PLOCHY A PLOCHY ROTAČNÍ

Technicá univezita v Libeci Faulta přídvědně-humanitní a pedaggicá Kateda matematiy a didatiy matematiy PLOCHY A PLOCHY ROTAČNÍ Pmcný učební text Peta Pilvá Libeec, leden 4

V tmt textu budeme řešit tázu plch becně a něteé typy plch budeme zebíat pdbněji. Přílady, teé jsu zde uvedeny, jsu p jednduchst řešeny v Mngevě pmítání. P definici plchy uvedeme puze ja plcha inematicy vzniá, cž p ptřeby tht textu bude plně stačit. Plcha vzniá phybem řivy, teá není tajetií phybu. Znamená t, že plcha je mnžina nenečně mnha řive, teé jsu závislé na jednm paametu (např. čas). Cž znamená, že plcha je jednpaameticá sustava řive. z M(u,v) y x Plcha Každá řiva je vša jednpaameticá sustava bdů, pt plcha je dvupaameticá sustava bdů. Pud je mžné plchu ppsat vnicemi, pa v suřadnicvé sustavě {O, x, y, z} mají tent tva:, de jsu funce dvu pměnných (paametů). Tyt funce dvu pměnných jsu definvané v blasti I a mají paciální deivace vyšších řádů. Uvedené vnice nazýváme paameticé vnice. Pud plžíme paamet, pa dstaneme na plše řivu, jejíž jediný paamet je v, tavu řivu značujeme ja u-řivu. Napa pud paamet, zísáme řivu, teá závisí jen na paametu u, nazýváme jí v-řivu. Na plše tvří u-řivy a v-řivy suřadnicvu síť. KŘIVKY NA PLOŠE Křiva na plše je tvřena bdy, teé vyhvují vnicím plchy. Mhu t být např. již zmíněné u-řivy a v-řivy plchy, ale taé jaéliv jiné libvlné řivy, teé leží na plše. BODY NA PLOŠE. Regulání bd Regulání bd je tavý bd, ve teém tečny všech řive plchy leží v jedné vině. Obáceně: Každá příma t viny teá pchází bdem T plchy, je tečna řivy plchy.

Rvinu nazýváme tečnu vinu a bd T je bd dtyu. Příma t je tečna plchy. Tečná vina plchy, teá se jí dtýá v nevlastním bdě, se značuje asymptticá vina. Příma, teá je lmá na tečnu vinu plchu v jejím dtyvém bdě je nmála plchy. t T Regulání bd plchy. Singulání bd Singulání bd plchy, je tavý, ve teém tečny plše netvří vinu, ale jinu plchu, příp. tvří více tečných vin.. Řez plchy vinu ÚLOHY NA PLOCHÁCH K řešení pužijeme pmcné viny (např. ), teé jsu ůznběžné s vinu řezu. Zvlená vina ptíná vinu řezu v přímce a plchu v řivce m. Splečný bd řivy m a přímy je bd řezu R plchy vinu. m R Řez plchy vinu. Půni plch a Půniem dvu plch a je řiva m. Zvlíme si pmcnu plchu 3, teá ptne dané plchy v řivách a. Půsečí K těcht řive je bdem půniu plch. Je-li t mžné, vlíme tavu pmcnu plchu, teá ptne plchy dané v jednduchých řivách, ja jsu přímy, užnice, Věta: Půniem jednduchých plch stupňů n, n je pstvá řiva stupně. Např. půniem dvu vadaticých plch je řiva čtvtéh stupně. 3

3 K m Půni plch 3. Půsečí řivy s plchu Danu řivu musíme plžit libvlnu plchu. Učíme půni dané a zvlené plchy. Bdy, ve teých řiva ptne půni plch, jsu hledané půsečíy řivy a plchy. V úlhách plchách bývá nejčastěji za řivu vlena příma. V tavém případě pládáme přímu vinu a učujeme řez plchy vinu. 4. Tečná vina a nmála v bdě T plchy V bdě plchy T si zvlíme dvě řivy a plchy. K nim pté sestjíme tečny t a t. Tyt dvě tečny učují tečnu vinu plchy v daném bdě T. Nmála n v tmt bdě plchy je lmice na sestjenu tečnu vinu. t n T t 5. Tečna vinnéh řezu plchy Tečná vina a nmála v bdě plchy Hledaná tečna musí ležet v vině řezu a je tečnu e řivce, v níž vina řezu ptíná plchu. Tečna musí taé ležet v tečné vině plchy v bdě dtyu. Je tedy půsečnicí viny řezu a tečné viny. 4

