MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický model procesu je způsob vyjádření chování procesu (systému) formou matematických vztahů Dynamické chování je chování procesu (systému) v čase matematické modely: získané zpracováním experimentů (induktivní) matematický popis je formální, systém je považován za černou skříňku získané fyzikální analýzou procesu (deduktivní, deterministické) matematický popis vyjadřuje podstatu procesu, vychází z fyzikálních, fyzikálně-chemických a chemických zákonů Obecný postup vytváření induktivních modelů vzruch reálný proces odezva experiment odhad chování procesu naměřené časové řady vzruch - odezva formální matematický vztah s neznámými parametry zpracování exper. dat za účelem určení hodnot parametrů vstupní funkce u(t) vstupní informace výstupní funkce matematický model y(t) algoritmus řešení výstupní informace simulační program využití simulačního programu (pouze v oblasti pokryté experimentem) MRT-08-P6-Bc.doc 1/7
vzruch vzruch reálný proces analýza procesu teoretický model matematický popis odezva odezva vstupní funkce u(t) vstupní informace výstupní funkce matematický model y(t) algoritmus řešení výstupní informace simulační program model nevyhovuje VERIFIKACE model vyhovuje využití simulačního programu Analýza procesu specifikace dějů probíhajících v procesu a určení jejich podstaty vymezení vlivů působících na proces určení veličin (fyzikálních,...) popisujících proces výběr dílčích dějů a vlivů podstatných pro popis procesu výběr možných zjednodušení a jejich realizace rozhodující pro kvalitu modelu Zásady: -- v úvahách vycházet z účelu vytvářeného modelu -- začínat od co nejjednoduššího modelu teoretický model Obvyklé zjednodušující předpoklady rozdělení systému na subsystémy, zavádění neexistujících forem hmoty, nezávislost látkových vlastností na stavových veličinách, homogenita a isotropnost materiálu, při současném průběhu pomalého a rychlého děje rychlý děj dosahuje okamžitě rovnovážného stavu, zanedbávání ztrát, linearizace nelineárních závislostí, používání empirických vztahů a závislostí, zavádění korekčních koeficientů, zjednodušování geometrických proporcí, volba vhodné souřadnicové soustavy, užití představy systému se soustředěnými parametry. MRT-08-P6-Bc.doc 2/7
Matematický popis výběr matematického vyjádření vztahů použitých v teoretickém modelu a) definiční rovnice: definice veličin fyziky, chemie, fyzikální chemie,... b) matematické vyjádření zákonů: pohybové rovnice rychlostní rovnice rovnovážné rovnice věty (zákony) o zachování vytvoření modelových rovnic a jejich základní kontrola určení podmínek řešení (počátečních, okrajových) matematický model Řešení modelových rovnic volba metody řešení rovnic matematického modelu analýza přesnosti řešení vytvoření algoritmu řešení sestavení a odladění programu pro počítač (ve vhodném simulačním jazyce) definice souboru vstupních dat a parametrů (veličiny, jednotky) simulační program Verifikace modelu kontrola zachovávání ustálených stavů kontrola adekvátnosti odezvy na definovaný vzruch (logickou úvahou na základě fyzikálních představ) kontrola ustálených stavů po odeznění přechodových jevů kontrola reálnosti výsledků simulace pro mezní stavy kontrola porovnáním simulovaných časových průběhů se známými daty (získanými experimentálně nebo z literatury) další možné kontroly (podle povahy modelovaného procesu) použitelný matematický model (ve formě simulačního programu) MRT-08-P6-Bc.doc 3/7
