Booleov lger Cílem této kpitoly je seznámit se se zákldy Booleovy logické lgery, která je mtemtickou disciplínou tvoří teoretický prostředek pro návrh logických ovodů. Klíčové pojmy: Logická proměnná, logická funkce, logický člen, schemtická znčk, prvdivostní tulk, zákony Booleovy lgery, minterm, mxterm, ÚNDF, ÚNKF. Logická proměnná Logická proměnná se oznčuje písmenem- název logické proměnné. Logická proměnná nývá dvou možných hodnot: - Logická jedničk ( true T- prvd, v počítči je reprezentován hodnotou ) - Logická nul ( flse F neprvd, v počítči je reprezentován hodnotou 0) V počítči je logická hodnot zorzen v itu. Booleov lger Booleov lger se zývá vzthy mezi logickými proměnnými. Vzthy jsou vyjádřeny logickými funkcemi pomocí zákonů Booleovy lgery. Logické funkce jsou popsány logickým výrzem, názvem logického členu ( hrdl), který dnou logickou funkci relizuje, prvdivostní tulkou schemtickou znčkou. Zákldní logické funkce - Logický součet OR ( disjunkce) Y = A + B A B Y 0 + 0 = 0 0 0 0 0 + = 0 + 0 = 0 + = 2/2/202 Booleov lger
- Logický součin AND ( konjunkce) Y = A. B A B Y 0. 0 = 0 0 0 0 0. = 0 0 0. 0 = 0 0 0. = - Negce - NOT Y A A Y 0 = 0 = 0 0 Dlší logické funkce ( odvozené ze zákldních logických funkcí) - Negovný logický součet - NOR Y A B A B Y 0 0 = 0 0 0 = 0 0 0 0 = 0 0 0 = 0 0 Y = - Negovný logický součin - NAND A B A B Y 0 0 = 0 0 0 = 0 0 = 0 = 0 0 - Nonekvivlence ( exklusive-or) XOR Y = A B + A B = A B A B Y 0 0 0 0 0 0 Pomocí XOR se relizuje poloviční sčítčk tj. sčítání v nejnižším itu. 2/2/202 Booleov lger 2 =
- Ekvivlence XNOR ( komprátor) Y = A B + A B = A B A B Y 0 0 0 0 0 0 = Zákldní prvidl ( zákony) Booleovy lgery Zákony se uvádějí pro logický součet logický součin. Oě podoy jsou vzájemně duální tzn., že pokud vzájemně změníme operátory hodnoty 0, dostneme druhý tvr. Zákon Součet Součin Komuttivní A + B = B + A A. B = B. A Asocitivní A + (B + C) = (A + B) + C A. (B + C) = (A. B).C Distriutivní (A + B). (A + C) = A + (B. C) A. B + A. C = A. (B + C) Vyloučení třetího A + A = A. A = 0 Agresivnosti 0 A + = A. 0 = 0 Neutrálnosti 0 A + 0 = A A. = A Asorce A + A = A A. A = A A + A. B = A A. (A + B) = A Asorce negce A. ( A + B) = A. B A + A. B = A + B A. (A + B) = A. B Dvojité negce A = A A = A De Morgnovy z. A + A. B = A + B A B = A. B A B = A + B De Morgnovy zákony: Negci funkce získáme nhrzením kždé proměnné její negcí vzájemnou záměnou operátorů součtu součinu. Zákony Booleovy lgery využíváme pro úprvy logických ovodů. V prxi se logické ovody většinou relizují pomocí hrdel NOR NAND, proto musíme logické výrzy uprvit používá se zákon dvojité negce De Morgnovy zákony. Příkld: Logický ovod relizovný dvouvstupovým logickým členem OR relizujte pomocí dvouvstupových logických členů NAND. 2/2/202 Booleov lger 3
+ = =. +. Příkld: Uprvte logický výrz A. B = A + B = A + B Příkld: Pomocí prvdivostní tulky dokžte, že pltí zákon soce negce A. ( A + B) = A. B A B A A + B A. ( A + B) A. B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Pomocí prvdivostní tulky jsme dokázli, že dný zákon pltí. Způsoy popisu logických funkcí - Prvdivostní tulk Prvdivostní tulk je nejěžnějším způsoem popisu logické funkce. Popisuje chování logického ovodu. Oshuje výčet všech komincí vstupních proměnných jim odpovídjících výstupů. Máme-li n- vstupních proměnných /2, pk prvdivostní tulk ude mít 2 n - řádků/4 ( = počet komincí vstupních proměnných). 2/2/202 Booleov lger 4