Tečná vina v bdě plchy T nemusí mít s plchu splečný puze bd T. Mhu nastat tři případy: a) Tečná vina má s plchu splečný pávě jeden bd. Tent bd nazýváme elipticý. b) Tečná vina ptíná plchu ve řivce, teá má v tmt bdě uzlvý bd s nělia tečnami. Bd značujeme ja hypeblicý. c) Tečná vina ptíná plchu ve řivce, teá má v bdě T bd vatu pvníh duhu s jednu tečnu. Bd se nazývá paablicý. T T t t l t T Elipticý bd Hypeblicý bd Paablicý bd Třídění pdle duhu tvřící řivy:. Přímvé plchy KLASIFIKACE PLOCH Tyt plchy vzniají phybem přímy. Tvřícím přímám říáme pvchvé přímy plchy. Příladem tavých plch jsu válcvé plchy a uželvé plchy. Válcvá plcha je mnžina všech příme, teé ptínají danu řivu a jsu vnběžné s danu přímu. Kuželvá plcha je mnžina všech příme, teé ptínají danu řivu a pcházejí daným bdem. Daná řiva se nazývá řídící řiva Pdél pvchvé přímy přímvé plchy existuje nenečně mnh tečných vin, teé vytvářejí svaze, neb (až na jediný bd) jedna tečná vina. Pud pdél přímy existuje nenečně mnh tečných vin (v aždém bdě přímy je jiná tečná vina), pa se nazývá egulání příma, pud pdél ní je puze jediná tečná vina (v aždém bdě je stále stejná tečná vina), nazývá se tzální příma. t Tzální příma Přímvá plcha, na teé se vysytují egulání tvřící přímy, se nazývá zbcená plcha. Zbcená plcha může bsahvat i tzální přímy. Jsu-li všechny tvřící přímy na plše tzální, pa se nazývá zvinutelná přímvá plcha. Např. uhvá uželvá plcha. 5

. Cylicé plchy Cylicé plchy vzniají phybem užnice. Příladem je např. ulvá plcha, uhvá uželvá plcha. V následujícím třídění plch pdle duhu phybu tvřící řivy, si uvedeme puze něteé typy plch. Další typy plch si ppíšeme pdbněji pzději.. Tanslační plchy Tyt plchy vzniají tanslačním phybem, cž je psuvný phyb bdu, teý pisuje danu řivu (řídící řivu tanslačníh phybu). Při tanslačním phybu libvlné řivy, teá vša musí být ůzná d tajetie tanslačníh phybu, vzniá tanslační plcha. Příladem tanslační plchy může být vina, válcvá plcha,. Obalvé plchy Obalvá plcha je tavá plcha, teá se dtýá všech plch jednpaameticé sustavy plch vznilých nějaým phybem. Křiva, pdél níž se balvá plcha dtýá tvřící plchy, se nazývá chaateistia. Obalvu plchu je např. tační válcvá plch (balvá plcha phybující se viny, neb phybující se ulvé plchy). 6

ROTAČNÍ PLOCHY Rtační plchy vzniají tačním phybem řivy ( ) lem sy tace. Tvřící řiva plchy musí být ůzná d sy táčení a užnic táčení. Každý bd tvřící řivy při táčivém phybu lem sy tace píše užnici plchy, teu nazýváme vnběža. Rtační plcha je tedy cylicá plcha se středy užnic na se táčení. meidián Rtační plcha Meidián tační plchy Rtační plcha je suměná pdle teéliv viny, teá pchází su tační plchy. Řezem tační plchy tavu vinu je řiva, teu nazýváme meidián tační plchy. Všechny meidiány tační plchy jsu shdné a suměné pdle sy tační plchy. Každým bdem T tační plchy pchází jeden meidián a jedna vnběža, teé jsu řivami na plše. Tečny těcht řive jsu na sebe lmé a učují tečnu vinu plchy v bdě T. t V n T W t Tečná vina a nmála v bdě T Věta: Tečny všech meidiánů tační plchy v bdech téže vnběžy tvří dtyvu tační plchu, tační válcvu plchu neb vinu. 7

