RIEMANNŮV INTEGRÁL V PŘÍKLADECH

Jihočeská univerzit v Českých Budějovicích Pedgogická fkult RIEMANNŮV INTEGRÁL V PŘÍKLADECH BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mrtin Klápová Vedoucí práce: Mgr. Petr Chládek, Ph.D. České Budějovice, duen 7

Poděkování Děkuji Mgr. Petru Chládkovi z hodnotné rdy odorné vedení ěhem mé klářské práce.

Prohlšuji, že svoji klářskou práci jsem vyprcovl/ smosttně pouze s použitím prmenů litertury uvedených v seznmu citovné litertury. Prohlšuji, že v souldu s 7 zákon č. /998 S. v pltném znění souhlsím se zveřejněním své klářské práce, to v nezkrácené podoě elektronickou cestou ve veřejně přístupné části dtáze STAG provozovné Jihočeskou univerzitou v Českých Budějovicích n jejích internetových stránkách. 7.. 7

Anotce: V práci je předložen popis konstrukce Riemnnov určitého integrálu včetně některých jeho zákldních vlstností. N konkrétních řešených úlohách jsou pk ukázány jeho geometrické plikce. In the thesis descrition of the construction of Riemnn s integrl is sumitted, including some of its sic fetures. Its geometric pplictions re shown in concrete solved prolems.

OBSAH Teorie Riemnnov integrálu 6. Úvod. 6. G. B. F. Riemnn... 7. Co je to d?... 8. Názorné vysvětlení 9.5 Cuchy-Riemnnov definice určitého integrálu..6 Vlstnosti Riemnnov integrálu......7 Věty o střední hodnotě Riemnnov integrálu. 5.8 Metody integrce pro Riemnnův integrál 6.9 Neurčitý integrál vyrných funkcí... 7 Prktická část 8. Metody výpočtu Riemnnov integrálu 8.. Použití Newton-Leinitzovy formule... 8.. Použití metody per prtes... Použití sustituční metody.. Souhrnné úlohy. 6. Geometrické plikce 7.. Výpočet oshu rovinného orzce.. 7.. Výpočet ojemu rotčního těles.... Výpočet délky křivky 9.. Výpočet oshu pláště rotčního těles. Fyzikální plikce. 5.. Výpočet souřdnic těžiště homogenní desky 5.. Výpočet souřdnic těžiště homogenního rotčního těles 6.. Výpočet souřdnic těžiště homogenní rotční plochy.. 7.. Výpočet souřdnic těžiště homogenního drátu. 8 Závěr. 9 Seznm použité litertury.. 5 5 Příloh - výsledky neřešených úloh.. 5

TEORIE URČITÉHO (RIEMANNOVA) INTEGRÁLU. ÚVOD K pojmu určitého integrálu yli mtemtikové přivedeni mimo jiné tké geometrickým prolémem, totiž otázkou po plošné míře rovinných oorů. V elementární geometrii se definuje plošná velikost neoli osh trojúhelníků (jko polovin součinu zákldny výšky) dále plošná velikost neoli osh oorů, jež se djí rozložit n konečný počet trojúhelníků, tj. plošná velikost mnohoúhelníků. Vzniká otázk, jkým způsoem je vhodné definovt osh oorů oecnějších, které nelze rozložit n konečný počet trojúhelníků. Eistuje řd definic integrálu, které pro rozumně se chovjící funkce vedou ke stejným výsledkům. Z nich nejdůležitější jsou Riemnnův integrál, Newtonův Leesgueův integrál. Riemnnův integrál nvrhnul Bernrd Riemnn v roce 85 šlo o první definici integrálu odpovídjící dnešním měřítkům. Leesgueův integrál vytvořil Henri Leesgue. Leesgueův integrál oznčuje v mtemtice definici určitého integrálu, zloženou n teorii míry, konkrétně tzv. Leesgueovy míry. Leesgueův integrál dlší, ještě pokročilejší integrály, npříkld integrál Kurzweillův, umožňují integrovt širší třídy funkcí, pltí pro ně silnější verze mnoh tvrzení skýtjí i mnoho dlších výhod. Newtonův integrál předstvuje definici určitého integrálu, která je zložen n eistenci primitivní funkce. Newtonov definice se užívá pouze pro nejjednodušší integrály. Postupně yl nhrzen pokročilejšími definicemi, jko npř. Riemnnovou neo Leesgueovou. Newtonův i Riemnnův integrál yly definovány n uzvřeném intervlu, rozdíl je ten, že Newtonův integrál je definován pro funkce mjící n tomto intervlu funkci 6

primitivní, ztímco Riemnnův integrál je definován pro funkce n tomto intervlu omezené.. G. F. B. RIEMANN Georg Fridrich Bernrd Riemnn se nrodil 7. 9. 86 v Breselenzu v Německu. Rodiče mu předčsně zemřeli n tuerkulózu postupně n tuto nemoc umírli i jeho sourozenci. Mldý ndný Riemnn tušil, že totéž čeká i n něj. Odešel n studi do Berlín poté do Göttingenu, kde yl jeho profesorem mtemtiky Krl Guss. Osud mu dopřál jen 5 let práce. Své myšlenky vyložil v konkurzní přednášce, kterou pronesl v roce 85 v sále göttingenské univerzity. Až dosud se neeuklidovská geometrie zývl jen zkřivenou dvourozměrnou plochou. Riemnn ukázl, že stejným způsoem lze studovt zkřivené prostory o jkémkoliv počtu rozměrů. Riemnnov teorie yl nesmírně široká komplení. Všechny dosvdní geometrie, Euklidov i Gussov, Ločevského Bolyie, yly jen dílčími přípdy Riemnnovy geometrie. V jeho teorii mohl ýt prostor nejrůznějším způsoem zkroucený, zdeformovný, mohl mít různou křivost v různých odech, mohl ýt souvislý i děrovný, mohl mít liovolný počet rozměrů. Říká se, že když stárnoucí král mtemtiků Guss přednášku svého ývlého žák vyslechl, jen mlčky vstl eze slov vyšel ze sálu. K tomu, co Bernrd Riemnn dokázl, neylo už co dodt. V roce 859 yl Riemnn jmenován n göttingenské univerzitě profesorem. O tři roky později se oženil dočkl se nrození dítěte, mnoho čsu n rodinné rdosti mu už le nezývlo. Kvůli zhoršujícímu se zdrví poývl hlvně ve slunné Itálii snžil se ještě stihnout poslední práce n velké fyzikální teorii, která měl poskytnout sjednocený popis elektromgnetismu, světl grvitce. Riemnn se ještě jednou nkrátko vrátil do Göttingenu potom se vydl zpět do Itálie. Mezitím vypukl prusko-rkouská válk železnice nefungovl. Riemnn šel pěšky, le cest yl vyčerpávjící n krji Itálie. 7. 868 zemřel. 7

