Working Papers Pracovní texty

Working Papers Pracovní exy Working Paper No. /003 Hyperbolické diskonování a jeho význam v ekonomickém modelování Michal Andrle Jan Brůha INSTITUT PRO EKONOMICKOU A EKOLOGICKOU POLITIKU A KATEDRA HOSPODÁŘSKÉ POLITIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA NÁRODOHOSPODÁŘSKÁ

Insiu pro ekonomickou a ekologickou poliiku Vysoká škola ekonomická v Praze Fakula národohospodářská Kaedra hospodářské poliiky Pracovní ex číslo Hyperbolické diskonování a jeho význam v ekonomickém modelování Michal Andrle * Jan Brůha ** * VŠE Praha, andrle@sorry.vse.cz ** CERGE-EI, jan.bruha@cerge-ei.cz

Absrac The paper presens microeconomic foundaions of ineremporal uiliy funcion and surveys exponenial discouning wih is implicaions. We explore he concep of hyperbolic discouning on he basis of normaive and posiive economics. The main implicaion of hyperbolic discouning is ime inconsisen behavior of economic agens. This fac may have ineresing implicaions for he economic policy. We discuss he issues of savings and consumpion and environmenal economics. JEL Classificaion: D, E, Q0 Keywords: hyperoblic discouning, savings, environmenal economics

Obsah I. Úvod... 4 II. Hisorický přehled... 6 III. Hyperbolické diskonování... 3 IV. Soukromá spořeba, vorba úspor a hyperboličí spořebielé... 7 V. Environmenální ekonomie... VI. Závěr... 7 VII. Lieraura... 8 3

here may be a srong difference beween an enjoymen which offers iself a he very momen and one which does no; while, on he oher hand, here may be a very small difference, or no difference a all, beween an enjoymen which is prey far away, and one which is furher away. Böhm-Bawerk (959, pp. 57) I. Úvod Jedním ze základních savebních kamenů neoklasické ekonomie je předpoklad, že chování ekonomických subjeků je možné popsa jako řešení vhodné maximalizační úlohy. Předpokládá se, že domácnosi se chovají, jako by maximalizovaly užiek ze spořeby proi rozpočovému omezení. Užiek je chápán jako funkce soukromé spořeby, volného času a případně aké jiných argumenů (např. veřejných saků). Obdobně se předpokládá, že firmy se chovají, jako kdyby maximalizovaly určiou účelovou funkci (např. zisk) proi echnologickému omezení. Teno meodologický přísup k chování ekonomických subjeků (spořebiele, firmy) umožňuje odvození mnohých esovaelných hypoéz. Na chování ekonomických subjeků je však řeba nahlíže mimo jiné jako na proces probíhající v čase. Je edy nuno rozšíři závěry saické analýzy spořebiele, resp. firmy o časový aspek, kdy spořebiel již neřeší pouze saickou (resp. dynamickou) maximalizační úlohu, ale ineremporální maximalizační úlohu. Jesliže základními rysy saické analýzy spořebiele je rozhodování o alokaci zdrojů mezi n saků, v ineremporálním přísupu se obvykle omezujeme na problemaiku alokace zdrojů dosupných během daného časového inervalu na spořebu v různých časových okamžicích během ohoo časového inervalu. Tudíž logicky nezbyným krokem je učini předpoklad o om, jak ekonomické subjeky oceňují hodnou své účelové funkce (užiek ze spořeby, zisk, peněžní oky) v jednolivých časových okamžicích. Pro časové rozlišení ocenění peněžních oků v ekonomice slouží úroková míra. Nicméně pro ocenění užiku ze spořeby v jednolivých časových okamžicích nemáme k disposici podobnou pozorovaelnou veličinu, neboť užiek domácnosí není přímo pozorovaelný (pokud ovšem vůbec chápeme samoný koncep užiku domácnosí jako něco více než užiečné operacionalisické kriérium k modelování spořeby). Rozlišujeme dynamickou úlohu, kerá zahrnuje chování ovlivněné minulosí, od ineremporální úlohy, kerá řeší alokaci vzácných zdrojů v čase. 4

