Logaritmické rovnice a nerovnice

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová

Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů uvedených v seznamu literatury. V Brně dne 9..008 Lenka Balounová

Na tomto místě bych ráda poděkovala všem, kteří mi s prací pomohli, zvláště pak mému vedoucímu bakalářské práce panu RNDr. Jiřímu Dulovi za jeho velmi cenné rady a připomínky.

Obsah Obsah Úvod Věty o aritmech 3 Logaritmické rovnice. s neznámou v aritmovaném výrazu. s neznámou v základu aritmu 7.3 s neznámou v exponentu 9. s parametrem 3 Logaritmické nerovnice 3. s neznámou v aritmovaném výrazu 3. s neznámou v základu aritmu 7 3.3 s neznámou v exponentu 0 3. s parametrem 3 3. s absolutní hodnotou 6 Procvičení 9. Logaritmické rovnice 9. Logaritmické nerovnice 3 Literatura 33

Úvod Tato sbírka Logaritmických rovnic a nerovnic je určena studentům posledních ročníků středních škol připravujícím se na maturitní a následné přijímací zkoušky na vysoké školy z matematiky. Sbírka obsahuje spíše složitější úlohy, které prohlubují učivo probrané v hodinách matematiky a hodí se především pro studenty matematických tříd. Publikace je rozdělena do čtyř kapitol. První kapitola je věnována stručnému opakování poznatků o počítání s aritmy, přičemž předpokládáme znalost základních vět a připomínáme pouze věty složitější, často využívané při řešení úloh dále uvedených. Další kapitola je věnována řešeným aritmickým rovnicím. Tento oddíl je členěn do pěti částí, rozdělených dle výskytu neznámé a rozšířený o aritmické rovnice s parametrem. Na konci každé podkapitoly jsou příklady k procvičení uvedeného typu příkladů s výsledky v hranatých závorkách bezprostředně za zadáním. Stejně tak je členěna další kapitola jen s tím rozdílem, že v hlavní roli zde vystupují aritmické nerovnice. Čtvrtá, poslední část, je věnována celkovému opakování, kde jsou namíchány všechny typy, aritmických rovnic v jedné a aritmických nerovnic ve druhé podkapitole, mezi sebou. Výsledek příkladu je opět uveden ihned pod jeho zadáním. Příklady v této sbírce jsou vybrány většinou z hvězdičkových (tj.složitých) úloh. Sbírka studenty s látkou neseznamuje, navazuje na již probranou problematiku aritmů a měla by sloužit k zopakování a rozšíření učiva.

Kapitola Věty o aritmech Pozn.: Věty o aritmech, uváděny v této kapitole, jsou bohatě využívány při řešení mnoha příkladů z této sbírky. Samozřejmě už dále v textu nejsou uváděny, ale je na ně poukazováno pomocí čísla, pod kterým je daná věta uvedena. Podmínka: Výraz a x je definován pro a 0 a a x 0.. Pro každé x, y R + a pro každé a R + - {} platí a x = a y x = y.. Pro každé y R, pro každé x R + a pro každé a R + - {} platí a a y = y x a a = x. 3. Pro každé x, y R + a a R + - {} platí a (x y) = a x + a y.. Pro každé x, y R + a a R + - {} platí a y x = a x a y.. Pro každé x R +, a R + - {} a n R platí a x n = n a x. 6. Pro každé c R + a pro každé a, b R + - {} platí b c = ac. a b 3

