METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0003 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY Název metodického listu: KONSTRUKČNÍ ÚLOHY (Konstrukční úlohy na SOŠ a ZŠ)
Název příspěvku Jméno autora Stručná anotace Očekávaný výstup vzhledem k RVP ZV Rozvíjené klíčové kompetence Průřezové téma Organizace časová Konstrukční úlohy na SOŠ a ZŠ Mgr. Martin Beneš konstrukční úlohy na ZŠ konstrukční úlohy na SOŠ užívá pojem množina všech bodů dané vlastnosti k charakteristice útvarů v rovině a k řešení konstrukčních úloh analyzuje zadaný úkol a zvolí optimální postup řešení. využívá potřebnou matematickou symboliku a pomůcky zobecňuje principy platící v matematice při využití informačních a komunikačních technologií pracuje individuálně či ve skupinách za využití moderních technologií Kompetence k učení volba různých postupů při řešení reálné situace aplikace znalostí a dovedností v ostatních vyučovacích předmětech a v reálném životě Kompetence komunikativní přesné vyjadřování myšlenek pomocí matematického jazyka rozvíjení komunikace při řešení problému schopnost argumentace a diskuse při obhajování svých názorů Kompetence k řešení problémů provádění rozborů úloh vytváření plánu řešení odhad výsledku řešení ověřování způsobu a postupu řešení rozvíjení samostatného uvažování vyvozování logických závěrů Kompetence sociální a personální zodpovědnost za řešení problému Člověk a svět práce práce s informacemi vyhledávání a hodnocení dosažených výsledků skupinová diskuze při řešení problémů obhájení vlastního návrhu řešení Informační a komunikační technologie vyhledávání, zapisování a zakreslování výsledků úloh 6. třída ZŠ (4 hodiny) kružnice opsaná a vepsaná trojúhelníku
Nutné pomůcky a prostředky Použitá literatura a zdroje Poznámka 7. třída ZŠ (4 hodiny) konstrukce rovnoběžníku ((lichoběžníku) 8. třída ZŠ (3 hodiny) Thaletova věta 8. třída ZŠ (16 hodin) množiny bodů v rovině konstrukce trojúhelníků konstrukce čtyřúhelníků souhrnná cvičení 1. ročník SOŠ (6 hodin) konstrukční úlohy základních geometrických útvarů 2. ročník SOŠ (7 hodin) konstrukční úlohy: Pappovy a Apolloniovy úlohy Rýsovací potřeby a pomůcky, počítač s internetem nebo nainstalovaným softwarem, interaktivní tabule (vhodná počítačová učebna alespoň na část hodin) www.geogebra.org http://planimetrie.cz/text/apoll.html http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/dipl omky/stepan_kurka/priklady.htm http://geometrie.kma.zcu.cz/work/au/cvic/cvic.html Interaktivní konstrukce, které jsou součástí tohoto metodického listu, jsou vytvořeny v programu GeoGebra Úvodem Metodický list Konstrukční úlohy na SOŠ a ZŠ by měl posloužit jako návod či inspirace pro výuku kapitol, které se týkají konstrukčních úloh (např. jednoduchých úloh Apolloniových). Cílem metodického listu rozhodně je snaha souborně navrhnout, jak toto téma uchopit a předat žákům na základní škole v návaznosti poté na střední škole.
Pracovní list: Konstrukční úlohy na SOŠ a ZŠ Metodický list je možno využívat v počítačové učebně pro práci žáků ve skupinkách, nebo frontálně v učebně s interaktivní tabulí či dataprojektorem. K procvičení konstrukčních úloh poslouží přiložené odkazy na výukové programy a sada úkolů, na které by měli umět žáci najít odpověď. Žáci by si měli vyzkoušet řešit úlohy na papíře (s rýsovacími pomůckami, kde si procvičí jemnou motoriku a naučí se přesnosti, systematičnosti a logičnosti), i na počítači, se kterým se setkávají v běžném životě stále častěji. Konstrukční úlohy mají dát možnost vyniknout těm studentům, kteří nezažijí příliš úspěchů v algebře či jiných, pro ně složitých, oblastech matematiky. Především se žáky ze ZŠ je vhodné pracovat induktivní metodou, tzn. ponechat jim radost z objevovaných vlastností geometrických útvarů při řešení konkrétních úloh s využitím tužky, pravítka, kružítka a úhloměru a pozdějším či souběžným ověření matematickým softwarem. Tato metoda je jistě užitečná i pro žáky SŠ, ovšem v kombinaci s deduktivními metodami, které podporují logické a kombinační myšlení a vytváření souvislostí. Vrcholnou dovedností žáků by mělo být zobecnění nabytých vědomostí a dovedností a jejich aplikace na velkou většinu příkladů konstrukčních úloh. Interaktivní konstrukce, které jsou součástí tohoto metodického listu, jsou vytvořeny v programu GeoGebra. Tento program je open-source, což znamená, že je nejen poskytnuta na internetu plná verze, ale dokonce jsou k vidění zdrojové kódy, jež se dají v případě potřeby upravovat. Na internetu je v různých formách sada interaktivních cvičení a odborných prací obsahujících mnoho příkladů na konstrukční úlohy: http://planimetrie.cz/text/apoll.html http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/stepan_kurka/priklady.htm http://geometrie.kma.zcu.cz/work/au/cvic/cvic.html Metodický list má několik částí: 1. Základní pojmy 2. Thaletova kružnice 3. Konstrukce kružnice trojúhelníku opsané a vepsané 4. Apolloniovy úlohy 5. Další konstrukce - trojúhelník 6. Otázky, jak s příklady pracovat