Ekonomové hlavního proudu (přinejmenším od doby, kdy Kenneh Arrow a Gerard Debreu dynamizovali eorii všeobecné rovnováhy) obvykle modelují spořebu (fyzicky) éhož zboží v různých časových okamžicích jako spořebu různého zboží. Ovšem z oho plyne, že pro modelování rozhodování domácnosi o alokaci důchodu na spořebu v jednolivých časových okamžicích je řeba učini předpoklady o vzahu užiků ze spořeby éhož zboží v různých časových okamžicích. Pravidlu, pomocí kerého ekonomický subjek oceňuje spořebu saků v čase, budeme říka diskonování. Zároveň je nuno si uvědomi, že inuiivní analogie mezi diskonováním peněžních oků a diskonováním užiečnosi není zcela přesná, neboť zde hovoříme o preferenční srukuře ekonomických subjeků. Jako vhodná se ukázala cesa naléz ineremporální užikovou funkci nejlépe jako funkci jednolivých okamžikových užikových funkcí v čase. Dnes sandardním přísupem k omuo problému je definova ineremporální užikovou funkci jako diskonovanou sumu okamžikových funkcí, obvykle za použií exponenciální diskonní funkce. Teno přísup má mnoho zajímavých předpokladů, závěrů a problémů, z nichž na jeden se zaměříme. Ukážeme, že právě exponenciální diskonní funkce je velice speciální a obsahuje někeré vlasnosi, keré odporují empirickému výzkumu jak na mikroekonomické, ak na makroekonomické úrovni. Zkoumání diskonování není významné pouze pro poziivní ekonomii (nají nejlepší modelový přísup k popisu chování ekonomických subjeků), ale aké má důležié normaivní implikace (jak by se ekonomické subjeky měly chova, příp. jaké násroje hospodářské poliiky zvoli, aby se ekonomické subjeky chovaly žádoucím způsobem). Tyo normaivní implikace se diskuují především v souvislosi s environmenální ekonomií (hodnocení ekologických projeků, vyčerpávání neobnovielných zdrojů) a fiskální poliikou (mezigenerační alruismus) Teno článek seznamuje čenáře s hyperbolickým diskonováním. Členění článku je následující: v čási jsou sručně shrnuy hisorické přísupy k diskonování užiku. Čás 3 definuje koncep hyperbolického modelování a čás 4 diskuuje jeho význam pro eorii spořebiele. Čás 5 pojednává o implikacích koncepu hyperbolického diskonování pro environmenální ekonomii. Poslední čás shrnuje. 5

II. Hisorický přehled Tao čás článku sručně seznamuje čenáře s hisorickými přísupy k problemaice diskonování a zároveň uvádí důvody, keré vedly ke zkoumání hyperbolického diskonování. Oázka diskonování v ekonomické lierauře se rodila relaivně dlouho, s razanním násupem podpořeným saěmi Ramseye (98) a Samuelsona (937). Pozorování, že lidé krákozrace diskonují svůj budoucí užiek, diskuovali ve svých dílech Böhm-Bawerk, A. C. Pigou, I. Fischer. Diskonování jako akové bylo obhajováno a spojováno s mnoha ekonomickými koncepy. Můžeme vymezi dva základní okruhy problémů, proč je zkoumání diskonování důležié a proč je používáno v mnoha oblasech ekonomie, od makroekonomických modelů (především růsových modelů, ale aké modelů hospodářských cyklů nové klasické makroekonomie) až po modely environmenální ekonomie. Z hlediska poziivní ekonomie se jedná o nalezení vhodného popisu chování ekonomických subjeků při řešení ineremporálních úloh (alokace vzácných saků v čase). Z hlediska normaivní ekonomie se jedná o časové rozlišení ocenění užiků, nákladů apod. v čase v sociální funkci blahobyu. Původní aplikace diskonování byly použiy při aplikaci sociální funkce blahobyu ve sai Ramseyově (98). Nicméně Ramsey samoný diskonování z hlediska společenského plánovače odmíal a svůj růsový model v první čási odvodil bez diskonování. Jeho článek můžeme zařadi do kaegorie normaivní ekonomie. Oázkou jisou dobu zůsávalo, zda je oprávněné zařadi do sociální funkce blahobyu (SFB) diskonování. Přirozeným argumenem je, že diskonování vyjadřuje preferenční srukuru suverénních ekonomických subjeků a proi gusu, žádný dišpuá. Nezařazení diskonování do SFB je poom auoriaivní ignorování preferencí členů společnosi. S ím ale v éo normaivní úloze vyvsává oázka, čí preference by měla vláda při svých rozhodováních brá v poaz. Současné generace, nebo i budoucích, keré ješě nežijí a udíž nemůžeme zná jejich preference? Do éo skupiny argumenace, jak zacháze v SFB s diskonováním, můžeme aké zařadi pozorování, že lidé preferují odlišné diskonní fakory pro své individuální rozhodování a pro společenské Sojí za povšimnuí, že ekonomové jako A. Pigou, I. Fischer a další chápali diskonování jako krákozrakos, iracionální chování, a argumenovali, že právě proo by nemělo bý diskonování obsaženo v sociální funkci blahobyu. 6