Rvnběža a (b) s nejmenším (největším) plměem pdél teé tečny meidiánů tvří tační válcvu plchu, se nazývá hdl (vní). Rvnběža c, pdél teé tečny meidiánu vytvří vinu se, nazývá átevé užnice. Vchl tační uželvé plchy V tečen pdél vnběžy leží na se tační plchy. a b c Speciální vnběžy Nmála tační plchy leží v vině meidiánu a je lmá tečně meidiánu. Věta: Nmály tační plchy v bdech téže vnběžy tvří tační uželvu plchu, tační válcvu plchu neb vinu. Vchl tační uželvé plchy W nmál pdél vnběžy leží na se tační plchy. Pdél átevých užnic tvří nmály tační válcvu plchu. Pdél hdel a vníu tvří nmály vinu. Sutečným bysem tační plchy při pavúhlém pmítání na vinu lmu její se jsu vnběžy a singulání bdy plchy. Sutečným bysem tační plchy při pavúhlém pmítání na vinu vnběžnu s její su je meidián, teý leží v vině vnběžné s půmětnu (hlavní meidián), átevé užnice a haniční užnice plchy. 8

ÚLOHY NA ROTAČNÍCH PLOCHÁCH V tét apitle jsu uvedené úlhy řešeny v Mngevě pmítání. V jiných zbazvacích metdách se řeší bdbně, samzřejmě přihlédnutím dané zbazvací metdě. Přílad: Rtační plcha je dána su a tvřící řivu. Sestjte náys bdu A plchy, je-li dán jeh půdys a učete půdys bdu B, je-li dán jeh náys. Bd A: Sestjíme vnběžvu užnici plchy, teá pchází bdem A. Ta ptne tvřící řivu v bdě A* (A * ). Učíme náysy těcht bdů na náysu tvřící řivy. Pté učíme náys vnběžvé užnice, na teém leží hledaný náys A (A ) bdu A. Cž je úseča pcházející bdem A* (A * ). Bd A (A ) leží na tét vnběžvé užnici a na dinále z bdu A (A ). Bd B: Sestjíme vnběžvu užnici plchy, teá pchází bdem B. Její náys je úseča pcházející bdem B. Ta ptne tvřící řivu v bdě B*. Učíme půdys tht bdu na půdysu tvřící řivy. Půdys vnběžvé užnice je užnice se středem v půdysu sy tační plchy. Na ní a na dinále z bdu B leží hledaný půdys B (B ) bdu B. B B* A * A* A A B A y, B* A* A * A B B y, Učení půmětu bdu na tační plše 9

Přílad: Učete hlavní meidián tační plchy, teá je dána tvřící řivu a su. Bdy hlavníh meidiánu leží v vině μ pcházející su a vnběžné s náysnu. Budeme je sestjvat bdvě. Zvlíme si libvlný bd A řivy, sestjíme jeh vnběžu a bdy tét vnběžy ležící v μ jsu bdy hlavníh meidiánu. Kncvé bdy řivy píší haniční vnběžy, bdy lálně nejblíže (nejdále) d sy píší hdelní (vnívé) vnběžy. A y, y, A Hlavní meidián tační plchy Přílad: Rtační plcha je dána su a hlavním meidiánem. Sestjte tečnu vinu a nmálu plchy v bdě A. Tečná vina: Sestjíme náys a půdys vnběžvé užnice pcházející bdem A. V bdě A sestjíme tečnu t vnběžvé užnici, teá tímt bdem pchází a v bdě A taé sestjíme tečnu t e řivce (meidián). Půdys t je tečnu půdysu vnběžvé užnice a náys t je vnběža s su y, pcházející bdem A. Půdys t pchází půdysem sy tační plchy a samzřejmě taé bdem A. Abychm učili náys t, musíme meidián tčit d viny hlavníh meidiánu. Využijeme tmu bd A. Pud se bd A táčí lem sy d viny hlavníh meidiánu, táčí se p užnici na přímu vnběžnu s su y. Zísáme bd A. Náys A leží na hlavním meidiánu. V bdě A sestjíme tečnu t hlavnímu meidiánu. Tat tečna