. CO JE TO DX? Riemnnův integrál je zložen n proimci pomocí odélníků. Pokud je funkce Riemnnovsky integrovtelná, pk je pro oprvdu úzké odélníky chy proimce téměř nulová. Jký je nejužší možný odélník? Tto otázk nemá odpověď, protože tloušťku lze udělt liovolně mlou, v limitním přípdě dostneme odélník nulové šířky, což už vůec není odélník. Teď uvedeme diferenciál d, což je nekonečně mlý kousek osy (le jeho délk přesto není nulová). Smozřejmě tková věc vůec neeistuje, krás této myšlenky je ovšem v tom, že když se používá optrně, tk se zdá, že funguje. Co je důležitější, když se při přemýšlení o mtemtických myšlenkách používá d, tk čsto vypdjí mnohem přirozeněji jednodušeji. To je tké důvod, proč většin mtemtiků, i když doře ví, že žádné nekonečně mlé kousky osy neeistují, stejně používá pojmu d při přemýšlení nd prolémy. Smozřejmě, když tk přijdou k nějkému závěru, tk to musí ýt korektně zkontrolováno dokázáno. My teď plikujeme přístup pomocí d n určitý integrál. Protože d je nekonečně mlé, kždý odélník ude širší než odélník šířky d. Odélník šířky d je tedy nejužší odélník, jinými slovy proimce ude znedtelná. Kždý kousek grfu funkce f o šířce d je tk mlý, že můžeme předpokládt,že je to kousek přímky. Olst pod tímto kouskem je tedy lichoěžník. Jeho osh se spočítá vynásoením zákldny d výškou měřenou uprostřed, což je f(). Aychom získli celkový osh, jednoduše sečteme oshy všech lichoěžníků: ( jsou krjní ody intervlu n ose ) A f ( ) d Tto sum smozřejmě nemá smysl. Když rozdělíme olst pod grfem n pruhy o nekonečně mlé šířce, kolik jich ude? Nekonečně mnoho. A nejen to, lichoěžníků je dokonce nespočetně mnoho proto nevíme, jk vlstně sčítt všechny jejich oshy, my umíme sčítt jen konečně mnoho či spočetně mnoho čísel. A tk nhrdíme sumční znménko znménkem integrálním: 8

A f ( ) d Toto odvození neylo korektní, nicméně tento způso přemýšlení je přirozený doře funguje. Pokud si zvykneme n d coy nekonečně mlý kousek osy, spoust dlších vzorců ude vypdt přirozeněji (ojem, těžiště td.). Většinou le d slouží jen jko ryze symolické oznčení ez dlšího význmu.. NÁZORNÉ VYSVĚTLENÍ S {(, y) R,,, y f ( ) } Motivce k zvedení Riemnnov integrálu mohou ýt různé, i když jejich hlvní rysy jsou vždy stejné. My jsme si vyrli tu nejěžnější nejnázornější motivci, totiž prolém určení plošného oshu. Jednoduše řečeno je určitý integrál nezáporné funkce f mezi nějkými dvěm ody, roven ploše orzce omezeného přímkmi,, osou, křivkou definovnou grfem funkce f. Formálněji řečeno, je tkový integrál roven míře množiny S. Integrál se znčí stylizovným protženým písmenem S (z ltinského summ). Toto oznčení vytvořil Gottfried Leinitz. Integrál z předchozího odstvce y se dl oznčit jko f ( ) d, kde znménko znčí integrování, je dolní integrční mez, horní integrční mez f() je tzv. integrnd. Intervl, je uzvřený nedegenerovný (tj. < ). 9

. CAUCHY RIEMANNOVA DEFINICE: Definice.. Je dný intervl,. Konečnou množinu D {,..., } tkovou, že, n n nzýváme dělením intervlu,. Bodům i, pro i,,,,n říkáme dělící ody intervlu,. Intervlu i, i, kde i,,,n, říkáme částečný intervl intervlu, při dělení D. Definice..,, n, kde < <... < n, je dělením intervlu,. Nechť D {..., } Číslo h D) m ( ) ( i+ i k i nzýváme normou (krokem) dělení D. Definice.. Nechť D D jsou dělení intervlu,, přičemž D D. Pk D nzýváme zjemněním dělení D. Poznámk: ) Když D je zjemněním D, pk h( D) h( D ). ) Když D D jsou dvě dělení intervlu,, pk D D je společným zjemněním D i D. Oznčme znkem i délku i-tého částečného intervlu i, i, tj. položme. Dále mějme funkci f omezenou v intervlu, oznčme znkem M i i i i supremum znkem m i infimum funkce f v intervlu přiřdíme nyní dvě čísl:, i i. Dnému dělení D

n S( D) M i i, jež udeme nzývt horním součtem příslušným k dělení D funkci f, i n s( D) m i i, jež udeme nzývt dolním součtem příslušným k dělení D funkci f. i Vět.. Nechť funkce f je omezená n, ; D D jsou dělení intervlu,, D zjemňuje D. Potom: ) S( D ) S( D) s( D ) s( D) ) nechť D D jsou liovolná dělení,, pk s D ) S( ). ( D Vět.. Je-li M supremum m infimum funkce f v intervlu,, je největší možná hodnot horního součtu rovn číslu M(-), nejmenší možná hodnot dolního součtu rovn číslu m(-). Je-li tedy D liovolné dělení intervlu,, pltí nerovnost m( ) s( D) S( D) M ( ). Vět.. Je-li f omezená reálná funkce n, D je množin všech možných dělení intervlu,, potom dolní Riemnnův integrál funkce f n intervlu, definujeme tkto: f ( ) d sup { s( D) : D D} horní Riemnnův integrál funkce f n intervlu, definujeme tkto: f ( ) d inf { S( D) : D D}