1. Základní pojmy Bod je bezrozměrný geometrický útvar, pomocí kterého tvoříme další útvary, tzv. množiny bodů. Je základním pojmem v rámci kterékoli školské geometrie, ať už syntetické nebo analytické. V obou případech je zadán svojí polohou a nedá se rozdělit na menší části. Přímka - dvěma různými body prochází jediná přímka. Přímka je obecně chápána jako přímá spojnice dvou různých bodů, která je prodloužená do nekonečna, nemá počátek ani konec. Určuje se těmito dvěma body. Přímka je tedy přímá spojitá čára, množina tvořená nekonečně mnoha body. Přímku určenou body A a B značíme AB. Vzájemná poloha bodu a přímky Bod A leží na přímce p. A p Bod A neleží na přímce p. A p Vzájemná poloha dvou přímek Přímky jsou totožné (speciální případ rovnoběžnosti). Mají všechny body společné. p = q Přímky jsou rovnoběžné různé. Nemají společný bod. p q Přímky jsou různoběžné, mají jeden společný bod P. p q Přímky jsou mimoběžné (pouze v prostoru). Nemají společný bod a neleží v jedné rovině. p q
2. Thaletova kružnice Příklad 1 Sestrojte Thaletovu kružnici nad obecnou úsečkou AB a ověřte její vlastnost jakožto oblouku. Řešení Sestrojíme obecnou úsečku AB, k ní potom hledáme střed a poloměr dané Thaletovy kružnice. Rozbor: Thaletova kružnice nad úsečkou AB je množina bodů X v rovině takových, že AXB = 90. Je složena ze dvou shodných otevřených oblouků, jejichž střed je současně středem úsečky AB, která je i průměrem obou oblouků. Až na body A, B se jedná o kružnici. Popis konstrukce: 1. AB 2. S; S středem AB 3. k; k (S, AS ) 4. C; C k, A C B 5. ACB
3. Konstrukce kružnice trojúhelníku opsané a vepsané Příklad 2 Sestrojte kružnici opsanou obecnému trojúhelníku ABC. Řešení Sestrojíme obecný trojúhelník ABC, k němu potom hledáme střed a poloměr kružnice opsané. Rozbor: Střed kružnice opsané leží v průniku os stran. Všechny se protínají v jednom bodě, k jeho sestrojení stačí osy dvě. Popis konstrukce: 1. ABC 2. oc; oc osa strany c 3. oa; oa osa strany a 4. So; So oc oa 5. ko; ko(so; SoA )
Příklad 3 Sestrojte kružnici vepsanou obecnému trojúhelníku ABC. Řešení Sestrojíme obecný trojúhelník ABC, k němu potom hledáme střed a poloměr kružnice vepsané. Rozbor: Střed kružnice vepsané leží v průniku os úhlů. Všechny se protínají v jednom bodě, k jeho sestrojení stačí osy dvě. Poloměr potom získáme pomocí kolmého průmětu středu do jedné ze stran. Popis konstrukce: 1. ABC 2. oa; oa osa úhlu při vrcholu A 3. ob; ob osa úhlu při vrcholu B 4. Sv; Sv (oa ob) 5. Tc; Tc kolmý průmět bodu Sv do strany c 6. kv; kv(sv; SvTc )
4. Apolloniovy úlohy Zde jsou vyřešeny Apolloniovy úlohy, které lze řešit středoškolskými znalostmi nebo jejich rozšířením. Úlohy řešené pomocí množin bodů dané vlastnosti: ppp - dvě přímky jsou rovnoběžné a třetí je s nimi různoběžná ppk - varianta rovnoběžky Úlohy řešené pomocí posunutí: Bpp - varianta rovnoběžky Úlohy řešené pomocí stejnolehlosti: Bpp - varianta různoběžky ppk - varianta různoběžky BBp 5. Další konstrukce trojúhelník V těchto příkladech je pěkné, že si žáci můžou interaktivně zjistit počet řešení na závislosti měnících se údajů vstupních parametrů. Příklad 4 Sestrojte KLM, znáte-li délky jeho stran k, l, m. Příklad 5 Sestrojte ABC, znáte-li délky jeho stran a, c a velikost vnitřního úhlu α při vrcholu A. Příklad 6 Sestrojte ABC, znáte-li délku jeho strany c a velikosti vnitřních úhlů α, γ při vrcholech A, C. Příklad 7 Sestrojte DEF, znáte-li délku jeho strany f, velikost vnitřního úhlu δ při vrcholu D a délku výšky vd na stranu d.
Příklad 8 Sestrojte KLM, znáte-li délku jeho strany m, velikost vnitřního úhlu κ při vrcholu K a délku těžnice tk na stranu k. Příklad 9 Sestrojte ABC, znáte-li délku jeho strany c a délky těžnic tc a tb. Příklad 10 Sestrojte ABC, znáte-li délky strany c, výšky vc a těžnice tc. 6. Otázky pro inspiraci, jak s příklady pracovat: 1) Žáci dostanou napsaný zápis konstrukce a podle něj provedou příslušnou konstrukci. 2) Žáci dostanou zkonstruovanou úlohu a musí napsat zápis konstrukce. 3) Udělejte náčrtek a rozbor příslušné konstrukční úlohy. 4) Proveďte zápis konstrukce a konstrukci na papíře. 5) Výsledek ověřte s původní orientační představou. 6) Určete počet řešení na měnících se vstupních parametrech. 7) Správnost vaší práce zkontrolujte s využitím aplikace www.geogebra.org. Matematika je královská disciplína, která se dělí na část jednoduchou a část zajímavou