Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti
OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král
Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov Shapiro -Wilk Anderson - Darling Ryan -Joiner grafické metody: Histogram Pravděpodobnostní graf Q - Q graf P - P graf
Histogram Histogram sestrojený na základě dostatečného počtu hodnot pocházejících z normálního rozdělení má charakteristický tvar, jehož modelem je Gaussova křivka. Příklad histogramu sestrojeného z 1 hodnot z normálního rozdělení se střední hodnotou µ= a směrodatnou odchylkou σ=3 je na následujícím obrázku.
Histogram 8 7 6 5 1 18,3 19,3,,3 1,3,3 3,3,3 5,3,3 7,3,3 9,3,3 31,3,3 33,3,3 35,3,3 37,3,3 39,3,3 41,3
1 3 4 5 6 7 8 9 1 3 4 5 6 7 8 9 1 3 4 5 6 7 8 9 1 3 4 5 6 7 8 9 1 3 4 5 6 7 8 9 1 3 4 5 6 7 8 9 1 3 4 5 6 7 8 9 1 3 4 5 6 7 8 1 3 4 5 6 7 8 9 Výběry rozsahu n = 5 ze základního souboru s normálním rozdělením m = a s = 3
4 6 8 1 1 14 16 18 4 6 8 1 1 14 16 18 4 6 8 1 1 14 16 18 4 6 8 1 1 14 16 18 4 6 8 1 1 14 16 18 4 6 8 1 1 14 16 18 4 6 8 1 1 14 16 18 4 6 8 1 1 14 16 18 4 6 8 1 1 14 16 18 Výběry rozsahu n = 5 ze základního souboru s normálním rozdělením m = a s = 3
5 1 15 5 35 5 1 15 5 35 5 1 15 5 35 5 1 15 5 35 5 1 15 5 35 5 1 15 5 35 5 1 15 5 35 5 1 15 5 35 5 1 15 5 35 Výběry rozsahu n = 1 ze základního souboru s normálním rozdělením m = a s = 3
1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 Výběry rozsahu n = ze základního souboru s normálním rozdělením m = a s = 3
Zhodnocení Všechny uvedené histogramy představují náhodné výběry z normálního rozdělení se střední hodnotou µ = a směrodatnou odchylkou σ = 3. Vidíme, že čím je větší rozsah výběru n, tím lépe odpovídá výběrové rozdělení, znázorněné histogramem, rozdělení v základním souboru, znázorněnému hustotou pravděpodobnosti. Při běžně používaném rozsahu n=1 nemusí být vizuální posouzení objektivní a tvar histogramu může být navíc ovlivněn volbou mezí intervalu.
Testy dobré shody Pomocí testů dobré shody objektivně posoudíme, zda je možno považovat předpoklad normálního rozdělení za splněný. Testovaná hypotéza H : Náhodný výběr pochází ze základního souboru s normálním rozdělením Rozlišují se dva případy: a) Model normálního rozdělení je plně specifikován, tj. jsou dány střední hodnota µ a rozptyl σ. b) Model normálního rozdělení není plně specifikován, střední hodnota a rozptyl se odhadnou z výběrových hodnot. Rozdíl mezi plně a neúplně specifikovaným modelem se projeví na rozdělení testové statistiky a tedy při rozhodování o tom, zda vypočtená hodnota testové statistiky je či není v kritickém oboru. Alternativní hypotéza a) H 1 : náhodný výběr nepochází ze základního souboru s normálním rozdělením s danými parametry µ a σ. b) H 1 : náhodný výběr nepochází ze základního souboru s normálním rozdělením
Chí -kvadrát test Náhodný výběr rozsahu n je rozdělen do k intervalů s četnostmi n j (j = 1,,..., k), horní meze intervalů označíme x j. Vypočteme teoretické třídní četnosti za předpokladu, že výběr pochází ze základního souboru s normálním rozdělením N(µ, σ ): Horní meze x j třídních intervalů převedeme na hodnoty normované proměnné u j Není-li model plně specifikován, použijeme místo parametru µ výběrový průměr x a místo parametru σ výběrovou směrodatnou odchylku s ; = x Pro každé j vyhledáme odpovídající hodnoty distribuční funkce normovaného normálního rozdělení φ(u j ); j µ σ,
Určíme teoretické relativní a absolutní třídní četnosti π j = φ(u j ) φ(u j-1 ) a n π j ; Intervaly, jejichž teoretická absolutní četnost n π j 5 sloučíme se sousedními intervaly tak, aby byla splněna podmínka n π j >5 Pro redukovaný počet tříd k vypočteme výrazy ( n ) j nπ j Jejich součtem (přes redukovaný počet tříd k ) dostaneme hodnotu testové statistiky nπ j ; χ k ( ) o nj nπ j = j= 1 nπ j
Kritický obor pro test normality, na hladině významnosti α, je ( ) χ χ α o ( k c ) > 1 1 o kde χ je (1-α) -kvantil rozdělení c 1 α k c 1 pro n = k -c -1 stupňů volnosti, c je počet odhadovaných parametrů U plně specifikovaného modelu je c =. Ověřujeme-li jen tvar normálního rozdělení (neúplně specifikovaný model) a parametry µ a σ odhadujeme z výběrových hodnot, je c =.
