KYBERNETIKA. Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava

KYBERNETIKA Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 28

. ÚVOD DO TECHNICKÉ KYBERNETIKY... 5 Co je to kybernetika... 5 Řídicí systémy... 6 Základní pojmy z teorie systémů... 8 Definice a rozdělení systémů... 9 2. VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ... 4 2.. VNĚJŠÍ POPIS SPOJITÝCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ... 4 Obecný úvod... 4 Popis systému diferenciální rovnicí... 5 Operátorový přenos přenosová funkce... 5 Frekvenční přenosová funkce... 8 Frekvenční charakteristika systému... 8 Impulsní charakteristika systému... 2 Přechodová charakteristika systému... 23 Rozložení nul a pólů přenosu... 26 2.2. VNĚJŠÍ POPIS VÍCEROZMĚRNÝCH SYSTÉMŮ... 28 Úvod... 28 2.3. VNĚJŠÍ POPIS DISKRÉTNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ... 32 Diskrétní dynamické systémy... 33 Systémy s časovou diskretizací... 33 Diferenční rovnice... 34 Z transformace... 35 Operátorový přenos diskrétních systémů... 39 Impulsní charakteristika... 4 Přechodová charakteristika... 42 Rozložení nul a pólů diskrétního přenosu... 45 2.4. DISKRETIZACE SPOJITÝCH SYSTÉMŮ... 46 Převody mezi spojitými a diskrétními systémy... 47 Tvarovací členy... 47 Frekvenční vlastnosti procesu vzorkování... 56 3. ZÁKLADNÍ DYNAMICKÉ SYSTÉMY... 6 3.. BLOKOVÁ ALGEBRA SPOJITÝCH SYSTÉMŮ... 6 Sériové zapojení... 6 Paralelní zapojení... 6 Zpětnovazební zapojení... 6 Systémy s překříženými vnitřními vazbami... 6 3.2. ZÁKLADNÍ SPOJITÉ DYNAMICKÉ SYSTÉMY... 63 Proporcionální systém... 64 Systém se setrvačností prvního řádu... 67 Statický systém druhého řádu... 76 Přetlumený statický systém druhého řádu... 77 Dopravní zpoždění... 84 3.3. BLOKOVÁ ALGEBRA DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ... 87 3.4. ZÁKLADNÍ TYPY DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ... 92 Diskrétní proporcionální systém... 93 Diskrétní setrvačný systém... 94 Diskrétní kmitavý systém prvního řádu... 99 4. STAVOVÝ POPIS DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ... 5 4.. STAVOVÝ POPIS SPOJITÝCH LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ... 5 Stavová teorie... 5 Základní pojmy... 5 Stavové rovnice... 6 Generátory vstupních funkcí... 2 4.2. VZÁJEMNÝ VZTAH MEZI STAVOVÝM A VNĚJŠÍM POPISEM SPOJITÝCH SYSTÉMŮ... 7 Srovnání vnějšího a stavového popisu... 7

4.3. STAVOVÝ POPIS DISKRÉTNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ... 2 Stavové rovnice diskrétních systémů... 22 Generátory diskrétních vstupních funkcí... 23 Stavová representace diskrétních systému...26 4.4. VZÁJEMNÝ VZTAH MEZI STAVOVÝM A VNĚJŠÍM POPISEM DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ... 29 Vztah mezi vnějším a stavovým popisem diskrétního systému... 29 5. VLASTNOSTI DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ... 36 5.. STABILITA SPOJITÝCH LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ... 36 Úvod... 36 Metody vyšetřování stability... 36 5.2. STABILITA DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ... 44 Úvod... 44 Kritéria stability diskrétních systémů... 46 Vyšetření stability diskrétních systémů bez bilineární transformace... 48 5.3. ŘIDITELNOST, DOSAŽITELNOST POZOROVATELNOST A REKONSTRUOVATELNOST STAVU SYSTÉMU CHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA. Řiditelnost systému... 53 Dosažitelnost systému... 53 Pozorovatelnost a rekonstruovatelnost systému... 54 5.4. IDENTIFIKACE SYSTÉMŮ... 55 Úvod... 55 Experimentální identifikace... 56 Identifikace z frekvenční charakteristiky... 56 Identifikace z přechodové charakteristiky... 57 Metody určení aproximační přenosové funkce z přechodové charakteristiky... 58 Identifikace s použitím adaptivního modelu...6 Identifikace diskrétního systému metodou minima součtu odchylek... 62 6. ANALÝZA DYNAMICKÝCH VLASTNOSTÍ REGULAČNÍCH OBVODŮ... 65 6.. SPOJITÝ REGULAČNÍ OBVOD, REGULÁTORY A STATICKÉ VLASTNOSTI OBVODU... 65 Spojitý regulační obvod... 65 Spojité regulátory... 67 Dynamické vlastnosti lineárních spojitých regulátorů... 67 Realizace základních typů spojitých regulátorů... 72 Standardní typy přenosů ve spojitých zpětnovazebních obvodech... 79 Ustálené hodnoty základních veličin v regulačním obvodu... 8 6.2. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH SPOJITÝCH ZPĚTNOVAZEBNÍCH OBVODŮ... 83 Stabilita... 84 Nyquistovo kriterium stability... 85 Ustálené odchylky v regulačních obvodech statická přesnost regulace... 96 Dynamické vlastnosti regulačních obvodů kvalita regulace... 99 Analýza spojitých zpětnovazebních obvodů pomocí frekvenčních charakteristik... 99 6.3. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH DISKRÉTNÍCH ZPĚTNOVAZEBNÍCH OBVODŮ... 26 Standardní typy přenosů v diskrétních zpětnovazebních obvodech... 26 Standardní typy přenosů v zpětnovazebních obvodech se vzorkováním... 27 Ustálené hodnoty základních veličin v diskrétním regulačním obvodu... 29 Stabilita diskrétního regulačního obvodu... 2 Dynamické vlastnosti diskrétních regulačních obvodů kvalita regulace... 23 7. NELINEÁRNÍ REGULAČNÍ OBVODY.... 27 7.. DYNAMICKÉ VLASTNOSTI NELINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ... 27 Úvod... 27 Základní nelineární prvky... 27 Metody pro řešení nelineárních přechodových jevů... 22 Numerické metody řešení nelineárních systémů... 22 Úvod do stability nelineárních systémů.... 22 7.2. VLIV NELINEARIT A NÁVRH NELINEÁRNÍCH REGULAČNÍCH OBVODŮ... 223 Dvoupolohová regulace... 223 Porovnání lineárních a nelineárních regulačních obvodů s PID regulátory... 226

8. OPTIMÁLNÍ A ADAPTIVNÍ ŘÍDICÍ SYSTÉMY... 238 8.. OPTIMÁLNÍ ŘÍDICÍ SYSTÉMY A KRITÉRIUM OPTIMALITY... 238 Optimalizační proces...238 Základní rozdělení optimalizačních úloh... 239 Kritérium optimality a omezující podmínky... 239 Přehled metod řešení optimalizačních problémů... 24 8.2. DEFINICE ADAPTIVNÍHO A UČÍCÍHO SE SYSTÉMU, STRUKTURA ADAPTIVNÍHO ŘÍDICÍHO SYSTÉMU...243 Adaptivní systémy... 244 Učící se systémy... 246 Struktura adaptivního řídicího systému... 247

