Pravděpodobnos a saisika 0. ČASOVÉ ŘADY Průvodce sudiem Využijeme znalosí z předchozích kapiol, především z 9. kapioly, kerá pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je. Předpokládané znalosi Pojmy z předchozích kapiol. Cíle Cílem éo kapioly je seznámi s ypy časových řad, jejich složkami a možnosmi analýzy časových řad. Výklad 0.. - základní pojmy Důležiými saisickými day, pomocí nichž můžeme zkouma dynamiku jevů v čase, jsou zv. časové řady. Mají základní význam pro analýzu příčin, keré na yo jevy působily a ovlivňovaly jejich chování v minulosi, ak pro předvídání jejich budoucího vývoje. Definice 0... Časová řada (dynamická řada, vývojová řada) je posloupnos pozorování kvaniaivní charakerisiky uspořádaná v čase od minulosi do příomnosi. Podle Segera (viz seznam lieraury) lze uvažova o řech ypech řad. časová řada inervalových ukazaelů 2. časová řada okamžikových ukazaelů 3. časová řada odvozených charakerisik
Pravděpodobnos a saisika Pro ukazaele. ypu plaí, že jejich velikos přímo úměrně závisí na zvolené délce inervalu. (Uveďe příklady.) V ěcho případech se časo musí daa převés na srovnaelné hodnoy (např. přepoče na sejně dlouhé úseky (čvleí nemají sejný poče dní apod.)). U řad 2. ypu se ukazael vzahuje k přesně definovanému okamžiku. Hodnoa ukazaele edy nezávisí na délce inervalu, za kerý je sledován. Práce s ěmio řadami je složiější. Na rozdíl od předešlého ypu nemá reálný smysl např sumace hodno řady, přisupuje se edy k různým druhům průměrování. Časo je používán zv. chronologický průměr: x = 2 2 n x+ x2 + + x n + x n Tímo jediným číslem pak charakerizujeme úroveň ukazaele za celé období. Je ale zřejmé, že ím dochází ke značnému zjednodušování realiy. Oblíbenější jsou proo různé druhy klouzavých ukazaelů, keré jsou schopny čásečně eliminova vliv náhodných vlivů na sledovaný ukazael a ím časovou řadu "vyhladi". Používají se jak klouzavé mediány, ak klouzavé průměry. Vždy se posupuje ak, že udaj časové řady nahradíme zvoleným ukazaelem z okolních časově předcházejících a následujících údajů. Poznámka Zpracování časových řad užiím MS Excelu je zcela riviální. Způsob vorby klouzavých ukazaelů je filozofii abelárních výpočů zcela přizpůsoben. A pokud jde o klouzavé průměry, disponuje excel přímo vesavěnou možnosí yo ukazaele získa (analogický posup jako u regresní analýzy - viz ukázka pouze na webu). Řady 3. ypu jsou odvozovány na základě absoluních údajů okamžikových nebo inervalových. Příkladem mohou bý časové řady součové nebo časové řady poměrných čísel Při klasické analýze časových řad se vychází z předpokladu, že každá časová řada může obsahova čyři složky: rend, sezónní složku, cyklickou cložku, náhodnou složku.
Pravděpodobnos a saisika Definice 0..2. Trend je obecná endence vývoje zkoumaného jevu za dlouhé období. Je výsledkem dlouhodobých a sálých procesů. Trend může bý rosoucí, klesající nebo může exisova řada bez rendu. Sezónní složka je pravidelně se opakující odchylka od rendové složky. Perioda éo složky je menší než celková velikos sledovaného období. Cyklická složka udává kolísání okolo rendu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje (požíváno spíše v makroekonomických úvahách). Náhodná (sochasická) složka se nedá popsa žádnou funkcí času. "Zbývá" po vyloučení rendu, sezónní a cyklické složky. Než přejdeme k analýze rendu a sezónnosi (dlouhodobou cykličnos ponecháme sranou našich úvah), uveďme několik jednoduchých ukazaelů, keré se používají jako míry dynamiky: absoluní přírůsek Δ y, 2,3,, = y y = n průměrný absoluní přírůsek ( ) ( ) ( ) Δy y y + y y + + y y y y Δ= = = n n n relaivní přírůsek δ 2 3 2 n n n Δy y y y = = = y y y průměrný koeficien růsu y y y y k = kk k = = n 2 3 4 n n 2 n n n y y3 y3 yn y y
Pravděpodobnos a saisika Řešené úlohy Příklad 0... Určee elemenární charakerisiky růsu časové řady sledující výrobu plynu v leech 980-985. rok 980 98 982 983 984 985 výroba (m 3 ) 286 363 393 495 57 60 Řešení: rok výroba (m 3 ) y absoluní přírůsky koeficieny růsu 980 286 98 363 77,060 982 393 30,022 983 495 02,073 984 57 76,05 985 60 39,025 průměrný absoluní přírůsek: ( ) ( ) ( ) Δy y y + y y + + y y y y Δ= = = n n n 2 3 2 n n n průměrný koeficien růsu: = 64,8 y y y y yn k = kk k = = n 2 3 4 n 2 n n n y y3 y3 yn y =,046 Tuo úlohu si můžee oevří vyřešenou v Excelu. 0.2. Analýza rendu a sezónní složky Nejčasěji se při analýze časové řady předpokládá adiivní model popisu chování řady. Předpokládá se, že jednolivé složky vývoje se sčíají, akže plaí: y y = T + S + C + ε,
