Řešení úloh 1. kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1,, 3, 4, 7), J. Jírů (5), P. Šedivý (6) 1.a) Je-li pohyb kuličky rovnoměrně zrychlený, bude pro uraženou dráhu platit vztah s = 1 An. Sestrojenými grafy proložíme v EXCELu spojnici trendu, závislost lineární a z rovnice regrese a z intervalu spolehlivosti vidíme, že tento vztah platí a že jde skutečně o přímou úměrnost. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n pro h = 0, m Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n pro h = 0,3 m Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n pro h = 0,4 m 4 body
b) Zrychlení A odečteme přímo z rovnic regrese. 0,09 m Pro h = 0,0 m je A = (počet kyvu), 0,14 m pro h = 0,30 m je A = (počet kyvu), 0,18 m pro h = 0,40 m je A = (počet kyvu). Z rovnice regrese vidíme, že závislost zrychlení A na výšce je lineární A = kh, kde konstanta úměrnosti k = 0,45(počet kyvu). Graf závislosti zrychlení A na výšce h c) Protože A = kh, pro h = 0,50 m tedy m A = 0,5 (počet kyvu) a s = 1 An =,81 m. 1 bod d) Vztah pro velikost zrychlení na nakloněné rovině odvodíme ze zákona zachování energie. mgh = 1 mv + 1 Jω = 1 mv + 1 5 mrv r = 7 10 mv. Označíme-li α úhel, který svírá nakloněná rovina s vodorovným směrem, potom h = L sin α a tedy gl sin α = 7 10 v. Po dosazení za L a v: g 1 at sin α = 7 10 a t a = 5 g sin α. 7 V našich podmínkách, kde čas nahrazuje počet kyvů kyvadélka, A = 5 7 g sin α = 5 7 g h L g = 7AL 5h = 3,15 m (počet kyv u).
l Z doby kyvu matematického kyvadla n = π g vyjádříme délku kyvadélka l = n g π = 1 3,15 π = 0,3 m. 3 body.a) Na cívku působí tři síly: tíhová síla F G v těžišti, které leží v ose cívky, tahová síla lanka T o velikostí T = mg a reakce kolejnic R, jejíž složky působí v bodech dotyku cívky s kolejnicemi. Protože se cívka pohybuje stálou rychlostí, jsou tyto síly i jejich momenty v rovnováze. Podle momentové věty vzhledem k ose procházející body dotyku cívky s kolejnicemi platí: = cos α sin α. = 0,6. mgr sin α = mg(r cos α r) r R 4 body b) Pohyb konce lanka vzniká složením pohybu cívky a pohybu lanka vzhledem k cívce (obr. R1). Velikost rychlosti v 1, se kterou se lanko namotává na válec r cívky, je v 1 = v 0. Velikost výsledné rychlosti bodu A určíme užitím kosinové R věty: v = v0 + r v 0 R r v 0 R cos α = v 0 1 + r R r R cos α =. 0,10 m s 1. 4 body Směrový úhel β výsledné rychlosti v určíme pomocí sinové věty: sin(180 β) = sin α sin β = v 0 sin α v 0 v v β =. 64. Obr. R1 3.a) Velikost w rychlosti vozíku bude největší v okamžiku, kdy je těžiště sloupce rtuti nejníže, tedy polovina objemu rtuti je v levém a polovina v pravém rameni. Podle zákona zachování energie se úbytek potenciální energie rtuti E p musí rovnat součtu kinetické energie rtuti E k1 a kinetické energie vozíku s trubicemi E k.
Platí E p = mg l 4 cos α = E k1 + E k = 1 mv + 1 Mw, (1) kde v je velikost rychlosti rtuti vzhledem k podložce. Pohyb rtuti můžeme popsat jako pohyb složený. Označíme-li u velikost rychlosti rtuti vzhledem k trubici, v v vodorovnou složku a v s svislou složku rychlosti rtuti vzhledem k podložce, pak v v = u sin α w, v s = u cos α, E k1 = 1 m(v v + v s ). () Podle zákona zachování hybnosti mv v = m(u sin α w) = Mw u = w sin α Z rovnic (1) až (3) dostaneme mg l 4 cos α = Mw + mw w = [ M + M m + [ M m + 1 ( tg 1 + M ) ], α m mgl cos α m tg α ( 1 + M m ( 1 + M ). (3) m ) ]. (4) Číselně: w = 0,17 m s 1. b) Těžiště soustavy rtuť vozík je na počátku ve vzdálenosti 5 bodů M 0 + m l sin α ml sin α x T = = m + M (M + m) od středu vozíku. Protože se poloha těžiště během děje nemění, ujede vozík do prvního zastavení dvojnásobnou vzdálenost ml sin α s = x T = M + m. Číselně s = 3,7 cm. 3 body Během pohybu dochází k přeměně potenciální energie na kinetickou a naopak. Soustava se chová jako harmonický oscilátor s amplitudou výchylky x T a s amplitudou rychlosti w. Platí w = ωx T = π T x T. Do prvního zastavení vozíku uplyne polovina doby kmitu: t = T = πx T w = πml sin α (m + M)w, kde w je dáno vztahem (4). Číselně t = 0,35 s.