Definice.. Nechť f je funkce omezená n,. Je-li f ( ) d f ( ) d, říkáme, že f má v intervlu, Riemnnův integrál. Společnou hodnotou dolního horního integrálu znčíme f ( ) d. O funkci f říkáme, že je Riemnnovsky integrovtelná v,..5 VLASTNOSTI RIEMANNOVA INTEGRÁLU Vět.5. Kždá funkce spojitá n intervlu, je n tomto intervlu Riemnnovsky integrovtelná. Vět.5. Nechť < < c. Nechť funkce f je integrovtelná n, ) f ( ) d f ( ) d ) f ( ) d ) ) d f ( ) d + c f ( f ( ) d (ditivit mezí) c Vět.5. (o lineritě určitého integrálu) ) Nechť funkce f je integrovtelná n, je-li α liovolné číslo, potom i funkce αf je integrovtelná n, pltí: α f ( ) d α f ( ) d

) Nechť f g jsou integrovtelné funkce n,,potom je funkce f + g integrovtelná n, pltí: ( ( ) + g( ) ) d f ( ) d + f g( ) d ) Nechť f g jsou integrovtelné funkce n,, potom je funkce fg integrovtelná n,. Vět.5. (o nezápornosti určitého integrálu) Nechť funkce f je integrovtelná n, nechť f ( ), potom f ( ) d. Vět.5.5 (o monotonii určitého integrálu) Nechť f g jsou funkce integrovtelné n,, f ( ) g( ), pk pltí: f ( ) d g( ) d Vět.5.6 Nechť f je funkce integrovtelná n,. Potom je rovněž f integrovtelná n, pltí: f ( ) d f ( ) d Vět.5.7 Nechť f je funkce integrovtelná n,. Nechť c, d je částečný intervl intervlu,. Potom funkce f je též integrovtelná n c, d.

Vět.5.8 Nechť f je funkce integrovtelná n,. Funkce g nechť se liší od funkce f jen v konečném počtu odů intervlu,. Potom funkce g je též integrovtelná n, pltí: g ( ) d f ( ) d Vět.5.9 Nechť je funkce f omezená v intervlu,, nechť má funkce f v intervlu (,) nejvýše konečný počet odů nespojitosti. Potom integrál f ( ) d eistuje. Vět.5. (Newton-Leinitzov formule) Nechť f je funkce integrovtelná n,. Nechť F() je funkce spojitá v intervlu,. Nechť funkce F() má v kždém odě intervlu (,) derivci F () f(). Potom pltí: f ) d F( ) F( ) [ F( ) ] (.

.6 VĚTY O STŘEDNÍ HODNOTĚ INTEGRÁLU V přípdě, že neumíme njít primitivní funkci F k funkci f, musíme se při výpočtu integrálu f ( ) d orátit k nějké numerické metodě. Čsto všk v plikcích není nutné znát přesnou hodnotu integrálu postčuje rozumný odhd. Metodu n odhdování hodnot integrálů nám djí věty o střední hodnotě. Vět.6. (. vět o střední hodnotě) Nechť funkce f je integrovtelná nezáporná n intervlu, nechť funkce g je integrovtelná n,. Pk eistuje µ inf g,sup g tkové, že f ( ) g( ) d µ f ( ) d.,, Poznámk.6. ) Přidáme-li k předpokldům věty ještě spojitost funkce g, pk tvrzení lze vyslovit ve tvru: Eistuje c, tkové, že ) g( ) d g( c) f ( f ( ) d. ) Pro volu funkce f vět říká: g ) d µ ( ) (. Číslo µ se nzývá střední hodnot funkce g. Číslo µ vystihuje, jkou výšku y měl mít odélník nd intervlem,, y jeho ploch yl stejná, jko ploch mezi osou grfem funkce g. Vět.6. (. vět o střední hodnotě) Nechť funkce f g jsou integrovtelné v intervlu, nechť g je monotonní v,. Pk eistuje, ξ tk, že ) g( ) d g( ) f ( ) d + g( ) f ( g( ) d. 5

.7 METODY INTEGRACE Vět.7. (metod per prtes pro určitý integrál) Nechť funkce u v jsou spojité n intervlu, mjí n něm spojité derivce u v. Pk pltí: [ u( ) v( ) ] u ( ) v ( ) d u ( ) v( ) d Poznámk.7. Při výpočtu volíme funkce u(), v () tk, y integrál n prvé strně yl pro výpočet jednodušší než integrál původní. Vět.7. (sustituce pro určitý integrál) Nechť funkce f je spojitá n intervlu I nechť funkce φ má spojitou derivci n omezeném uzvřeném intervlu J s krjními ody α, β φ: J I. Oznčme φ(α), φ(β). Pk pltí: f ( ) d β α f ( ϕ ( t)) ϕ ( t) dt Poznámk.7. ) Při použití sustituční metody je tře změnit integrční meze neo se vrátit k původní proměnné. ) Uvedený vzth užíváme k výpočtu integrálu vlevo, známe-li integrál vprvo, neo k výpočtu integrálu vprvo, známe-li integrál vlevo. Poznámk.7. Dále eistují přiližné numerické metody pro řešení určitého integrálu, npř.: odélníkovém prvidlo, lichoěžníkové prvidlo neo Simpsonov metod, které le nejsou předmětem zkoumání této práce. 6

.8 NEURČITÝ INTEGRÁL VYBRANÝCH FUNKCÍ Pro připomenutí uvádím primitivní funkce některých zákldních funkcí, které se udou hodit i při výpočtu integrálu určitého: d + c k k + d + c k + d ln + c; > ln( ) + c; < d + c ln sin d cos + c cos d sin + c d tg + c cos d cot g + c sin d rcsin + c d rctg + c + 7

