10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

Transkript

1 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou dělení D = {x j } n j=0 rozumíme číslo ν(d) = mx{x j x j 1 ; j = 1,...,n}. Řekneme, že dělení D intervlu [,b] je zjemněním dělení D intervlu [,b], jestliže kždý dělící bod D je i dělícím bodem D. Definice. Necht f je omezená funkce definovná n intervlu [,b] D = {x j } n j=0 je dělení [,b]. Oznčme n S(f,D) = M j (x j x j 1 ), kde M j = sup{f(x);x [x j 1,x j ]}, S(f,D) = j=1 n m j (x j x j 1 ), kde m j = inf{f(x);x [x j 1,x j ]}, j=1 Definice. f(x) dx = inf{s(f, D); D je dělením intervlu [, b]}, f(x) dx = sup{s(f, D); D je dělením intervlu [, b]}. Řekneme, že omezená funkce f n intervlu [,b], < b, má Riemnnův integrál od do b, pokud f(x)dx = f(x)dx. Hodnot integrálu f od do b je rovn této společné hodnotě. Znčíme ji f(x)dx. Pokud > b, definujeme f(x)dx = f(x)dx, v přípdě, že = b, definujeme b b f(x)dx = 0. Oznčení. Množinu všech funkcí f : [,b] R, které mjí Riemnnův integrál od do b, znčíme R([,b]). Lemm Necht f je omezená funkce n intervlu [,b]. (i) Necht D, D jsou dělení [,b] D zjemňuje D. Pk pltí S(f,D) S(f,D ) S(f,D ) S(f,D) (ii) Necht D 1, D 2 jsou dělení intervlu [,b]. Pk pltí S(f,D 1 ) S(f,D 2 ).

2 (iii) Pltí f(x)dx f(x)dx. Důsledek Necht f je omezená n [,b], D 1 D 2 jsou dělení intervlu [,b]. Potom m(b ) S(f,D 1 ) f(x)dx kde m = inf{f(x); x [,b]} M = sup{f(x); x [,b]}. f(x)dx S(f,D 2 ) M(b ), Vět Necht f je omezená n [,b]. Pk pro kždé ε > 0 existuje δ > 0 tkové, že pro kždé dělení D intervlu [, b] splňující ν(d) < δ pltí: f(x)dx S(f,D) f(x)dx S(f,D) f(x)dx ε, f(x)dx + ε. Důsledek Necht f je omezená n [,b] {D n } n=1 je posloupnost dělení intervlu [,b] splňující lim n ν(d n ) = 0. Potom f(x)dx = lim n + S(f,D n), f(x)dx = lim n + S(f,D n). Vět 10.5 (kritérium existence Riemnnov integrálu). Necht f je omezená funkce n intervlu [,b]. Pk f R([,b]), právě když ε R,ε > 0 D, D je dělení intervlu [,b] : S(f,D) S(f,D) < ε. Definice. Řekneme, že funkce f je stejnoměrně spojitá n intervlu I, jestliže pltí ε > 0 δ > 0 x I y I : ( x y < δ f(x) f(y) < ε). Vět Necht funkce f je spojitá n omezeném uzvřeném intervlu [,b]. Pk f je stejnoměrně spojitá n [,b]. Vět Necht funkce f je spojitá n omezeném uzvřeném intervlu [,b]. Pk f je riemnnovsky integrovtelná n [,b]. Vět Necht funkce f je monotónní n omezeném uzvřeném intervlu [,b], < b. Pk f je riemnnovsky integrovtelná n [,b]. Vět 10.9 (vlstnosti Riemnnov integrálu). () Necht f,g R([,b]) α R. Potom f + g R([,b]), αf R([,b]) pltí (f + g) = f + g, αf = α (b) Necht f,g R([,b]) f g. Pk f g.

3 (c) Necht < b < c jsou reálná čísl. Pk pltí f R([,c]) f R([,b]) & f R([b,c]); je-li f R([,c]), pk c f = f + c (d) Necht f R([,b]). Pk f R([,b]) f f. Vět Necht J je nedegenerovný intervl f je funkce definovná n J splňující f R([α,β]) pro kždé α,β J. Necht c je libovolný pevně zvolený bod z J. Definujme n J funkci Potom pltí (i) F je spojitá n J, F(x) = c b f(t)dt. (ii) je-li x 0 bod spojitosti funkce f, pk F (x 0 ) = f(x 0 ). Důsledek (i) Jestliže je f spojitá n intervlu (,b), pk má n (,b) primitivní funkci. (ii) Necht f je spojitá n intervlu [,b],,b R F je funkce primitivní k f n (,b). Potom existují vlstní limity lim x + F(x), lim x b F(x) pltí f(t)dt = lim F(x) lim F(x). x b x + Vět Necht,b R, < b, f je funkce definovná n [,b]. Pk následující dvě tvrzení jsou ekvivlentní: (i) f R([,b]), (ii) existuje I R tkové, že pro kždé ε R, ε > 0, existuje δ R, δ > 0, splňující: je-li D = {x i } n i=0 dělení intervlu [,b], ν(d) < δ, t i [x i 1,x i ], i = 1,...,n, pk n f(t i )(x i x i 1 ) I < ε Newtonův integrál i=1 Definice. Řekneme, že Newtonův integrál funkce f n intervlu (,b), < b,,b R, existuje, jestliže f má n (,b) primitivní funkci (oznčme ji F ), limity lim x + F(x), lim x b F(x) existují jejich rozdíl je definován. Hodnotou Newtonov integrálu funkce f přes intervl (,b) pk rozumíme číslo (N) f(t)dt = lim F(x) lim F(x). x b x + Pokud (N) f(t)dt existuje vlstní, pk říkáme, že integrál je konvergentní. Není-li integrál konvergentní, říkáme, že je divergentní.