4.a) Označíme uzly a překreslíme obrázek: Protože jde o symetrický obvod, můžeme odpory R 6 a R 9, kterými nebude procházet žádný proud, vynechat. Nové schéma obvodu pak bude: Nyní už snadno spočítáme celkový odpor: R AB = 3 R = 150 Ω. 6 bodů b) Celkový proud I = U e 3R = 1 6 A. Proudy I 1 = I 3 = I 1 = I 14 = 1 1 I = I 4 = I 5 = I 7 = I 8 = I 10 = I 13 = I 11 = 1 4 A a proudy I 6 = I 9 = 0 A. Příslušná napětí pak U 1 = U 3 = U 1 = U 14 = 5 3 V, U = U 4 = U 5 = U 7 = U 8 = U 10 = U 13 = U 11 = 5 6 A, proudy V. 4 body
5.a) Žárovka má elektrický odpor R = U 0 P 0 (1) a v obou zapojeních jí protéká jmenovitý proud I 0 = P 0. () U 0 Impedance obvodu je Z 1 = U 1 = U 1U 0. I 0 P 0 Užitím vztahů (1) a () dostaneme pro induktanci cívky X L = Z1 R = U 0 U 1 U0. (3) P 0 Indukčnost cívky pak je L = X L πf = U 0 U 1 U0 = 0,8 H. 3 body πfp 0 b) Pro impedanci obvodu po připojení kondenzátoru platí Z rovnice plynou dvě řešení Z = U = U U 0, (4) I 0 P 0 Z = R + (X L X C ). X C = X L ± Z R. Užitím rovnic (3), (4) a (1) dostaneme X C = U 0 U 1 U0 U ± U 0 P 0 P0 U 0 4 P0 = U ) 0 (U 1 P U 0 ± U U 0. 0 Kapacita kondenzátoru pak je 1 P 0 C = = ( πfx C πfu 0 U 1 U0 ± ). U U 0 Číselně dostaneme možné kapacity C = 3 µf a C = 87 µf. c) V zapojení s cívkou je 3 body tg ϕ 1 = X L R = V zapojení s cívkou a s kondenzátorem je tg ϕ = X L X C R = U 1 U 0 U 0 ϕ 1 = 66. U U 0 U 0 ϕ = 53, ϕ = 53. d) K sestrojení dopočteme rezistenci R = 38 Ω, induktanci X L = 88 Ω a kapacitanci X C = 139 Ω, X C = 37 Ω.
7.a) Nejprve určíme moment setrvačnosti tyče se závažím vzhledem k ose: J = ml + 1 3 ml = 4 3 ml. Těžiště tyče se závažím je ve vzdálenosti 3 l od osy otáčení. Podle ZZE 4 ( 3 mg 4 l cos α + 3 ) 4 l = 1 Jω, 3 mgl (1 + cos α) = 3 ml ω, ω = 3 g (1 + cos α). l b) Direkční moment D = mg 3 l, doba kmitu fyzického kyvadla 4 J 4 T = π D = π 3 l 3 g = 4 3 π l g. c) Těžiště tyče se dvěma závažími je ve vzdálenosti x T = m l + ml 3m setrvačnosti vzhledem k ose otáčení J 1 = ml + 1 ( ) l 3 ml + m = 19 1 ml. 3 body = l, moment 3
Ze zákona zachování energie plyne ( 3mg 3 l cos α + ) 3 l = 1 Jω 1, ω 1 = Úhlová rychlost se zvětší 1,06-krát. mgl (1 + cos α) = 19 4 ml ω1, 48 g (1 + cos α) ) = 48 19 l 3 19 ω = 1,06ω Direkční moment D 1 = 3mg l = mgl, doba kmitu fyzického kyvadla 3 J1 19 1 l T 1 = π = π D 1 g = π 19l 6g. Doba kmitu bude menší T 1 T = 3 19 = 0,94-krát. 5 bodů 4 1