PRAKTICKÁ ČÁST. METODY VÝPOČTU RIEMANNOVA INTEGRÁLU.. Použití Newton-Leinitzovy formule Příkld : Vypočtěte 6 d. Nejprve podle definice zjistíme primitivní funkci k funkci f ( ) 6. Tedy F ( ). Potom vypočteme rozdíl F () F()... Pro zápis řešení užíváme výhodnějšího způsou, kdy primitivní funkci zpíšeme do hrnté závorky meze přepíšeme. Potom dosdíme horní mez dolní mez odečteme (v tomto pořdí): [ ] 6 d.. 5 Příkld : Vypočtěte ( ) d. Nejprve podle definice zjistíme primitivní funkci. Závorku umocníme roznásoíme: ( ) d ( + ) d ( + ) d Nyní integrujeme člen po členu: + 8

Nkonec dosdíme meze odečteme: ( 9 7 + 8) ( + ) 99 8 + Příkld : + Vypočtěte ( sin ) d. Opět nejprve nlezneme primitivní funkci, poté dosdíme meze odečteme: ( ) sin d cos 6 cos cos ( 8 cos ) ( ) 9 cos Příkld : Vypočtěte d. d 9 6 9 + 9

K integrovným funkcím určete primitivní funkce pk vypočtěte integrály: 5 8. d 8. d d. d 9. +. d 5 d. +. ( + ) 5 d. d d. 5. ( sin ) 9 d 6. d. ( e ) e d 7. d. + ( + + ) d.. Použití metody per prtes Příkld : e Vypočtěte ln d. Položme u( ) ln, v ( ), pk je u ( ), Tedy: e ln v( ). e e [ ln. ] + d lne + ln+ [ ] d e ln e e + 6 e e Ke

Příkld : Vypočtěte rctg d. Položme u( ) rctg, v ( ), pk je u ( ), + v ( ). Tedy: + 8 + rctg d rctg d d [ ] + [ rctg ] 8 Příkld : Vypočtěte sin d. Položme u ( ), v ( ) sin, pk je u ( ), v( ) cos. Tedy: sin d [ cos ] + cos d cos + + cos d + cos d Integrál cos d vypočteme opět metodou per prtes. Položíme u ( ), v ( ) cos, pk je u ( ), v( ) sin. Proto cos d [ sin ] sin d [ cos ] ( + ) Celkem tedy je: sin d + cos d + ( )

Užitím metody per prtes vypočtěte integrály: e. e.. e ln d 7. cos d ln d 8. rccos d ln d 9. sin d. ln d. rctg d 5. ( + )ln d. 6. ln( + ) d. e. e.sin d d.. Použití sustituční metody Příkld : Vypočtěte d. Uprvíme integrovnou funkci: f ( ) ( + + ) ( + Pro, [ ] je ( + ) Nyní použijeme sustituci. Položme: funkce f() je spojitá v intervlu,. + sint, tedy ϕ : ϕ( t) + sin t, d ϕ ( t) dt cos Pro je t, pro je t. t dt )

Funkce ϕ ( t) cost je v intervlu ϕ ( t),. Proto pltí:, spojitá pro kždé t, je d sin t cos tdt ( sin t) dt [ + sin t t ] + cost dt cos tdt V prktických výpočtech le užíváme stručnější zápis, jk ude vidět z dlších příkldů. Příkld : 5 Vypočtěte ( + ) d. Položíme-li t +, je dt d. Pro je t, pro je t 5. Tedy: 6 ( t 6 5 5 5 6 6 + ) d t dt (5 ) 5 556 Příkld : Vypočtěte cos sin d. Zvolíme sustituci t cos. Pro je t - pro je t. Tedy: cos sin d t dt t ( ) Příkld : Vypočtěte d. 6 +

Zjistíme primitivní funkci: Nyní uprvíme jmenovtel zlomku n tvr ( ) 6 + +. Použijeme sustituci t, d dt, pro je t -, pro je t. Podle zákldního vzorce primitivní funkce k funkci F( ) rctg t. f ( ) je funkce t + Tedy: d dt [ rctg t] rctg rctg( ) 6 + t + Příkld 5: Vypočtěte 5 + d. sin Užijeme ovyklou sustituci Pro je t, pro Pk pltí: d 5 + sin 5t dt + 6t + 5 5 tg t. Pk je rctgt, d dt, sin t. + t + t je t. 5 ( t + ) t + t + + dt 6 5 5 dt 6 5 Pro výpočet posledního integrálu užijeme sustituci t + z 5 5. Zde pltí: dt dz, pro t je 5 Konečně dostáváme: z pro t je z. [ ] [ rctg ] rctg rctg( ) 5 ( + ) dz dt dz z 6 + + 6 + 6 t z z 5 5 5 5 ( rctg + rctg ) (rctg + rccotg ) 5 5

Užitím vhodné sustituce vypočtěte integrály:. 5 d 7. d ( + cos )( + cos ). d 8. sin d. + d 9. tg 6 d. 9 d. sin.sin.sin d 5. d. sin d + sin cos 5 6. d. ln d + cos 5

.. Souhrnné úlohy Užitím vhodné metody vypočtěte integrály:.. cos d. ln 8 d ln e + rctg d.. e d. ( + sin ) d.. sin ln + d + 9 d 5. d 5. sin( + ) d 6. + d 6. ( ) d 7. + d 8 7. d 8. 8 d 8 e 8. e 9. log d 9. ln d log d. d + +. d. + 5 ln e e d. cos d. + d + 6

. GEOMETRICKÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU.. Výpočet oshu plochy rovinného orzce Nyní udeme určovt plošný osh podmnožin v R. Oznčíme symolem S(M) plošný osh podmnožiny je, že: M R. Zákldním principem, ze kterého udeme vycházet S M M ) S( M ) + S( ), ( M jestliže M M, neo jestliže podmnožin M M má nulový plošný osh. Z konstrukce Riemnnov integrálu vyplývá, že pro spojitou nezápornou funkci f v intervlu, se osh S orzce, který je ohrničen grfem funkce f, osou přímkmi,, vypočte podle vzorce: S f ( ) d. 7