Kapitola Logaritmické rovnice Jak již bylo řečeno v úvodu, rovnice jsou rozděleny do několika skupin podle toho, kde se nachází neznámá. Pro většinu typů budou navíc vyřešeny rovnice dvě, jedna se stejnými základy a druhá se základy různými.. s neznámou v aritmovaném výrazu.. Řešte v R rovnici: (3 x ) (3 3 x ) = 0, + 8, Řešení: Užitím věty převedeme reálné číslo 0, na dekadický aritmus a pomocí pravidel pro počítání s aritmy převedeme mocniny a dostaneme x 3 3 x 3 = 0 + 8,. Dále pravou stranu upravíme a dostaneme x 3 3 x 3 = 8, 8 = 9 = 3 = 3. Díky tomuto rozepsání můžeme celou rovnici vydělit číslem 3 x 3 x =. Provedeme substituci, kde nahradíme kvadratickou rovnici x = y, musí být y 0 a dostaneme y 3y = 0, 3 ± 9 + 6 y, = y =, y = -, y nevyhovuje zadané podmínce. Vrátíme se do substituce, kam dosadíme výsledky kvadratické rovnice a dostaneme, že x = 0. Proto K = {0 }.

.. Řešte v R rovnici: x 3 + x - x ( + 3x) = x 3x + + x + 6 0 0 Řešení: Dle věty 6) upravíme aritmy na stejný základ, v tomto případě je vhodný volit základ např., při prozkoumání stávajících základů zjistíme, že všechny základy jsou mocninou čísla. Dostaneme x 3 + x 0 - x ( + 3x) = x + 3x + x + 6 0. Jmenovatele složených zlomků můžeme vypočítat a na levé straně vytknout x x 3 + x ( 0 - ( + 3x) ) = x + ( ) 3x + x 0 + 6, po úpravě dostaneme x 3 + x ( 0 + ( + 3x)) = x 3x x 6 + + +, 0 x 3x x 6 ( + + ) = x 3x + + x + 6. 0 0 Logaritmy převedeme na stejnou stranu a vytkneme (x 3x x 6 ) + + 0 = x. () Protože na obou stranách máme výraz (x předpokladu, že (x ) 0. Dostaneme ) můžeme rovnici zkrátit za 3x x 6 + + 0 =. Číslo převedeme na aritmus při základu a dále počítáme dle věty ) 3x x 6 + + 0 =, 3x + x + 6 =, 0 3x + x + 6 = 0,

3x + x = 0. Kvadratickou rovnici vyřešíme a dostaneme x = x = - 3 Musíme zkontrolovat, jestli výsledek splňuje udané podmínky v. Kapitole tj. např. ( + 3 (- )) > 0, ( + 3 ) > 0 a takto ověříme všechny podmínky. 3 Vidíme, že kořen x nevyhovuje. Řešením je tedy pouze x. Dále rovnice () má však také kořeny x 3 =, x = -, kdy (x ) = 0. Dosazením do původní rovnice zjistíme, že také x 3 = je kořenem. Proto K = {, }. Příklady k procvičení Řešte v R rovnici: a) 3x + 7x 3 = + 0 K = { } b) (x + 3) (x 3) = K = { 7 } c) ( 3 x) 3 x 3 + = 0 K = {3, 9} d) ( 9 - x) = 9 - x K = { 3, 3} 6

. s neznámou v základu aritmu.. Řešte v R rovnici: (x + 3) + 3x + 7 x + 3 (3x + 7) = Řešení: S pomocí věty 3) si převedeme aritmy na stejný vhodně zvolený základ, např. 3x+7 (x + 3) + 3x+ 7 (3x + 7) 3x + 7 (x + 3 ) 3x+ 7 = vidíme, že v čitateli zlomku vychází číslo (x + 3) + 3x + 7 (x 3 ) 3 x+ 7 + = protože základy i argumenty jsou u obou aritmů stejné, provedeme substituci a= (x + 3) a dostaneme 3x + 7 a + a = po roznásobení: a + = a. Tedy a =. Vrátíme se k substituci: 3x + 7 (x + 3) = dle definice aritmu x + 3 = (3x + 7), x =, x =. Překontrolujeme zda výsledek odpovídá podmínkám, x = souhlasí. Proto K = {}... Řešte v R rovnici: 6 x = 8x Řešení: Dle věty ) výraz na pravé straně rovnice upravíme a získáme tak rovnici 6 x = 6 6 8x. 7