rozhodování, j. jaký diskonní fakor si přejí, aby vláda používala při vyhodnocování svých dlouhodobých projeků, např. environmenálních (Henderson, Langford 998, Cropper e. al, 99). Naproso odlišný aspek diskonování vyvsává z hlediska poziivní ekonomie: naléz vhodný popis jak se spořebielé rozhodují o alokaci svých omezených zdrojů v čase. To má závažné implikace pro eorii živoního cyklu. Poněkud odlišnou linií argumenů pro zařazení diskonování do makroekonomických růsových modelů je dnes již sandardní argumen mezigeneračního alruismu při exisenci dynasií. Barro (974) argumenuje, že užiek současné generace závisí aké na užiku děí éo generace, ad. Jedná se edy o rekurzívní formulaci problémů ransferu užiečnosí. Argumen mezigeneračního alruismu slouží v neoklasické ekonomii jako zdůvodnění používání meodologického koncepu modelů s nekonečně žijícími domácnosmi: domácnosi se chovají jako nekonečně žijící, neboť rodiče se sarají nejen o užiek svůj, ale aké o užiek svých děí a zprosředkovaně aké o užiek děí jejich děí ad infinium 3. Zde poom záleží na om, jak silnou formu projevu alruismu předpokládáme u současné generace, ale aké jak formujeme konkréní funkční var diskonní funkce, jež nemusí bý vždy exponenciální. Phelps a Pollak (968) předsavují ve svém modelu nedokonalého mezigeneračního alruismu quasihyperbolickou diskonní funkci. Rozlišování pohledů jak pracova s diskonováním považujeme za důležié, neboť jednolivé úlohy se velice liší. Je nuné správně inerpreova uvažovanou diskonní funkci v závislosi na om, zda pracujeme s modelem na bázi chování suverénního spořebiele, zda uvažujeme model s benevolenním společenským plánovačem, nebo zda se jedná o model mezigeneračního alruismu. Zejména rozlišení mezi úlohou normaivní a poziivní ekonomie je zásadní. Hledisko poziivní ekonomie pro zkoumání diskonování lze plně použí až ehdy, pokud je diskonování včleněno do rigorózní mikroekonomické eorie, což provedl Koopmans (960). K oázce nalezení ineremporální užikové funkce lze přisupova jak přes ordinální, ak přes kardinalisickou eorii užiečnosi. Koopmans (960) ve svém slavném článku prezenuje, za jakou cenu lze odvodi obecnou ordinální ineremporální užikovou funkci jako vhodnou funkci 3 Skuečně, nekonečný časový horizon rozhodování pro domácnos je obvyklý přísup v neoklasické eorii růsu, viz Barro a Sala-i-Marin (995) a v neoklasickém programu výzkumu reálných hospodářských cyklů, viz Cooley (994). Lainer a Juser (993) uvádí empirickou evidenci ve prospěch modelů s nekonečně-žijícími domácnosmi. 7

okamžikových užikových funkcí. Koopmans se snaží operacionalizova myšlenku nerpělivosi (impaience), obsaženou např. již v díle Böhm-Bawerkově (959) nebo Fischerově (930). Zárodky ineremporálního rozhodování lze však naléz i v dílech sarších, např. Smih (759), Rae (834) a dalších. Při odvozování ineremporální funkce užiečnosi následujeme Koopmansův výklad. Budeme pracova s komodiními koši v čase, jejichž řadu nazveme program (resp. projek, prospek) a označíme jej jako x = ( x, x, K, x ) = ( x, x) () kde x reprezenuje komodiní koš (vekor komodi) v čase, a výraz x reprezenuje program (prospek) z pohledu času, kerý lze dále rozepisova analogicky pravé sraně výrazu (). Cílem je naléz užikovou funkci U, jež bude definována přes všechny možné programy. Tao funkce vyjadřuje subjekivní hodnocení programů, j. U x') U ( '') pakliže spořebiel slabě preferuje program x před programem x. ( x Dále nechť je U ineremporální užiková funkce, j. nechť U je funkcí okamžikových užikových funkcí u ( x ). Okamžiá užiková funkce u splňuje následující vzah: spořebiel v čase slabě preferuje spořební koš x před košem x pakliže u x ') u( x ''). Koopmans (960) dokazuje, že při splnění několika základních posuláů lze sesroji ineremporální užikovou funkci ve varu 4 ( ( ) = U x β u( x ). 0 < β < = (a) Funkční forma (a) je ovšem již kardinální, neboť preferenční relace definovaná na základě (a) již není invarianní vůči aplikaci nelineárních ransformací na okamžikovou užikovou funkci u. Kriérium (a) má svoji analogii v čase spojiém: uvažujme hodnocení oku spořeby { x'( )} [0, ), analogie (a) je varu: 4 Pro jednoduchos předpokládáme nekonečný horizon rozhodování, nicméně logika argumenů by zůsala nezměněna i při použií konečného horizonu. 8

