. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce f a obor hodnot Hf. a) f(, ) = + 3. Řešení: Funkce je definována pro všechn hodnot a, ted = R. Množina R má všechn své bod vnitřní, je ted otevřená. Vnější a hraniční bod nemá, je ted zároveň uzavřená. Vrstevnice grafu jsou popsán rovnicí + 3 = k, k R. Vrstevnice tvoří sstém rovnoběžných přímek. Protože eistuje vrstevnice pro každé k R je obor hodnot Hf = (, ).) b) f(, ) = +. Řešení: Funkce je definována pro všechn hodnot, kde je jmenovatel zlomku nenulový. To je všude, kromě bodu(0, 0). Je ted = R {(0, 0)}. Množina má pouze vnitřní bod, je ted otevřená. Hraničním bodem je jediný bod a sice bod (0, 0). Vrstevnice grafu jsou popsán rovnicemi + = k + = k + = k, k > 0. Oborem hodnot je Hf = (0, ) a vrstevnicemi jsou soustředné kružnice o poloměrech r = k. c) f(, ) = +. Řešení: Funkce je definována všude, kde je jmenovatel nenulový. Je ted = {(, ); }, ted rovina bez bodů přímk =. Množina má pouze vnitřní bod, je ted otevřená. Hraničními bod jsou bod přímk {(, ); = }. Vrstevnice grafu jsou popsán rovnicemi + = k = (k ) k + pro k a = 0 pro k =. Vrstevnice tvoří svazek přímek, které prochází počátkem, který je z přímek vnechán. Oborem hodnot je Hf = R. d) f(, ) =. Řešení: Funkce je definována všude, kde je výraz pod odmocninou nezáporný. Je ted = {(, ); }. Vnitřními bod jsou bod množin {(, ); > }. Hraničními bod jsou bod parabol {(, ); = } a vnějšími bod jsou bod množin {(, ); < }. Množina obsahuje všechn své hraniční bod, je ted uzavřená. Vrstebnice jsou popsán rovnicemi = k = + k, k 0.
Hraniční parabola = je nulovou vrstevnicí, ostatní dostaneme posouváním této parabol vpravo o hodnotu k. Oborem hodnot je Hf = 0, ). e) f(, ) =. Řešení: Vjádříme si funkci pomocí eponenciální funkce ve tvaru f(, ) = e ln. Funkce je definována všude, kde je definován eponent. To znamená, že = {(, ); > 0}. Množina má pouze vnitřní bod, je ted otevřená. Hranicí je přímka {(, ); = 0}. Vrstevnice grafu jsou popsán rovnicemi Ted = e ln = k, k > 0 ln = ln k. = 0, > 0 nebo = pro k = a = ln k, (0, ) (, ) pro k. ln Oborem hodnot je interval Hf = (0, ). f) f(, ) = arcsin +. Řešení: Funkce je definována v bodech, kde a kde je +. Je ted a + + > 0 0 > + + < 0 0 <. Ted = {(, ); (, ) (0, 0), (( 0 0) ( 0 0))}. Vnitřní bod jsou bod množin {(, ); ( > 0 < 0) ( < 0 > 0)}. Hraniční bod jsou bod přímek {(, ); = 0 = 0}. Množina není ted ani otevřená ani uzavřená. Vrstevnice grafu jsou popsán rovnicemi arcsin + = k, π k π + = sin k = sin k, 0. sin k + Vrstevnice tvoří svazek přímek, které procházejí počátkem a leží ve. a 4. kvadrantu.. Určete definiční obor, hladin a obor hodnot Hf funkce: a) f(, ) = +. Řešení: Je = R a funkce f nabývá pouze nezáporných hodnot. Pro její hladin dostaneme podmínku: + = k, k 0. Hladinou je ted kružnice se středem v bodě (0, 0) a poloměrem r = k, která pro splývá s počátkem. Je ted Hf = 0, ) a funkce f má v bodě (0, 0) minimum f(0, 0) = 0.