Úvod do technické kybernetiky. Úvod do technické kybernetiky Čas ke studiu: 4 až 6 hodin Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět vysvětlit význam technické kybernetiky a řídicích systémů určit základní funkce a rozdělení řídicích systémů vysvětlit souvislost mezi teorii systémů, kybernetikou a teorii automatického řízení definovat systém popsat způsoby rozdělení systémů Výklad Co je to kybernetika Kybernetika je věda o složitých systémech a procesech, jejich modelování,řízení a přenosu informace. Rozdělení kybernetiky Z praktického hlediska můžeme kybernetiku rozdělit podle přístupu a aplikací: teoretická kybernetika aplikovaná kybernetika Teoretická kybernetika studuje především obecné vlastnosti a chování systémů. Zabývá se obecným popisem vlastností a chování systémů. Z tohoto pohledu zahrnuje teoretická kybernetika teorii systémů a teoretickou informatiku. Aplikovaná kybernetika představuje použití kybernetického přístupu při analýze, modelování a simulaci a návrhu systémů, dále aplikuje poznatky kybernetiky do dalších oblastí. Aplikovaná kybernetika zasahuje do mnohých oblastí lidské činnosti - zahrnuje totiž mj. následující obory: Technická kybernetika jako hlavní aplikační oblast o Dynamické systémy: zpětná vazba, stavový popis, stochastické systémy, řízení, aj. o Přenos informace: informační entropie, kapacita komunikačního kanálu, aj. o Umělá inteligence: strojové vnímání a učení, multi-agentní systémy, robotika, modelování neuronových sítí, konekcionismus, vazba člověk-stroj,... o Teorie rozhodování, her, teorie složitosti, chaotické systémy, aj. Informatika Biokybernetika a mnohé další 5

Úvod do technické kybernetiky V dalším textu jsou popsány především dynamické systémy a řídicí (regulační) systémy se zpětnou vazbou. Řídicí systémy Co je to řídicí systém lze ukázat na příkladech z denního života. Například v domácnosti je potřeba regulovat teplotu a vlhkost obytných prostor. Řídit ovšem lze i celou budovu pro pohodlný život lidí v této budově. Jako příklad řízení lze ukázat aplikaci v dopravě, kde jednoduchým příkladem je manuální řízení auta. Podstatně složitějším příkladem je přesné a bezpečné řízení letadla autopilotem. Příkladem řízení složitých a komplexních systémů je řízení průmyslových procesů, které obsahují početné výrobní objekty, kde řízení zajišťují bezpečnost a přesnost výroby a jejich ekonomickou efektivnost. Průměrný člověk je schopen zpracovávat poměrně široký rozsah úkolů. Ovšem pouze některé z řady úloh nebo úkolů může člověk provádět tím nejlepším způsobem (např. úkol, aby atlet běžel co nejrychleji m či maratón). Mnohdy ovšem řízení různých technických a jiných systémů pouze člověkem nelze realizovat s ohledem na omezenou rychlost a kapacitu úkonů, které je schopen člověk provést. Důležitost automatizovaných řídicích systémů se v rozvoji moderní civilizace a technologií neustále zvyšuje. Moderní řídicí systémy využívající výpočetní techniku lze prakticky nalézt ve všech oblastech lidské činnosti. Obr..: Zjednodušené schéma řídicího systému Jako příklad bude uvedeno několik oblastí, kde se řídicí systémy používají: řízení kvality výroby řízení technologie výroby automatizované montážní a technologické linky řízení domácích spotřebičů a elektroniky řídicí systémy v dopravních prostředcích řízení energetických systémů řízení robotů a jejich systémů řízení kosmických projektů a zařízení jiné Ve všech uvedených oblastech, ale také u sociologických, ekonomických a biologických systémů lze pro jejich řízení využít obecnou teorii automatického řízení. Základní prvky řídicích systémů lze rozdělit na (obr..): vstupy řídicí systém výstupy Řídicí systémy lze rozdělit podle počtu vstupních a výstupních veličin: s jednou proměnnou s více proměnnými 6

Úvod do technické kybernetiky Řídicí systémy lze dále rozdělit: řídicí systémy bez zpětné vazby automatické ovládání řídicí systémy se zpětnou vazbou automatická regulace nebo jiné rozdělení může být na řídicí systémy manuální řídicí systémy automatické - automatizované Princip řídicího systému bez zpětné vazby je znázorněn na obrázku.2. Řídicí veličina - žádaná hodnota w se zadá regulátoru, který pomocí akční veličiny u působí na regulovanou soustavu tak, aby byla dosažena na jejím výstupu požadovaná hodnota regulované veličiny y. Příklad. Zadání: Řešený příklad Obr..2: Řídicí systém bez zpětné vazby Jako příklad řídicího systému bez zpětné vazby lze uvézt ovládání tiskového kolečka elektrického psacího stroje, jehož blokové schéma je znázorněno na obrázku.3. Obr..3: Příklad elektrického psacího stroje Popište algoritmus řízení bez zpětné vazby. Řešení: Žádanou hodnotou je zvolené písmeno na klávesnici, které je třeba napsat. Odpovídající kód, který vyšle klávesnice dekóduje mikroprocesorový regulátor tak, že pomocí akční veličiny a akčního orgánu, kterým je například krokový motor, natočí typové kolečko. Další akční orgán pak realizuje elektromagnetické ovládání otisku příslušného typu z typového kolečka přes barvicí pásku na papír v psacím stroji. Konec příkladu. Princip zpětnovazebního řízení je znázorněn na obrázku.4. Regulační odchylka e se získá jako rozdíl řídicí veličiny - žádané hodnoty a regulované veličiny skutečné hodnoty e = w - y. Na základě velikosti regulační odchylky a zvoleného řídicího algoritmu regulátor působí akční veličinou u na regulovanou soustavu tak, aby byla dosažena na jejím výstupu požadovaná hodnota regulované veličiny y. 7

Úvod do technické kybernetiky Obr..4: Zpětnovazební řídicí systém Řešený příklad Příklad.2 Zadání: Při manuálním řízení auta má řidič k dispozici několik vstupních a výstupních veličin, které snímá pomocí snímačů a podle kterých automobil řídí: požadovaný směr kol - w skutečný směr kol - y rychlost ekonomika provozu další veličiny podle vybavení vozidla Popište algoritmus manuálního řízení auta. Řešení: Je-li zadána pouze základní úloha řízení vozidla, pak požadovaný směr kol je dán například středovou čárou nebo krajnicí vozovky. Odchylku (regulační odchylku) mezi požadovaným a skutečným natočením kol snímá řidič pomocí svých očí. Na základě této odchylky otáčí volantem tak, aby tato odchylka byla nulová, to znamená, aby skutečný směr jízdy odpovídal požadovanému. Takto je popsána činnost řidiče - regulátoru, který odpovídá obrázku.4. Na způsobu ovládání volantu, ale také brzdy a plynu, má vliv celá řada dalších veličin jako je rychlost vozidla, vnější povětrnostní podmínky - mokrá nebo zledovatělá vozovka, ekonomika provozu, aj. To znamená, že pro řízení vozidla mohou být zadány další pomocné řídicí veličiny, které mohou zajistit dosažení cíle cesty v daném čase při minimální spotřebě paliva. Taková řídicí úloha by již byla popsána regulačním obvodem s více vstupy a výstupy, které budou probírány později. Konec příkladu Působení zpětné vazby je zásadní zejména pro řadu vlastností řídicích systémů jako je jejich: stabilita šířka pásma celkové zesílení citlivost Tyto vlastnosti budou probrány později. Základní pojmy z teorie systémů 8