Pokud funkce f v intervlu, nývá pouze nekldných hodnot, pk osh vypočteme solutní hodnotou Riemnnov integrálu. Pokud funkce f v intervlu, nývá jk kldných, tk i záporných hodnot, potom tento intervl rozdělíme n dílčí intervly, ve kterých funkce nývá pouze nekldných hodnot resp. nezáporných hodnot vypočteme oshy podle předcházejících úvh. Je tké vidět, že pro osh orzce, který je ohrničen grfy funkcí f, f, jež jsou spojité v intervlu vzth:, pro něž pltí f ) f ( ) pro kždé,, pltí ( [ f ) f ( ] S ( ) d. Příkld : Vypočtěte osh orzce mezi grfem funkce y sin osou v intervlu,. Velikost plochy mezi osou grfem funkce je 8

vyjádřen určitým integrálem sin d. Primitivní funkce k vzorce: sin je cos výpočet provedeme podle Newton-Leinitzov V [ cos ] cos ( cos) sin d + Příkld : Vypočtěte osh orzce, který je ohrničen křivkou y, osou přímkmi -,. Zjistíme průsečíky grfu funkce y s osou : ( + )( ) y Prol tedy protíná osu v odech - je v intervlech,, nezáporná v intervlu, nekldná viz. orázek. Rozdělíme proto intervl, n tři dílčí intervly oshy S, S, S dílčích útvrů sečteme: S ( ) d + ( ) d + ( ) S + S + S + ( ) ( ) ( ) + + 8 + + + + 8 Příkld : Určete osh orzce ohrničeného prolou y + přímkou y +. 9

Jde o útvr, který nzýváme úseč proly. Určíme průsečíky přímky proly vyřešením soustvy dvou rovnic o dvou neznámých: + + +, Průsečíky přímky proly tedy jsou: [, ], [,]. Pro určení vrcholu proly uprvíme rovnici proly: y + + + ( + ) Vidíme, že vrchol proly má souřdnice -, y - přímk y + ohrničuje úseč proly shor. Oznčme proto f : y +, f : y + Pk pro osh úseče pltí: S ( + ) d + + ( 8 ) 9 Příkld : Vypočtěte osh rovinného orzce ohrničeného křivkmi y y. Njdeme průsečíky těchto funkcí řešením rovnice y y. Tto rovnice má pouze jeden reálný kořen, to y. Odtud,. Druhou funkci vyjádříme eplicitně: y Oznčíme-li f, osh orzce njdeme jko určitý integrál z rozdílu :, f : těchto funkcí využijeme toho, že integrujeme sudé funkce v mezích, které jsou souměrné podle počátku. Pk pltí pro hledný osh:

S ( ) ( ) 5 d d ( ) 5 5 5 Příkld 5: Určete osh orzce omezeného křivkmi y e, y e +,. Souřdnice průsečíku oou eponenciál získáme řešením rovnice e e + pk výpočtem příslušné hodnoty y. Jde o eponenciální rovnici, řešíme ji sustitucí Pk je: e u. u u u u + u, u Rovnice e nemá řešení v ooru reálných čísel. Rovnice e má řešení ln. Pk y. Průsečík eponenciál je od [ ln,] Oznčíme-li f : y e +, f : y e, pltí pro hledný osh:. S ( e + e + ) ln ln + ln e d e e e ln + + ln ln ln Příkld 6: Vypočtěte osh vnitřku elipsy y + ( >, > ). Rovnici elipsy vyjádříme: y ±.

Protože elips je symetrická podle osy, počítejme jen polovinu plochy (nd osou ) jko integrál ze sudé nezáporné funkce (znménko +).Integrál ze sudé funkce v mezích od do (souměrných podle počátku) nhrdíme dvojnásokem integrálu od do. Potom provedeme sustituci sin t, d cost dt. Dolní mezi odpovídá t, horní mezi odpovídá t. Pro hledný osh tedy pltí: S + cost sin t cost dt cos t dt dt d [ sin t + t ] Hledný osh vnitřku elipsy je tedy. Ve speciálním přípdě, když r, dostáváme vzorec pro plošný osh kruhu o poloměru r, S r. Příkld 7: Vypočtěte osh deltoidu, jehož vrcholy jsou ody: [, ], [, ], [, ], [, ]. Nejprve zjistíme rovnice přímek f g (viz orázek). Tyto přímky jsou grfem dvou funkcí. Jde o lineární funkce, proto oě rovnice udou mít tvr y k + q. Do této rovnice dosdíme souřdnice odů, kterými oě přímky procházejí zjistíme tk čísl k q: Přímk f prochází ody [, ], [,] řešíme soustvu rovnic: k + q q Tedy q k rovnice přímky f je y +. Tento postup zopkujeme i pro přímku g zjistíme,že její rovnice má tvr y.

Protože deltoid je symetrický podle osy y, počítejme jen polovinu plochy, to n intervlu, (nlevo od osy y). Osh plochy vypočítáme jko integrál z rozdílů funkcí f g. Pltí tedy: S [ + ( ) ] d ( + ) d [ + ] Celkový osh deltoidu je tedy. + Vypočtěte osh orzce ohrničeného křivkmi:. y osou n intervlu,.. y y osou.. y, y.. y sin,, přímkou 5. y +, y y. 6. y tg, y cos,. 7. y e, y e,. 8. y ln ( + ), y ln osou. 9. + y 8, y. y cos,,.. y, y, y 8.. y, y 6. y e, y e,,.. y y. 5. y sin y cos přímkmi, 6. 9y + 8, + y.

7. + y, osou osou y. 8. + y + y osou y. 9. + y ; >, >. y, y. ( y ), y. y sin osou v intervlu,. y sin osou v intervlu,. Vypočtěte osh trojúhelník ABC, kde [,], B [, ], C [,] A... Výpočet ojemu rotčního těles Uvžujme kldnou funkce f definovnou n intervlu,. Vezměme množinu ohrničenou přímkmi,, y. grfem funkce f nechme ji rotovt kolem osy. Vytvoříme tk rotční těleso T udeme se nyní ptát, jký je ojem tohoto rotčního těles. Při definování určování tohoto ojemu můžeme postupovt prkticky úplně stejně jko v přípdě plošného ojemu, jen s tím rozdílem, že vše necháme rotovt kolem osy.

