Obrázková matematika D. Šafránek Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, Břehová 7, Praha 1

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obrázková matematika D. Šafránek Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, Břehová 7, Praha 1"

Lucie Drahomíra Havlíčková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Orázková mtemtik D. Šfránek Fkult jerná fyzikálně inženýrská řehová Prh 1.sfrnek@seznm.z strkt Názorná ovození záklníh geometrikýh vět známýh ze stření školy. 1 Úvo N stření škole se mehniky používjí vzorečky věty které vám kntoři mnohy ni neotěžují vysvětlit. Jk víte že tyto vzorečky fungují? Neučili jste se je elé ty čtyři roky oříkt zpměti zytečně? Já kntorům nevěřil. Počl jsem pátrt ke se vzorečky vzly ověřovl jsem si že věty skutečně pltí snžil jsem se je ovoit ez zveení limit nekonečnýh ř či imginárníh jenotek. Čistě geometriky. Výsleek svého pátrání Vám ze nyní překláám Vzth ( ) Jk víte že prvilo kžý s kžým skutečně pltí? Neyl y vzoreček hezčí ez té vojky uprostře? Nkreslíme si orázek. Osh čtvere lze vyjářit věm způsoy: jko násoek strn S ( + ) jko součet ploh čtvere o hrně čtvere o hrně vou oélníků S + + tey ( + ) Pythgorov vět Sn nejznámější i nejstrší mtemtiká vět vůe nezytná pro výpočty třetíh strn v prvoúhlýh trojúhelnííh. Ovoíme ji pooným způsoem. S + ( + ) 4 z přehozí věty + + / +. +

2 4 Sinová vět sin sin sin γ Ukzuje vzthy mezi úhly élkou strn. Použitelná hlvně v geometrii. e γ Zčneme úvhou. Sinová vět se jmenuje sinová protože je v ní sinus. Vyjáříme si tey sinus. Tře úhlu lf. sin Víme že sinová vět nám ává o poměru siny úhlů élky strn liovolného trojúhelník. Honotu neznáme ueme si ho tey muset vyjářit. Víme že sin oku sin sin / : : sin sin. Máme tey jenu část tvrzení zytek okážeme pooně. e sin sin γ / : : oku sin sin sin γ. 5 Kosinová vět + os Kosinová vět je mnohem používnější než vět sinová nejen v geometrii mtemtie le i ve fyzie. Dlo y se ji říkt zoeněná Pythgorov vět (pro lf rovno evesát stupňů se v ni mění). 1 Kosinová vět se jmenuje Kosinová protože je v ní kosinus. Vyjářeme si ho. Oznčme 1 tk že 1 + os 1.

3 Musíme vyjářit 1. Kyž se nám poří át o souvislosti 1 okážeme ze vzthu 1 + vyjářit osit ho o nší rovnie vyjářit 1 (musíme získt rovnie o vou neznámýh yhom neznámé mohli jenoznčně vyjářit). Použijeme Pythgorovu větu: 1 osíme 1 ( ) 1 1 z první věty (z osíme 1 ) víme 1 ( ) / Vyjáříme 1 osíme o os 1 + os os + / oku ostáváme hlený vzth + os. 6 Součet všeh úhlů v trojúhelníku 180º Tohle jste už určitě něke slyšeli. le určitě je to prv? Pro roviny sn. δ ε γ Z poonosti (rovnoěžnosti přímek) plyne že lf i et jsou i tm nhoře. Stčí ověřit že δ γ. Víme že δ + ε 180 le ε se á tké vyjářit jko ε 180 γ tey δ γ 180 oku δ γ nyní je již viět že + + γ 180.

4 7 Vzth mezi sinem kosinem sin + os 1 Vzoreček íky němuž ze sinu uěláme kosinus z kosinu sinus z tngens okoliv ueme htít. 8 Součtový vzore pro sinus Vyjeme z Pythgorovy věty + vyělíme kvrátem přepony 1 + kyž se násoí zlomky násoí se čittel s čittelem jmenovtel se jmenovtelem proto 1 + z orázku 1 sin + os. ( + ) sin os os sin sin + Ptří o záklní vývy kžého zkušenějšího mtemtik. H D 90- E Všehny úsečky uu pro přehlenost psát ez solutníh honot. Již víme že součet všeh úhlů v trojúhelníku á 180º. Postupně se ostneme k tomu že úhel DHE je roven Vyjáříme sin( + ).. Vyjáříme H. 3. Roztrhneme zlomek. 4. D má stejnou velikost jko E můžeme ho tey nhrit. 5. Vynásoíme hytrými jeničkmi (první výrz rozšíříme ruhý ). 6. Přeskupíme. 7. Pomoí orázku se ostneme k íli.

5 sin ( + ) E 1 H + D DH 3 D DH + 4 E DH + 5 E DH 6 + DH 7 + sin os + os sin 9 Součtový vzore pro kosinus os + os os sin ( ) sin Ovození ue shoné s přehozí větou ueme využívt tentýž orázek. Tey nyní již ez komentáře. os ( + ) os os sin sin 10 Závěrem to je vše o Vám nes ukážu. Možná jste si všimli že ůkzy jsou velmi omezené. Npříkl oě součtové věty jsou okázány pouze pro klné úhly se součtem o evesáti stupňů. Pro ůkzy lšíh částí y se musely nmlovt jiné orázky oefinovt o je sinus kosinus zápornýh úhlů. V nekonečnýh řáh to vše sfouknete nráz. V čem všk geometriká meto triumfuje je přehlenost názornost. Doufám že jste se oře povili. Referene [1] kol. utorů Pythgorov vět

Podobné dokumenty

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější