INTEGRÁLNÍ POČET. Primitivní funkce. Neurčitý integrál. Pravidla a vzorce pro integrování

Transkript

1 INTEGRÁLNÍ POČET Primiivní unkce. Neurčiý inegrál Deinice. Jesliže pro unkce F einovné n oevřeném inervlu J plí F pro kžé J, říkáme, že F je primiivní unkcí k unkci n J. Vě. Je-li spojiá n J, pk k ní eisuje n J unkce primiivní. Je-li F primiivní k unkci n J liovolné číslo, pk [ F ] F, ey i kžá unkce F je n J k unkci primiivní. Deinice. Množinu všech primiivních unkcí k unkci n J nzýváme F neurčiým inegrálem unkce. Píšeme Poznámk: inegrční znk,. inegrn,.. inegrční konsn. Nlezení primiivní unkce nzýváme inegrování. Je o opk erivování. Neznáme le oecně plné vzorce pro inegrci součinu poílu pro inegrci složené unkce. Pro výpoče používáme přeevším vlsnosi neurčiého inegrálu prvil. Prvil vzorce pro inegrování P [ g ] ± P k ± g k, ke k 0 je konsn V n V n, n n V ln V sin cos

2 V 5 cos sin V 6 e e V 7 ln V 8 ln V 9 F, kyž F V0 cog sin V rcg A A A V rcsin A A V g cos A V ln A A A V5 ln ± B ± B Meoy výpoču neurčiého inegrálu e V někerých přípech sin npř.,,... je nlezení primiivní unkce nám osupnými meomi nemožné. Ukážeme jen záklní inegrční meoy způsoy inegrce.. Přímá inegrce pomocí vzorců úprv inegrnu. Jenoušší unkce inegrujeme přímo pomocí vzorců. Někeré unkce je ře nejříve vhoně uprvi.. pole P pole P. V,V,V pole P P pole V po úprvě

3 pole P P 5 pole V V 5 ln 5 ln Užií vzorce V8:. 6 ln ln sin sin 6. g ln cos cos cos Užií vzorce V9: pole V9 V 8. e pole V9 V6 e Užií vzorců V, V: 0. ln ln. oplnění kvrického rojčlenu n čverec pole V rcg Anlogicky posupujeme, je-li ve jmenoveli omocnin z kvrického rojčlenu. Užií vzorců V, V5:. pole V5 ln

4 . Meo per pres To meo inegrce po čásech umožňuje inegrov někeré součiny unkcí pomocí vzorce u v uv uv ke unkce u u v v mjí spojié erivce u v n inervlu J. Používá se k řešení neurčiých inegrálů zejmén ěcho ypů P je polynom:. P logrimická unkce P cyklomerická unkce. P goniomerická unkce Příkl. P eponenciální unkce ln ln ln u u v v ln ln Meou můžeme použí opkovně. Příkl. cos K sin cos sin volíme u P, kže u P, volíme v P, kže v P. V někerých přípech může ý polynom P supně 0, j. P. Příkl. rcg K rcg ln ln. Meo susiuční Umožňuje inegrov někeré složené unkce. Uveeme v záklní ypy.. Susiuce ypu ϕ proíhá pole schému: ϕ ϕ ϕ ierencujeme F F ϕ ϕ z přepoklu, že je spojiá že ϕ má nenulovou erivci. Z novou proměnnou čso volíme vniřní složku složené unkce.,

5 Příkl. e e e e. Susiuce ypu g proíhá pole schému: g ierencujeme g g F F ψ, ke ψ g z přepoklu, že je spojiá že g má nenulovou erivci. Příkl. rcg rcg Inegrce rcionálních lomených unkcí Nemůžeme-li inegrov přímo, je ře unkci rozloži eprve poom inegrov. Neryze lomenou RLF ělením rozložíme n souče polynomu unkce ryze lomené. Ryze lomené unkce se něky ál rozklájí n zv. prciální zlomky. Příkl. V V rcg ělení Poznámk: Ryze lomené rcionální unkce ueme inegrov pomocí někerého ze vzorců V,8,,, přípně V9 neo susiucí. Inegrce goniomerických unkcí Rcos sin zváíme susiuci cos Rsin cos zváíme susiuci sin Věšinou je ře inegrn n eno yp převés užiím goniomerických vzhů, vzorců npř. sin cos neo rozšířením zlomku sin neo cos. Běžně se používá úprv, ky lichou mocninu v čieli rozělíme n součin první mocniny mocniny sué. Příkl. sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin

6 cos cos Poznámk: Univerzální meo k výpoču R,cos sin susiuce g. Poku R,cos sin oshuje jen sué mocniny unkcí sinus kosinus g, ké u R g. Inegrce ircionálních unkcí někeré ypy už yly zmíněny v přechozím: úprvou inegrnu, npř. 5, užiím vzorce, npř. 9, jenouchou susiucí, npř., R n ;, ke neo c zveeme n Příkl. ělení ln ln c R p n ;... ; ;, ke neo c zveeme s, ke s je společný omocniel Příkl. ělení ln ln

7 Určiý inegrál Z geomerického hleisk přesvuje osh plochy, kerá je ohrničená grem nezáporné unkce y, osou přímkmi,. y y 0 Deinice. Nechť unkce je spojiá n uzvřeném inervlu,. Newonův určiý inegrál o o z unkce je číslo F F, ke F je unkce primiivní k unkci n inervlu,. Píšeme [ F ] F F Číslo nzýváme olní inegrční mez, číslo horní inegrční mez. Leinizův. ývá v lieruře oznčován jko Newon Poznámk. Vzorec [ F ] F F Vlsnosi určiého inegrálu: [ ± g ] ± g k k 0 y c y 0 c c L c,.. viz or. c

8 .Výpoče přímou inegrcí Příkl. [ ] Meo per pres pro určiý inegrál [ ] uv uv v u Příkl. ln ln ln v v u u ln ln ln ln ln. Meo susiuční pro určiý inegrál Použijeme-li susiuční meou k výpoču určiého inegrálu musíme sejnou susiucí rnsormov meze: Poom, ϕ β ϕ α ϕ ϕ β α L respekive g g g g β α β α, L Příkl. sin 0 sin0 0 cos sin cos sin π π π Můžeme ké posupov k, že nejříve njeme primiivní unkci F k unkci, poom použijeme Newon-Leinizův vzorec.

9 Geomerické plikce určiého inegrálu. OBSAH ROVINNÉ PLOHY Osh plochy ohrničené křivkou y osou je pole einice určiého inegrálu S. y y y y y y Osh plochy ohrničené věm křivkmi y y g je S [ g ] y y y y y g y y y g yg y g Ze nezáleží n om, z čás plochy leží neo neleží po osou. Inegrční meze, poku nejsou ány jsou rovny -ovým souřnicím průsečíků ných křivek.

10 . OBJEM ROTAČNÍHO TĚLESA Ojem ročního ěles, keré vznikne rocí rovinné plochy ohrničené křivkou y osou kolem osy je V π [ ] Ojem ročního ěles, keré vznikne rocí rovinné plochy ohrničené věm křivkmi y y g kolem osy je V π [ ] [ g ] y y y g