PŘÍKLAD 1 V následujícítabulce je demonstrován postup výpočtu testové charakteristiky χ pro náhodný výběr rozsahu n = 1, ve kterém pozorované hodnoty byly roztříděny do k = 8 intervalů. První interval je (- ; 3,94), dalších 6 intervalů má šířku h =, a poslední interval je (4,6; ). Ze 1 hodnot byl určen výběrový průměr x = 3,999 a výběrová směrodatná odchylka s =,. Vzhledem k tomu, že krajní intervaly nesplňují požadavek nπ j 5, sloučíme je se sousedními intervaly. Redukovaný počet tříd je k = 6. Pro počet stupňů volnosti ν = k -3 = 3 a pro hladinu významnosti α =,5 je kritická hodnota χ,95 (3) = 7,815. Jelikož vypočtená hodnota testové charakteristiky χ = 1,477 nespadá do kritického oboru (není větší než kritická hodnota 7,815), nemáme důvod zamítnout hypotézu o tom, že výběr pocházíz normálního rozdělení.
Schéma výpočtu testové statistiky chí-kvadrát horní mez třídního intervalu třídní četnosti n j u j Φ(u j ) π j n π j n π j n j (n π j -n j ) n π j 3,9-1,931,7,7,67 3,96 9-1,759,111,74 7,48 1,11 11,787 3,98 -,619,787,16676 16,6767 16,6767,665 4, 3,73,51465,678,67837,67837 3,11415 4, 1,6974,75576,111,11133,11133 1,149 4, 17 1,875,9119,15553 15,5574 15,5574 17,167 4,6 5,476,97751,661 6,6145 8,8789 8,855 4,8 3,49,944 c = 1,47653
Kolmogorovův-Smirnovův test dobré shody H : náhodný výběr rozsahu n pochází ze základního souboru s normálním rozdělením N(µ, σ ) sdistribuční funkcí F(x) (plně specifikovaný model) Uvažujeme-li pozorování uspořádaná podle velikosti x (i), je testovou statistikou Η se zamítá, je-li x x... x n () 1 ( ) ( ) i 1 i Dn = max F( x() i ), F( x() i ) n n Dn D α, i = 1,,, n. Kritické hodnoty D α jsou tabelovány (Tab. 1)
Modifikovaný Kolmogorovův-Smirnovův test Nejsou-li parametry normálního rozdělení známy (neúplně specifikovaný model), nahradí se odhady. Při rozhodování se musí použít jiné kritické hodnoty (Tab. ).
Tab. 1 Kritické hodnoty D n (α) maximální odchylky empirické distribuční funkce od teoretické
Tab. Upravené kritické hodnoty dle Lilieforse Rozsah α Rozsah α výběru n,,1,5,1 výběru n,,1,5,1 4,3,6,376,413 16,176,195,13,7 5,9,319,3,397 17,171,19,7, 6,9,97,3,371 18,167,185,, 7,5,,4,351 19,163,181,197,8 8,39,5,8,333,159,176,19,3 9,7,5,74,317 5,143,159,173,1 1,17,1,,4,131,146,159,185 11,8,31,51,91,115,1,139,16 1,,,,1 1,74,8,89,14 13,193,15,,71,37,41,45,5 14,187,8,6, 9,5,,,35 15,181,1,19,54
PŘÍKLAD Bylo provedeno n = 1 měření zatížení vlákna do přetržení: i x i i/n (i-1)/n F(x) F(x)-(i-1)/n F(x)-i/n 1,14,83333,,188,188,37548,,166667,83333,843,11759,176 3,7,5,166667,116,54493,8 4,6,333333,5,5589,589,784 5,7,416667,333333,99,3984,13175 6,7,5,416667,333351,83315,166649 7,8,583333,5,35596,14494,837 8,51,666667,583333,499,95,1757 9,77,75,666667,759,34,49491 1,751,833333,75,7441,7959,919 11 3,158,916667,833333,9648,1315,4698 1 3,17 1,,916667,966679,51,331 prumer,583 max,1315,837 rozptyl,13 sm.odch,355447 Závěr : Vzhledem k tomu, že maximální absolutní diference mezi empirickou distribučnífunkcía teoretickou distribučnífunkcínenívětší než kritická hodnota D n (α), nemáme důvod zamítnout testovanou hypotézu H : výběr pochází ze základního souboru s normálním rozdělením.
