Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna 5.052 tel. 585 63 4027 e-mail: ondrej.pavlacka@upol.cz web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové materiály) Konzultační hodiny (LS 2016): Středa 13:30 15:00 Čtvrtek 9:15 10:45 Doporučuji domluvit se dopředu přes e-mail.
Matematické modelování v NŽP
Matematické modelování v NŽP Jde o součást teorie rizika (zahrnuje rovněž problematiku finančního rizika). Motivace pro tvorbu matematických modelů: model může nahradit nedostatečný počet dat, často lze pomocí jednoduchých mat. vztahů popsat chování rozsáhlých pojistných kmenů, lze tak statisticky testovat vlastnosti pojistných kmenů, aj.
1. Modely počtu škod (poj. nároků)
Modely počtu škod (poj. nároků) Modely vycházející z pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny n, která označuje počet pojistných nároků (PU, škod) obvykle na jednu pojistnou smlouvu během jednoho roku. Náhodná veličina n může nabývat hodnot 0,1,2, s určitými p-stmi.
Modely počtu škod (poj. nároků) Binomické rozdělení K přirozené, 0 < p < 1. n počet zdarů v K nezávislých pokusech, p p-st zdaru, 1-p p-st nezdaru,
Modely počtu škod (poj. nároků) Poissonovo rozdělení,,,,,,,,,,,,, l > 0 limitní případ binomického rozdělení n počet zdarů ve velkém počtu nezávislých pokusů s malou p-stí zdaru
Modely počtu škod (poj. nároků) Negativní binomické rozdělení (Pólyovo) pro přirozené a: a > 0, n počet nezdarů před a-tým zdarem v nezávislých pokusech s p-stí zdaru p
Modely počtu škod (poj. nároků) Smíšené Poissonovo rozdělení parametr l je náhodný s f-cí hustoty f(l): Použití: u poj. kmenů s heterogenními riziky, např. v pojištění proti lesnímu požáru, kde riziko vzniku požáru (a tedy počet škod) závisí na typu počasí. Příklad na tabuli + MS Excel.
Smíšené Poissonovo rozdělení
Modely počtu škod (poj. nároků) Rozdělení binomické Poissonovo negativní binomické Vlastnost E(n) > var (n) E(n) = var (n) E(n) < var (n)
Modely počtu škod (poj. nároků) Počet škod na 1 smlouvu za 1 rok Skutečný počet smluv Modelovaný počet smluv: Poissonovým rozd. Modelovaný počet smluv: negat. binom. rozd. 0 88 585 88411 88597 1 10 577 10 890 10544 2 779 671 612 3 54 27 35 4 4 1 2 5 1 0 0 6 a více 0 0 0 Celkem 100 000
Modely počtu škod (poj. nároků) Nechť NV n: počet škod za 1 rok v N nezávislých poj. smlouvách, tj. n = n 1 + n 2 + + n N :
Modely počtu škod (poj. nároků) Jsou-li pojistné smlouvy homogenní se stejnou škodní frekvencí q1: Příklad na tabuli Je-li N hodně velké, tj. jde-li o rozsáhlejší pojistný kmen, lze Poissonovo rozdělení asymptoticky aproximovat normálním rozdělením:
Příklady I. V pojištění domácnosti byly pozorovány hodnoty: Riziko Počet smluv Doba pozorování Počet škod Živelní události 1 250 1 rok 12 Odcizení 2 500 1 rok 250 Odpovědnost 2 000 4 roky 35 a) P-st, že v poj. kmeni s 2 178 pojistkami nevznikne během 1 roku více než 300 škod? b) Jaký rozsah poj. nároků (počet škod) může pojišťovna během 1 roku očekávat se spolehlivostí 95%?
II. Vypočtěte: 1. průměrný počet odcizených aut v tarifní skupině o 10 000 smlouvách během 1 roku, jestliže škodní frekvence činí q 1 = 0,004 453 1, počet krádeží na každou pojistnou smlouvu je NV s Poissonovým rozdělením s parametrem q 1, NV jsou vzájemně nezávislé; 2. Pravděpodobnost, že počet krádeží bude během následujících 2 po sobě jdoucích letech za předchozích předpokladů vyšší než 110.
