Úvod Karel Břinda Edita Pelantová Theoretical Informatics Group FJFI ČVUT v Praze 14. prosince 2010
Schéma postupu Úvod Abelovská komplexita Balanční funkce Diskrepanční funkce Funkce S f u (N) Matice primitivní substituce
Značení Úvod Abeceda A = {1,..., d} Nekonečné slovo u Konečné slovo ω Vektor frekvencí µ = (µ(a)) a A, kde µ(a) = lim N + u 0u 1 u N 1 a N ; pro pevné body primitivních substitucí existuje Množina faktorů slova u L Množina faktorů délky n slova u L n
Úvodní definice Úvod Definice (Balanční funkce) Balanční funkci definujeme jako B N (u) = max a A max { w a w a }. w,w L N (u) Pokud je B u (n) omezená číslem C, říkáme, že u je C-balancované. Řekneme, že u je balancované, pokud je 1-balancované. Definice (Abelovská komplexita) Abelovskou komplexitou nekonečného slova u rozumíme funkci kde ψ(w) = ( w a ) a A. AC(n) = #{ψ(w) w L n },
Úvodní definice Úvod Definice (Diskrepanční funkce) Diskrepanční funkcí (pro pevný bod primitivní substituce) mysĺıme funkci D N (u) = max u0 u N 1 a Nµ(a). a A
Úvodní definice Úvod Definice (Landauovy symboly) f = O(g), pokud existuje C > 0 takové, že f (x) < C g(x) x > 0. f = o(g), pokud f = Ω(g), pokud f (x) lim x + g(x) = 0. f = (O Ω)(g), pokud f o(g), tj. lim sup x + f (x) g(x) > 0. f = O(g) f = Ω(g).
Úvod Vztahy mezi abelovskou komplexitou a balanční funkcí Věta Abelovská komplexita nekonečného slova je omezená jeho balanční funkce je omezená (tedy je C-balancované pro nějaké C). Věta Pro nekonečné slovo u nad binární abecedou platí: AC(n) = B n (u) + 1.
Úvod Balanční funkce omezená diskrepanční funkce omezená Věta Necht u je nekonečné slovo. Potom platí: B N (u) je omezená D N (u) je omezená.
Úvod Balanční funkce diskrepanční funkce Věta Necht u je nekonečné slovo, necht existuje µ = (µ(a)) a A a necht B N (u) = O(f (N)). Potom platí D N (u) = O(f (N)). Věta platí i pro o místo O.
Úvod Balanční funkce diskrepanční funkce Lemma (Ukázka nefunkčnosti v tomto směru) Necht f je reálná rostoucí neomezená funkce taková, že f (N) = o(n). Potom existuje nekonečné slovo u nad abecedou A = {0, 1} splňující: pro u existuje µ = (µ(a)) a A ; D N (u) = O(f (N)); N B u (N) = N.
Úvod Balanční funkce diskrepanční funkce Věta Necht u je nekonečné lineárně rekurentní slovo. Pokud existuje sublineární rostoucí funkce f taková, že D N (u) = O(f (N)), potom platí B N (u) = O(f (N)). Věta platí i pro o místo O.
Úvod Definice Necht u je nekonečné slovo, f je zobrazení A C a N N {+ }. Potom definujeme S f u (N) = a A u 0 u N 1 a f (a). V případě konečného slova ω definujeme S f (ω) = a A ω a f (a).
Úvod Definice Necht u je nekonečné slovo a existuje µ. Potom pro i {1,..., d 1} zavedeme vektory f i následovně: { 1 pro i = j; f i (j) = v ostatních případech. µ(i) µ(i) 1
Úvod Věta Následující tvrzení jsou ekvivalentní: D N (u) = O(g(n)), resp. o(g(n)); ( f = (f (i))i A C d) (f µ): S f u (N) = O(g(N)), resp. o(g(n)). V prvním tvrzení závisí konstanta v O na u, ve druhém tvrzení na u a na f. Věta Následující tvrzení jsou ekvivalentní: D N (u) = Ω(g(N)); ( f = (f (i))i A C d) (f µ): S f u (N) = Ω(g(N)).