Grafický test Do pravděpodobnostního papíru zakreslíme průběh empirické distribuční funkce, tj. body [ x (i) ; i/n ] a přímku odpovídající průběhu odhadu distribuční funkce rozdělení N(µ, σ ) Fˆ(x). K odhadu teoretické distribuční funkce zakreslíme meze konfidenčního intervalu, tj. body [ x ; Fˆ(x) ± D n (α) ]. Vzniklé dvě křivky představují konfidenční interval distribuční funkce F(x) s konfidenční úrovní 1-α. Testovaná hypotéza H se zamítá, na hladině významnosti α, jestliže alespoň pro jednu hodnotu x empirická distribuční funkce, znázorněná na grafu body, leží vně zakresleného pásma.
Aplikace testu normality, pomocí pravděpodobnostního papíru
PŘÍKLAD pokračování: Na obrázku je vedle pravděpodobnostnístupnice y = 1 F(x) ještě stupnice u, odpovídající kvantilům normovaného normálního rozdělení N(, 1). ( Platí tedy 1 φ(u) = y.) Přímku představující odhad distribuční funkce hypotetického normálního rozdělení N( µ =,5 ; σ =,355 ) proložíme body ( x =,5 ; u = ) a ( x + s =,875 ; u = 1 ). Pro n = 1 a α =,5 je D n (α) = D 1 (,5) =,37543. Tedy hranice zakreslené na obrázku jsou (F(x) ±,375) *1. Závěr : Ani jeden bod neleží mimo zakreslené meze, nemáme důvod zamítnout testovanou hypotézu H.
Testy normality v MINITABu Kolmogorov Smirnov Anderson Darling testová statistika A (A squared) hodnoty větší než kritické svědčí proti normalitě Ryan Joiner testová statistika R podobný Shapiro-Wilkově testu (viz dále) hodnoty menší než kritické svědčíproti normalitě
Použití p-hodnoty Na výstupu každé procedury pro statistický test je kromě hodnoty testové statistiky uvedena tzv. p-hodnota (p-value) Platí-li: p-hodnota < α, zamítneme testovanou hypotézu na hladině významnosti α.
Pravděpodobnostní graf v MINITABu osa x naměřené hodnoty x (i) sledované veličiny uspořádané podle velikosti osa y hodnoty empirické distribuční funkce vynášené na nelineární stupnici, vycházející z předpokladu normality y-ová souřadnice bodu odpovídá kvantilu u (i) rozdělení N(,1) červeně proložena regresní přímka Ex { } = µ + σu () i () i Normálnímu rozdělení veličiny X odpovídají vynesené body ležící v blízkosti přímky a nevykazující nápadný nelineární trend. Graf je buď doplněn výsledkem některého z uvedených testů normality nebo 95% pásem spolehlivosti.
Testy normality ve Statistice chí-kvadrát Kolmogorov Smirnov Shapiro-Wilk testovástatistika W čím blíže 1, tím více svědčípro normalitu
Grafické metody ve Statistice pravděpodobnostní graf osa x naměřené hodnoty x (i) seřazené podle velikosti osa y kvantily u (i) rozdělení N(,1)
Q - Q graf osa x - kvantily u (i) rozdělení N(,1) osa y - naměřené hodnoty x (i) seřazené podle velikosti vynesenými body je proložena regresní přímka z rovnice regresní přímky se odhadnou parametry
P - P graf osa x hodnoty teoretické distribuční funkce (lineární stupnice) osa y hodnoty empirické distribuční funkce (lineární stupnice) v grafu vyznačena přímka se směrnicí 1
Výhoda grafických metod Naznačují, o jaké rozdělení se ve skutečnosti jedná. I v případě, že testy vycházejí nevýznamné, může nelineární trend v grafu prozradit vhodnost jiného než normálního rozdělení. Někdy umožňují lépe posoudit, zda nepřijatelnost hypotézy o normalitě je důsledkem existence několika extrémních pozorování, nebo zda je výběrové rozdělení skutečně jiné než normální.