Porovnáme exponenty x = 6 8x. Dále rovnici převedeme na stejný základ x = 8x, 6 jmenovatele vypočítáme x =, 8x x = 8x, x = 8x, argumenty porovnáme a dostaneme x = 8x, x (x 3 8) = 0. Z toho x = 0 a x = Ověříme podmínky z Kapitoly a zjistíme, že x není řešením rovnice, protože x musí být různé od nuly. Tedy K = {}. Příklady k procvičení Řešte v R rovnice: a) x 3 + 3x 3 + 3 9x 3 = 0 K = {, 3 } 3 b) x K = {, 8} 8 = 6 6 c) (x - ) = x + (x + ) x - K = {} d) x 0 = K = {7}

.3 s neznámou v exponentu.3. Řešte v R rovnici: x 3 + x = 00 x + x Řešení: Rovnici rozepíšeme dle věty ) 0 x (3 + x) = 0 x ( + x) 0 na pravé straně dáme exponenty dohromady, abychom je mohli v dalším kroku porovnat, 0 x (3 + x) = 0 + x ( + x), x (3 + x) = + x ( + x), po roznásobení, úpravě a následné substituci, kdy nahradíme x =y, dostaneme kvadratickou rovnici, kterou řešíme 3 x + x = + x + x, x + x - = 0, y + y = 0. Kořeny kvadratické rovnice y = y = - dosadíme do substituce, odkud x = 0 x = 00 ověříme, jestli má aritmus smysl pro oba výsledky, vidíme že má, proto řešením této rovnice je K = {, 0}. 00.3. Řešte v R rovnici: x 3 x - x + 3 x = 0 Řešení: Zlomek převedeme na pravou stranu a vyjádříme ho pomocí x x 3 x - x + 3 = x (-) 9

porovnáme exponenty 3 x - x + 3 = - dle pravidel pro počítání s aritmy upravíme x 3 a výraz x nahradíme v substituci reálným číslem a 3 x - x + = 0 -a + 3a + = 0 kvadratickou rovnici řešíme a dostáváme a = - a =, návratem do substituce x = a získáme výsledek x = x = 6, obě řešení splňují podmínky K = {, 6}. Řešte v R rovnice: a) x Příklady k procvičení x + 7 = 0 x + K = {0, 0 - } b) x 3 + x 0 x 6 = 0 K = {0, } 0 c) x x + = 9x K = {9, 3 } d) x = 0 0, x K = { 0000 } 0

. s paramatrem Uvádíme dva typy rovnic s parametrem. První typ jsou rovnice, kde máme neznámou x vyjádřit pomocí parametru a určit jakých hodnot může parametr nabývat, druhým typem jsou nepravé rovnice s parametrem, kde pomocí znalostí o aritmech počítáme neznámou, která se v aritmu jinak nevyskytuje... Řešte v R rovnici s parametrem a R + : ( x) a = + ( + x) ( + a ) Řešení: Musí platit: a > 0, ( x) > 0, ( + x) > 0. Poslední dvě podmínky ověříme v závěru řešení. Pak lze danou rovnici psát ve tvaru Odtud plyne x a (+ x) =. + a x (+ x) =, a + a ( x) ( + a ) = a ( + x). Po roznásobení převedeme všechny členy s neznámou x na jednu stranu a dostaneme rovnost Dostaneme x + a a x = a + ax, x ( + a + a ) = - a + a. (- a) x = (+ a). Ověříme podmínky: a) x > 0 (- a) - > 0 / ( + a) > 0 (+ a) ( + a) - ( - a) > 0 +a + a + a a > 0 a > 0 / a > 0.platí, proto platí i podmínka a).

b) + x > 0 (- a) + > 0 (+ a) je splněna ( na levé straně je součet). Proto je řešením pro každé a R + (- a) K a = { (+ a) }... Určete číslo m, je-li m = 9-7 Řešení: Levou stranu převedeme na mocninu 9 9 9 m = 9-7. Porovnáme exponenty a převedeme jedničku na pravé straně na aritmus 9 m = 7 7 7, základ aritmu levé strany změníme. Pak 7 7 m 9 = 7 7. Víme, že 7 9 =, tímto číslem násobíme obě strany rovnice 7 m = 7 7 m = 7 ( 7, 7 ). Porovnáme argumenty aritmů a dostáváme po úpravě m = 9.