Úvod do technické kybernetiky Pro řešení úloh automatického řízení se používá přístup, který se nazývá systémové řešení. Pro systémový přístup platí: zkoumání jevů a problémů ve všech vnitřních i vnějších souvislostech, podstatné jsou vnější a vnitřní souvislosti, systémový přístup je protikladem mechanického přístupu, kdy se systém rozloží a zkoumají se jednotlivé části odděleně. Základem teorie automatického řízení, která byla formulován v 5.letech 2. století, je obecná teorie systémů kybernetika K popisu systému se používá sedm úrovní abstrakce: symbolická (lingvistická) používá se v teorii grafů, teorie množin kartézský součin určitých množin (není využití), obecná algebra kategorie, grupy, modely (využití v biologii, ekonomice, sociologii), matematická logika prostřednictvím algoritmů (programování počítačů, konečné automaty), teorie informace toky informací (v technické praxi značně rozšířeno), teorie dynamických systémů vychází z mechaniky, popis systému ve stavovém prostoru, (teorie automatického řízení, teorie optimálního řízení), heuristická úroveň abstrakce podle heuristických pravidel nové přístupy pro řídicí systémy (fuzzy množiny, umělá inteligence, expertní systémy) Znalosti o fyzikálních objektech jsou založeny na experimentech a abstrakci. Vytváří se matematický model daného systému. Při definici systému jsou jeho problémy přesně definovány. Jeho chování lze rozložit na jednodušší vztahy. Toto lze, je-li složen z jednodušších systémů, subsystémů, prvků. Každý prvek je charakterizován svým chováním. Chování systémů určují prvky a vazby mezi nimi. Vazba je soubor všech společných vnějších veličin. Soubor všech okamžitých hodnot veličin systému je stav systému. Soubor přechodů mezi všemi možnými stavy stavově přechodová struktura. Soubor změn všech veličin v časové intervalu aktivita systému. Definice a rozdělení systémů Systém je určitý časově neměnný vztah mezi minulými a budoucími hodnotami daných veličin. Systém je tvořen množinou prvků a množinou vazeb mezi prvky navzájem i s okolím. Systémy lze rozdělit: podle typu veličin fyzikální systémy abstraktní systémy podle počtu veličin ohraničené konečný počet neohraničené nekonečný počet 9

Úvod do technické kybernetiky spolupráce systému s okolím uzavřené žádné vazby s okolím otevřené spojeny s okolím typ definované veličiny v čase spojité (i když amplituda se mění nespojitě) diskrétní hybridní podle typu signálu působícího na systém deterministické hodnoty všech veličin jednoznačně určeny stochastické hodnoty všech veličin určeny s určitou pravděpodobností přítomnost paměti - setrvačnosti proporcionální závisí na okamžitých hodnotách vstupní veličiny dynamické (sekvenční s pamětí) okamžité hodnoty veličin závisí na okamžitých hodnotách vstupu ale i předchozích hodnotách vstupních veličin odezvy minulé, současné a budoucí vstupy neanticipativní současné i minulé anticipativní i budoucí signály časové závislosti vlastností systému časově neměnné systémy stacionární, invariantní časově proměnné systémy - variantní funkční závislosti mezi veličinami systému lineární mezi veličinami lineární závislost nelineární všechny ostatní Úkolem automatického řízení je nalézt vhodné řízení, působení na řídicí objekt, aby bylo dosaženo požadovaných cílů. Tuto úlohu lze řešit ve dvou krocích: první krok analýza řídicího systému identifikace, druhý krok syntéza řídicího systému - pomocí dostupných průběhů a vazeb ovlivňuje chování systému. Dynamický systém může být orientovaný či neorientovaný a má následující vlastnosti: vyvíjí se v čase, všechny veličiny jsou určeny v čase t, je definován vstupní a výstupní děj. Dynamický systém může být definován množinami a zobrazením. Definice jsou značně obecné a abstraktní, pro potřeby teorie automatického řízení lze použít systémy pouze z praxe. Jejich vlastnosti jsou definovány následovně: definice řádu systému dynamický systém je systém s konečným řádem množina jeho stavů tvoří lineární prostor s konečnou dimenzí, definice spojitosti systému systém je spojitý, je-li množina času T množina reálných čísel; je-li množinou celých čísel, pak je systém diskrétní,

Úvod do technické kybernetiky lineární systém je-li funkce f(t) a g(t) v obecném definovaném systému lineární, pak odezva na vstupní signál se zkoumá jako součet dílčích odezev na jednotlivé složky vstupního signálu odezva na vstup u y, u2 = k u, potom odezva na u 2 y 2 je y2 = k y - princip superpozice, definice hladkosti systému množina časů T je množina reálných čísel (systém spojitý) přechodová funkce stavu f je spojitá funkce času Vývoj stavu lineárního systému lze popsat lineární diferenciální rovnicí nebo soustavou lineárních diferenciálních rovnic. Stacionární systémy jsou popsány lineárními diferenciálními rovnicemi s konstantními koeficienty. U lineárních systémů je definována nebo reverzibilnost přechod funkce definujeme nejen pro t > t, ale i pro t < t (i do minulosti), linearizace matematického modelu nelineární vztahy mezi veličinami je potřeba linearizovat. Shrnutí pojmů Základní prvky řídicích systémů lze rozdělit na: vstupy řídicí systém výstupy Řídicí systémy lze rozdělit podle počtu vstupních a výstupních veličin: s jednou proměnnou s více proměnnými Řídicí systémy lze dále rozdělit: bez zpětné vazby automatické ovládání se zpětnou vazbou automatická regulace manuální automatické automatizované Zpětnovazebního řízení Regulační odchylka e se získá jako rozdíl řídicí veličiny - žádané hodnoty a regulované veličiny skutečné hodnoty e = w - y. Na základě velikosti regulační odchylky a zvoleného řídicího algoritmu regulátor působí akční veličinou u na regulovanou soustavu tak, aby byla dosažena na jejím výstupu požadovaná hodnota regulované veličiny y. Při definici systému jsou jeho problémy přesně definovány. Jeho chování lze rozložit na jednodušší vztahy. Toto lze, je-li složen z jednodušších systémů, subsystémů, prvků. Každý prvek je charakterizován svým chováním. Chování systémů určují prvky a vazby mezi nimi. Vazba je soubor všech společných vnějších veličin. Soubor všech okamžitých hodnot veličin systému je stav systému. Soubor přechodů mezi všemi možnými stavy stavově přechodová struktura. Soubor změn všech veličin v časové intervalu aktivita systému.

Úvod do technické kybernetiky Systém je určitý časově neměnný vztah mezi minulými a budoucími hodnotami daných veličin. Systém je tvořen množinou prvků a množinou vazeb mezi prvky navzájem i s okolím. Otázky k řešení. Co je to řídicí systém. 2. Popište základní prvky řídicího systému. 3. Popište rozdělení řídicích systému. 4. Nakreslete blokové schéma regulačního obvodu, popište jednotlivé bloky a veličiny. 5. Vysvětlete základní pojmy z teorie systému. 6. Popište definici systému. 7. Proveďte rozdělení systémů. 8. Proveďte definici vlastností dynamických systémů. Úlohy k řešení Řešený příklad Příklad.3 Zadání: Uveďte hlavní výhody a nevýhody řídicího systému bez zpětné vazby. Řešení: Výhody řídicího systému bez zpětné vazby jsou následující: Jednoduchá konstrukce a snadná údržba. Je lacinější než odpovídající systém se zpětnou vazbou. Nejsou problémy se stabilitou systému. Je výhodný v těch případech, kdy výstup nelze měřit. Například při praní v pračce by bylo obtížné měřit průběžně čistotu praného prádla. Nevýhody řídicího systému bez zpětné vazby jsou následující: Poruchy nebo změny v cejchování mohou způsobit chyby, hodnota výstupní-řízená veličiny může být odlišná od požadované. Udržení požadované kvality výstupu, čas od času je nezbytné přecejchování. Konec příkladu Příklad.4 Zadání: Řešený příklad Na obrázku.5 je schématicky znázorněn řídicí systém výšky hladiny v nádrži. Regulátor automaticky udržuje úroveň hladiny na požadované úrovni tak, že srovnává požadovanou a skutečnou úroveň hladiny, a při případném rozdílu, otevírá nebo zavírá ventil 2