U ρ ( x') = e u( x'( )) d, pro ρ 0 0. Zaímco v (a) plaí, že čím věší β, ím je spořebiel rpělivější, v (b) naopak rpělivos je implikována nízkou hodnoou parameru ρ. Vzah mezi ěmio paramery si nejlépe uvědomíme, pokud budeme uvažova ok spořeby ve spojiém čase x'( )} splňující x' ( s) = x pro s [, ). Pak (b) bude: { [0, ) (b) U ( x') = ρ e u( x'( )) d = u( x ) 0 = e ρs e ds = ρ ρ ρ ( e ) = u( x ), j. parameru ρ odpovídá výraz log β. Mějme však na paměi, že předchozí odvození vzahu mezi oběma paramery je pouze heurisické Teno model exponenciálně diskonované užiečnosi však byl použi již dříve. Samuelson (937) jej navrhl ve svém článku jako velice jednoduchý. Hlavním jeho zájmem byla rakabilia exponenciální diskonní funkce neposrádá maemaickou eleganci. Nekladl si nárok na velkou realisičnos navrhovaného modelu. 5 Až Koopmans (960) idenifikoval podmínky, za kerých je možno odvodi (), nicméně rovněž uo formu diskonování nepovažoval za jedinou možnou. Pro velkou maemaickou eleganci funkční formu () používá věšina ekonomů při specifikaci ineremporálního chování ekonomických subjeků. Jak jsme předeslali, při aplikaci diskonování záleží na druhu úlohy, kerou řešíme ( eorie spořebiele, SFB, ad.) Pokud v normaivní úloze eorie růsu Ramsey (98) odmíl diskonování v sociální funkci blahobyu, což formálně odpovídá hodnoě parameru β= v (a) resp. ρ=0 v (b), čelí s ím spojeným echnickým problémům, neboť hodnoa výrazu v () pak nemusí bý ohraničená. 6 Skuečně uvažujme následující případ: jediné spořební zboží jsou jablíčka a spořebiel vždy preferuje více jablíček než méně. Nechť spořebiel není nerpělivý, j. β =. Předpokládejme bez újmy na obecnosi, že okamžiá funkce užiku u je škálována ak, že u() > u() > 0. Argumenem éo funkce je poče jablíček, keré daný spořebiel sní během daného časového okamžiku. Nechť jsou dány 5 I is compleely arbirary o assume ha he individual behaves so as o maximize an inegral of he form envisaged in [he model] Samuelson (937, pp. 59). 6 Ramsey (98) použil formulaci sociální funkce blahobyu bez diskonování, ale s úrovní zv. bliss poin, ke kerému společenský blahoby by měl směřova, čímž problém ohraničenosi vymizel. Viz vzorce níže. 9

programy x = (,,,,, ) a x = (,,,,, ). Je přirozené předpokláda, že spořebiel bude preferova program x před programem x. Nicméně U(x ) není možné srovna s U(x ), neboť oba dva výrazy rosou nade všechny meze. Je edy řeba zavés jiné kriérium než srovnání hodno U(x ) a U(x ). Použiým kriériem pro srovnání programů x a x je pak následující: program x je slabě preferován před programem x pakliže: ' '' [ u( x ) u( x ) 0 β = ], v diskréním čase resp. 0 e ρ [ u( x'( ) ) u( x''( ) )] d 0 v čase spojiém. Lze ukáza, že ako definovaná kriéria jsou podsaně obecnější než kriérium () a mohou zaruči vhodné chování ineremporálních užikových funkcí i ve složiějších případech než byl výše uvedený ilusraivní příklad s jablíčky. Poukažme sručně na někeré základní vlasnosi modelu diskonované užiečnosi, kerý odvodil Koopmans (960) a jehož speciální formou je (). To nám umožní definova základní pojmy, jako je nerpělivos, konzisence a rekurzívní srukura preferencí pro případ argumenace jedince a jeho užikové funkce. Koopmans (960) specifikuje čyři základní předpoklady, za kerých lze odvodi akovou funkci: předpoklad (i) exisence a spojiosi, (ii) cilivosi, (iii) omezené nekomplemenariy a (iv) sacionariy. 7 Úplná diskuse předpokladů viz Koopmans (960), my je uvedeme zjednodušené. (i) Exisence a spojios: Exisuje spojiá užiková funkce U ( x), jež je definována pro všechny x = ( x, x,,), akové, že pro všechna, je x bodem ohraničené konvexní podmnožiny X, K n-rozměrného prosoru komodi. Exisence je přirozený předpoklad a požadavek spojiosi modeluje inuiivní předpoklad, že pokud jsou dva programy podobné, je jejich ocenění akéž podobné. 7 resp. pě předpokladů, kdy poslední je nuný pouze pro škálování 0

(ii) Cilivos: Exisují spořební koše (vekory) prvního období plaí: U x, x) > U ( x, ). ( x x, x a program x, akové, že (3) Tímo předpokladem blíže svazujeme požadavek, aby ineremporální užiková funkce nenabývala sejné hodnoy pro všechny programy. (iii-a) Omezená nekomplemenaria: Pro všechna x, x, x x plaí, U ( x, x) U ( x, x U x, x) U ( x, ) ( x ) implikuje U ( x, x ) U ( x, x ), (4a) implikuje U x, x) U ( x, ). (4b) ( x Teno předpoklad je velice silný. Koopmans (960) a Samuelson (959) konsaují, že eno předpoklad není zcela realisický. Důsledkem (4) je ovšem skuečnos, že ineremporální užikovou funkci lze zapsa jako U ( x) = V ( u( x ), U ( x )), (5) kde V (.) je spojiá rosoucí funkce obou svých proměnných. Finálním krokem je zavedení předpokladu sacionariy, kerý dále omezí preferenční řazení v čase. (iv) Sacionaria: Pro dané x a všechny x x, plaí U ( x, x) U( x, x ) ehdy a jen ehdy, pokud U ( x x ) U ( ). (6) Plynuí času ak nemá vliv na preference. Teno předpoklad má několik závažných důsledků, podrobněji viz Koopmans e al. (964). Především znamená, že řazení dvou programů, keré se liší pouze od druhého období, bude shodné jako řazení v siuaci, kdy se budoucí spořeba posune o období zpě v čase (uspíší). Lze dokáza, že díky (6) lze odsrani časový index u užikových funkcí u argumenů funkce V (.) a můžeme psá U x ) = V ( u( x ), U ( )). ( x Získáváme ak důležiou věc, rekurzívní srukuru ineremporální užikové funkce, neboť můžeme zapsa