2. Modely výše škod
Modely výše škod Modely vycházející z pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny X, která označuje výši škody. Většinou X 0 nebo 0 X H (či 0 X M). Rozdělení náhodné veličiny X je popsáno hustotou f(x).
Modely výše škod Logaritmicko-normální rozdělení, s >0, R Použití: v pojištění úrazovém, havarijním, požárním zděných budov, proti vichřicím, aj.
Modely výše škod Gama rozdělení a>0, b>0
Modely výše škod Speciální případ Gama rozdělení (a=, b=1): Exponenciální rozdělení Exp(l), l >0 Použití Exp(l): modelování doby mezi pojistnými nároky.
Modely výše škod Beta rozdělení a>0, b>0, c>0 Funkce hustoty má v případě a<1, b<1 tvar písmene U, čehož se využívá k modelování výše škod v požárním pojištění (velmi malé nebo velmi velké škody).
Modely výše škod Paretovo rozdělení a>0, b>0 f X (x) = ba b /x (b+1), x a E(X) = ab/(b-1), b>1 var (X) = a 2 b/[(b-1) 2 (b-2)], b>2 Tzv. rozdělení s těžkými konci. http://www.eistat.cz/teorie/rozdeleni/spojita/pareto/index.htm Použití: např. v pojištění nemocenském, požárním dřevěných budov, kde lze čekat odlehlé extrémní hodnoty počtu škod.
Příklady 1. Určete střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku a pravděpodobnost, že výše škody (v i-té smlouvě) překročí 4 mil. Kč. Rozdělení výše škody bylo odhadnuto na log-normální: Výše škody (v tis. Kč) Počet škod 0-400 2 400-800 24 800-1 200 32 1 200-1 600 21 1 600-2 000 10 2 000-2 400 6 2 400-2 800 3 2 800-3 200 1 3 200-3 600 1 nad 3 600 0 Celkem 100
2. Nechť X je náhodná veličina popisující výši škody u 1 smlouvy během 1 roku s rozdělením logn(5; 1,44). Určete pravděpodobnost, že výše škody leží v intervalu 50$, 5 000 $. 3. Nechť průměrná výše škody u 1 smlouvy je 310$ a směrodatná odchylka činí 420$. Během 1 roku bylo pozorováno 520 škod. Určete pravděpodobnost, že celková škoda převýší 180 000 $.
4. Výše pojistného nároku v portfoliu pojistných smluv je uváděna ve stovkách dolarů a lze ji popsat Paretovým rozdělením s parametry b = 3, a = 2. Určete pravděpodobnost, že výše nároku přesáhne 500 $. Určete průměrnou výši nároku přesahujícího 500 $.
3. Složené pojistné modely
Složené pojistné modely O náhodné veličině S = X 1 + X 2 + + X n označující celkovou výši škody v rámci n pojistných nároků (tj. součet náhodného počtu náhodných veličin ) se říká, že má složené pravděpodobnostní rozdělení (compound distribution). Vzniká složením rozdělení náhodné veličiny n a rozdělení náhodných veličin X 1,X 2,,X n.
Složené pojistné modely Platí: Jsou-li náhodné veličiny X 1,X 2,,X n iid, tj. nezávislé a stejně rozdělené (X i = X, i=1,2,,n) a n a X jsou nezávislé s konečnými momenty E(n), var(n), E(X) a var(x), pak E(S) = E(n)*E(X), var(s) = E(n)*var(X) + var(n)*[e(x)] 2.
Složené pojistné modely Složené Poissonovo rozdělení: CP(l, F), kde a p-stní rozdělení výše škod X je dáno distribuční funkcí F: E(S) = E(n)*E(X) = l* E(X), var(s) = E(n)*var(X) + var(n)*[e(x)] 2 = = l*var(x) + l* [E(Xi)] 2 = l* E(X 2 ).