Pravděpodobnos a saisika kde na pravé sraně po řadě vysupují složky rendová, sezónní, cyklická a náhodná. Různé modifikace modelů vzniknou, když někerou složku z úvah vypusíme. My ak učiníme pro složku cyklickou a o náhodné složce řekněme jen olik, že o ní lze zpravidla předpokláda, že jejich sřední hodnoy jsou nulové a že jsou korelačně nezávislé (náhodná porucha, jak se aké dá náhodná složka inerpreova, nezávisí na poruše v minulém okamžiku ani neovlivňuje vznik a velikos poruchy v okamžiku následujícím). Analýza složky kerékhokoliv ypu se provádí v podsaě klasickou regresní analýzou. Podsaný rozdíl je jen v om, že nezávisle proměnná, je v omo případě proměnná časová a můžeme ji vcelku libovolně vyjádři v jakýchkoliv časových jednokách s libovolným počákem. Analýza rendové složky je zřejmě nejdůležiější čásí analýzy časových řad. V průběhu le se povrdilo, že při výběru rendových funkcí věšinou vysačíme s úzkou nabídkou funkcí. Nejčasěji používané jsou lineární rend y = a0 + a Paramer a předsavuje přírůsek hodnoy y připadající na jednokovou změnu časové proměnné. polynomický rend 2 k y = a0 + a + a2 + + ak Umožňuje nají rendovou funkcí, kerá má exrém. Paramer a předsavuje průměrný přírůsek exponenciální rend y = a a 0 hodno y. (Ty se chovají jako členy geomerické posloupnosi. Dolože vzpomínkami na uo kapiolu sředoškolské maemaiky.) modifikovaný exponenciální rend y = k + a a 0 Funkce má vodorovnou asympou a dá se pomocí ní snáze modelova vývoj jevů, keré vycházejí z omezených zdrojů růsu a u kerých exisuje určiá mez nasycení, daná např. zájmem nebo pořebou určiého výrobku. (Předveďe si průběh funckí ohoo ypu pro různé hodnoy paramerů použiím vhodného maemaického programu pro vykreslení grafů funkcí.)
Pravděpodobnos a saisika logisický rend, logisika =, nebo + y k a 0a k a 0a y = + Křivka má ři úseky, první je charakerizován pozvolným vzesupem, druhá v okolí inflexního bodu prudkým růsem a řeí určiou vrcholovou sagnací (nasycením). Uvedený var je jeden z mnoha různých funkčních předpisů popisujících křivku s charakerisickým průběhem ve varu písmena S. Gomperzova křivka y = ka a 0 Křivka s podobným esoviým průběhem jako logisika, ale na rozdíl od ní je asymerická. Těžišě hodno je až za inflexním bodem. První ři jmenované jsou v regresní analýze běžně užívané, přičemž u exponenciály se sandardně přisupuje k linearizaci logarimováním funkčního předpisu, což získanou exponenciálu poněkud degraduje. Numerickými meodami, např. užiím řešiele v excelu se ale dá principu meody nejmenších čverců vyhově přímo, jak jsme viděli v příkladě, na kerý jsme se už odvolávali v 9. kapiole. V osaních případech už linearizace není možná. K odhadu koeficienů rendových funkcí se používá různých chyrých algorimů, keré věšinou byly vymyšleny v předpočíačové éře, kdy předsavovaly jedinou šanci aspoň nějakého odhadu dosáhnou. Dnes se dají yo meody využí pro určení kvalifikovaných výchozích hodno pro nejrůznější numerické meody. (Blíže viz Sege.) (ukázka odhadu paramerů modifikované exponenciály a logisické křivky) Analýza sezónní složky se časo provádí až po očišění da od rendové složky. V podsaě při ní jde o určení časového úseku, po jehož uplynuí mají daa zase sejnou hodnou, příp. ovlivněnou rendovou a náhodnou složkou. Pro sudium sezónní složky se používá několika ypů modelů (viz Sege). V ekonomických modelech bývá zpravidla zřejmá velikos periody (čvleí, měsíc), v jiných případech je nuno i uo délku odhadova (v hydrogeologii např. u výšky hladiny spodních vod). Používá se u i harmonické analýzy, kerá modeluje průběh da pomocí několika členů Fourierovy řady. Paramery se určují použiím numerických meod.
Pravděpodobnos a saisika Výsledků analýzy časových řad a obecně i regresní analýzy vůbec se využívá k nalezení údajů, pro keré není k dispozici výsledek měření nebo pozorování. Pokud jde o chybějící údaj závislé veličiny y pro někerou hodnou x uvniř inervalu známých hodno x, jde o inerpolaci. Ta zpravidla vede k dobrým výsledkům a nepřináší velká rizika chyb odhadované veličiny y. Pokud však je nuno odhadnou výsledek y pro údaj x vně inervalu experimenálně udaných hodno x, jde o exrapolaci. V omo případě je nuno bý oparný, neboť maemaické prosředky použié pro určení charakeru regresní závislosi nemohou zpravidla zodpovědně odhadnou budoucí nebo minulý vývoj. Uvědome si např., že řeba rosoucí oblouk křivky řeího supně může velmi dobře popisova nějakou závislos, za uvažovaným inervalem hodno x však může dojí k nežádoucímu propadu éo kubické křivky do lokálního minima.