kde funkce u U ( x) = V ( u( x ), u( x ), K, u( xτ ), U ( τ + x ( x )), (7) ) značí opě okamžikovou užikovou funkci. Koopmans (960) dokazuje, že pouze ehdy, pokud přijmeme následující předpoklad časové nezávislosi, lze naléz monoónní ransformaci funkce U ( x) ve formě (). Předpoklad časové nezávislosi doplňuje předpoklad (iii-a). (iii-b) Časová nezávislos: Pro všechna x x x x x x,, 3,,, 3 plaí (,, ) (, U x, ) implikuje U x 3x U x x 3x ( x, x, 3x ) U ( x, x, 3x ), (8) U ( x, x, 3x) U ( x, x, 3x ) implikuje U x, x, x) U ( x, x, ). (9) ( 3 3x Předpoklad (9) implikuje skuečnos, že mezní míra subsiuce mezi dvěma sousedními obdobími je nezávislá na budoucích obdobích. Při definování a používání ineremporálních užikových funkcí však dochází k závažné komplikaci, plynoucí ze skuečnosi, že spořebiel určuje svůj opimální spořební program v současnosi a poé každé další období. Kdykoliv se naskyne nová informace ovlivňující současnou a budoucí úroveň užiečnosi, je nový opimální program ze dnes jiný než opimální program určený včera. Tao skuečnos je samozřejmá a lze ji řeši specifickými předpoklady. Méně zřejmý je fak, že opimální programy se budou obecně liši i v případě, že se žádné nové informace neobjeví, a o v důsledku skuečnosi, že se diskonní funkce posunula v čase zířek bude zíra dnes. Ekonomické subjeky ak podsupují koninuální replánování, a o i při sabilní diskonní funkci. Tuo siuaci jako první analyzoval Sroz (956) ješě před Koopmansovým nalezením předpokladů pro řádné použií () a dále rozpracovali Pollak (968) a Peleg a Yaari (973). Pozorované chování ak je sérií posloupných opimálních časových spořebních programů (plánů), jako akové je zcela racionální. Takový jednolivec nemusí ovšem bý časově konzisenní. Jako časově konzisenní považujeme chování pokud

U x, x) U ( x, ) pakliže x x a U x, x) U ( x, ). (0) ( x + + + + + + = ( x + + Časově nekonzisenní spořebiel se může v zásadě zachova dvojím způsobem: (i) pokusi se své budoucí akiviy dopředu neodvolaelně předurči, a o formou přijeí závazků, pravidel ap., (ii) rezignova a urči si pouze akový plán, kerý je podle něj v souladu s jeho budoucími požadavky a odmínou všechny osaní, j. sraegii konzisenního plánování. Sroz (956) dokázal, že právě exponenciální diskonní funkce nenechává vzniknou problémům časové nekonzisence, čímž je do určié míry specifická. V současné době je exponenciální diskonní funkce široce používána v makroekonomii hlavního proudu. Skuečně mnohé známé a široce používané učebnice makroekonomie --Sargen (987), Lucas a Sokey (989), Sargen a Ljungquis (000) -- ani nediskuují alernaivy k (). Zároveň je éměř nemožné naléz v lierauře expliciní diskusi na éma, zda a jakou formu diskonování použí v závislosi na řešeném problému. Nicméně model diskonované užiečnosi () má několik empirických anomálií, keré jsou v současné ekonomické lierauře diskuovány, více či méně významných z hospodářskopoliického hlediska. Tyo anomálie můžeme rozděli do dvou kaegorií (i) ve vzahu ke spořebieli, (ii) ve vzahu k agregovaným makroekonomickým modelům. III. Hyperbolické diskonování Praxe exponenciálního diskonování, jak jsme nasínili, se v ekonomii sala sandardem, kerý byl nakonec aké pro eorii spořebiele řádně formalizován a posaven na axiomaických základech. V současné době se mezi ekonomy ovšem sále více diskuují vlasnosi exponenciálního diskonování, keré odporují empirickým a eoreickým výzkumům. Zaměříme se na alernaivní formu diskonování, a o na (quasi-) hyperbolickou diskonní funkci, kerou pro eorii spořebiele nejvíce propracoval v sérii saí Laibson (996, 997a, 997b) 8, v prosředí mezigeneračního alruismu ji pak předsavili quasi-hyperbolickou diskonní funkci Phelps a Pollak (968). 8 a v mnoha dalších pracích, vč. své diserace na M.I.T v roce 994 3

