Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4.ročník bakalářského studia Téma 2 Simulační metody typu Monte Carlo Princip simulačních metod typu Monte Carlo Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Historie metody Monte Carlo Jedním z nejstarších popsaných případů využití metody je problém tzv. Buffonovy jehly, nazvaný po francouzském matematikovi Georges-Louis Leclerc Comte de Buffonovi, který se pokoušel odhadnout hodnotu Ludolfova čísla π náhodným vrháním jehly na linkovaný papír. Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788) Pravděpodobnost jevu, kdy jehla stejné délky, jako je vzdálenost mezi linkami, po dopadu na papír zůstane ležet na papíře tak, že protíná některou z linek, je rovna: 2 p = π Princip simulačních metod typu Monte Carlo 2 / 42
Historie metody Monte Carlo Pravděpodobně první systematické využití metody Monte Carlo s reálnými výsledky je datováno až k roku 1930, kdy Nobelovou cenou oceněný italský fyzik Enrico Fermi tento přístup využíval ke generování náhodných čísel k výpočtu vlastností v té době nově objevené částice neutronu. Enrico Fermi (1901-1954) Dodnes jsou tak počátky rozvoje metody Monte Carlo spojovány se jmény Stanislaw Marcin Ulam, John von Neumann, Nicholas Metropolis nebo již zmíněný Enrico Fermi. Pojmenována podle známého kasina v Monaku (Ulamův strýc zde sázel). Dříve se používala pod označením statistical sampling statistický výběr. Stanislaw Ulam (1909-1984) Princip simulačních metod typu Monte Carlo 3 / 42
Historie metody Monte Carlo Náhodnost jevů a opakování jejich výskytu jsou identické k činnostem prováděných v kasinech (ruleta je jednoduchý generátor náhodných čísel). Metoda Monte Carlo hrála klíčovou roli při simulacích, kterými se odhadovala štěpná reakce při vývoji atomové bomby v rámci projektu Manhattan (krycí název pro utajený americký vývoj atomové bomby za 2. světové války). Metoda je využívána pro výpočet integrálů hustot pravděpodobností spojitých náhodných veličin, zejména vícerozměrných, kde běžné metody nejsou efektivní. Je založena na provádění náhodných experimentů s modelem systému a jejich vyhodnocení. Výsledkem provedení velkého množství experimentů je obvykle pravděpodobnost určitého jevu. Princip simulačních metod typu Monte Carlo 4 / 42
Metoda Monte Carlo Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou relativně malá přesnost. err = 1 N kde N je počet náhodných experimentů Pro zvýšení přesnosti výsledku o jeden řád je tedy nutno zvýšit počet simulací alespoň o dva řády. Pro zisk výsledku s přesností na 6 desetinných míst, což odpovídá přesnosti jiných metod, je tedy potřeba zpracovat 10 12 historií. Princip simulačních metod typu Monte Carlo 5 / 42
Zákon velkých čísel Při velkém počtu nezávislých pokusů je možné téměř jistě očekávat, že relativní četnost se bude blížit teoretické hodnotě pravděpodobnosti. Lze popsat s pomocí střední hodnoty náhodné veličiny: 1 X =... + N ( X + ) N 1 X N kde X 1, X 2,..., X N představuje nekonečnou posloupnost vzájemně nezávislých náhodných čísel s konečnou střední hodnotou μ <. Se zvyšujícím se počtem historií N bude střední hodnota vygenerované posloupnosti konvergovat ke střední hodnotě X n μ, což lze demonstrovat na jednoduchém příkladu s hrací kostkou. Princip simulačních metod typu Monte Carlo 6 / 42
Zákon velkých čísel V případě hrací kostky o šesti stranách je aritmetický průměr součtu čísel na jednotlivých stranách roven: μ = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 = 21 6 = 3,5 Střední hodnota vržených čísel 5,0 4,5 4,0 Střední hodnota 3,5 3,0 2,5 2,0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 Počet hodů Vývoj vypočtené střední hodnoty 20000 vržených čísel Princip simulačních metod typu Monte Carlo 7 / 42
Zákon velkých čísel 10000 Počty zastoupení jednotlivých čísel v 50000 hodech kostkou 8206 8385 8223 8383 8458 8345 8000 6000 4000 2000 0 1 2 3 4 5 6 Počty zastoupení vržených čísel v 50000 hodech kostkou Princip simulačních metod typu Monte Carlo 8 / 42