ptne su tační plchy (neb je s ní vnběžná) v bdě V. Tečna t pa pchází tímt půsečíem přímy t s su (neb je s ní vnběžná) a bdem A. Tečná vina τ je učena tečnami t a t. V n n V A A t A A t t t W t t y, y, A A t A t =n A t t Tečná vina Nmála Nmála je lmá na tečnu vinu plchy v bdě A. Ptže je tečná vina lmá na vinu meidiánu, leží nmála v vině meidiánu a je nmálu tht meidiánu. Ptže n leží v půdysně pmítací vině, pchází bdem půdys nmály n. Náys n zísáme taé tčením viny meidiánu d viny hlavníh meidiánu. Opět tmu využijeme bd A. Otčeným bdem A vedeme lmici n t. Ta ptne su tační plchy v bdě W (neb je s su vnběžná). Bdem W a bdem A pchází náys nmály n (neb je vnběžná s su tační plchy).

Přílad: Sestjte půdysný bys tační plchy, jejíž sa je vnběžná s náysnu a je-li dán její hlavní meidián m. m y, Učení půdysu bysu - zadání Na plše zvlíme vnběžvu užnici (náysem je úseča, půdys není třeba sestjvat). Rtační plše pa vepíšeme ulvu plchu ta, aby se jí dtýala v bdech užnice. Její střed S leží na nmále n tační plchy a na se. Sestjíme půměty,, půdysnéh bysu ulvé plchy. V půsečících U, U užnic, jsu splečné tečné půdysně pmítací viny bu plch. Bdy U, U leží tedy na půdysném bysu tační plchy. Tečny t, t užnice jsu tečnami půmětu půdysnéh bysu v bdech U, U. Tut nstuci paujeme p další zvlené vnběžvé užnice, až zísáme dstačující pčet bdů. V našem zadání je plcha mezena vnběžvu užnicí u. Jejím náysem je úseča a půdysem elipsa. m u S U =U y, t U u S t U Učení půdysu bysu

Důležitu úlhu představuje učení řezu tační plchy vinu ρ. Pužijeme becný pstup z úvdní apitly plchách, ale pvedeme mdifiaci p tační plchy. Nejpve najdeme vhdnu řivu na plše. Tut vhdnu řivu je na tační plše vnběžvá užnice, teu dstaneme ja řez pmcnu vinu lmu na su tační plchy. Tut vinu využijeme i při hledání půsečíu řivy s vinu ρ. Přílad: Rtační plcha je dána su a meidiánem m. Sestjíme řez tační plchy vinu ρ, teá je učena stpami. Obecné bdy řezu: Zvlíme pmcnu vinu α lmu se tační plchy. V náysu se tat vina pmítne d přímy lmé se. Sestjíme půni viny α s tační plchu. Půniem je vnběžvá užnice α, jejíž plmě učíme v náysu ve sutečné velisti (je t vzdálenst půsečíu viny α s meidiánem d sy). Náysem tét užnice je úseča, půdysem užnice. Dále učíme půni viny α s vinu ρ. Půniem je hlavní příma hα viny ρ. V půdyse najdeme půsečíy A, A hlavní přímy h α s vnběžvu užnicí α. Tyt bdy jsu záveň půsečíy užnice α s vinu ρ. Z půdysu je dvdíme na hlavní přímu h α d náysu. Bdy A,A jsu dva bdy řezu tační plchy vinu ρ. Pstup paujeme vlbu další viny lmé se. Na bázu jsu sestjeny čtyři bdy půniu viny ρ s tut plchu. Bdy A, A jsme sestjili v pmcné vině α (α ), bdy B, B v pmcné vině β (β ). Tímt způsbem najdeme dstatečný pčet bdů, teými pa plžíme řivu řezu. n A A a = h A p A h Obecné bdy řezu 3