Úvod do technické kybernetiky (akčního orgán) na přítoku kapaliny, zvětšuje nebo zmenšuje její přítok. Na obrázku.6 je nakresleno odpovídající blokové schéma. Nakreslete odpovídající blokový diagram pro manuální řízení výšky hladiny operátorem. Obr..5: Regulace výšky hladiny kapaliny Řešení: Obr..6: Blokové schéma automatické regulace výšky hladiny kapaliny Obr..7: Blokové schéma manuální regulace výšky hladiny kapaliny operátorem Při manuálním řízení oči odpovídají snímači hladiny, mozek regulátoru, svaly s ručním ventilem automatizačnímu ventilu servoventilu. Blokové schéma je znázorněno na obr..7. Konec příkladu 3

Vnější popis lineárních dynamických systémů 2. VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 2.. Vnější popis spojitých dynamických systémů Čas ke studiu: 3 až 4 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět Popsat spojitý systém diferenciální rovnicí Vysvětlit význam operátorového přenosu pro popis spojitého systému Popsat rozdíl mezi operátorovým a frekvenčním přenosem Popsat vztah mezi frekvenčním přenosem a frekvenční charakteristikou Popsat systém v časové oblasti pomocí impulsní a přechodové charakteristiky Vysvětlit význam rozložení pólů a nul při popisu systémů Výklad Obecný úvod Systém si lze představit jako černou skříňku, jeho vlastnosti lze popsat pomocí reakcí výstupů na vstupní signály. Dynamické vlastnosti systémů jsou určeny právě vztahy mezi výstupními a vstupními veličinami. Jaké děje probíhají uvnitř systému z hlediska popisu vlastností systému u této metody nejsou podstatné. Vnější popis je výhodný z hlediska využití analogie mezi systémy z různých oblastí. Až do 6. let minulého století patřil vnější způsob popisu jako hlavní způsob pro analýzu a syntézu řídicích systémů. Pro základní vysvětlení budou uvažovány nejprve systémy s jedním vstupem a jedním výstupem (obr. 2.). Obr. 2.: Systém jako černá skříňka Dynamické vlastnosti spojitých systémů lze popsat buď v časové nebo frekvenční oblasti následujícími způsoby: diferenciální rovnicí operátorovým přenosem (Laplaceova transformace) frekvenčním přenosem (Fourierova transformace) frekvenční charakteristikou 4

Vnější popis lineárních dynamických systémů impulsní charakteristikou přechodovou charakteristikou rozložením nul a pólů přenosu Popis systému diferenciální rovnicí Lineární, hladký, stacionární a spojitý systém se vstupem ut () a výstupem yt () popisuje lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty ay n () t + a y () t + + ay () t+ ayt () = b u () t b u () t bu () t bu() t m ( n) ( n ) n ( m) ( m ) + m + + + a, b jsou reálné konstantní koeficienty. Uvedenou rovnici lze zapsat ve tvaru i i n m () i ( j) i = j i= i= ay () t bu () t Nelze realizovat systémy, u kterých je výstupní signál úměrný derivaci vstupního signálu, proto musí platit podmínka realizovatelnosti systému m n. Řeší-li se rovnice v časovém intervalu t t t, musí být znám průběh ut () a počáteční podmínky y () až ( n y ) (). Časové posunutí signálu beze změny lze popsat jako dopravní zpoždění následující rovnicí y() t = u( t T d ). Dynamické zpoždění na rozdíl od dopravního zpoždění je popsáno diferenciální rovnicí o velkém počtu členů jako lineární systém vysokého řádu. Operátorový přenos přenosová funkce Přenosovou funkci lineárního dynamického systému lze určit jako poměr obrazu výstupní veličiny k obrazu vstupní veličiny ve stejné transformaci za předpokladu nulových počátečních podmínek. U spojitých systémů se používá Laplaceova transformace. Systém popsaný diferenciální rovnicí, která je uvedena v předcházejícím odstavci, má přenosovou funkci ve tvaru racionální lomené funkce: m Y() s bs m + b s + bs+ b Gs () = = n U() s a s + a s + as+ a n m m n n kde s je Laplaceův operátor. Oba polynomy v čitateli A(s) a ve jmenovateli B(s) přenosové funkce lze rovněž vyjádřit ve tvaru součinu kořenových činitelů As () = an( s p)( s p2) ( s pn), B() s = b ( s n )( s n ) ( s n ) m 2 kde p i jsou póly přenosu, které se vypočtou z rovnice Ap ( i ) =, a n j jsou nuly přenosu, které se vypočtou z rovnice Bn ( j ) =. Získá se pak následující tvar přenosové funkce jako součin kořenových činitelů: m 5

Vnější popis lineárních dynamických systémů bm ( s n)( s n2) ( s nm) Gs () = a ( s p )( s p ) ( s p ) n 2 n Pokud jsou kořeny polynomů reálné, pak lze vyjádřit přenosovou funkci ve tvaru s časovými konstantami, které jsou převrácené hodnoty pólů a nul vynásobené koeficientem mínus jedna. Časové konstanty ve jmenovateli Časové konstanty v čitateli Ti = i =.. n p i τ j = j =.. m n pak přenosovou funkci ve tvaru s časovými konstantami lze vyjádřit následovně b ( τs+ )( τ2s+ ) ( τms+ ) Gs () = a ( Ts+ )( T s+ ) ( T s+ ) j 2 n Nejsou-li všechny kořeny reálné, pak póly nebo nuly jsou komplexní, potom lze přenosovou funkci s časovými konstantami psát ve tvaru 2 2 b ( τs+ )( τ2s+ ) ( τks + 2τkbks+ ) Gs () = 2 2 a ( Ts+ )( T s+ ) ( T s + 2T a s+ ) 2 r r n Jestliže systém zahrnuje dopravní zpoždění, pak jeho přenosová funkce je následující f() t G( s) f() t = f( t Td ) Ts G () s = G()e s d Hlavní význam přenosových funkcí je především zjednodušení výpočtu odezvy systému na vstupní signál Y() s = G() s U() s y() t = L G( s) U() s { } Jsou-li počáteční podmínky nenulové, pak je výpočet obtížnější a je dán vztahem Řešený příklad Příklad 2.. Zadání: Je zadaná přenosová funkce ve tvaru Y() s = G() s U() s + Y () s. 6