PŘÍKLAD 3 V rámci SPC se v montážním závodě kontroluje vzdálenost aktuální pozice bodu na klikovém hřídeli od základní pozice. Každý den se provedlo 5 měření, k dispozici jsou hodnoty za 5 dní. Před výpočtem indexu způsobilosti je třeba ověřit, zda lze rozdělení hodnot měřené vzdálenosti považovat za normální.
Příklad 3 - MINITAB Normal Probability Plot Probability,999,99,95,8,5,,5,1,1-8 Average:,44174 StDev: 3,491 N: 15-6 -4 - AtoBDist 4 6 Anderson-Darling Normality Test A-Squared:,891 P-Value:, 8
Příklad 3 - Výsledky různých testů normality
Příklad 3 - MINITAB Normal Probability Plot for AtoBDist ML Estimates - 95% CI Percent 99 95 9 8 7 6 5 1 5 1 ML Estimates Mean,44174 StDev 3,477 Goodness of Fit AD* 1-1 Data 1
Příklad 3 - Statistica Histogram (Spreadsheet1 in Workbook1 1v*15c) AtoBDist = 15**normal(x;,4417; 3,4914) 5 No of obs 15 1 5 AtoBDist: SW-W =,976469418, p =,79; N = 15, Mean =,4417, StdDv = 3,4913571, Max = 8,, -1 Min -8 = -7,6; -6 D -4 =,94956, - p < n.s., 4 6 8 1 Lilliefors-p <,999999978 AtoBDist
Příklad 3 - Statistica 3 Normal Probability Plot of AtoBDist (Spreadsheet1 in Workbook1 1v*15c) Expected Normal Value 1-1 - -3-8 -6-4 - 4 6 8 1 AtoBDist: SW-W =,976469418, p =,79 Observed Value
Příklad 3 - Statistica 1 Quantile-Quantile Plot of AtoBDist (Spreadsheet1 in Workbook1 1v*15c) Distribution: Normal AtoBDist =,4417+3,488*x,1,5,5,5,75,9,99 1 8 6 Observed Value 4 - -4-6 -8-1 -3 - -1 1 3 Theoretical Quantile
Příklad 3 - Statistica 1,4 Probability-Probability Plot of AtoBDist (Spreadsheet1 in Workbook1 1v*15c) Distribution: Normal(,44174, 3,491) 1, Empirical cumulative distribution 1,,8,6,4,, -, -,4 -,,,,4,6,8 1, 1, Theoretical cumulative distribution
Příklad 4 Při elektronickém testování ozubených kol se sleduje maximální odchylka profilu od ideálního tvaru.
Příklad 4 - MINITAB Normal Probability Plot Probability,999,99,95,8,5,,5,1,1 Average: 77,55 StDev: 14,165 N: 55 65 75 85 x 95 15 115 Anderson-Darling Normality Test A-Squared:,455 P-Value:,
Příklad 4 Normal Probability Plot for x ML Estimates - 95% CI Percent 99 95 9 8 7 6 5 1 5 ML Estimates Mean 77,55 StDev 13,839 Goodness of Fit AD*,997 1 4 5 6 7 8 Data 9 1 11 1
Příklad 4 - Výsledky různých testů normality
Příklad 5 5 vzorků materiálu pro operační přístroje bylo testováno na obsah kovových příměsí.
Příklad 5-MINITAB Normal Probability Plot,999,99,95 Probability,8,5,,5,1,1 Average: 1, StDev: 8,57185 N: 5 5 15 x 5 35 Anderson-Darling Normality Test A-Squared: 1,76 P-Value:,
Příklad 5 - MINITAB Normal Probability Plot for x ML Estimates - 95% CI Percent 99 95 9 8 7 6 5 1 5 ML Estimates Mean 1, StDev 8,39867 Goodness of Fit AD* 1,649 1-1 1 Data
Příklad 5 - Výsledky různých testů normality
Příloha vzorce 1 Anderson - Darling n 1 A = ( i 1)ln [ Φ+ i ln( 1 Φn + i 1) ] n n i= 1 Φ =Φ( u ) i () i u () i = x () i σˆ x σˆ = 1 n n i= 1 ( x i x) ( ) maximálně věrohodný odhad σ
Příloha vzorce Shapiro -Wilk W = ( u ) () i x() i () i () i u ( x x) u () i 1 i 3/ 8 =Φ n + 14 /