Příkld: N c MIN MAX f f2 0 0 0 0 c.. c+ + 0 0 0 c.. c+ + 2 0 0 c.. c+ + 0 3 0 c.. c+ + 0 X 4 0 0 c.. c + + 0 0 5 0 c.. c + + 6 0 c.. c + + 0 X 7 c.. c + + f určitá funkce ( pro kždou kominci vstupních proměnných má definovánu určitou hodnotu 0 neo ) f2 neurčitá funkce ( oshuje neurčité hodnoty X pro dnou kominci vstupních proměnných může mít funkce hodnotu 0 neo ) Zákldní součinový člen (minterm) součin, který oshuje všechny vstupní proměnné pltí MINTERM =. Npř.:..c = tj. = 0, = 0, c = Zákldní součtový člen (mxterm) součet, který oshuje všechny vstupní proměnné pltí MAXTERM = 0. Npř.: + +c = 0 tj. =, =, c = 0 Pltí: Mxtermy jsou negcí mintermů. Npř. c.. = c++ Z prvdivostní tulky získáme logický výrz:. Úplná normální disjunktní form ( ÚNDF) je dán součtem všech zákldních součinových členů ( mintermů), ve kterých je hodnot logické funkce rovn. ÚNDF: f ( c,, ) = c.. + c.. + c.. + c.. Používá se čstěji. 2. Úplná normální konjunktní form ( ÚNKF) je dán součinem všech zákldních součtových členů ( mxtermů), ve kterých je hodnot logické funkce rovn 0. ÚNKF: f ( c,, ) = (c + +). (c + + ). ( c + +). ( c + +) 2/2/202 Booleov lger 5
- Seznm stvových indexů Zjednodušený zápis prvdivostní tulky. Stvový index (N) dekdická hodnot komince inárních vstupních proměnných. Logickou funkci zpisujeme jko seznm stvových indexů vstupních proměnných, pro něž logická funkce nývá hodnotu neo 0. Příkld: Použijeme zdání minulého příkldu. ÚNDF: f ( c,, ) = Σ (, 2, 5, 7) ÚNKF: f ( c,, ) = Π ( 0, 3, 4, 6) ÚNDF: f2 ( c,, ) = Σ ( 0,, 5, 7) + ΣX ( 3, 6) ÚNKF: f2 ( c,, ) = Π ( 2, 4). ΠX ( 3, 6) - Logický výrz Logický výrz je popis logické funkce pomocí logických proměnných ve formě nlytického zápisu. Z logického výrzu lze nvrhovt logický ovod. Příkld: f (,, c) =. c +.. c f c - Vénnův digrm Logické funkce znázorňujeme pomocí množin, počet množin je dán počtem vstupních proměnných. 2/2/202 Booleov lger 6
Příkld: Logický člen NOR NOR A B A B A =, B = 0 0 0 0 A = 0, B = A = 0, B = 0 A =, B = - Zorzení pomocí mp Způso používný čsto ke grfickému zorzení logické funkce. Zorzení je přehlednější než Vénnův digrm využívá se při minimlizci logických funkcí (ude proráno v dlší kpitole). Máme-li n /2/ vstupních proměnných, potom mp ude oshovt 2 n /4/ políček. Mp je trnsformcí prvdivostní tulky. Kždému řádku tulky odpovídá jedno políčko v mpě. V kždém políčku je zpsán logická funkce pro dnou kominci vstupních proměnných. Pruhem je u kždé proměnné vyznčen její hodnot ( ). Mpy: - Svoodovy používjí se s výhodou pro 5 ž 6 vstupních proměnných - Krnughovy používjí se pro, 2, 3 4 vstupní proměnné. Dále se udeme zývt pouze těmito mpmi. Příkldy: n = f ( ) N f 0 0 X f 0 X stvové indexy vstupní proměnná ( = ) hodnot logické funkce 2/2/202 Booleov lger 7
n = 2 f (, ) N f 0 0 0 0 0 2 0 X 3 0 0 2 X 3 n = 3 f ( c,, ) N c f 0 0 0 0 0 0 X 2 0 0 0 3 0 4 0 0 0 5 0 6 0 X 7 0 0 X 3 2 0 4 0 5 7 0 6 X c 2/2/202 Booleov lger 8
n = 4 f ( d, c,, ) N d c f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 X 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 8 0 0 0 9 0 0 X 0 0 0 X 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 3 2 0 4 X 5 0 7 6 0 2 3 0 5 4 0 8 9 X 0 X c d 2/2/202 Booleov lger 9
- Zorzení n n-rozměrném tělese Používá se pro grfické zorzení. Logická funkce pro jednu vstupní proměnnou se zorzí n jednotkové úsečce, pro dvě proměnné n jednotkovém čtverci pro tři proměnné n jednotkové krychli. Bližší popis viz učenice []. Shrnutí: Booleov logická lger je mtemtickou disciplínou tvoří teoretický prostředek pro návrh logických ovodů. Použité zdroje informcí: [] ANTOŠOVÁ, M. - DAVÍDEK, V. Číslicová technik: učenice..vyd. České Budějovice, KOPP, 2004. 286 s. ISBN 80-7232-206-0. [2] KESL,J. Elektronik III: číslicová technik..vyd. Prh, BEN, 2003. 2s. ISBN 80-7300-076-8. [3] BLATNÝ, J. kol. Číslicové počítče..vyd. Prh, SNTL, 980, 496s. [4] JANSEN, H. kol. Informční telekomunikční technik..vyd. Prh, Europ-Sootles cz.s.r.o, 2004, 400s. ISBN 80-86706-08-7. [5] HÄBERLE, G. kol. Elektrotechnické tulky pro školu i prxi..vyd. Prh, Europ-Sootles cz.s.r.o, 2006, 460s. ISBN 80-86706-6-8. 2/2/202 Booleov lger 0