Vnější popis lineárních dynamických systémů Gs () = 5s + 3 + 6 + + 6, 3 2 s s s vyjádřete tuto přenosovou funkci ve tvaru součinu kořenových činitelů, ve tvaru s časovými konstantami a ve tvaru parciálních zlomků. Řešení: Pro vyjádření přenosu ve tvaru součinu kořenových činitelů je potřeba určit kořeny polynomů v čitateli a jmenovateli 3 n = 5 p =, p = 2, p = 3, 2 3 5( s + 3/ 5) Gs () =. ( s+ )( s+ 2)( s+ 3) Nyní se vyjádří přenos ve tvaru s časovými konstantami tak, že se jmenovatel a čitatel podělí jednotlivými kořeny 5 s + 3 Gs () =. 2 ( s+ ) s+ s+ 2 3 Jako poslední tvar přenosové funkce, který již nepatří mezi standardní tvary, bude vyjádření ve tvaru parciálních zlomků, který bude v řadě případu rovněž využíván (např. při určení řešení diferenciálních rovnic pomocí zpětné L-transformace). Tvar s obecnými konstantami v čitateli bude následující k k2 k3 Gs () = + + s+ s+ 2 s+ 3, koeficienty k, k 2 a k 3 se určí následovně, G(s) je ve tvaru součinu kořenových činitelů 5( ) + 3 k = [( s+ ) G( s)] = =, s= (2 )(3 ) 5( 2) + 3 k2 = [( s+ 2) G( s)] = = 7, s= 2 ( 2)(3 2) 5( 3) + 3 k3 = [( s+ 3) G( s)] = = 6. s= 3 ( 3)(2 3) po dosazeni konstant v čitateli se získá následující vztah pro přenos 7 6 Gs () = + s+ s+ 2 s+ 3, Nyní celý výpočet bude proveden pomocí Matlabu b = [5 3]; a = [ 6 6]; [r,p,k] = residue(b,a) r = 7

Vnější popis lineárních dynamických systémů -6. 7. -. p = -3. -2. -. k = [] [b,a] = residue([- 7-6],[- -2-3],) b = 5 3 a = 6 6 Získané výsledky odpovídají zadanému přenosu Konec příkladu. Gs () = 5 s + 3 + 6 + + 6 3 2 s s s Frekvenční přenosová funkce Frekvenční přenosová funkce se dostane jako podíl Fourierova obrazu výstupního signálu a Fourierova obrazu vstupního signálu při nulových počátečních podmínkách. Předpokladem stanovení přenosové funkce je lineární systém a harmonický vstupní signál, pak výstupní signál bude mít rovněž harmonický průběh. Frekvenční přenosovou funkci lze vyjádřit buď jako komplexní číslo s reálnou a imaginární složkou Y (j ω) G(j ω) = = Re G(j ω) + jim G(j ω) U (j ω) { } { } nebo v polárních souřadnicích s následujícími složkami: amplitudové zesílení absolutní hodnota přenosu fázové natočení procházejícího signálu Y (j ω) G(j ω) = = G(j ω) e U (j ω) j ϕ ( ω ) Frekvenční charakteristika systému Frekvenční charakteristiku, která popisuje dynamické vlastnosti systému ve frekvenční oblasti, lze stanovit jako geometrické vyjádření frekvenčního přenosu ve rozsahu frekvencí < ω <. Ve většině případů stačí vykreslit charakteristiku pouze v rozsahu frekvencí < ω <. Frekvenční charakteristiku jako vektor frekvenčního přenosu lze vyjádřit: v kartézských souřadnicích G(j ω) = Re[ G(j ω)] + Im[ G(j ω)] 8

Vnější popis lineárních dynamických systémů v polárních souřadnicích G(j ω) = G(j ω) e j ϕ ( ω) v logaritmických polárních souřadnicích se logaritmická amplitudová a fázová frekvenční charakteristika (LAFFCH) rozdělí na dvě části amplitudovou a fázovou charakteristiku, které se buď vynáší do jednoho nebo dvou grafů: G(j ω) = 2 log G(j ω) db ( ) arctg Im[ G(j ω)] ϕω = Re[ G (j ω )]. Obr. 2.2: Frekvenční charakteristika systému popsaného diferenciální rovnicí druhého řádu v komplexní rovině Obr. 2.3: Logaritmická amplitudová a fázová frekvenční charakteristika systému. Řešený příklad Příklad 2..2 Zadání: Je zadaná přenosová funkce ve tvaru 9

Vnější popis lineárních dynamických systémů Gs () = 5s + 3 + 6 + + 6, 3 2 s s s vyjádřete tuto přenosovou funkci ve tvaru frekvenčního přenosu a sestrojte frekvenční charakteristiku v komplexní rovině a logaritmickou amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku. Pro řešení použijte funkce prostředí Matlab. Řešení: Obr. 2.4: Frekvenční charakteristika v komplexní rovině Bode Diagram Magnitude (db) -2-4 -6-8 -45 Phase (deg) -9-35 -8-2 Frequency (rad/sec) Obr. 2.5: Logaritmická amplitudová a fázová frekvenční charakteristika Nejprve se určí frekvenční přenos 2

Vnější popis lineárních dynamických systémů 5jω+ 3 G( jω ) =. 3 2 j ω 6 ω + j ω+ 6 Pro sestrojení frekvenční charakteristiky lze použít funkce nyquist(sys) v Matlabu s Control System Toolboxem. Frekvenční charakteristika je znázorněna na obrázku 2.4. Pro sestrojení logaritmické amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky lze použít funkce bode(sys) v Matlabu s Control System Toolboxem. Logaritmická amplitudová a fázová frekvenční charakteristika je znázorněna na obrázku 2.5. Konec příkladu. Impulsní charakteristika systému Pro popis systému v časové oblasti lze použít impulsní charakteristiku, kterou lze získat jako odezvu systému na vstupní signál tvaru Diracova impulsu při nulových počátečních podmínkách + δ( t) = pro t ; δ( t)dt = Jako reálnou aproximaci Diracova impulsu lze použít, místo výše uvedeného matematického zápisu, impuls o šířce h a výšce h, kde šířka impulsu h (obr. 2.6). Obr. 2.6: Reálná aproximace Diracova impulsu Laplaceův obraz funkce jednotkového impulsu (Diracova impulsu) je roven jedné. Protože je tato funkce nerealizovatelná, v praxi se pak používá aproximace, kde doba trvání impulsu je zanedbatelná vůči časovým konstantám vyšetřované soustavy. Odezvu na libovolný vstupní signál u(t) při znalosti průběhu impulsní charakteristiky g(t) lze popsat pomocí konvolučního integrálu L { G( s)} = g( t) t yt () = gt ( τ ) u( τ)dτ. 2

Vnější popis lineárních dynamických systémů Obr. 2.7: Impulsní charakteristika systému kde m<n- a a Podle řádu čitatele a jmenovatele přenosové funkce lze určit počáteční hodnota impulsní charakteristiky a a a Příklad 2..3 n= m gt = sgs b m= n n lim ( ) lim ( ) + t s an m< n Konečnou hodnotu impulsní charakteristiky lze určit na základě hodnoty koeficientů Řešený příklad Zadání: Je zadaná přenosová funkce ve tvaru b lim gt ( ) = lim sgs ( ) a = ; a t s a Gs () = a a = a = 3 2 s s s 5s + 3 + 6 + + 6, znázorněte odezvu systému na jednotkový impuls popsaného touto přenosovou funkci. Pro řešení použijte prostředí Matlab a Simulink. Řešení: Nejprve se připraví model v prostředí Simulinku, který je znázorněn na obrázku 2.8. 22

