Teore platcty PLASTICITA
TEORIE PLASTICKÉHO TEČENÍ IDEÁLNĚ PRUŽNĚ-PLASTICKÝ MATERIÁL BEZ ZPEVNĚNÍ V platcém tavu nelze jednoznačně přřadt danému napětí jedné přetvoření a naopa, ja tomu bylo ve tavu elatcém. V platcé oblat pracujeme přírůty napětí d a přírůty přetvoření d a e vztahy mez nm. Tyto vztahy mez přírůty napětí a přírůty přetvoření vyplynou z teorí platcého tečení. Celové přetvoření dotaneme oučtem (ntegrací) jednotlvých přírůtů.
PRANDTLOVY-REUSSOVY ROVNICE INKREMENTÁLNÍ TEORIE PLASTICITY Přírůte deformace je rozdělen na elatcou a platcou čát: Materál je zotropní a deálně pružně-platcý (bez zpevnění). Předpoládáme, že přírůty hlavních platcých přetvoření jou úměrné hlavním ložám devátoru napětí: p p p d1 d d3 p p p d 0, d1 d d3 0, 1 3 de ladná hodnota dλ záví na podmínce platcty a platcá deformace probíhá př ontantním objemu. Rovnce můžeme zapat v obecných ouřadncích : e p d d d, p p p p p p d d xx yy d d zz xy d yz d zx p d, dj d j, nebo taé: xx yy zz xy yz zx p p p p p p p p d xx d yy d yy d zz d xx d yy d yy d zz...... d, xx yy yy zz xx yy yy zz nebo jao p xx xx p yy yy p p xx yy....... xx yy
xx m xy xz 1 devátor napětí: j yx yy m yz, m xx yy zz. 3 zx zy zz m Prandtlovy-Reuovy rovnce: e p 1 d xx d xx d xx d xx d yy d zz d xx m, E 1 d yy d yy d xx d zz d yy m E, 1 d zz d zz d xx d yy d zz m, E 1 1 1 d xy d xy d xy, d yz d yz d yz, d xz d xz d xz. E E E Bez elatcého členu jou to rovnce Lévy-Meovy.
APLIKACE NA EXPERIMENTY TAYLORA A QUINNEY ombnované zatížení tahovou lou a routícím momentem. Stěna truby je ve tavu dvouoé napjatot xx = a xy =, otatní ložy tenzoru napětí jou nulové. Hlavní napětí: 0, 1,3. Treca: 4 1 Von Me: 3 1 3
Materál je deálně pružně-platcý, mez luzu v tahu je. Prandtlovy rovnce: 1 v 1 d xx d xx d xx, d yy d zz d xx d xx, E 3 E 3 1 d xy d xy d xy. E Určíme závlot mez poměrným prodloužením truby xx a tahovým napětím xx v případu, dy nejprve aplujeme rotoucí routící moment až doáhneme platcého tavu, pa zůtane moment ontantní a budeme zvyšovat tahovou ílu. V tom případě zůtane zo xy ontantní a d xy =0. Vyjádříme dλ z této rovnce a doadíme do d xx 1 1 d xy 0 d xy d xy d, Podle Meovy podmíny platcty E E 1 1 d 1 d d, 3 xy xx xx xx E E xy 3 3 1 1 d nebo: d xx d. E E 3 xy 1 1 d xx d d. E E 3
Budeme ntegrovat výraz pro 1 1 x a a x d xx d d, dx x ln E E 3 a x a x 0 1 ln E xx, 3 E 1 1 xx 1 1 ln. 3 1 0
TEORIE MALÝCH PRUŽNĚ PLASTICKÝCH DEFORMACÍ Pět záladních potulátů 1) Směry hlavních normálných napětí a měry hlavních přetvoření jou hodné ) Objem přetvářeného tělea e mění pružně a třední přetvoření je úměrné třednímu napětí. 3) Největší myová napětí jou úměrná největším zoům 4) Intenzta napětí je funcí ntenzty přetvoření 5) Odlehčení probíhá pružně 1 1 ad), de 1 3, 1 3. určíme z 1-oé napjatot: 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 1. 3 3 3 E 3 E 1 G 1 1 1 1 3 1 3 I II III ad3) H. I II III 1 3 1 3 ad4) f, de 1 3 1 3, 1 3 1 3 3.
TEORIE MALÝCH PRUŽNĚ PLASTICKÝCH DEFORMACÍ Doadíme-l z 3) do 4) 1 H 1 3 1 3, 3 H H. 3 Po mnoha algebracých úpravách a po zavedení funce platcty 1+ 3 G, dotaneme vztahy mez napětím a přetvořením: 1 1 1 1 3 1 3, analogcy pro a 3, E 3G 1 I I, analogcy pro II a III. Použjme 1) větu: G 1 1 x x y z x y z, analogcy pro y a z, E 3G 1 x x, analogcy pro y a z. G
TEORIE MALÝCH PRUŽNĚ PLASTICKÝCH DEFORMACÍ Př rozvnutých platcých deformacích lze zanedbat pružnou změnu objemu a tedy předpoládat netlačtelný materál. Z toho vyplývá =0 a =0,5 a dále E=3G. Pa vztahy mez napětím a přetvořením budou: 1 1 1 x x y z, x x, 3G G 1 1 1 y y x z, y y, 3G G 1 1 1 z z x y, z z. 3G G ad5) př pružném odlehčování platí, de 3E = 3 G. 1
TENZOROVÁ FORMULACE TEORIÍ PLASTICITY Předpoládá, že platí lneární závlot: HD KD LD MD, de: dd dd D je devátor napětí a D, D je devátor přetvoření a D. dt dt Pro teor malých pružně platcých deformací je tenzorový tvar: 1 1 1 1 D D, H, K 0, L, M 0, J D J D J D J D 3 JD, JD. 3
PRANDTLOVA REUSSOVA TEORIE 3 H x x y y z z x x y y z z, K G, L 0, M 1. Závěr: Všechny teore platcty lze př protém zatěžování převét na tvar 1 1 D D. J D J D f Závlot louží dobře tahový dagram. dobře charateruje materál a pro určení této závlot Souoot devátorů napětí a deformace je rovněž proázána expermentálně. Lze odvodt vztahy (Lodeho parametry): 1 3 1 3 1 3,, 1 3 1 3 1 3
TAYLOR+QUINNEY