Osa řezu, nejvyšší a nejnižší bd řezu: Rvina řezu je suměná pdle viny ní lmé pcházející su tační plchy (suměnst se v půdysu zachvá). Křiva řezu je tedy svě suměná pdle půsečnice s viny řezu s vinu meidiánu, lmu vině řezu. Bdy řezu U, V na půsečnici s nalezneme ja půsečíy přímy s a meidiánu. Pt tčíme vinu lmu d viny hlavníh meidiánu lem sy. Příma s se tčí d s a meidián v vině lmé d hlavníh meidiánu (Na bázu je tčení pmcí půdysnéh stpníu přímy s.) Na něm najdeme bdy U, V bdů U, V (v náyse). Existence bdů U, V závisí na tvau hlavníh meidiánu. Pud tyt bdy existují, je bd V nejvyšším bdem a bd U nejnižším bdem řezu vzhledem půdysně. n s V V s U U P P s P V m p U P Nejvyšší a nejnižší bd řezu Bdy řezu na bysu plchy (bdy, ve teých se mění viditelnst řezu): Náysným bysem plchy je hlavní meidián m, teý leží v půdysně pmítací vině μ. Bdy řezu L, K hlavníh meidiánu musí ležet na půsečnici f viny řezu s μ. Tut přímu sestjíme a její půsečíy s hlavním meidiánem jsu hledané bdy na bysu. Půdysným bysem plchy jsu užnice (átevá), l (vnívá). Bdy řezu T, W, Y, Z na nich sestjíme ja becné bdy na plše. 4

5 p m K L L K T W Y Z Z Y T W n Bdy na bysu plchy s s n p s P P P P U U V V V U m a = h h A A A A K L L K T W Y Z Z Y T W Řez tační plchy

PRŮNIKY ROTAČNÍCH PLOCH Při nstuci půniů dvu tačních plch, vždy pužijeme nějau pmcnu plchu. Výbě tét pmcné plchy závisí na vzájemné plze s tačních plch.. Osy splývají Pud sy tačních s splývají, a mají-li plchy alespň jeden splečný bd, pa jejich půniem jsu jejich splečné vnběžvé užnice. Půni splývající sy (náys v Mngevě pmítání). Osy vnběžné ůzné Za pmcné plchy si v tavémt případě vlíme viny, teé jsu lmé sám. Pmcná vina ptne bě plchy v vnběžvých užnicích,. Půsečíy A, B těcht užnic jsu bdy půniu tačních plch. K sestjení celé půnivé řivy je nutné zvlit něli pmcných vin. Půnivá řiva plch je suměná pdle viny, ve teé leží sy plch. A =B y, A B Půni vnběžné sy 6

3. Různběžné sy Pmcnými plchami v tmt případě jsu ulvé plchy ůzných plměech se středem v půsečíu s. Pmcná ulvá plcha má s tační plchu splečnu su, pt se ptínají v vnběžách. Splečné bdy těcht užnic jsu bdy půniu plch. Půni plch ůznběžné sy (náys) 4. Mimběžné sy Zde vlíme pmcné plchy ta, aby půnivé řivy pmcné plchy s danu tační plchu byly c nejjedndušší. V tmt textu vša tent případ řešit nebudeme. PRŮNIKY ROTAČNÍCH KVADRIK Rtační vadiy jsu plchy, teé vzniají tací uželsečy lem její sy. Mezi tační vadiy patří: ulvá plcha (tace užnice), ptáhlý elipsid (tace elipsy lem hlavní sy), zplštělý elipsid (tace elipsy lem vedlejší sy), tační dvjdílný hypeblid (tace hypebly lem hlavní sy), tační jedndílný hypeblid (tace hypebly lem vedlejší sy), tační paablid (tace paably lem sy), tační uželvá plcha (tace přímy lem ní ůznběžné sy), tační válcvá plcha (tace přímy lem vnběžy). Pznáma: tační jedndílný hypeblid vzniá taé tací přímy lem ní mimběžné sy tace. Půniem tačních vadi je pstvá řiva čtvtéh stupně. Mají-li vadiy ůznběžné sy, pa pavúhlým půmětem jejich půnivé řivy na vinu vnběžnu s vinu s je uželseča. Pud se dá tačním vadiám záveň vepsat ulvá plcha, pa se jejich půnivá řiva zpadne na dvě uželsečy,. Tét vlastnsti se nejvíce v paxi využívá při sestjvání půniů tačních uželvých a válcvých plch. Pmítáme-li pavúhle bě plchy d viny vnběžné s vinu s plch, pa půměty půnivých uželseče se zbazí d úhlpříče čtyřúhelnía, teý je učen půměty hlavních meidiánů plch. 7

Půni tačních vadi (náys) Pznáma: Všechny úlhy jsu řešeny v Mngevě pmítání. Obdbným způsbem se řeší taé v jiných zbazvacích metdách. 8