Příklad V souboru 19 412 pojistných smluv 1 tarifní skupiny byly pozorovány následující počty škod: Počet škod (na 1 smlouvu) Počet smluv 0 17 353 1 1 414 2 620 3 25 Celkem 19 412 Distribuční funkce pro výši škody je dána předpisem F(x) = 1 e -0,001*x, x 0. Odhadněte očekávané (průměrné) náklady na krytí škod pro 100 smluv platných během 1 roku a směrodatnou odchylku těchto nákladů.
4. Pojistné modely v čase
Pojistné modely v čase Proces rizika: {T 1,X 1,T 2,X 2, } T i délka doby mezi uplatněním i-tého a (i-1)- ního nároku, X i výše škody jako i-té v čase, tj. v čase W i = T 1 + T 2 + + T i Obvyklý předpoklad: T i, X i vzájemně nezávislé NV
Pojistné modely v čase Proces počtu pojistných nároků: {n t, t 0}, n t NV popisující počet poj. nároků do času t, Proces celkové výše pojistných nároků: {S t, t 0} S t NV popisující celkovou výši poj. nároků do času t, S t = X 1 + X 2 + + Xn t.
Pojistné modely v čase Poissonův proces s intenzitou l: {T 1,X 1,T 2,X 2, }, s tím, že délky dob T i mají exponenciální rozdělení Exp(l), střední hodnota 1/l. Potom počet poj. nároků do času t (NV n t ) má Poissonovo rozdělení P(lt)
výše celkového poj. nároku do času t S t = X 1 + X 2 + + Xn t, X i, i=1,..., n t, jsou nezávislé NV se stejným rozdělením (daným distribuční funkcí F), n t je NV s Poissonovým rozdělením P(lt) S t je NV se složeným Poissonovým rozdělením CP(l,F): Pojistné modely v čase
Příklad Během 1 roku bylo u 1 000 smluv uplatňováno 140 pojistných nároků. Jaká je pravděpodobnost, že nedojde ke škodě u žádné smlouvy a) během následujících 2 let, b) během následujících 9 měsíců, při zachování škodní frekvence?
5. Pravděpodobnost ruinování
Pravděpodobnost ruinování Pravděpodobnost toho, že stav rezervy pojišťovny klesne pod nulu (na zápornou hodnotu). T i - doba mezi 2 poj. nároky, W i - čas uplatnění nároku ve R t rezerva v čase t výši X i X 1 X 2 výše škody v čase 2 R 0 X 3 pravděpodobnost ruinování Y = P{min R t < 0, t 0} W 1 W 2 W 3 T 1 T 2 T 3 t
Pravděpodobnost ruinování
Pravděpodobnost ruinování
6. Systémy bonus-malus
Systémy bonus - malus Bonus smluvně zaručená sleva ze základního pojistného podle počtu předchozích bezškodních roků, Malus přirážka k pojistnému podle počtu a výše pojistných nároků uplatněných v minulých letech pojištění.
Systémy bonus - malus Bonusová náročnost systému: (1-P /P)*100 (%) celk. pojistné s použitím bonusů celk. pojistné při hypotetickém vyloučení bonusů
Systémy bonus - malus Hlad po bonusu situace, kdy klient raději nepřizná pojišťovně škodu z důvodu poklesu v bonusové stupnici. Bonusový systém se obvykle stupňuje, např. slevy ve výši. 0 %, 20 %, 40 % a 50 % ze základního pojistného. Bonusový stupeň se řídí rozhodnou dobou = dobou nepřerušeného trvání pojištění, po kterou nebyl uplatněn pojistný nárok.
Systémy bonus - malus 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 t (roky) 20% 40% bonus v % základního pojistného
Systémy bonus - malus Matematické modely systémů bonus-malus jsou založeny především na pravděpodobnostní teorii markovských řetězců, takže při jejich praktickém použití je nutné nejprve odhadnout pravděpodobnosti přechodů mezi jednotlivými stupni systému. Příklad na tabuli