Základní pojmy okolí systému bilancovaná veličina bilancovaný systém bilanční časový interval rozhraní základní bilanční rovnice: AKUMULACE = VSTUP - VÝSTUP + ZDROJ AKUMULACE = VSTUP - VÝSTUP + ZDROJ AKUMULACE změna množství (zádrže) bilancované veličiny uvnitř bilancovaného systému za bilanční časový interval, VSTUP (přítok) množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vstoupí z okolí přes rozhraní do bilancovaného systému, VÝSTUP (odtok) množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vystoupí z bilancovaného systému přes rozhraní do okolí, ZDROJ množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval přeměnou uvnitř bilancovaného systému vznikne (znaménko +) nebo zanikne (znaménko -) Hranice a velikost bilancovaného systému Systémy se soustředěnými parametry bilancovaný systém obvykle totožný s modelovaným systémem hranice a geometrické rozměry se volí podle tvaru a uspořádání modelovaného systému souřadnicová soustava se nemusí zavádět Systémy s rozloženými parametry pro bilancovaný systém se volí jednoduché geometrické tvary rozměr bilancovaného systému ve směru souřadnice, která v popisu vystupuje jako nezávisle proměnná (x) je infinitesimálně malý (dx) souřadnicová soustava se zavádí tak, aby popis byl co nejjednodušší: MRT-08-P6-Bc.doc 4/7
Bilanční časový interval Bilance ustáleného stavu systému (pro statické modely) bilanční časový interval libovolný (obvykle jednotkový) Bilance neustáleného stavu systému (pro dynamické modely) bilanční časový interval infinitesimálně malý ( dt ) Znaménka členů bilanční rovnice Systémy se soustředěnými parametry členy VSTUP a VÝSTUP formulovat jako kladné, znaménko členu ZDROJ určit úvahou podle charakteru procesu, znaménko členu AKUMULACE pak vychází automaticky. Systémy s rozloženými parametry ve vybrané souřadnicové soustavě zvolit pro každou nezávisle proměnnou kladný směr a důsledně jej dodržovat, znaménka členů VSTUP a VÝSTUP, které jsou funkcemi souřadnic, pak vycházejí automaticky, členy VSTUP a VÝSTUP, které nejsou funkcemi souřadnic, formulovat jako kladné, znaménko členu ZDROJ určit úvahou podle charakteru procesu, znaménko členu AKUMULACE pak vychází automaticky. Důležité momenty postupu volba bilančního časového intervalu ustálené děje: libovolný, neustálené děje: dt volba hranic (rozměrů) bilancovaného systému jednoduché geometrické tvary se snadno matematicky vyjádřitelnými hranicemi, plochami a objemy bude-li souřadnice (např. x) nezávisle proměnnou modelu, pak rozměr bilancovaného systému v jejím směru musí být infinitesimálně malý (dx) volba souřadnicové soustavy kartézská x, y, z (obecné použití) cylindrická r, ϕ, z (pro systémy symetrické kolem osy) sférická r, ϕ, ψ (pro systémy symetrické kolem středu) volba kladných směrů na počátku zvolit a pak důsledně dodržovat MRT-08-P6-Bc.doc 5/7
Kartézský souřadnicový systém x, y, z x, y, z (, ) dv = dx. dy. dz Cylindrický souřadnicový systém r, φ, z r 0, ), φ 0, 2π, z (-, ) x = r. cosφ dv = r. dφ. dr. dz y = r.sin φ z = z Sférický souřadnicový systém r, φ, ψ r 0, ), φ 0, 2π, ψ 0, π x = r.sin ψ.cosφ y = r.sin ψ.sin φ z = r.cosψ dv = r. sin ψ. dφ. r. dψ. dr MRT-08-P6-Bc.doc 6/7
Příklad 1 Vytvořit matematický model směšovače za účelem sledování časového průběhu výstupní koncentrace Známe: objem směšovače V objemový průtok Q 1 koncentraci c 1 (kg/m 3 ) objemový průtok Q 2 koncentraci c 2 (kg/m 3 ) Q 1, x 1 Q 2, c 2 V Q, c Hledáme: vztah pro závislost c na čase t Příklad 2 Vytvořit matematický model elektrického průtokového ohřívače vody za účelem sledování časového průběhu výstupní teploty Známe: objem ohřívače V průtok vody Q teplotu T 1 příkon topení P účinnost topení η hustotu vody ρ měrné teplo vody c p V Q, T 1 Q, T 2 P, η Hledáme: vztah pro závislost T 2 na čase t Příklad 3 Vytvořit matematický model plynem ohřívaného průtokového ohřívače vody za účelem sledování časového průběhu výstupní teploty Známe: objem ohřívače V teplosměnná plocha ohřívače A vstupní teplotu vody T 1 průtok vody Q 1 účinnost plynového topení η objemovou výhřevnost plynu q V objemový průtok plynu ventilem Q 2 konstantu úměrnosti k zdvih ventilu x přetlak na ventilu Δp měrné teplo vody c p koeficient přestupu tepla α teplotu okolí T ok Q 1, T 2 V, A q v, η Q 2 = kx Δp Q 3 Q 1, T 1 Hledáme: vztah pro závislost T 2 na čase t MRT-08-P6-Bc.doc 7/7