Uspořádání spektra Úvod Příprava Horní odhad Dolní odhad Kritické případy Věta (Perronova-Frobeniova) Necht A je nezáporná ireducibilní matice. Pak její spektrální poloměr ρ(a) je vlastním číslem matice A s algebraickou násobností 1. Vlastní vektor k ρ(a) lze volit kladný. Žádnému jinému vlastnímu číslu neodpovídá nezáporný vlastní vektor. Pokud tento vektor budeme volit tak, že součet jeho složek bude 1, bude se jednat o vektor frekvencí.
Uspořádání spektra Úvod Příprava Horní odhad Dolní odhad Kritické případy S Mϕ = {θ i 2 i d } {θ 1 = θ} Násobnost vlastního čísla θ i v minimálním polynomu M ϕ označme α i. θ i > θ k i < k {2,..., d } : nebo θ i = θ k α i α k Další dodatečná podmínka: θ i = θ k = 1 α i = α k θ i není kořenem jednotky θ k je kořenem jednotky i < k. Jednoznačně určené: θ, θ 2, α 2.
Horní odhad Úvod Příprava Horní odhad Dolní odhad Kritické případy Věta Necht u je pevným bodem primitivní substituce. Potom: pokud θ 2 < 1, pak D N (u) je omezená; pokud θ 2 > 1, pak D N (u) = O ( (log N α2 1 )N log θ2 / log θ) ; pokud θ 2 = 1, pak D N (u) = O (log N α2 ). Konstanty v O závisí pouze na u.
Dolní odhad Úvod Příprava Horní odhad Dolní odhad Kritické případy Věta Necht u je pevným bodem primitivní substituce. Pokud θ 2 1, potom ( D N (u) = Ω (log N α2 1 )N log θ2 / log θ).
Kritické případy Úvod Příprava Horní odhad Dolní odhad Kritické případy Věta Necht u je pevným bodem primitivní substituce. Pokud θ 2 = 1 a θ 2 není kořen jednotky, pak Věta D N (u) = (O Ω) ((log N) α2 ). Necht u je pevným bodem primitivní substituce ϕ. Pokud θ 2 není kořenem jednotky, pak: A ϕ,u 0 D N (u) = (O Ω) ((log N) α2 ); A ϕ,u = 0 D N (u) = (O Ω) ( (log N) α2 1).
Úvod Věta (Adamczewski) Necht U je pevným bodem primitivní substituce ϕ. Potom platí: 1 pokud θ 2 < 1, pak B N (u) je omezená; 2 pokud θ 2 > 1, pak B N (u) = (O Ω)((log N) α2 1 N log θ θ2 ); 3 pokud θ 2 = 1 a θ 2 není kořenem jednotky, pak B N (u) = (O Ω)((log N) α2 ); 4 pokud θ 2 = 1 a θ 2 je kořenem jednotky, pak B N (u) = (O Ω)((log N) α 2 ), pokud A ϕ,u 0; B N (u) = (O Ω)((log N) α 2 1 ), pokud A ϕ,u = 0. Konstanta A ϕ,u závisí na (ϕ, u).
Úvod Důsledek Necht u je pevným bodem primitivní substituce ϕ. Pak má u balanční funkci omezenou právě tehdy, když platí jedno z následujících tvrzení: θ 2 < 1; θ 2 = 1, α 2 = 1, θ 2 je kořenem jednotky a A ϕ,u = 0.
Reference Úvod B Adamczewski. Balances for fixed points of primitive substitutions. THEORETICAL COMPUTER SCIENCE, 307(1):47 75, SEP 26 2003. 3rd Conference on WORDS, PALERMO, ITALY, SEP, 2001. B Adamczewski. Symbolic discrepancy and self-similar dynamics. ANNALES DE L INSTITUT FOURIER, 54(7):2201+, 2004.