Zákon velkých čísel 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% Procentuální zastoupení 10,00% 1 2 3 5,00% Číslo 4 5 6 100 10 Procentuální zastoupení jednotlivých čísel 1000 50000 10000 65528 Celkový počet hodů 0,00% Procentuální zastoupení vržených čísel (celkové maximum počtu hodů 65528 je limitováno kapacitními možnostmi tabulkového procesoru Excel) Princip simulačních metod typu Monte Carlo 9 / 42
Generátory náhodných čísel U ( A U C) mod M n+ 1 = n + Princip simulačních metod typu Monte Carlo 10 / 42
Kongruenční generátory náhodných čísel Nejpoužívanější generátory náhodných čísel, poprvé zavedené americkým matematikem Lehmerem v roce 1948. Slouží pro generování posloupností náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením. Derrick Henry Lehmer (1905-1991) Generování pseudonáhodných čísel s pomocí rekurentního vztahu: U ( A U C) mod M n+ 1 = n + kde konstanty A, C, a M určují statistickou kvalitu generátoru (žádoucí nesoudělnost A a M). Princip simulačních metod typu Monte Carlo 11 / 42
Vliv vstupních konstant na vygenerovaná čísla U ( A U C) mod M n+ 1 = n + 7 6 5 4 3 2 Vstupní údaje 1 x 0 A 1 1 0 C 3 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 M 7 Princip simulačních metod typu Monte Carlo 12 / 42
Vliv vstupních konstant na vygenerovaná čísla U ( A U C) mod M n+ 1 = n + 25 20 15 10 Vstupní údaje 5 x 0 1 A 7 0 C 3 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 M 23 Princip simulačních metod typu Monte Carlo 13 / 42
Vliv vstupních konstant na vygenerovaná čísla U ( A U C) mod M n+ 1 = n + 1200 1000 800 600 400 Vstupní údaje 200 x 0 1 A 7 0 C 10 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 M 1011 Princip simulačních metod typu Monte Carlo 14 / 42
Vliv vstupních konstant na vygenerovaná čísla 1,00 U ( A U C) mod M n+ 1 = n + 0,75 0,50 Setříděno 1,00 0,25 0,75 0,00 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 Vstupní údaje 0,50 x 0 0,5 0,25 A 758 C M 0,333 1 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 0,00 Princip simulačních metod typu Monte Carlo 15 / 42
Integrace metodou Monte Carlo Metoda Monte Carlo se využívá nejčastěji k řešení vícerozměrných integrálů. I = x y ( x, y,... ) dxdy... f ( x, y,... ) f = x h d y h d V dxdy... Numerické integrování s využitím metody Monte Carlo spočívá ve stanovení hodnoty funkce f v N náhodných bodech, ležících v integrované oblasti V. N V I( f ; N ) V. f =. f i N i 1 f kde představuje střední hodnotu funkce f, vypočtenou v N náhodných bodech. Princip simulačních metod typu Monte Carlo 16 / 42
Integrace metodou Monte Carlo Např. objem polokoule. 3D Graf vygenerovaných bodů a hodnot funkce f(x,y) Ukázkový výpočet byl proveden pro 1000 vygenerovaných pseudonáhodných čísel. Poloměr polokoule r se rovná 1 m Výsledná hodnota odhadu integrálu I=2,17707 (přesná hodnota 2,09440). Směrodatná odchylka odhadu integrálu σ=0,04347. Princip simulačních metod typu Monte Carlo f 2 2 ( x, y) = r x 2 y 17 / 42
Integrace metodou Monte Carlo Náhodná proměnná 2D 1,20 1,00 y 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 x Tisíc vygenerovaných pseudonáhodných dvojic čísel pro výpočet objemu polokoule, zobrazených jako graf 2D náhodné proměnné (vstupní parametry: x 0 =0,5; A=758; C=0,333 a M=1; y 0 =0,5; A=239; C=0,666 a M=1) Princip simulačních metod typu Monte Carlo 18 / 42
Princip simulačních metod typu Monte Carlo Generování omezených rozdělení a transformace na požadované rozdělení U ( A U C) mod M n+ 1 = n + Princip simulačních metod typu Monte Carlo 19 / 42
Posudek spolehlivosti metodou SBRA Např. Marek a kol. CRC Press, 1995. Vstupní proměnné charakterizují useknuté neparametrické histogramy. Analýza funkce spolehlivosti metodou Monte Carlo. Spolehlivost je vyjádřena jako P f < P d, kde P f je pravděpodobnost poruchy, a P d je v normová návrhová pravděpodobnost poruchy. P f = Σ / Σ < P d Odolnost R R - S = 0 Účinek zatížení S Metody pro určení pravděpodobnosti poruchy 20 / 42
Náhodné veličiny Proměnné hodnoty zatížení, variability průřezu a pevnostní charakteristiky Stálé hd Dlouhodobé nahodilé hl 2 Sníh hsn Dlouhodobé nahodilé hl 1 Krátkodobé nahodilé hs Vítr hs Reprezentace náhodně proměnných veličin neparametrickými omezenými rozděleními Napětí na mezi kluzu f y Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 21 / 42