Ojem V těles T vypočteme podle vzthu: V f ( ) d eistuje. Smozřejmě pouze z předpokldu, že Riemnnův integrál n prvé strně Pokud rotční těleso vznikne rotcí kolem křivky f(y) kolem osy y (f je nezáporná spojitá funkce), v intervlu,, potom jeho ojem V vypočteme podle vzthu: V f ( y) dy Příkld : Vypočtěte ojem těles, které vznikne rotcí orzce ohrničeného křivkmi y, y kolem osy. Njdeme průsečíky těchto funkcí řešením rovnice Rovnice má dvě řešení, to,, potom. y, y, funkce mjí dv průsečíky o souřdnicích [,], [, ]. X ové souřdnice průsečíků použijeme jko integrční meze. Funkce odečteme dosdíme do vzorce pro výpočet ojemu : V 5 ( ) d ( + ) d + [ + ] 5 5 5

Příkld : Vypočtěte ojem rotčního těles, které vznikne rotcí útvru ohrničeného křivkou y sin,, kolem osy. Dosdíme do vzorce pro výpočet ojemu V uvedeného výše, z meze integrálu dosdíme krjní ody intervlu, : V ( cos ) d ( cos ) sin d d Pro výpočet posledního integrálu použijeme sustituci t, pro je t, tedy: t, d dt, pro je ( ) ( ) cos d cost dt [ t sint]. Příkld : Vypočtěte ojem těles, které vznikne rotcí orzce ohrničeného křivkmi y, y, y, kolem osy. Podle orázku vidíme, že musíme zjistit průsečíky křivek kvdrntu. To provedeme řešením rovnice řešení, to. Průsečíkem křivek je tedy od [,]. Průsečíkem křivek, y, y v prvním. V prvním kvdrntu má tto rovnice jedno y je od [, ]. Intervl, rozdělíme n dvě části, to n intervly,,. V kždém z těchto intervlů vypočítáme ojemy těles V, V, které sečteme získáme tk celkový ojem V dného rotčního těles. 6

V V + V [ ] + ( ) 5 d + d + 6 Příkld : Vypočtěte ojem koule (s poloměrem r, r > ). Střed koule umístíme do počátku. Potom povrch koule vznikne rotcí poloviny kružnice + y r. Horní polovin kružnice je vyjádřen funkcí f : y r. Ojem V dostneme podle vzorce (integrujeme sudou funkci od r do r): V r r r ( r ) d ( r ) d ( r ) r r d r r r r r Příkld 5: Vypočtěte ojem rotčního těles, které vznikne rotcí útvru ohrničeného křivkmi y, y, y kolem osy y. Křivkou omezující rotující útvr je rovnoosá hyperol ( ) pro y z intervlu,. Z rovnice hyperoly vyjádříme : y + dosdíme do vzthu pro výpočet ojemu těles rotujícího kolem osy y: V y ( y + ) dy + y [ 8 + 8 ( 8 8) ] 6 7

Příkld 6: Vypočtěte ojem součástky tvru rotčního těles, které vznikne rotcí lichoěžník ABCD kolem osy. Lichoěžník je určen souřdnicemi vrcholů [, ], B[, ], C[, ], D[,] A. Nejprve vypočítáme ojem těles V, které vznikne rotcí úsečky CD kolem osy. K tomu potřeujeme rovnici přímky CD. Tto rovnice ude mít tvr y k + q. Doszením souřdnic odů C D zjistíme, že Rovnice přímky CD tedy je Pro ojem V pltí: y. k q. ( ) d 9 9 ( 8 6 + ) 8 d V Od tohoto ojemu je tře odečíst ojem V válce, který vznikne rotcí úsečky AB kolem osy. Rovnice přímky AB má tvr y. [ ] V d Tkže pro hledný ojem V pltí: V V V 8 ( ) Vypočtěte ojem rotčního těles, které vznikne rotcí orzce ohrničeného křivkmi:. y kolem osy.. y sin v intervlu, kolem osy.. y, y kolem osy.. y cos + sin v intervlu, kolem osy. 8

5. y, y,, kolem osy. 6., y v intervlu, y + 7. y, + y kolem osy. 8. y sin, y cos v intervlu 9. y ln, y, y kolem osy. e kolem osy., kolem osy.. y e, y e +, kolem osy.. y, y + sin v intervlu, kolem osy.. Vypočtěte ojem prvidelného čtyřokého komolého jehlnu o podstvných hrnách, výšce v.. Vypočtěte ojem nuloidu, který vznikne rotcí kružnice ( ) osy y. + y r kolem.. Výpočet délky křivky Pro funkci f : y f ( ), která je definovná n intervlu, má v tomto intervlu spojitou derivci, pltí pro délku grfu funkce f vzth: L + [ f ( ) ] d Tento vzorec je možné použít i v přípdě, kdy funkce f je spojitá v intervlu,, derivce f () je spojitá v intervlu (, ) v krjních odech intervlu je derivce f () neo f () nevlstní. 9

Příkld : Vypočtěte délku křivky y n intervlu,. Derivce funkce f : f ( ) je f ( ). Nyní můžeme dosdit do vzorce pro výpočet délky křivky: L + d d [ ] Příkld : Vypočtěte délku křivky y n intervlu,. Derivce funkce ( ). f : f ( ) je f Nyní dosdíme do vzorce pro výpočet délky křivky: L ( ) + d + 9 d + 9 d Pro výpočet posledního integrálu použijeme sustituci t + 9, dt 9d, pro je t, pro je t : + 9 d 9 [ ] [ ] t 7 t t 7 t dt 8 Příkld : Vypočtěte délku křivky,e. y ln n intervlu Nejprve vypočítáme derivci funkce f : f ( ) ln : f ( ) Dosdíme do vzorce pro výpočet délky křivky:

e e + + + + + d L d d e e ( + ) d e e ( + ) d + ln e + ( + ) e + Příkld : Vypočtěte délku křivky y n intervlu, 7. Nejprve vypočítáme derivci funkce f : f ( ) : f ( ) + + Nyní dosdíme do vzorce pro výpočet délky křivky: L 7 ( ) + d + 9 d 7 Pro výpočet tohoto integrálu použijeme sustituci t + 9, dt 9d, pro je t, pro 7 je t 6: 7 + 9 d t dt t 9 9 6 6 [ ] ( 6 ) 7 7 Vypočtěte délku olouku křivky:. y,,. y +,,. y ln,, e 8. y e + e,, 5. y ln( ), 6. ( + ), y, vyťtého přímkou