Příklady k procvičení Řešte v R rovnice s parametrem a R + : a) a x (a + ) x + a = 0 K = {0 a, a 0 } x b) x a = a K = {a} 3 a x Upravte: c) m = ( 3 ) + ( 9 ) m = 0 d) m = m = - 3 3 + 9-8 3 3

Kapitola 3 Logaritmické nerovnice Třetí kapitola pojednávající o aritmických nerovnicích je řešena podobně jako kapitola předchozí. Části jsou znovu děleny podle toho, kde se nachází neznámá x. Tento oddíl je navíc rozšířen o úlohy s parametrem a a o úlohy s různým umístěním absolutní hodnoty. Než začneme aritmické nerovnice řešit, musíme pomocí podmínky z Kapitoly nalézt intervaly, pro které má neznámá x smysl. Navíc je důležité si připomenout pravidlo: Pro a x > a y, kde 0 < a < platí x < y. 3. s neznámou v aritmovaném výrazu 3.. Řešte v R nerovnice: л (x + 7) л (6 x) < л x Řešení: Nejprve si stanovíme, pro jaká x má daná nerovnice smysl. Položme x + 7 > 0 6 x > 0 x > 0, z toho musí být x (0, 8). Nyní řešíme upravenou nerovnici л x + 7 6 - x < л x, porovnáme argumenty, protože л > x + 7 6 - x < x. Vynásobíme obě strany nerovnice výrazem (6 - x). Dostaneme x + 7 < 6 + x, x x + 7 < 0.

Kvadratickou nerovnici vyřešíme, kořeny jsou x = 3, x = 9, tj. výsledkem je interval (3, 9 ). Porovnáme výsledný interval s intervalem v podmínce. Na závěr K = (3, 9 ). 3.. Řešte v R nerovnici:, (x + x ) (x - 3x -0) > ( ) 3 Řešení: Stanovíme podmínky x 3x 0 > 0 x + x + > 0, řešíme kvadratické nerovnice. Dostáváme, že neznámá x má řešení na množině (, -) (, ). Nyní řešíme aritmickou nerovnici. Uvědomíme si, že, = 9, což je ( 3 ) -. Z toho (x + x ) ( ) - (x - 3x -0) > ( ) 3 3. Porovnáme mocnitele - (x 3x 0) > (x + ). Převedeme základ pravé strany nerovnice - (x (x + ) 3x 0) >. Jmenovatel zlomku na pravé straně je roven (-), dostaneme - (x 3x 0) > - (x + ). Porovnáme argumenty x 3x 0 > x +, x x > 0.

Vyřešíme kvadratickou nerovnici, dostaneme (-, -) (6, ). Tento interval porovnáme s počátečními podmínkami, tj. K = (-, -) (6, ). Příklady k procvičení Řešte v R nerovnice: a) + 9 x 3 x > (x + 3) K = (0, ) 3 b) 0, (x + 7) 0, (x ) - K = (, 9, ) pozn. Základ je menší než, musíme obrátit znaménka nerovnosti. c) 0, (x ) 0, (x ) 0 K = (,, ) (x - x 8) d) ( ) 0, +, K =, 6

3. s neznámou v základu aritmu 3.. Řešte v R nerovnici: x (x 3 + ) x + x > Řešení: Stanovíme interval, na kterém mají aritmy smysl. Řešíme nerovnici x + > 0 x > 0, x tj. x (0, ) (, ). x (x 3 + ) x + x >. Nerovnici si přepíšeme do staženého tvaru, kdy první z aritmů si napíšeme jako mocnitel aritmovaného výrazu x + x 3 x (x + ) >. Podle věty ) upravíme výraz x x + (x 3 + ) >. 3 x (x + ) a dostaneme Pravou stranu přepíšeme na aritmus x + (x 3 + ) > x + (x + ), porovnáme argumenty (x 3 + ) > (x + ), x 3 - x x > 0, x ( x x ) > 0 /:x (x > 0). Kořeny této kvadratické rovnice jsou x = 0, x = -, x 3 =, tj. x (-, -) (, ). Tento interval porovnáme s intervalem z podmínky a dostaneme K = (, ). 3.. Řešte v R nerovnici: x + ( x - x - 3 ) < 0 Řešení: Nalezneme interval, pro který má nerovnice smysl. Tj. musí platit pro základ: 7