Opě musíme rozlišova, jakou linii argumenace diskonování sledujeme, zda pracujeme s normaivními modely cenrálního plánovače, mezigeneračním alruismem či reprezenaivním jedincem. Použií exponenciálního diskonování má přirozeně odlišné inerpreace, modelujemeli chování spořebiele v čase nebo chování generací. V éo čási se zaměřujeme především na chování spořebiele. Ač již bylo exponenciální diskonování zasazeno do eorie spořebiele, prezenovali jsme, že ao funkční forma vznikla ad-hoc a později byla dovozena Koopmansem. Současné empirické výzkumy např. Ainslie (975, 99), Loewensein a Thaler (989), Loewensein a Prelec (99) a další odhalují mnoho zajímavých aspeků mezičasového rozhodování spořebielů, keré nejsou v ekonomické eorii pověšinou zabudovány. Jedním z ěcho aspeků 9 je právě hyperbolické diskonování a časová nekonzisence mezičasového rozhodování, na kerou upozorňoval již Sroz (956). Ale jak ukazuje ciá v úvodu sai, jedná se o relaivně známé pozorování realiy. Ukazuje se, že ekonomické subjeky při své nerpělivosi nediskonují konsanní mírou. Empirické sudie velice přesvědčivě ukazují, že jsou-li obě odměny dosaečně vzdáleny v čase, lidé se chovají relaivně rpělivě, j. preferují vzdálenější, ale věší odměnu za 0 dní ( jablíčka), nežli menší odměnu za 00 dní (jedno jablíčko). Jakmile se ale okamžik odměny blíží v čase, dochází ke změně směrem k věší nerpělivosi spořebiel preferuje menší, bližší odměnu (jedno jablíčko dnes) před věší, vzdálenější (dvě jablíčka zíra). Vzájemná vzdálenos obou odměn v čase se přiom nezměnila. Tao pozorování naznačují, že lidé nediskonují budoucnos konsanní mírou, ale klesající mírou v čase. Pokus vyjádři uvedený způsob chování γ / α vedl k vyjádření diskonní funkce jako hyperbolické funkce( + α) (Loewensein a Prelec, 99). Jelikož diskonní míra je míra poklesu diskonní funkce f () v čase, můžeme diskonní míru definova jako f ( ) /, () f ( ) 9 Loewensein a Prelec (99) formálně začleňují někeré yo anomálie vůči sandardnímu modelu mezičasového rozhodování do ekonomické eorie. Krom hyperbolického diskonování se jedná o asymerii v diskonování zrá a zisků, význam absoluní hodnoy odměn v hodnocení, význam referenčního bodu, ad. 4

j. pro exponenciální diskonování (a) je diskonní míra konsanní, a o log β. Naopak v případě hyperbolické diskonní funkce je diskonní míra závislá na čase: γ /( + α). V krákém období je diskonní míra rovna γ, v dlouhém období konverguje k nule. To odpovídá zmíněným pozorováním. Hyperbolická funkce posrádá zcela maemaickou eleganci exponenciálního diskonování, proo ekonomové využívají zv. quasi-hyperbolickou diskonní funkci 3 s diskonními fakory {, αδ, αδ, αδ,k}, kerá vykazuje kvaliaivně vlasnosí hyperbolické funkce (j. klesající diskonní míru v čase). Úlohu (a) ak můžeme s ouo diskonní funkcí zapsa jako i= i U ( x) = u( x ) + α δ u( x ), kde α [0,], δ [0,), () + i kdy v případě α = se () redukuje na exponenciální diskonování užiku. Funkční var quasihyperbolického 0 diskonování předsavili Phelps a Pollak (968) v modelu mezigeneračního alruismu, Laibson (997) eno funkční var použil a reinerpreoval pro případ mezičasového rozhodování spořebiele, jako kvaliaivní náhradu hyperbolické funkce. Výraz () a všechny formy hyperbolického diskonování implikují exisenci časové nekonzisence v rozhodování spořebiele. Díky plynuí času se mění názor spořebiele na opimální program. V čase spořebiel váží budoucí užiky řadou u( x ) + αδu( x ) + αδ u( x+ + ) +K, (3a) zaímco z pohledu spořebiele +díky zachování si sejné diskonní funkce hodnoí u( x+ ) + αδu( x+ ) + αδ u( x+ 3) + K. (3b) To znamená, že v čase je poměr mezních užiků ze spořeby zboží x + a x + roven δmu(x + )/ mu(x + ), zaímco v čase je enýž poměr roven αδmu(x + )/ mu(x + ). Oba výrazy se liší o α, a o ačkoliv se žádné objekivní podmínky nezměnily. Tao změna mezních užiků má ovšem 0 Poznámka k pojmosloví: diskonování definované v () nazýváme exponenciální a () jako quasi-hyperbolické, ač se nejedná o hyperbolický funkční var. Jde o vyjádření kvaliaivní náhrady hyperbolické funkce uvedené v exu. V lierauře se lze seka s pojmy geomerické diskonování namíso exponenciální a quasi-geomerické diskonování namíso quasi-hyperbolické. 5