7. y ln e +,, e 8. y ln sin, 9. y ( )., mezi průsečíky s osou y lnsin,,. 5 y, který je uvnitř kružnice + y 6.. Výpočet oshu pláště rotčního těles Nechť funkce f : y f ( ) je spojitá v intervlu, má v tomto intervlu spojitou derivci. Osh pláště rotčního těles, které vzniklo rotcí křivky, jež je grfem funkce f, kolem osy můžeme vypočítt ze vzthu: P f ( ) + [ f ( ) ] d Přitom opět pltí poznámk o přípdné nevlstní derivci v krjních odech intervlu,, jk yl uveden v předchozí kpitole. Příkld : Vypočtěte osh plochy vytvořeného otáčením olouku křivky y + vyťtého přímkou kolem osy. Nejprve je nutné zjistit průsečík dné křivky s osou, ychom tk zjistili dolní integrční mez: Po doszení y do rovnice křivky vidíme, že křivk protíná osu v odě.

Nyní vypočítáme derivci funkce f : f ( ) + : ( + ) f ( ) + Nyní dosdíme do vzorce pro výpočet oshu plochy rotčního těles: P + + d + + + 7 d 7 d + + 7 + d 7 + d Použijeme sustituci 7 + t, d dt. Pro je t, pro je t 5: 5 5 [ t ] ( 5 ) 7 + d t dt t dt 6 5 6 Příkld : Vypočtěte osh plochy, která vznikne otáčením olouku křivky y + v intervlu,. Nejprve zjistíme derivci funkce f : f ( ) + : f ( ) + + Nyní dosdíme do vzorce pro výpočet plochy rotčního těles: + P + d + 8 + 6 8 + 6 d + ( + ) + d ( + ) d 6 + + + + + d 6 ln [( + 6 + ) ( + + )] ( + 9 ) ln 8 ln 8 ( 7 ) ln + 6

Příkld : Vypočtěte osh plochy, která vznikne otáčením olouku křivky y r, r, r, r >, kolem osy. Poznmenejme, že se jedná o povrch koule o poloměru r. Protože derivce funkce f : f ( ) r je f ( ) P, tedy [ f ( ) ], dostáváme: r r r r + r d r r r r r r d r d r r [ ] r r r r r r r d Vypočtěte osh plochy vytvořeného otáčením:. olouku křivky y sin,,, okolo osy. olouku křivky ( ) y mezi průsečíky s osou kolem osy y 6. olouku křivky y vyťtého přímkou. křivky + y kolem osy y 5. křivky + ( y ), > kolem osy 6. křivky + y, >, kolem osy 7. křivky y tg,, kolem osy y kolem osy y

. FYZIKÁLNÍ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU.. Výpočet souřdnic těžiště homogenní desky Nejprve zmiňme nejdůležitější vlstnost těžiště. Soustředíme-li veškerou hmotu těles do jeho těžiště, potom tento hmotný od má vzhledem k liovolné přímce stejný moment jko celé těleso. Nechť je funkce f kldná funkce definovná n intervlu,. Nechť podmnožin v R ohrničená přímkmi,, y grfem funkce f je pokryt homogenní deskou přesně stejného tvru. Chceme určit souřdnice těžiště T této desky. Tyto souřdnice lze vypočítt podle následujících vzorců:, T y T T f d ( ) f ( ) d, yt f ( ) d f ( ) d Příkld: Vypočtěte souřdnice těžiště T homogenní desky ohrničené křivkmi y, y. Nejprve zjistíme průsečíky dných křivek. X-ové souřdnice průsečíků zjistíme řešením rovnice y-ové souřdnice dopočítáme. Křivky se tedy protínjí v odech o souřdnicích [,], [, ]. Nyní vypočteme jednotlivé integrály potřené pro výpočet souřdnic těžiště: 5 ( ) d d d [ ] 5 5 5

( ) ( ) d d 5 d 5 ( ) d d d [ ] Nyní už můžeme vypočítt oě souřdnice těžiště T: T y T 9 Těžiště má tedy souřdnice 9, 9... Výpočet souřdnic těžiště homogenního rotčního těles Uvžujme opět kldnou funkci f definovnou n intervlu,. Při rotci grfu funkce f kolem osy vznikne rotční těleso. Jeho těžiště ude ležet n jeho ose, v nšem přípdě n ose. Zývá pouze nlézt jeho polohu n ose. Těžiště T má tedy souřdnice [ T,] -ovou souřdnici vypočítáme pomocí vzorce: T f f ( ) d ( ) d Příkld: Njděte těžiště rotčního kužele, jehož zákldn má poloměr r jehož výšk je h. Kužel umístíme tk, y jeho vrchol ležel v počátku jeho os splývl s osou. Potom stčí použít funkci 6

f ( ) h r definovnou n intervlu, h. Nyní vypočteme jednotlivé integrály ze vzorce pro výpočet -ové souřdnice těžiště rotčního těles: ( ) h h h r h h d d h r ( ) d d r h h h h h r r h r h r h r h h Odtud: r h T h r h Těžiště rotčního kužele tedy leží n jeho ose ve třech čtvrtinách jeho výšky počínje od vrcholu, neo ekvivlentně, v jedné čtvrtině od zákldny. r r h h.. Výpočet souřdnic těžiště homogenní rotční plochy Nše úvhy udou velmi podoné úvhám v předchozí kpitole. Uvžujme opět kldnou funkci f definovnou n intervlu,. Při rotci grfu funkce f kolem osy vznikne rotční ploch. Její těžiště ude ležet n jeho ose, v nšem přípdě n ose. Zývá pouze nlézt jeho polohu n ose. Těžiště T má tedy souřdnice [ T,] -ovou souřdnici vypočítáme pomocí vzorce: T f ( ) f ( ) + + [ f ( ) ] [ f ( ) ] d d 7