x - () x + > x - 3 0 x 3 0, tj. x (- 3, 3 ) ( 3, ) (, ), x - () 0 < x + < x - 3 tj. x (-, - 3 ), 0 x - 3 0, zlomek nám stačí uvažovat pouze různý od nuly, protože každé číslo (tedy kromě nuly) na druhou mocninu je kladné. Řešíme nerovnici x + ( x - x - 3 ) < x +, porovnáme argumenty pro () x - ( ) <, x - 3 x 0x + < x x + 9, 3x x 6 > 0. Kvadratickou nerovnici vyřešíme, dostaneme kořeny x = -, x = 3 8, tj. K = ( 3 8, ) (, ). Porovnáme argumenty pro () x - ( ) >, x - 3 x 0x + > x x + 9, 3x x 6 < 0. Vyřešíme, kořeny se oproti předchozí nerovnici neliší, dostaneme druhý výsledek Dohromady K = (-, - 3 ). K = (-, - 3 ) ( 3 8, ) (, ). 8

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnice: a) x - (x 3) > x - ( 6x) K = ( 8 7, ) (, ) b) 3x + x > K = (, ) c) x (x + ) > K = (, ) x + 3 d) x ( ) > x - K = (, 3) ( x) x 9

3.3 s neznámou v exponentu 3.3. Rěšte v R nerovnici: 3 x - Řešení: Hledáme intervaly, na kterých je nerovnice řešitelná, tj. x - > 0 (x - ) > 0 Nerovnic vyřešíme, dostaneme x >, tedy po rozšíření x > 3 3 x <, tedy x <. 3 3 Nerovnici tedy řešíme na intervalu K =, -,. Nejprve nerovnici upravíme, a 3 x - 0. Porovnáme mocniny 3 x - 0. Pravou stranu zaritmujeme podle základu 3 3 x - 3, x -. Znovu pravou stranu zaritmujeme, tentokrát podle základu x -, při odaritmování musíme znovu otočit znaménko nerovnost 0

x -, x, x. Výsledek nerovnice tedy je K =, -,. 3.3. Řešte v R nerovnici: 3 ( x + ) + 3 >,. ( x + ) Řešení: Stanovíme podmínky x + > 0 x +. Tato podmínka platí vždy, tj. x R. Počítáme nerovnici, nejprve sjednotíme základy 3 ( x + ) + ( x 3 + ) >. Provedeme substituci y = 3 ( x + ) a dostaneme y + y >, y + y - > 0, y + - y y > 0. Vypočítáme kořeny ve jmenovateli a porovnáme znaménka s čitatelem a získáme interval y (0, ) (, ). Nyní se vrátíme do substituce 3 ( x + ) (0, ) (, ),

nerovnici tedy řešíme nadvakrát 0 < 3 ( x + ) <, < 3 ( x + ), 3 < 3 ( x + ) < 3 3, 3 3 < 3 ( x + ), < ( x + ) < 3, 9 < ( x + ), 0 < x < ( 3 - ), 8 < x. První případ vidíme, že platí pro x na intervalu (-, ( převedeme na mocniny dvou 3 - )), druhý případ 3 < x, 3 < x, x > 3, získáme interval ( 3, ). Výsledek je K = (-, ( 3 - )) ( 3, ). Příklady k procvičení Řešte v R nerovnice: a) (3 x 3 x + ) < 0 K = (-, 0) (, ) 3 b) x + x x 30 K =, c) ( x + 3 -x ) x (x + 6) > K = (3, ) d) x x > K = (0, ) (, )