důsledky pro opimální alokaci zdrojů spořebiele. Opimální alokace zdrojů v čase + vypadá jinak než v čase, ačkoliv neexisuje žádná nová informace apod. Časovou nekonzisenci preferencí si lze dobře ilusrova na známých příkladech. V dlouhém období člověk chce bý šíhlý, začí se uči na zkoušky, přijímá novoroční předsevzeí, neboť preferuje velký vzdálený užiek. Časo ovšem končíme u čokolády, učíme se na poslední chvíli a novoroční předsevzeí vycházejí na prázdno. Dynamicky nekonzisenní preference implikují problémy se sebeovládáním (self-conrol), odkládání nepříjemných a závažných rozhodnuí, ap. Rozlišíme dva základní (exrémní) ypy spořebiele s hyperbolickými preferencemi (hyperbolický spořebiel), a o (i) naivního a (ii) sofisikovaného. Naivní spořebiel si není vědom důsledků svých preferencí a opakovaně replánuje své chování, j. např. pokaždé věří, že dnes sice ne, ale zíra, zíra již určiě začne spoři (posilova, hubnou), ale shodně posupuje i v další dny. Naopak sofisikovaný spořebiel s hyperbolickými preferencemi si je vědom svého mezičasového konfliku a snaží se uo siuaci nějak řeši. Řešením problému sofisikovaného spořebiele s hyp. preferencemi je přijeí závazku (commimen), ať už (i) vniřního nebo (ii) vnějšího. Již Sroz (956) vyzdvihoval význam exisence možnosi přijeí závazku. V současné ekonomické lierauře (ýkající se především spořebního chování a úspor) je kladen důraz především na exisenci mechanismů umožňující přijeí exerního závazku. Naopak kupř. Smih (759) vyzdvihuje a analyzuje možnosi inerního (duševního) závazku a vůle. Absence mechanismu přijeí exerního závazku může mí mnohdy významné důsledky pro chování spořebiele, kupř. vorby úspor. Možnos přijeí závazku se může výrazně liši, pokud analyzujeme obecně vorbu úspor jednolivce, nebo decenralizovaný růsový model s obnovielnými zdroji. Laibson (997a) a další ak modelují problém sofisikovaného hyperbolického spořebiele jako inrapersonální hru mezi jednolivými já v různých časových okamžicích. Spořebielovo já v čase se snaží zaváza budoucí chování svého já v čase + přijeím akových opaření, jejichž účinek je pro já v + nákladné odboura. Chování naivního a sofisikovaného hyperbolického spořebiele se výrazně liší, neboť oba ypy jsou exrémy. Empirické výzkumy naznačují, že i poencionálně sofisikovaným jisou dobu rvá, než přesanou naivně věři 6

v absenci preferenčních zvraů a svůj problém sebekonroly řeší vyhledáváním (exerních) závazků. IV. Soukromá spořeba, vorba úspor a hyperboličí spořebielé Zavedení předpokladu spořebielů s quasi-hyperbolickými preferencemi jež můžeme chápa jako obecnější příklad exponenciálních má velký význam v makroekonomických modelech soukromé spořeby. Obrovský význam lze shledáva především v důsledcích ěcho preferencí na vorbu úspor pro důchodový věk. Empirické průzkumy viz např. O Donoghue a Rabin (998, 999) ukazují, že značná čás obyvael spoří méně, než si myslí, že by měli spoři kvůli svému pos-produkivnímu období. Rozhodnuí o svých úsporách, především ve vzahu k důchodovému věku, je jednou z nejdůležiějších věcí, kerou by měl mí člověk dobře rozváženu, přeso velice mnoho lidí uo akiviu podceňuje. Spořebiel s hyperbolickými preferencemi může mí endenci k odkládání ohoo důležiého úkolu, ačkoliv si je vědom jeho významu. O Donoghue a Rabin (998) mj. na svém vlasním případě ukazují, že lidé časo ponechávají své úspory v nevýhodně zhodnocovaných insrumenech i v případě, že mají k dispozici alernaivní, výnosnější insrumen. Lidé však nepodsoupí okamžiý, malý náklad (akce) i při vědomí, že si ím snižují svůj užiek v budoucnu, kerý ale chějí docíli. O Donoghue a Rabin (998, 000) ukazují inuiivní závěr, že naivní hyperboličí spořebielé mohou eoreicky oddalova sraegická rozhodnuí o úsporách naolik dlouho, že se mohou dosa do závažných poíží. To, že jsou si lidé ěcho skuečnosí vědomi a vyhledávají možnosi přijeí závazku, může do jisé míry vysvělova aké velikou oblibu povinného sáního penzijního pojišění. Za důležiý ovšem považujeme rovněž fak, že i při předpokladu naivních hyperbolických spořebielů není možné ímo předpokladem zcela odůvodňova výrazný pokles spořeby v důchodovém věku, jak Domníváme se ale, že samoná realizace a hlubší poznání spořebielových problémů se sebekonrolou nesačí pro ransformaci naivního či čásečně naivního spořebiele na plně sofisikovaného. I při znalosi problému velice záleží silné vůli, nákladech přijeí exerních závazků v daný momen. V exu aplikujeme shodné chování vůči všem sakům, resp. koši saků. V realiě se může míra sebekonroly velice liši v závislosi na ypu problému. Empirické výzkumy ukazují, že lidé mají endenci výrazně odkláda především závažná a důležiá rozhodnuí. A o i odhlédneme-li od nákladů na informovanos o ržních insrumenech a od rizika. 7