Výpočet metodou SBRA, program AntHill P f = 0,0000039 < P d = 0,0000080 táhlo vyhoví úroveň spolehlivosti zvýšená Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 22 / 42
Koncepty posudku spolehlivosti Koncept Design Pointu (PFD) Pravděpodobnostní alternativa P f = (modré)/(zelené) body R d > S d R R d S d S Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 23 / 42
Podstata metody, závěry Vstupní náhodné veličiny jsou vyjádřeny useknutými histogramy (neparametrickými omezenými rozděleními). Pravděpodobnost poruchy P f je získána analýzou funkce spolehlivosti RF (Reliability function, Safety function) s využitím simulační techniky Monte Carlo. Spolehlivost je posouzena na základě nerovnosti P f < P d, kde P d je návrhová pravděpodobnost daná normou, např. ČSN 73 1401 Navrhování ocelových konstrukcí Výsledek se pokaždé liší, důležité zvolit dostatečný počet simulačních kroků, jejichž počet je závislý zejména na počtu náhodných veličin Metoda univerzální, pro složitější výpočty málo efektivní Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 24 / 42
Kombinace zatížení Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 25 / 42
Kombinace zatížení Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 26 / 42
Příklad 1 Funkce spolehlivosti RF = ( R S ) Ocelový profil IPE Odolnost konstrukce R= N Rd = A nom. A var. f y Účinek zatížení S = N Sd =80.DL + 293,5.LL + + 80.SL + 70.WIN + 40.SN Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech SN=40kN WIN=70kN S=80kN L=293,5kN D=80kN Statické schéma táhla 27 / 42
Výpočet metodou SBRA, program AntHill P f = 0,0000039 < P d = 0,0000080 táhlo vyhoví úroveň spolehlivosti zvýšená Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 28 / 42
Příklad 2 Mezní stav únosnosti Funkce spolehlivosti : RF = ( R S ) R... odolnost konstrukce R = W nom. W var. f y S... účinek zatížení (ohybový moment) S = D.DL.L 2 /8 + L 1.LL.L/4 + S 1.SL.L/3 S=45kN 1 L=75kN 1 S=45kN 2 D=5kN/m' Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 29 / 42
Příklad 3 Mezní stav použitelnosti Funkce spolehlivosti : RF = ( R S ) R... odolnost konstrukce R = L / 350 S... účinek zatížení (průhyb) S = (5.D.DL.L 4 /384 + L 1.LL. L 3 /48 + + 0.0355.S 1.SL.L 3 )/(210000. I nom.i var ) S=45kN 1 L=75kN 1 S=45kN 2 D=5kN/m' Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 30 / 42
Posouzení spolehlivosti konstrukce σ = ± N A N Sd N Rd = f y. A Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 31 / 42
Posouzení spolehlivosti konstrukce σ = ± N A ± M W y y ± M W z z Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 32 / 42
Posouzení spolehlivosti konstrukce Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 33 / 42
Posouzení spolehlivosti konstrukce Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 34 / 42
Posouzení spolehlivosti konstrukce Funkce spolehlivosti : RF = ( R - S ) S... účinek zatížení S = N A ha var ± W y M y hw y,var ± W z M z hw z,var kde N = - (1,35.D.hD + 1,5.( L 1.hL 1 +SN.hSn+WIN x.hw + S x.hs + L 2x.hL 2 )) M y = b. 1,5. ( S z.hs - L 2z.hL 2 + WIN z.hw ) M z = b. 1,5. ( S y.hs - L 2y.hL 2 ) [kn] [knm] [knm] Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 35 / 42
Posouzení životnosti konstrukce Závislost R a S na čase t R(t) S(t) čas t Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 36 / 42
Výpočet doby bezpečného provozu nosníku Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 37 / 42
Křivky trvání účinků zatížení RF = {M R (t) M S (t)} kde M S (t) = = 1/8 (DL DL var ) L 2 + 1/4 (LL LL var ) L + 1/3 (SL SL var ) L a M R (t) = (A s A s,var ) f y z [kn.m]: Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 38 / 42
Účinek zatížení M S (t) [kn.m] 0 až 50 let Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 39 / 42
Odolnost konstrukce M R (t) [kn.m] 0 až 50 let Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 40 / 42
Funkce spolehlivosti M R (t) [kn.m] 0 až 50 let Bezpečné 0,0 Porucha Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 41 / 42
Funkce spolehlivosti Pravděpodobnost P f = 0,00005, t = 30 let M R - M S = 0 Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech 42 / 42