3. s parametrem 3.. Řešte v R nerovnici s parametrem : a x > 6 x (a ), kde a (0, ). Řešení: Nejprve stanovíme, na jakých intervalech má aritmická nerovnice smysl Řešíme nerovnici ) 0 < x < x > 0 tj. x (0, ), ) x > x > 0 tj. x (, ). a x > 6 x a. Logaritmy převedeme na stejné základy a x > 6 a a a x -. Výraz převedeme na jednu stranu do zlomku a x 6 a a x - 6 + x Provedeme substituci y = a x a x a x + > 0, > 0. y + y - 6 y > 0. Vyřešíme kvadratickou nerovnici, výsledný interval pro čitatele porovnáme s jmenovatelem. Dostaneme y (-3, 0) (, ). Počítáme -3 < a x < 0, < a x, a a -3 < a x < a, a a < a x. Při odaritmování nesmíme zapomenout na podmínku, že a (0, ). a -3 > x >, x < a. Z toho a počátečních podmínek 3

K = (0, a ) (, a -3 ). 3.. Pro které hodnoty reálného parametru a má rovnice x x a = 0 s neznámou x alespoň jeden reálný kořen. Řešení: Nejprve stanovme interval, na kterém má a smysl a (0, ). Kořeny kvadratické rovnice vypočteme vzorcem x, = - b ± což v našem případě je b a - ac, x, = ± 6 + a. Aby alespoň jeden kořen kvadratické rovnice byl reálný, musí být D 0, tím dostáváme nerovnici Vyřešíme 6 + a 0. a -6, a -, a 6. Rovnice x x a = 0 má alespoň jeden reálný kořen právě tehdy, když a, ). 6

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnice s parametrem: a) >, kde a > a x K = (, a) b) Určete hodnotu kladného parametru k tak, aby kx rovnice = s neznámou x měla právě (x + ) jeden reálný kořen. k = [pozn. D = 0]

3. s absolutní hodnotou Logaritmické rovnice s absolutní hodnotou počítáme, jak jsme zvyklí. Nejprve si určíme na jakém intervalu je výraz v absolutní hodnotě menší a na jakém větší než nula. Na těchto intervalech pak řešíme aritmickou nerovnici s příslušnými znaménky stejným způsobem jako v předchozích podkapitolách, tj. stanovíme si interval, na kterém je nerovnice řešitelná, a vyřešíme ji. Výsledné intervaly pak sjednotíme. 3.. Řešte v R nerovnice: x + 8 < 3. Řešení: Rozdělíme R na intervaly, tj. počítáme () x + 8 < 0 () x + 8 > 0, řešíme () x + < 0 () x + 0, dostaneme dva intervaly () x (6, ) () x (-, 6. Nyní řešíme zadanou aritmickou nerovnici se znaménky příslušnými danému intervalu () - x < 3 () x + < 3. Obě strany obou rovnic roznásobíme číslem () - x - < 6 () x + < 6, upravíme a pravou stranu rovnic zaritmujeme () - () - x < 0 () x <, x < -0 () x <. 6

Obě strany nerovnic odaritmujeme, protože základ aritmu je menší než jedna, musíme zaměnit znaménka nerovnosti () x (-) > (-0) () x >. ( 0 = 0) x < 0 Dostáváme intervaly K = (6, 0) K = (,6. Výsledek je K = (, 0). 3.. Řešte v R nerovnici: x x - > 0. Řešení: Nejprve si určíme intervaly, na kterých je výraz v absolutní hodnotě menší a větší než nula dostaneme intervaly () x < 0 () x 0, () x (-, ) () x (-, -, ). Na těchto intervalech řešíme nerovnice s příslušnými znaménky. Musíme si uvědomit, že neznámá x se vyskytuje i v základu. Proto musíme na základě této skutečnosti pozměnit intervaly, na kterých budeme nerovnice řešit a sice pro x musí platit 0 < x < nebo x >, dostaneme tedy intervaly () x (0, ) () x (, ). Nyní můžeme řešit nerovnice () x ( x + ) > 0 () x (x ) > 0. Číslo 0 na pravé straně nerovnic nahradíme výrazem x 7