se někdy sává. Parker a Preson (00) nebo Hurd a Rohwedder (003) ukazují, že pokles spořeby v důchodovém věku není věšinou způsoben nedosaečným naspořením, ale je mnohdy očekávaný a souvisí se změnou živoního sylu jiná srukura výdajů, subsiuce výdajů domácí produkcí, jiné využií volného času. Hyperboličí spořebielé (bez možnosi závazku) mají endenci k rvalé nadspořebě, edy věší budoucí skuečné spořebě, než považují v minulosi za žádoucí. Již Sroz (956) hovořil o omo jevu v případě časově nekonzisenních preferencí. 3 To má přirozeně velký dopad na hypoézu živoního cyklu a rajekorii úspor. Z pohledu hyperbolických spořebielů je důležié, aby finanční rhy, případně sá, nabízely insrumeny, jež umožní přijeí závazků ermínované vklady s vysokými pokuami za předčasné výběry, penzijní plány nedosupné před dosažením specifického věku, ad. Těcho závazků budou využíva i spořebielé, keří plně nebo alespoň z velké čási již překonali své naivní období. Laibson (996, 997a, 997b) či Harris a Laibson (00) modelují problém plně sofisikovaného spořebiele jako hru mezi jednolivými já. 4 Spořebielovo já si je vědomo, že nesouhlasí s rozhodnuími, kerá učiní jeho já v dalších obdobích, a proo se snaží určiým způsobem zaváza svá budoucí já. Uvažovaným způsobem závazku v jejich modelu jsou invesice do nelikvidních akiv. Tao jsou chápána implicině jako určiá echnologie přijeí závazku, neboť nelikvidní akiva jsou spojena s ransakčními náklady a čásečně ak ochráněna proi rychlému prohýření v budoucnu. Jedná se o nedokonalý závazek. Laibson e al. (998) a Angeleos e al. (00) zkoumají rozdíl mezi živoním cyklem exponenciálního a sofisikovaného hyperbolického spořebiele. V numerických simulacích 5 porovnávají rajekorii úspor a vývoj akumulace nelikvidních akiv. Spořebielé mají dispozici likvidní a nelikvidní akiva, zároveň však aké krediní kary. Právě exisence finančních inovací jako jsou krediní kary může mí v prosředí hyperbolických (naivních i sofisikovaných) 3 Mj. se odvolává na časý povzdech druhu: Vezměe mi y peníze z úču dřív, než je sačím urai 4 Jedná se o převedení úlohy z Phelps a Pollak (968), keří modelují hru mezi generacemi, na inrapersonální hru hyperbolického spořebiele. 5 s velice realisicky kalibrovanými paramery, zabudovanou nejisoou pracovních příjmů ve věku 0 63, max živoě 90 le, exisencí likvidních a nelikvidních akiv a možnosi půjček z krediních kare (max. 30% ročního příjmu), ad. viz Angeleos e al. (00) 8

výrazné důsledky na spořebu. Auoři docházejí k omu, že profil spořebního chování se příliš u obou ypů spořebielů neliší s ím, že hyperboličí spořebielé především v začáku svého spořebního období mnohem více využívají půjček z krediních kare. Zároveň v období kolem odchodu do důchodu klesá spořeba hyperbolických spořebielů více. To proo, že hyperboličí spořebielé vlasní výrazně věší množsví nelikvidních akiv, kerá nemohou efekivně rychle proda, aby vyhladili svůj spořební profil. Rozdíl v rajekorii není ak výrazný, jako je rozdíl v množsví naakumulovaného bohasví v podobě nelikvidních akiv, keré je u sofisikovaných hyperbolických spořebielů výrazně vyšší, neboť ao slouží jako echnologie závazku. Můžeme zjednodušeně říci, že nelikvidní akiva jsou pro hyperbolické spořebiele méně nákladná, neboť si více cení ěcho akiv jako závazku, i když (a právě proo) omezují jejich vyhlazování spořeby. Tyo závěry pomáhají obohai hypoézu živoního cyklu blíže k pozorované realiě, kdy domácnosi výrazně využívají služeb krediních kare, drží věší množsví nelikvidních akiv, což jim dohromady snižuje flexibiliu vyhlazova svou spořebu i v případě dopředu předvídaelných změn v příjmech. Výsledkem je v realiě pozorovaný blízce svázaný pohyb důchodu a spořeby. Na obr. prezenujeme simulaci Ramseyova růsového modelu se zcela naivním hyperbolickým agenem a srovnání s exponenciálním agenem. Průběh akumulace kapiálu a spořeba v čase jsou ypické pro oba ypy diskonování. 9