b) f(, ) = +. Řešení: Je = R a funkce nabývá nezáporných hodnot. Pro hladin dostaneme rovnice + = k, k 0. Z vjádření vplývá, že hladina je množina souměrná vzhledem k osám a, ted i vzhledem k počátku. Stačí najít řešení v jednom kvadrantu, např. pro 0, 0. Podmínce vhovují bod úsečk, která je částí přímk + = k. Hladinou je tudíž čtverec s vrchol v bodech (k, 0), (0, k), ( k, 0) a (0, k). Pro dostaneme bod (0, 0). Obor hodnot funkce f je Hf = 0, ). c) f(, ) = e. Řešení: Funkce je definována v celem R. Protože je eponenciální funkce kladná, dostaneme pro hladin rovnice ted e = k, k > 0 = ln k = ln k, k a = 0, k =. Protože mají rovnice řešení pro všechn hodnot k > 0, je obor hodnot Hf = (0, ). d) f(, ) = sin ( + ). Řešení: Funkce je definována v celém R. Funkce sinus nabývá hodnot z intervalu, a tudíž pro hladin dostaneme rovnice sin ( + ) = k, k. Hladinou je soustava rovnoběžných přímek: k = : + = π + nπ, n Z; k = : + = π + nπ, n Z; < k < : + = arcsin k + nπ, + = π arcsin k + nπ, n Z. Oborem hodnot je interval,. e) f(, ) = arctg. Řešení: Funkce arkustangens je definovaná v R a ted je = {(, ); 0}. Protože je oborem hodnot funkce arkustangens interval ( π, π ), dostaneme pro hladin funkce f rovnice arctg = k, π < k < π = tg k, 0. Hladinami jsou přímk, které tvoří svazek procházející počátkem, ze kterých je vnechán bod (0, 0). Oborem hodnot funkce f je interval Hf = ( π, π ). f) f(, ) = + 3. Řešení: Funkce f je definována v R a vzorec pro výpočet funkční hodnot neobsahuje proměnnou. Tato skutečnost se projeví tak, že jsou hladinami přímk, které jsou rovnoběžné s osou. Pro hladin dostaneme rovnice + 3 = k = k 3 = ± k 3, k 3. Graf funkce f dostaneme tak, že graf funkce z = + 3, který nakreslíme v rovině (, z) posouváme ve směru os. Dostaneme plochu, které se říká válcová. 3
Obrázk k příkladům a k = k = k = k > 0 k = a b c d k < k > k = π k = k = π k = k > k < e f a b k = k < k > k > k < k = 3 k = k > 3 k > 3 c d e f Neřešené úloh. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená: a) f(, ) =. [ = {(, ); 0}. Množina je otevřená. Hranicí je přímka {(, ); = 0}.] b) f(, ) = +. [ = R. je současně otevřená i uzavřená.] c) f(, ) =. + [ = {(, ); + > 0, 0}. není ani otevřená ani uzavřená.] d) f(, ) = +. [ = {(, ); 0 0}. je otevřená.] e) f(, ) = ln ( + ). [ = {(, ); + > 0}. je otevřená.]. Určete definiční obor, hladin a obor hodnot Hf funkce: ( ) a) f(, ) = ln +. 4
[ = {(, ); (, ) (0, 0)}; Hf = R. Rovnice hladin + = e k, k R.] b) f(, ) =. [ = {(, ); > 0}; Hf = (0, ). Rovnice hladin = k, k > 0.] c) f(, ) = e ( + ). [ = R ; Hf = (0,. Rovnice hladin + = ln k, 0 < k.] d) f(, ) = 4 + 9 0. [ = R ; Hf = 0, ). Rovnice hladin 4 + 9 = 0 + k, k 0.] e) f(, ) = 9 4. [ = {(, ); 9 + 4 }; Hf = 0,. Rovnice hladin jsou 9 + 4 = k, 0 k.] f) f(, ) = +. [ = {(, ); + 0}; Hf = R. Rovnice hladin = k( + ),.] Obrázk k úlohám a a b c d 0 < k < k = k = e a b c k > 0 k = 0 k = d e 5