Vnější popis lineárních dynamických systémů Obr. 2.8: Model v Simulinku pro impulsní charakteristiku zadaného systému Výsledky simulačního výpočtu jsou uloženy ve dvou polích ScopeData a ScopeData. Průběh vstupního signálu, jednotkový impuls, a odezvy na tento vstupní signál, impulsní charakteristika, jsou získány pomocí funkce plot v Matlabu. Průběhy jsou znázorněny na obrázku 2.9. Jednotkový impuls je znázorněn zeleně a impulsní charakteristika je znázorněna červeně..9.8.7.6 u(t),y(t).5.4.3.2. -..5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t[s] Obr. 2.9: Impulsní charakteristiku zadaného systému V případě, že je v Matlabu k disposici Control System Toolbox, lze snadněji získat impulsní charakteristiku příkazem v Matlabu: impulse(sys) nebo impulseplot(sys) kde popis systému sys se získá pomocí příkazů tf, zpk, nebo ss. Konec příkladu. Přechodová charakteristika systému Pro popis systému v časové oblasti se používá rovněž přechodová charakteristika h(t), která se na rozdíl od impulsní charakteristiky snadněji realizuje. Lze ji získat jako odezvu na jednotkovou změnu vstupní veličiny jednotkový skok (Hevisaidova funkce) u (t), který je definován následovně: 23

Vnější popis lineárních dynamických systémů u () t pro t <, pro t obrazy jednotkového skoku a přechodové charakteristiky, odezvy na jednotkový skok, jsou následující U() s = L{ u()} t = s. H() s = L{()} h t = G() s s Fyzikální realizace skokové změny, kterou lze přepočítat na jednotkový skok, je pro elektrické systémy poměrně snadná (zapnutí, vypnutí vstupního signálu), u mechanických a hydraulických systémů je nutné provést určitou aproximaci. Ve skutečnosti i u elektrotechnických systémů při zapnutí nebo vypnutí neodpovídá vzniklý přechodový děj skokovému signálu, malou časovou konstantu, která tento přechodový děj charakterizuje, vzhledem k velkým časovým konstantám soustavy však lze s dostatečnou přesností výsledku zanedbat. Přechodový děj pro obecný vstupní signál je popsán následujícím vztahem t d d yt () = h( ) ut ( )d ht ( ) u( )d dt τ τ τ = τ τ τ dt. Ustálené (konečné) hodnoty přechodové funkce jsou závislé na koeficientu a přenosové funkce b a a lim ht ( ) = lim s H( s) = lim Gs ( ) t s s t a = Je-li absolutní člen jmenovatele přenosové funkce a pak ustálená hodnota přechodové funkce je konečná, takové systémy lze označit jako statické systémy. Zesílení b systému je pak rovno K a =. Je-li absolutní člen jmenovatele přenosové funkce a = pak se přechodová charakteristika neustálí na konečné hodnotě, takové systémy jsou označeny jako astatické systémy. 24

Vnější popis lineárních dynamických systémů Obr. 2.: Obecný průběh odezvy na skokový signál s vyznačením charakteristických úseků Obecná přechodová charakteristika (obr.2.) systému vyššího řádu je charakterizována inflexním bodem, ve kterém lze vést tečnu, která vymezí dva časové úseky přechodového děje: T u - doba průtahu T - doba náběhu n T = T + T - doba přechodového děje p u n Pro astatický systém vyššího řádu je potřeba určit řád astatismu, pro který platí vztah bs + + b m m ( ) = b i n i s ( ans + + ai) Gs Násobnost nulového pólu i určuje řád astatismu. Astatický systém má vždy integrační charakter. Příklad 2..4 Řešený příklad Zadání: Je zadaná přenosová funkce ve tvaru Gs () = 5s + 3 + 6 + + 6, 3 2 s s s znázorněte odezvu systému na jednotkový skok popsaného touto přenosovou funkci. Pro řešení použijte prostředí Matlab a Simulink. Řešení:. 25

Vnější popis lineárních dynamických systémů.9.8.7.6 u(t),y(t).5.4.3.2..5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t[s] Obr. 2.: Přechodová charakteristiku zadaného systému Model v prostředí Simulinku, bude shodný s příkladem pro impulsní charakteristiku (obr. 2.8). Výsledky simulačního výpočtu jsou opět uloženy ve dvou polích ScopeData a ScopeData. Průběh vstupního signálu, jednotkový skok, a odezvy na tento vstupní signál, přechodová charakteristika, jsou získány pomocí funkce plot v Matlabu. Průběhy jsou znázorněny na obrázku 2.. Jednotkový skok je znázorněn zeleně a přechodová charakteristika je znázorněna červeně. V případě, že je v Matlabu k disposici Control System Toolbox, lze snadněji získat přechodovou charakteristiku příkazem v Matlabu: step(sys) nebo stepplot(sys) kde popis systému sys se získá pomocí příkazů tf, zpk, nebo ss. Konec příkladu. Rozložení nul a pólů přenosu Dynamické vlastnosti lze určit také z rozložení nul a pólů přenosové funkce. Z polohy kořenů nelze určit zesílení systému. Popis není rovnocenný ostatním. 26

Vnější popis lineárních dynamických systémů Obr. 2.2: Rozložení nul a pólů přenosu systému druhého řádu s dvěma nulami a dvěma komplexně sdruženými póly V grafech rozložení nul a pólů přenosové funkce ve tvaru kořenových činitelů jsou nuly označeny kroužkem a póly křížkem (obr. 2.2). V případě, že je v Matlabu k disposici Control System Toolbox, lze snadno získat rozložení nul a pólů příkazem v Matlabu: pzmap(sys) Shrnutí pojmů 2.. Dynamické vlastnosti systémů jsou určeny vztahy mezi výstupními a vstupními veličinami. Dynamické vlastnosti spojitých systémů lze popsat buď v časové nebo frekvenční oblasti následujícími způsoby: diferenciální rovnicí operátorovým přenosem (Laplaceova transformace) frekvenčním přenosem (Fourierova transformace) frekvenční charakteristikou impulsní charakteristikou přechodovou charakteristikou rozložením nul a pólů přenosu Otázky k řešení 2... Jak se určí dynamické vlastnosti systémů. 2. Uveďte základní způsoby popisu dynamických vlastností systémů. 3. Uveďte základní tvary přenosové funkce. 4. Jak lze vyjádřit frekvenční přenosovou funkci. 27

Vnější popis lineárních dynamických systémů 5. Uveďte základní způsoby zobrazení frekvenční charakteristiky. 6. Jak lze získat impulsní charakteristiku. 7. Jak lze získat přechodovou charakteristiku. 8. Jaký je vztah mezi přechodovou a impulsní charakteristiku. Příklad 2..5 Úlohy k řešení 2.. Zadání: Lineární systém je popsán následující diferenciální rovnicí 2 d y t () dy() t + 3 + 2 y( t) = 5 u( t), dt dt určete všechny další způsoby popisu tohoto systému, přenosem, frekvenčním přenosem, frekvenčními charakteristikami, impulsní a přechodovou charakteristikou a pomocí rozložení nul a pólů v komplexní rovině. Pro řešení použijte prostředí Matlab a Simulink. 2.2. Vnější popis vícerozměrných systémů Čas ke studiu: až 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět Popsat vícerozměrný spojitý systém přenosovou maticí Vysvětlit vztah mezi výstupním vektorem, přenosovou maticí a vstupním vektorem Výklad Úvod Vícerozměrné systémy jsou systémy s více vstupy a více výstupy. Na obrázku 2.3 je znázorněn vícerozměrný systém. Většina systémů má více výstupních veličin, které jsou se výstupními veličinami různě svázány. Proto takové systémy nelze řešit jako několik oddělených navzájem nezávislých jednoduchých systémů. Veličiny se navzájem ovlivňují (obr.2.4). 28

