3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

Transkript

1 .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov této kpitoly: ritmická funkce, ritmus, přiroený, dekdický binární ritmus, ritmování odrimování výru. Čs potřebný k prostudování učiv kpitoly: 0,5 +,0 hodiny (teorie + řešení příkldů)

2 Logritmická funkce. Definice. Logritmickou funkcí (kráceně ritmem) při ákldu nýváme funkci inverní k funkci y exponenciální. Zpisujeme: y = x x=. Ponámk. ) Nyní je jsné, proč jsme v definici exponenciály vyloučili přípd =. Funkce x není prostá neexistuje k ní tedy funkce inverní. b) Slovně řečeno: ritmem čísl x při ákldu je tkové číslo y, pro které pltí, že x se rovná n y. c) Ve dvou přípdech se vádí speciální pojmenování ončení. Pro ákld = 0 mluvíme o desítkovém (dekdickém) ritmu píšeme prostě x, tn. vynecháváme index 0. Pro ákld e (Eulerovo číslo) mluvíme o přiroeném ritmu (ritmus nturlis) píšeme ln x. V prxi je výnmný tké ritmus o ákldu =, který nýváme dvojkový (binární); nemá vláštní ončení. Zákldní vlstnosti ritmické funkce. Vět. Logritmická funkce je definován poue pro kldná x, je prostá, pro > rostoucí, pro 0< < klesjící, neomeená dol ni shor, grf procháí body [, 0], [, ]. Grf ritmické funkce. Grf ritmické funkce pro ákld větší i menší než jedn je n obráku ( = ). Tké jeho tvr je nutné si dokonle pmtovt. Vět. Pro kždé x > 0, y > 0, 0 <, 0 < b, k R pltí: x = x, =, 0 =, xy = x + y (ritmus součinu je roven součtu ritmů), x y = x y

3 (ritmus podílu je roven rodílu ritmů, speciálně = x ), k x = k x (ritmus k -té mocniny je roven k -násobku ritmu), b x = (převod ritmu n jiný ákld, speciálně x b x x= x). Ponámk. Poor! Obecně nepltí žádná obdobná vět o součinu, podílu nebo mocnině ritmů, tn. že součin, podíl nebo mocninu ritmů nemůžeme obecně nijk výhodně uprvit. Poue podíl ritmů o stejném ákldu se podle posledního vorce dá převést n jediný ritmus o jiném ákldu, le tková úprv nebývá v prxi vhodná. Logritmování odritmování výru. Definice. Logritmovt (méně přesně ritmovt) výr nmená vyjádřit jeho ritmus pomocí ritmů jednodušších výrů, příp. proměnných. Používá se přitom ejmén vět o ritmu součinu, podílu mocniny. Definice. Odritmovt výr nmená vyjádřit výr, jehož ritmus je nám je psán prvidl pomocí ritmů jednodušších výrů, příp. proměnných. Používá se opět vět o ritmu součinu, podílu mocniny, tentokrát le v obráceném směru. Shrnutí kpitoly: Logritmickou funkcí, kráceně ritmem, nýváme funkci inverní k funkci exponenciální. Z této definice plynou její vlstnosti. Logritmická funkce je definován poue pro kldné rgumenty, oborem hodnot je celá množin reálných čísel. Zákld může nbývt libovolných kldných hodnot kromě hodnoty =. Pro ákld větší než je funkcí rostoucí, pro ákld menší než jedn klesjící. Grf procháí body [,0] [,] je třeb jeho tvr nát pměti. Pro práci s ritmy pltí několik důležitých vorců, nichž nejvýnmější říká, že ritmus součinu (podílu) je roven součtu (rodílu) ritmů. I tyto vorce je nutné nát pměti. Logritmovt výr nmená plikovt n tento výr ritmickou funkci vniklý výr podle vorců pro práci s ritmy vyjádřit pomocí ritmů jednodušších výrů. Odritmování výru nmená proces inverní k ritmování.

4 Otáky: Jk je definován ritmická funkce? Npište definici mtemticky. Jké ákldní vlstnosti má ritmická funkce? Jký má definiční obor obor hodnot? Jk je to s její monotónností? Jkých hodnot může nbývt ákld ritmu? Proč vylučujeme hodnotu? Nčrtněte pměti grf ritmické funkce pro ákld = =. Jkými výnčnými body tyto grfy musí procháet? Npište pměti ákldní vorce pro práci s ritmy, ejmén vorec pro ritmus součinu, podílu, mocniny pro převod ritmu n jiný ákld. Řešený příkld. Logritmujte při ákldu 0 výr V 0 x y = 6 5 ( x). Řešení. Aplikujeme operci n obě strny rovnice uprvíme podle výše uvedených vorců: V = x+ y x = x+ y x.

5 Řešený příkld. Odritmujte výr + x + y. Řešení. Nším úkolem je njít výr V, by pltil rovnice V = + x + y. Můžeme použít dvě ekvivlentní metody. Uprvíme prvou strnu tk, by měl tvr binárního ritmu jediného výru: + x + y = + x + x y y + =. Nyní rovnosti ritmů plyne rovnost rgumentů (ritmus je funkce prostá!), tn. x y V =. Jinou možností je plikovt n kždou strnu rovnice exponenciální funkci se ákldem : V + x + y =. Tuto rovnici dále uprvíme podle výše uvedených vět o ritmické, resp. exponenciální funkci: x y x y V = = = x y. Druhý postup použijí si ti studenti, kterým se lépe prcuje s exponenciální funkcí než s funkcí ritmickou. Příkld. N ákldě definice ritmu určete hodnotu proměnné. ) x = ; b) u = ; c) 4 = v ; d) 0,5 = t ; e) 0, 5 = ; 4 4 f) b 8 = ; g) x =. Příkld. Logritmujte výr: 5 xy b ) V = 7 ; b) U = 4. c d

6 Řešení příkldů: ) x = ; b) u = ; c) 7 g) x =. 4 v = ; d) t = ; e) = 4 ; f) b = ; 4 ) V 5 = + x+ y 7 ; b U = + b c d 4. Dlší droje:. POLÁK, J. Přehled středoškolské mtemtiky. 6. vyd. Prh: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská mtemtik v úlohách I.. vyd. Prh: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská mtemtik v úlohách II.. vyd. Prh: Prometheus, REKTORYS, K. spol. Přehled užité mtemtiky. 6. přepr. vyd. Prh: Prometheus, 995. ZÁVĚR: [Tdy klepněte pište]