4 Oznčení. Množinu všech funkcí f : (, b) R, které mjí konvergentní Newtonův integrál od do b, znčíme N(,b). Vět (vlstnosti Newtonov integrálu). () Necht f,g N(,b) α R. Potom f + g N(,b), αf N(,b) pltí (f + g) = f + g, αf = α (b) Necht f,g N(,b) f g. Pk f g. (c) Necht < b < c + f N(,c). Potom f N(,b), f N(b,c) pltí c f = f + c b (d) Necht < b < c +, f N(,b), f N(b,c) f je spojitá v b. Potom f N(,c). Vět Necht funkce F je primitivní k f n (,b), G je primitivní ke g n (,b). Potom pokud je prvá strn definován. gf = [GF] b Gf, Vět (substituce pro určitý integrál). Necht ω : (α, β) (, b) splňuje ω((α, β)) = (, b) ω má vlstní nenulovou derivci n (α,β). Potom f(x)dx = pokud lespoň jeden z integrálů existuje. β α (f ω)(t) ω (t) dt, Vět (Bolzno-Cuchyov podmínk). Necht R F je definován n jistém prstencovém okolí bodu. Potom lim x F(x) existuje vlstní, právě když je splněn Bolzno-Cuchyov podmínk: ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x,y P(,δ) : F(x) F(y) < ε. Vět Necht f je omezená spojitá n omezeném intervlu (,b). Potom f N(,b). Vět Necht < < b +. Jestliže pro funkce f g pltí 0 f g n [,b), f je spojitá n [,b) g N(,b). Potom f N(,b). Vět (limitní srovnávcí kritérium). Necht < < b +. Jestliže pro nezáporné spojité funkce f g n [,b) pltí lim x b f(x)/g(x) = c (0, ), potom f N(,b), právě když g N(,b). Vět Necht,b R, < b, f : [,b] R je spojitá, g : [,b] R je nerostoucí, nezáporná spojitá n [,b]. Potom g() inf x [,b] f fg g() sup x [,b]

5 Vět (Abel-Dirichletovo kritérium). Necht < < b +, f : [, b) R je spojitá. Její primitivní funkci n (,b) oznčme F. Dále necht g : [,b) R je monotónní spojitá n [,b). Potom pltí (A) Jestliže f N(,b) g je omezená, potom fg N(,b). (D) Jestliže je F omezená n (,b) lim x b g(x) = 0, potom fg N(,b). Vět (první vět o střední hodnotě). Necht,b R, < b, f : [,b] R je spojitá, g : [,b] R je nezáporná, g N(,b) fg N(,b). Potom existuje ξ [,b] tkové, že fg = f(ξ) Vět (druhá vět o střední hodnotě). Necht,b R, < b, f : [,b] R je spojitá, g : [,b] R je monotónní spojitá n [,b]. Potom existuje ξ [,b] tkové, že 10.3 Aplikce určitého integrálu g. ξ fg = g() f + g(b) Definice. Křivkou budeme rozumět zobrzení ϕ : [,b] R n (n N,,b R, < b) tkové, že ϕ = (ϕ 1,...,ϕ n ) je třídy C 1, tj. ϕ i je spojité n [,b], i = 1,...,n, přičemž v krjních bodech [,b] symbol ϕ i(x) znčí příslušnou jednostrnnou derivci. Geometrickým obrzem křivky ϕ rozumíme množinu ϕ = ϕ([,b]) R n. Definice. Necht ϕ : [,b] R n je křivk. Délkou křivky ϕ rozumíme hodnotu L(ϕ) = sup{l(ϕ, D); D je dělení intervlu [, b]}, kde pro dělení D = {x j } k j=0 intervlu [,b] definujeme ξ L(ϕ,D) = k vzdálenost (ϕ(x j 1 ),ϕ(x j )). j=1 Lemm Necht,b R, < b, f = (f 1,...,f n ) : [,b] R n je spojitá (tj. f i je spojitá, i = 1,...,n). Potom pltí f := [ f 1,..., f n ] f. Vět (délk křivky). Necht ϕ = (ϕ 1,...,ϕ n ) : [,b] R n je křivk. Potom pltí L(ϕ) = (ϕ 1 ) (ϕ n) 2 (= ϕ ).

6 Vět (objem povrch rotčního těles). Necht f je spojitá nezáporná n intervlu [, b],,b R, < b. Oznčme Pk Je-li nvíc f spojitá n [,b], pk T = {[x,y,z] R 3 ; x [,b], y 2 + z 2 f(x)}. Objem (T) = π Povrch pláště (T) = 2π f(x) 2 dx. f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. Vět (integrální kritérium). Necht f je nezáporná, nerostoucí spojitá n [n 0, + ), kde n 0 N. Necht pro posloupnost reálných čísel { n } n=1 pltí n = f(n) pro n n 0. Pk n 0 f(x)dx konverguje, právě když n konverguje. n=1 Vět (zbytek Tylorov polynomu v integrálním tvru). Necht,x R, < x, funkce f má v kždém bodě intervlu [,x] vlstní (n + 1)-ní derivci. Potom f(x) T f, n (x) = 1 n! f(n+1) (t)(x t) n dt. Vět (zvedení logritmu (Vět 5.1)). Existuje právě jedn funkce (znčíme ji log nzýváme ji přirozeným logritmem), která má tyto vlstnosti: (L1) D(log) = (0, + ) n tomto intervlu je log rostoucí, (L2) x,y (0, + ) : log xy = log x + log y, (L3) lim x 1 log x x 1 = 1.