() x ( x + ) > x () x (x - ) > x, obě nerovnice odaritmujeme. V nerovnici () musíme obrátit znaménko nerovnosti, protože x (0, ) () -x + < () x - >, () -x < 0 () x >, () x > (protože x ). Nerovnice () platí vždy, proto výsledné intervaly jsou Dohromady K = (0, ) K = (, ). K = (0, ) (, ). Příklady k procvičení Řešte v R nerovnice: a) x + 3 > K = 0 0, ( 0, ) 0 x - b) < 0 x + K = (-, -) (0, ) (, ) c) x + - x K = 0 0, 0 [pozn. Řešíme již na třech intervalech, neznámá x musí dle podmínky z Kapitoly větší než nula] d) 3 K = x + 3 9 3 -, 3, - 8

Kapitola Procvičení. Řešte v R aritmické rovnice ) (x 3 + 7) - (x + 6x + 9) = 3 3 7 K = {, } ) - x x - 3, = x K = { } 8 3) 3 (x ) = ) x K = {} + + 3 ( x) = K = { 3 } ( x ) + 6 x ) x (3 x + ) = x 6) 8 K = { x = ± } x - x = 0 x - 3 K = {, 6} 7) ( x ) K = {0 } 3 x = 8) x + x =, K = {, } 9

9) x x x = K = { } 0) x x - x - + (x + ) K = {,, } 8 (x + ) = 3 x ) x a = a x K = {a -, a } ) ( 9 - x) = 9 - x K = { 3, 3} 3) m = 36 6 + 0 K = {} - - 3 9 36 ) x x = 0 3 x K = {0 -, 0 3 } 30

. Řešte v R aritmické nerovnice ) x x > K = (0, ) (, ) ) x - ( - x) > x - (+ x) K = (-, 0) ( 3, ) 3) (x + 3) (x + 3) 6 7 K = (-3, ) (, ) ) (6 x + 36 x ) - K = (-, 0) 6, ) ) x x x > - K = (, ) (, ) 6) x + 6 (x x ) K = (-, -7) (-, -, ) x - 7) x (9-3 ) - 3 3 K = 3 0,9, ) 8) 3 - x > - x K = (-, ) (, ) 9) x x + 0,3 > 0 K = (, ) x 0) x - x + 6x < 7 K =(, ) (, ) 3

) x 0,3 x - < 0 - x K = (-, 0) (, ) (, 3) (, ) ) x (x + ) > ( x) x + K = (, ) (8 - x) 3) (8 x) K =, 8) 3x - ) (x 3) (x + ) + (x 3) < - K = (3, 7) 3 3

Literatura [] V. N. Litviněnko, A.G. Mordkovič: Praktikum po rešeniju matematičeskich zadač, Prosveščenie, Moskva, 98 [] P. Benda, B. Daňková, J. Skála: Sbírka maturitních příkladů z matematiky, SPN, Praha, 968 [3] J. Petáková: Matematika - Příprava k maturitě a k přímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, Praha, 006 [] I. Bušek: Řešené maturitní úlohy z matematiky, Prométheus, Praha, 999 [] O. Odvárko: Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia Funkce, Prométheus, Praha, 006 [6] H. J. Bártech: Matematické vzorce, SNTL Nakladatelství technické literatury, Praha, 987 [7] J. Herman, R. Kučera, J. Šimša: Seminář ze středoškolské matematiky, Katedra matematiky Přírodovědecké fakulty, Brno, 00 [8] P. Boucník, J. Herman, P. Krupka, J. Šimša: Odmaturuj z matematiky 3- sbírka řešených příkladů, Didaktik, Brno, 00 [9] J. Kubát : Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k piíjímacím zkouškám na VŠ, Victoria Publishing, Praha, 993 33