pojmenovávání strn, úhlů neo vrholů. Npříkld sinová vět může ýt vysloven tkto Pro kždý trojúhelník pltí, že poměr strny sinu protějšího úhlu je vždy stejný. Př. Petáková strn 49/vičení 75 ) ) strn 49/vičení 79 Shrnutí 7