Vnější popis lineárních dynamických systémů Obr. 2.3: Blokové schéma vícerozměrného systému Systém s m - vstupy a n - výstupy. Každá výstupní veličina závisí na všech vstupních veličinách. Mezi výstupními a vstupními veličinami lze stanovit jednotlivé přenosové funkce: Y () i s i n Gij ( s) = U () s j m j Z těchto přenosů lze vytvořit matici G(s), přenosovou matici systému, s prvky G ij (s). Podle principu superpozice platí: je-li výstupní a vstupní vektor Y() s = G () s U () s + G () s U () s + + G () s U () s, i i i2 2 im m [ ] Y () s = Y() s,y () s,,y () s T 2 [ ] U () s = U () s,u () s,,u () s T 2 pak platí následující vztahy mezi výstupním a vstupním vektorem a přenosovou matici systému Y() s = G() s U(), s - G() s = Y() s U(). s Přenosovou matici nelze vyjadřovat jako poměr, neboť operace dělení vektorů není definována. n m Obr. 2.4: Detailní schéma vícerozměrného systému. 29

Vnější popis lineárních dynamických systémů Systém může mít n výstupních veličin y,y 2...y n, a m = n vstupních veličin u,u 2...u m. Stejný počet všech proměnných vede na popis čtvercovými maticemi. Mezi jednotlivými výstupními a vstupními veličinami platí následující soustava rovnic: Y() s = G() s U() s + G2() s U2() s +...+ Gn() s Un() s Y2( s) = G2( s) U( s) + G22( s) U2( s) +...+ G2n( s) Un( s) : Y () s = G () s U () s + G () s U () s +...+ G () s U () s n n n2 2 nn n Vyjádřeno v maticovém tvaru: Y() s = G() s U () s, kde Y(s) a U(s) jsou sloupcové vektory obrazů výstupních a výstupních veličin : Y(s) U(s) Y2(s) U2(s). Y(s) = U (s) =.. Yn(s) Un(s) a G(s) je matice přenosových funkcí: Příklad 2.2. Řešený příklad G(s)... Gn (s).. G ( s) =.... Gn(s)... Gnn(s) Zadání: Je zadaná matice přenosových funkcí dvourozměrného systému ve tvaru s+ s G () s =, 2 s + 2 vypočtěte odezvy systému na jednotkový skok na obou vstupech systému. Pro znázornění odezvy systému použijte prostředí Matlab a Simulink. Řešení: Nejprve se sestaví odpovídající obecné rovnice pro dvourozměrný systém 3

Vnější popis lineárních dynamických systémů Y() s = G () s U () s + G () s U () s 2 2 Y2() s = G2() s U() s + G22() s U2() s do těchto rovnic se dosadí dílčí přenosové funkce a obrazy vstupních funkcí Y () s = = 2 s+ s s s s( s+ ) s 2 Y2 () s = 2 + = + s s+ 2 s s s( s+ 2) po zpětné Laplaceové transformaci se dostanou následující výrazy t y () t = = e t 2 ss ( + ) s 2 2t y2() t = + = 2() t + ( e ) s s( s+ 2) 2 Úloha se nyní namodeluje v Simulinku, blokové schéma je znázorněno na obr. 2.5. Obr. 2.5: Model v Simulinku pro znázornění výstupních funkcí zadaného dvourozměrného systému 3 2 y(t),y2(t) - -2-3 -4-5 -6 2 3 4 5 6 7 8 t[s] Obr. 2.6: Znázornění výstupních funkcí y a y 2 zadaného dvourozměrného systému 3

Vnější popis lineárních dynamických systémů Výsledky simulačního výpočtu jsou uloženy ve dvou polích DataScope a DataScope. Průběhy výstupních funkcí y a y 2 jsou získány pomocí funkce plot v Matlabu. Průběhy znázorněné na základě simulace v Matlabu jsou znázorněny na obrázku 2.6 a odpovídají vypočteným průběhům. Konec příkladu. Shrnutí pojmů 2.2. Vícerozměrné systémy jsou systémy s více vstupy a více výstupy. Každá výstupní veličina závisí na všech vstupních veličinách. Mezi výstupními a vstupními veličinami lze stanovit jednotlivé přenosové funkce, z těchto přenosů lze vytvořit matici G(s) - přenosovou matici systému. Otázky k řešení 2.2.. Jaké základní vlastnosti mají vícerozměrné systémy. 2. Jak se určí přenos vícerozměrného systému. 3. Jak lze vektorově popsat vícerozměrný systém Úlohy k řešení 2.2. Příklad 2.2.2 Zadání: Je zadaná matice přenosových funkcí dvourozměrného systému ve tvaru s+ s+ G () s =, 2 s + 2 vypočtěte odezvy systému na jednotkový skok na obou vstupech systému. Pro znázornění odezvy systému použijte prostředí Matlab a Simulink. 2.3. Vnější popis diskrétních dynamických systémů Čas ke studiu: 3 až 4 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět Popsat systémy s časovou diskretizaci Popsat diskrétní systém diferenční rovnicí Vysvětlit význam operátorového přenosu pro popis diskrétního systému 32

Vnější popis lineárních dynamických systémů Popsat diskrétní systém v časové oblasti pomocí diskrétní impulsní a přechodové charakteristiky Výklad Diskrétní dynamické systémy Diskrétní systémy mohou být diskrétní ve smyslu amplitudy jednotlivých veličin nebo ve smyslu časového průběhu. Dále budou popisovány systémy s časovou diskretizací popsanou následovně tk = T k, veličiny jsou pak měřitelné v diskrétních časech t k nebo v daném kroku k. Diskrétní dynamické systémy pak lze definovat následovně: Všechny definované veličiny buď existují nebo jsou měřitelné (měřené) pouze v oddělených časových okamžicích. Pokud intervaly mezi těmito okamžiky jsou konstantní, mluvíme o diskrétních systémech s pravidelným (periodickým) vzorkováním. Systémy s časovou diskretizací První diskrétní systémy se používaly ve 3. letech. Zjistilo se, že jsou vhodné pro řízení systémů s dopravním zpožděním. Jejich hlavní rozvoj byl však až po 2. světové válce. Bylo to ovlivněno použitím měřících metod, kde snímače dodávaly informaci v diskrétní formě (radiolokátory, čidla s číslicovým výstupem, chemické analýzy). Jejich hlavní rozvoj ovšem nastal až při nasazení počítačů ve funkci regulátorů v rámci automatizace technologických procesů. I když většina řízených systémů je spojitá, regulační obvod s počítačem je nutno řešit jako diskrétní systém. Rozdělení diskrétních systémů: Systémy, kde informace existuje stále, ale je snímána jen v diskrétních časových okamžicích (např. u systémů s dálkovým přenosem dat analogový údaj se převádí na číslicový a ten se pak přenáší). U těchto systémů lze volit periodu vzorkování T. Perioda vzorkování ovlivňuje stabilitu, při omezené akční veličině je nutné měřit výstupní veličinu častěji. Systémy, kde informace existuje pouze v okamžicích vzorkování. Například: Chemické analyzátory. Radiolokační systémy informace existuje jen když je paprsek v místě objektu. Měřící členy, kde samotný princip měření je diskrétní měření otáček pomocí inkrementálních čidel, aj. Předpokladem u těchto systémů je, že doba procesu snímání veličiny je zanedbatelně krátká vzhledem k periodě vzorkování. U diskrétních systémů se vzorkováním veličiny buď existují nebo jsou měřitelné pouze v diskrétních časech tk = T k, 33

