Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí.6. Inegrace goniomerických funkcí Průvodce sudiem V éo kapiole se budeme podrobněji zabýva inegrací funkcí, keré jsou složené z goniomerických funkcí. Takové inegrály se časo vyskyují v prakických aplikacích. Budeme se s nimi sekáva hlavně při výpoču vícenásobných inegrálů v Maemaice III. Při výpoču inegrálů ohoo ypu je obvykle používána subsiuční meoda. Někeré inegrály se aké dají vypočía meodou per pares. Vhodnou subsiucí lze dané inegrály časo převés na inegrály z racionálních funkcí, keré jsme se naučili inegrova v předcházející kapiole. Pro jednolivé ypy inegrálů přehledně uvedeme vhodnou meodu výpoču. Cíle Seznámíe se s posupy, keré jsou vhodné při inegraci funkcí složených z goniomerických funkcí. Uvedeme základní ypy ěcho inegrálů a nejvhodnější meody inegrace ěcho funkcí. Předpokládané znalosi Předpokládáme, že znáe základní inegrály uvedené v abulce.. a umíe vypočía inegrály subsiuční meodou, meodou per pares a umíe inegrova racionální funkce. Předpokládáme, že znáe základní vlasnosi goniomerických funkcí a důležié vzahy, keré pro ně plaí. m Inegrály ypu Výklad n d Nejprve se budeme zabýva inegrály ypu m n d, kde m, n jsou celá čísla. Jeden akový inegrál jsme již počíali, viz příklad... Inegrály ohoo ypu budeme velmi časo dosáva při výpoču dvojných a rojných inegrálů v předměu Maemaika III. Posup výpoču závisí na om, zda jsou čísla m, n sudá nebo lichá. Nejprve uvedeme přehledně posup pro jednolivé možnosi a pak pro každou možnos vypočíáme příklad, na kerém posup objasníme. - 69 -
Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí Výpoče inegrálů ypu d, kde m, n Z : m a) m je liché subsiuce =, b) n je liché subsiuce =, m i n sudé, alespoň jedno záporné subsiuce g =, n d) m i n sudé nezáporné použijeme vzorce pro dvojnásobný úhel =, + =. Řešené úlohy Příklad.5.. Vypočěe inegrál 5 d. Řešení: V omo případě je m = 5, n =, akže budeme voli subsiuci =. Pro diferenciál dosáváme d = d. Z inegrované funkce si edy vypůjčíme jeden us pro diferenciál a zbývající y snadno převedeme na funkci kous pomocí známého vzahu + =. Dosaneme: ( ) 5 = = = d d d subsiuce: = d = = = d ( ) ( ) = d = d 7 5 6 7 5 ( ) d C C. = + = + + = + + 7 5 7 5 Poznámky. Jsou-li lichá m i n, můžeme si vybra, jakou subsiuci použijeme, zda a) nebo b). Takovou úlohu jsme již řešili v příkladu.... Obecně si sačí pamaova, že v případě liché mocniny použijeme jednu funkci us (resp. kous) pro diferenciál a zbývající mocninu (bude sudá) převedeme na druhou funkci (kous, resp. us) a u aké položíme rovnu nové proměnné. - 70 -
Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí Příklad.5.. Vypočěe inegrál 8. d Řešení: V omo případě je m =, n = 8. Jelikož je n<0, budeme voli subsiuci g = pro ( π, π ). Pro hodnoy z uvedeného inervalu je = arcg, a edy diferenciál d d =. Pro výpoče inegrálu ješě pořebujeme vyjádři funkce a + pomocí funkce g. Pořebné vzahy snadno odvodíme z pravoúhlého rojúhelníka, jehož jeden úhel má velikos. Jesliže přilehlou odvěsnu zvolíme rovnu, bude mí proilehlá odvěsna velikos g =. Z Pyhagorovy věy + g = vypočeme velikos přepony +. Z definic funkcí us a kous (poměr velikosí proilehlé, resp. přilehlé odvěsny ku přeponě) dosaneme: = + a =. + subsiuce + d ( d + ) d = g = = = + = d = 8 8 d + + ( + ) d = + ( + + ) ( ) ( ) ( ) 5 7 6 = + d = + + d = + + d = + + + C = 5 7 5 7 = g + g + g +C. 5 7 Příklad.5.. Vypočěe inegrál d. Řešení: Máme m = a n = 0. Jelikož je m>0 a je sudé, snížíme mocninu použiím vzorce pro poloviční úhel. - 7 -
Maemaika II ( ).6. Inegrace goniomerických funkcí d = d = d = ( + ) d = + ( ) = + d = C + + + = = C + + 8. Poznámka Inegrál z funkcí a jsme vypočeli podle vzorce [6] z abulky... Prakicky používáme subsiuci Inegrály ypu R(, ) d Výklad =, resp. =. V další čási se budeme zabýva inegrály racionálních funkcí, keré dosaneme z funkcí, a reálných čísel pomocí konečného poču arimeických operací (sčíání, odčíání, násobení a dělení). Časo jsou yo inegrály značeny jako inegrály ypu R(, ) d, kde R( uv, ) předsavuje racionální funkci dvou proměnných v=. Jedná se například o inegrály funkcí: R(, ) =, R(, ) =, + + R(, ) =. u = a Poznámka Pokud bychom mezi výchozí funkce přidali ješě funkce g a cog, nedosaneme nic nového, neboť g = a vyvořenou ze ů a koů. cog =. Po úpravě dosaneme opě racionální funkci - 7 -
Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí Univerzální subsiuce Ukážeme, že inegrál ypu R(, ) d můžeme subsiucí g =, ( π, π ) převés na inegrál racionální lomené funkce. K omu musíme nejprve funkce a vyjádři pomocí g. Analogicky jako v příkladu.5.. snadno odvodíme pořebné vzahy pro poloviční úhel z pravoúhlého rojúhelníka. Jesliže přilehlou odvěsnu zvolíme rovnu, bude mí proilehlá odvěsna velikos g =. + g = Z Pyhagorovy věy vypočeme velikos přepony +. Z definic funkcí us a kous (poměr velikosí proilehlé resp. přilehlé odvěsny ku přeponě) dosaneme: = + a =. + S použiím vzorců pro dvojnásobný úhel ( α = αα, = α α ) získáme α = = = + + +, = = = + + +. Podsané je, že po subsiuci dosáváme míso funkcí us a kous racionální funkce. Ze vzahu g = pro ( π, π ) dosáváme = arcg, = arcg, a edy d = d. Po dosazení dosáváme inegrál racionální funkce + - 7 -
Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí R(, ) d= R, d + + +. Shrnuí: Inegrály ypu R(, ) d můžeme řeši subsiucí g =, ( π, π ). Pak vyjádříme =, + =, + d = d. + Řešené úlohy Příklad.5.. Vypočěe inegrál d, (0, π ). Řešení: Uvedený inegrál jsme již jednou řešili subsiucí (příklad..6). Z výše odvozených vzahů snadno dosaneme: d = d = d = ln + C = ln g C + + +. Příklad.5.5. Vypočěe inegrál Řešení: Použijeme subsiuci g + d. =. Z výše odvozených vzahů snadno dosaneme: d d d = + + + + + + + = = = d = d = d = d = + + + + + ( ) = arcg( ) + C = arcg(g ) +C. - 7 -
Maemaika II Příklad.5.6. Vypočěe inegrál + + d..6. Inegrace goniomerických funkcí Řešení: Použijeme subsiuci g =. Z výše odvozených vzahů dosaneme: + + + + + d = + + d = d + + + + = ( + ) ( + ) = d = d ( )( + ) ( )( + ) Dosali jsme inegrál z racionální funkce ryze lomené. Pro rozklad racionální funkce na parciální zlomky použijeme posup uvedený v kapiole.5. Polynom ve jmenovaeli má reálné kořeny = 0, = a kompleně sdružené kořeny, = ± i. Rozklad na souče parciálních zlomků bude mí var: ( + ) A B C D = + + +. ( )( + ) + + Nalezneme neznámé koeficieny A, B, C, D rozkladu z rovnice ( + ) = A( )( + ) + B( + ) + C ( ) + D( ). Dosaneme: A=, B=, C = 0, D=. Inegrujeme parciální zlomky: ( + ) d = ( + + ) d = ln + ln arcg + C ( )( + ) + = g = ln g + ln g arcg g + C = ln +C. g Poznámka Subsiucí g = pro ( π, π ) můžeme řeši každý inegrál ypu R(, ) d. Vzniklé racionální funkce však mohou bý komplikované a inegrace pracná. V někerých speciálních případech může k cíli rychleji vés subsiuce g =. =, =, případně - 75 -
Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí Konrolní oázky. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu ypu d, mn, Z, je-li m liché?. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu ypu d, mn, Z, je-li n liché?. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu ypu d, mn, Z, jsou-li m i n sudé?. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu 5. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu m m m d?? d 6. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu d? 7. Jaký posup zvolíe při výpoču inegrálu 8. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu 9. Jakou funkci předsavuje zápis R(, )? 0. Kdy je vhodná univerzální subsiuce g d? =?? d. Je vhodná univerzální subsiuce při výpoču inegrálu d?. Při výpoču inegrálu d je vhodnější jiná než univerzální subsiuce. Jaká? n n n Úlohy k samosanému řešení. a) d) g) j) d b) d e) h) d k) d 5 d d f) 5 i) d d l) d d d d - 76 -
Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí. a) d) d + b) d + e) d + d f) d + 5 d. a) d) b) d e) d + 5 5 d f) d d g g d g +. a) d) d b) d e) 7 7 d d f) d d + Výsledky úloh k samosanému řešení. a) + C ; b) 5 5 + + C; 5 + + C; 5 6 d) + C ; e) + + C; f) + + + C; 6 8 8 g) + + C ; h) + + C ; i) ln + + C ; + j) + ln + C ; k) + ln + C ; l) + +C. 8. a) ln + + C ; b) + ln + + C ; arcg + C ; d) arcg + C ; e) 5 + C; 5 0 6 f) + + C.. a) g + C; b) g + C ; 5 6 ln g + C ; d) arcg g + C 5 5 ; e) g + C ; f) ln g + + C. g. a) + g ln g + C ; b) ln g + C ; C + ; d) ln g 7 +C ; g - 77 -
Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí e) ln g + g + C ; f) arcg g + C. Konrolní es. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu a) =, b) =, univerzální, d) g =. d?. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu a) =, b) =, univerzální, d) g =.. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu a) univerzální, b) =, g =, d) =.. Vypočěe neurčiý inegrál 5 d. 7 d? d + 9 5 5 a) + +C, b) + + C, 5 5 5 5 + + C, d) + + C. 5 5 5. Vypočěe neurčiý inegrál a) C, + + b) C, + + d) 6. Vypočěe neurčiý inegrál d. + + + d. a) ( + ) +C, b) ( + ) + C, 8 6 6 ( + ) + C, d) ( ). 8 8 6 6 8 6 C, C.? - 78 -
Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí 7. Vypočěe neurčiý inegrál d (lze i bez subsiuce). a) cog + g + g +C, b) cog g C, g + + + cog + g + C, d) 8. Vypočěe neurčiý inegrál d. g + cog + g + C. a) ln, + C b) ln, + + C ln, + +C d) d 9. Vypočěe neurčiý inegrál. + + + + ln + C. a) ln+ g, b) ln + g + C, ln + g + C, d) ln+ g + C. 0. Bez použií univerzální subsiuce vypočěe neurčiý inegrál a) g + C, b) g + C, d. cog C, + d) g + + C. Výsledky esu. b);. a);. ;. b); 5. b); 6. ; 7. a); 8. d); 9. ; 0. d). Průvodce sudiem Pokud jse správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračuje další kapiolou. V opačném případě je řeba prosudova kapiolu.6 znovu a propočía další úlohy k samosanému řešení. Shrnuí lekce V prakických aplikacích se velmi časo vyskyují inegrály, keré obsahují goniomerické funkce. Při výpoču inegrálů ohoo ypu je obvykle užívána subsiuční meoda. V éo kapiole jsou přehledně uvedeny subsiuce používané pro základní ypy inegrálů, se kerými - 79 -
Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí se časo sekáváme. Časo se vyskyují inegrály, keré je možno řeši několika způsoby. Je dobré zvoli akovou meodu, kerá povede nejrychleji k cíli. Obvykle posupujeme ako: - Nejprve uvažíme, zda nelze použí subsiuci = nebo =, - pak zkoušíme, zda není vhodná subsiuce g =, - nakonec se pokusíme problém vyřeši univerzální subsiucí g =. - 80 -