.. Výpočet souřdnic těžiště homogenního drátu Budeme uvžovt homogenní drát ležící v rovině. Tento drát, jehož průměr pro nše úvhy povžujeme z znedtelný, můžeme chápt jko orz křivky. vzorců: Těžiště T drátu má souřdnice [ T, y T ], které vypočítáme pomocí následujících T + [ f ( ) ] yt + d [ f ( ) ] d f ( ) + + [ f ( ) ] [ f ( ) ] d d 8

ZÁVĚR K pochopení význmu Riemnnov integrálu jeho konstrukce není potře jen počítt příkldy, le znát i teorii. Proto v první části této práce se zývám právě teorií Riemnnov integrálu, včetně jeho zákldních vlstností, které nám počítání integrálu velmi usndní. Jk už ylo řečeno, je Riemnnův integrál nezáporné funkce f mezi nějkými dvěm ody, roven ploše orzce omezeného přímkmi,, osou, křivkou definovnou grfem funkce f. Toto je jedn z nejpodsttnějších vět v této práci. Jde totiž o zákldní vysvětlení geometrického význmu Riemnnov integrálu. Dlší důležitou částí práce jsou právě vlstnosti Riemnnov integrálu, které určují některá prvidl při počítání hodnoty Riemnnov integrálu. Bez nich ychom se si neoešli. Stejně tk ez znlosti Newton-Leinitzovy formule, zákldního principu zjišťování hodnoty Riemnnov integrálu. Dále ve své práci uvádím dlší dvě ze zákldních metod integrování (pro určitý integrál) sustituční metodu metodu per prtes. Zásdní je le prktická část této práce. N několik řešených příkldech nejprve ukzuji, jk se integruje pomocí již zmíněných integrčních metod. Dále se práce věnuje využití Riemnnov integrálu, to především v geometrii. Geometrickými plikcemi zmíněnými v práci jsou: výpočet oshu plochy, výpočet ojemu rotčního těles, výpočet délky křivky výpočet plochy rotčního těles. Tyto plikce ukzuji rovněž n řešených příkldech y si čtenář mohl ověřit, zd dnému prolému rozumí, z řešené příkldy jsem zřdil několik neřešených úloh k procvičení. V poslední části této práce je uvedeno několik fyzikálních plikcí. Jsou zde zřzeny zejmén proto, y si čtenář dokázl předstvit, jk široké je užití Riemnnov integrálu. Jde o výpočet těžiště rovinných či prostorových ojektů. Závěrem ještě uveďme, že použití Riemnnov integrálu je mnohonásoně širší než jsme ukázli. Jen pro ilustrci můžeme zmínit, že ve fyzice lze Riemnnův integrál užít npř. k výpočtu momentů setrvčnosti, k určení centr tlku těles ponořeného do kpliny, k výpočtu nejrůznějších potenciálů, k určení přitžlivosti, k výpočtu vykonné 9

práce, k určení pohyu hmotného odu po přímce, k určení pohyu mtemtického fyzikálního kyvdl, k různým výpočtům ve sttice td. A to se ni nezmiňuji o použití v dlších přírodovědných oorech. Není účelem této práce uvádět všechny možné plikce. Jejím účelem je především to, y čtenář z výkldu pochopil, co je to Riemnnův integrál, jk se konstruuje jk v jkých situcích je účelné Riemnnův integrál použít, neál se ho plikovt při řešení prolémů, se kterými se setká. 5

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY Jrník V.: Integrální počet I, Prh: Nkldtelství Československé kdemie věd, 96 Kopáček J.: Integrál, Prh: Mtfyzpress, Rektorys K.: Přehled užité mtemtiky I., Prh: SNTL Nkldtelství technické litertury, 988 Henzler J.: Integrály, diferenciální diferenční rovnice,prh: VŠE, Vnčur J.: Primitivní funkce, Riemnnův integrál jeho plikce, Olomouc: Univerzit Plckého, 99 Dul J., Hájek J.: Cvičení z mtemtické nlýzy: Riemnnův integrál, Prh: Státní pedgogické nkldtelství, 998 Mšek J.: Řešené úlohy z mtemtiky určitý neurčitý integrál, Plzeň: Zápdočeská univerzit, www.vedci.wz.cz Internetové stránky několik vysokých škol ( www.muni.cz, www.upol.cz, www.cuni.cz, www.cvut.cz ) 5

5 PŘÍLOHA výsledky neřešených příkldů (.. Použití Newton-Leinitzovy formule).. ln 5 8. 65 9. 6.. ln ( + ).. 5.. 8 6.. 9 6 7 ln e 7.. 5 + ln (.. Použití metody per prtes).. 7. e ln 8.. ln 6 ln + 9.. e 6. 5. ln 7. 6. ln. e 5e 7 5

(.. Použití sustituční metody).... 5. 6. 7. 6 8. 6 ln 5 9. 8. 6 ln 5 +. 6 8 6 + 7 rctg 5 5. ln 5 6 (.. Souhrnné úlohy)..... 9 cos. ln ln e. (9 6 ) + ln 6. 5. ( cos cos5) 6. 7. 5. 7 + ln 7. 8. 9.. ln + 8. 8 9. e. ln e e 7. 6 e. 7 5

(.. Výpočet oshu plochy).. e + e. 9... 5. 6. 7. 5. 6. 7. + ln 8. 6 6 7 6 ln 9. 8. ln. 9. +..... ( 6 ).. 9 9 8 5

(.. Výpočet ojemu rotčního těles). 6 8. 5 8... 5. 9. 5e e 6e. +.. v ( + + ) 6. 7. 9 5. r 7 5 (.. Výpočet délky křivky) 7. ln e e e e. ( 6 6 8).. 59 8. ln e 7 9. 8. ( + e e e ) 5. 6. e. ln( + ) ln. 67 7 7 55

(.. Výpočet oshu pláště rotčního těles). ( + ln( + ) 5.. 8 6. 5.. 7. ( ) + 5 + ln + 8 5 56