Vnější popis lineárních dynamických systémů kde t k - diskrétní čas k - krok T - délka kroku vzorkovací interval Spojitá f() t vzorkování f ( k) diskrétní Vzorkování lze si představit jako spínání kontaktu v pravidelných okamžicích k T, přičemž doba sepnutí je nekonečně krátká (obr. 2.7). Mezi diskrétní systémy patří logické obvody číslicové počítače systémy s diskrétním způsobem měření Obr. 2.7: Princip vzorkování Hlavní uplatnění diskrétních systémů (obr.2.8) souvisí s nástupem řídicích počítačů v řídicích systémech, kde jsou použity jako regulátory. Většina technologických procesů je spojitá, celý řídicí systém se však musí řešit jako diskrétní systém, neboť regulátor je diskrétní. Nezbytným předpokladem pro řešení diskrétního systému je to, že všechny informace o diskrétních veličinách jsou dostupné v témže okamžiku, které zaručí synchronní vzorkování všech vzorkovačů.. Obr. 2.8: Systém s diskrétním vstupem a diskrétním výstupem Dynamické vlastnosti diskrétních systémů, na rozdíl od spojitých systémů, lze popsat pouze v časové oblasti. Dynamické vlastnosti diskrétních systémů lze popsat následujícími způsoby: diferenční rovnicí diskrétním obrazovým přenosem impulsní charakteristikou přechodovou charakteristikou rozložením nul a pólů diskrétního přenosu V některých případech se používá i popis v tak zvané pseudo-frekvenční oblasti, kdy se provede transformace diskrétního systému do roviny obdobné rovině s pro spojité systémy. Takto se dá porovnat vlastnosti diskrétních a spojitých systémů ve frekvenční oblasti. Diferenční rovnice Lineární diskrétní systém se vstupem u(k) a výstupem y(k) popisuje lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty: 34

Vnější popis lineárních dynamických systémů y( k) + a y( k ) + + a y( k n+ ) + a y( k n) = n b u( k) + b u( k ) + + bu( k n+ ) + bu( k n) n n Pro lineární stacionární systém jsou koeficienty a, b konstanty, u nestacionárního systému jsou koeficienty ai, b i funkce času a u nelineárních systémů jsou ai, b i funkcemi vstupů a výstupů. i i Obr. 2.9: Blokové schéma funkčního popisu diskrétního systému Rovnice vyjadřuje závislost výstupní amplitudy v kroku k na vstupní amplitudě v tomtéž okamžiku a na minulých hodnotách vstupů a výstupů až do hloubky n kroků. U dynamických systémů se setrvačností obvykle platí, že b n =. Blokové schéma funkčního popisu diskrétního systému diferenční rovnicí je znázorněno na obrázku 2.9. Z transformace Definice Z-transformace Pro vyjádření přenosových funkcí diskrétních systémů se používá Z-transformace. Její definice je následující : Nechť f(k) je diskrétní časová funkce (posloupnost), pro kterou platí vztah f ( k) = f( kt ), kde T je časový interval mezi dvěma vzorky. Z-obraz této funkce F(z) je definován vztahem n Fz ( ) = f( k). z -k, k= kde k (, ) a z je operátor časového posunu o čas T. 35

Vnější popis lineárních dynamických systémů Zobrazení Z{f(kT)} = F(z) je jednoznačné zobrazení. K jednomu obrazu existuje právě jeden originál a opačně. Příklady stanovení Z - obrazů základních posloupností. Z-obraz jednotkového diskrétního impulsu: f( k) = pro k = f( k) = pro k Fz ( ) = z = Z-obraz posunutého jednotkového diskrétního impulsu do času k : f( k k) = pro k = k f ( k) = pro k k a k k Fz () = z = z k Z-obraz jednotkového diskrétního skoku: f( k) = pro k, f( k) = pro k <, k 2 Fz ( ) =. z = z + z + z +... = z Z-obraz posunutého jednotkového skoku do času k. f(k) = (k - k ) pro k k f(k) = pro k < k F(z) =. z = z + z + z +... = z ( + z + z +...) = z z k = k k k k k 2 k 2 k Z-obraz exponenciální funkce. αk f( k) = e pro k, f( k) = pro k <, Fz = z = + z + z + = α + e z ( ) αk e k α e 2α e 2... k = Pro složitější funkce je k dispozici slovník Z transformace v příloze k textu. Zpětná Z transformace. Je li znám Z-obraz funkce F(z) ve tvaru racionální lomené funkce, lze její originál f(kt) získat třemi způsoby: Pomocí slovníku Z-transformace. Rozvojem polynomiálního zlomku (dělením polynomů). Pomocí rozkladu Z-obrazu na součet parciálních zlomků. Další způsob jak lze určit zpětnou Z transformaci je na základě součtu reziduí 36

Vnější popis lineárních dynamických systémů Vypočítají se póly F(z) pro k : n = if z z. i= f ( kt ) Res ( ). k Re sf(z). z = lim( z z). F(z) i k k i z Pro k = se hodnota f() určí pomocí věty o počáteční hodnotě. Základní vlastnosti Z-transformace. Věta o linearitě : n n Z cf i i( kt) = cf i i( z) i= i= Věta o posunutí o k míst vpravo : k Z{ f( n k) } = z F(z) Věta o násobení lineární posloupnosti : df( z) Z { kt f ( kt )} = T z dz Věta o konvoluci : k Z f(mt). f2(kt-mt) = F( z) F2( z) m= Suma odpovídá integrálu v Laplaceově transformaci: z Z { f(kt) } = F( z) k = z Věta o počáteční hodnotě: lim f ( k) = f() = lim F( z) Věta o konečné hodnotě: Příklad 2.3. Řešený příklad k z lim f ( k) = f( ) = lim( z ) F( z) k z Zadání: Najděte posloupnost hodnot diskrétní funkce f(kt), je-li zadán Z-obraz F(z) této funkce, pomocí rozvoje polynomiálního zlomku. 2 z Fz () = 2 2z + z Řešení: Pro získání jednotlivých členů rozvoje se provede dělení mnohočlenu v čitateli mnohočlenem ve jmenovateli. 37

Vnější popis lineárních dynamických systémů 2 2 (2 z ) : ( 2 z + z ) = 2 + 3z + 4z + 2 (2 4z + 2 z ) 2 3z 2z 2 3 (3z 6z + 3 z ) 2 3 4z 3z 2 F( z) = 2+ 3z + 4z + Získá se mocninná řada, obecně nekonečná, jejíž koeficienty se rovnají amplitudám diskrétní funkce f(kt) pro jednotlivé hodnoty diskrétního času. Hodnoty diskrétní funkce jsou následující, f(kt) = {2, 3, 4, }. Tento postup je vhodný, pokud je potřeba určit pouze několik počátečních hodnot aproximačního rozvoje. Konec příkladu. Řešený příklad Příklad 2.3.2 Zadání: Najděte funkci f(kt), je-li zadán Z-obraz F(z) této funkce, použijte rozklad na parciální zlomky. Rovněž určete počáteční a koncovou hodnotu dané funkce. z + Fz () = 2 z, 5z+, 5 Řešení: První krok je určení kořenů jmenovatele a převedení funkce do tvaru z + Fz () =. ( z )( z,5) Převod do tvaru parciálních zlomků se provede následovně podle vztahu Fz () k k2 kn = + + + z ( z p ) ( z p ) ( z p ) 2 Pro zadanou funkci se určí konstanty k a k 2. ( z+ ) z k = ( z ) 4 ( z )( z,5) = z = ( z+ ) z k2 = ( z,5) 3 ( z )( z,5) = z =,5 Zadaný obraz funkce ve tvaru parciálních zlomků pak bude 4 3 Fz () = + z z.5 Počáteční a koncová hodnota funkce se určí z věty o limitních hodnotách funkce n 38