ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

Transkript

1 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108

2 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární rovnice v různých úpravách. V této lekci si řekneme, co znamená pojem kvadratická rovnice a jak ji početně řešit. Kvadratická rovnice musí obsahovat tzv. kvadratický člen, tedy člen, který obsahuje neznámou v druhé mocnině. Běžně se kvadratická rovnice definuje takto: Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se nazývá kvadratická pro všechna a, b, c R, kde a 0 (kdyby a = 0, byla by rovnice lineární). ax 2 se nazývá kvadratický člen, bx je lineární člen a c, resp. cx 0 je absolutní člen.

3 KVADRATICKÁ ROVNICE BEZ ABSOLUTNÍHO ČLENU Řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu (tedy c = 0) patří k těm nejjednodušším, jak sami poznáte. V rámci řešení je nutné kvadratický výraz pouze upravit na součin pomocí vytýkání, čímž získáme dva lineární výrazy. Tento příklad už jsme řešili v rámci lineárních rovnic. Obecně: ax 2 + bx = 0 x ax + b = 0 Kořeny rovnice tedy jsou K = 0; b a.

4 3x 2 27x = 0 3x x 9 = 0 x = 0 x 9 = 0 x = 9 K = 0; 9 4 x 5 2 = x x 2 10x + 25 = x x x 2 40x = x x x 2 60x = 0 3x x 20 = 0 x = 0 x = 20 K = 0; 20 Urči kořeny dané rovnice a jejich správnost ověř zkouškou. Vytkneme nejvyšší dělitel obou koeficientů a neznámou. Získáme součin dvou lineárních členů, které se rovnají nule. Stačí tedy, aby se jeden z nich rovnal nule. Získáme tak dvě lineární rovnice, jejichž řešení by nemělo způsobovat obtíže. Určíme množinu kořenů rovnice. Zkouška je pro řešitele snadným cvičením. Obdobně řešte druhý příklad.

5 KVADRATICKÁ ROVNICE BEZ LINEÁRNÍHO ČLENU, TZV. RYZE KVADRATICKÁ ROVNICE O něco obtížnější postup než u předchozích příkladů se může zdát řešení ryze kvadratických rovnic (bez lineárního členu, tedy b = 0). Existují dva způsoby, kterými lze takovýto druh rovnice řešit: pomocí rozkladu na součin dle vzorce A 2 B 2 = (A B) (A + B) pomocí důsledkové úpravy odmocněním obou stran rovnice Představíme si oba způsoby na následujících příkladech.

6 x 2 7 = 0 x 7 x + 7 = 0 x 2 = 7/ x = 7 x = 7 x = 7 K = 7; 7 x = 7 x = 7 K = 7; 7 Zk. L = = 7 7 = 0 P = 0 L = P Zk. L = = 7 7 = 0 P = 0 L = P x = 0 x 2 = 16 K = Řešte danou rovnici a zkouškou věřte její kořeny. Prvním způsobem řešení je rozklad na součin pomocí vzorce. Získáme tak lineární členy, které můžeme položit rovny nule a vyřešit dané rovnice. Určíme množinu kořenů rovnice. Druhý způsob využije důsledkové úpravy rovnice odmocněním. Získáme tak rovnici s absolutní hodnotou, jejíž řešení je snadné. Určíme množinu kořenů dané rovnice. Vzhledem k využití důsledkové úpravy rovnice je nutné provést zkoušku. Druhá rovnice evidentně nemá žádný reálný kořen. Kvadratický výraz nelze rozložit na součin a druhá mocnina neznámé nemůže nabývat záporných hodnot.

7 OBECNÁ KVADRATICKÁ ROVNICE Pojem obecná kvadratická rovnice vystihuje situaci, kdy je v rovnici zastoupen kvadratický, lineární i absolutní člen (tedy a, b, c 0). Vhodné je také zavést další pojem, kterým je normovaná kvadratická rovnice. Tento typ rovnice je specifický tím, že koeficient kvadratického členu je roven jedné (tedy a = 1). Kýženého tvaru dosáhneme tak, že koeficientem a vydělíme celou kvadratickou rovnici: ax 2 + bx + c = 0/: a x 2 + b a x + c a = 0

8 Obecné kvadratické rovnice lze početně řešit třemi způsoby (doplnění na čtverec, diskriminant, Viètovy vzorce poslední dva způsoby lze uplatnit i při řešení předchozích typů rovnic). V této lekci si představíme tzv. doplnění na čtverec, které spočívá v doplnění na druhou mocninu lineárního dvojčlenu. Principem je přičíst k oběma stranám rovnice takové číslo, aby vznikl kvadratický dvojčlen typu A + B 2 nebo A B 2.

9 x 2 6x + 8 = 0 x 2 6x + 9 = x 3 2 x 2 6x + 8 = 0/+1 x 2 6x + 9 = 1 x 3 2 = 1 (x 3) 2 1 = 0 x 3 1 x = 0 x 4 x 2 = 0 x = 4 x = 2 K = 2; 4 x 3 2 = 1/ x 3 = 1 x 3 x 3 = 1 x < 3 x + 3 = 1 x = 4 x = 2 K = 2; 4 Určete kořeny rovnice a ověřte je zkouškou. Nejprve si je třeba uvědomit, jak doplnit absolutní člen, aby vznikl vzorec pro druhou mocninu lineárního členu. Vidíme, že je třeba získat číslo devět, tedy přičteme k oběma stranám rovnice jedničku. Po úpravě pomocí vzorce získáme kýžený tvar rovnice. V tomto bodě se postupuje obdobně jako u ryze kvadratické rovnice s tím rozdílem, že místo druhé mocniny neznámé pracujeme s druhou mocninou lineárního členu. První způsob řešení je založen na rozkladu na součin lineárních členů pomocí vzorce A 2 B 2. Druhé řešení je založeno na důsledkové úpravě rovnice odmocněním, čímž získáme rovnici s absolutní hodnotou. V tomto případě je nutné provést zkoušku, která je vhodným cvičením pro řešitele.

10 4x x + 3 = 30 4x x + 25 = 2x x x + 3 = 30/+22 4x x + 25 = 8 (2x + 5) 2 = 8 (2x + 5) 2 +8 = 0 K = (2x + 5) 2 = 8/ K = Nalezněte všechny kořeny dané rovnice a ověřte jejich platnost zkouškou. Nejprve zjistíme, jaký tvar by měl mít kvadratický mnohočlen, aby jej bylo možné převést na druhou mocninu lineárního tvaru. Podle toho přičteme k oběma stranám rovnice číslo 22. Upravíme levou stranu rovnice. Při využití prvního i druhého způsobu řešení je patrné, že rovnice nemá žádný reálný kořen.

11 ÚKOL ZÁVĚREM 1) Řešte rovnice a proveďte zkoušku: a) x 7 2 = 3x 5 x b) 2x 5 x + 8 = (x + 6) (x + 5) c) 5 x 9 2 = 4 x ) Mějme přirozené číslo, jehož druhá mocnina se rovná číslu 256. Od tohoto čísla jsme jednou odečetli a jednou k němu přičetli neznámé číslo. Součin těchto čísel se rovná čtvrtině mocniny původního čísla. Urči získané činitele.

12 ZDROJE Literatura: CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN