6 Planimetrie Opravdvým matematikem může ýt puze ten, kd se matematiku zajímá zela nezištně (Euklides) 61 Úhel V kapitle 14 jsme zpakvali některé základní mnžiny dů gemetriké útvary: d, přímka rvina, plpřímka, plrvina, úhel a jeh velikst, trjúhelník, kružnie a kruhvý luk V kapitle 57 jsme tyt pznatky dplnili lukvu míru úhlů Výsledky těht předěžnýh úvah využijeme nyní k sustavnějšímu zpakvání gemetrikýh pznatků V tét kapitle se udeme zaývat gemetrií v rvině planimetrií, v kapitle následujíí pak gemetrií v prstru steremetrií Zpakujme, že úhlem rzumíme uď průnik dvu plrvin s různěžnými hraničními přímkami (knvexní úhel) ne jejih sjednení (neknvexní úhel) Dále udeme ptřevat následujíí pjmy: Vrhlvé úhly: Dvě různěžky p, q se splečným dem V rzdělí rvinu na čtyři úhly dvě dvjie úhlů jejihž ramena jsu pačné plpřímky Takvé úhly nazýváme úhly vrhlvé Vrhlvé úhly jsu shdné Úhly suhlasné a střídavé: Mějme tři přímky: p q ; m p Suhlasnými úhly rzumíme úhly ležíí v téže plrvině s hraniční přímku m, přičemž a jsu zárveň stré ne tupé Střídavými úhly rzumíme úhly ležíí v pačnýh plrvináh s hraniční přímku m, přičemž jsu a zárveň stré ne a zárveň tupé Suhlasné úhly jsu shdné Střídavé úhly jsu shdné Suhlasné a střídavé úhly lze definvat eně i mezi přímkami, které rvněžné nejsu Definie je frmálně pněkud slžitější, prt ji jen naznačíme: suhlasnými úhly rzumíme úhly, které leží na stejné straně přímky m (tj sučasně vlev ne sučasně vprav) a na stejnýh stranáh přímek p, q (tj sučasně nahře ne dle) Přímky p, q pak nemusí ýt rvněžné a suhlasné úhly nemusí ýt shdné (pdně pr úhly střídavé) Výše uvedené věty yhm pak mhli frmulvat ve tvaru implikae, např:: Jestliže jsu přímky p, q rvněžné, pak suhlasné (střídavé) úhly jsu shdné Pr takt definvané suhlasné a střídavé úhly platí i věta ráená: Jestliže jsu suhlasné (střídavé) úhly shdné, pak jsu přímky p, q rvněžné Větu tedy můžeme vyslvit ve tvaru ekvivalene: Suhlasné (střídavé) úhly jsu shdné právě tehdy, kyž jsu přímky p, q rvněžné 119
Trjúhelníkem ABC (značíme ABC 6 Trjúhelník ) rzumíme průnik plrvin ABC = ABC ACB CBA, a) jak značení přímky, na které leží dva vrhly, ) jak značení strany trjúhelníka (tj značení úsečky), ) jak velikst příslušné strany Knkrétní význam ývá vždy zřejmý ze suvislstí kde A; BC ; jsu navzájem různé dy, které neleží na jedné příme Nazýváme je vrhly trjúhelníka Spjnie vrhlů nazýváme strany trjúhelníka a značíme malými písmeny ( AB = ; BC = a; AC = ) Malá písmena lze tak hápat v pdstatě trjím způsem: Sjednení stran trjúhelníka nazýváme vdem trjúhelníka Knvexní úhly α = BAC ; β = ABC ; γ = ACB jsu vnitřní úhly trjúhelníka, úhly k nim dplňkvé jsu pak vnější úhly trjúhelníka Sučet vnitřníh úhlů trjúhelníka: V ABC veďme např vrhlem C rvněžku se stranu a značme α '; β ' úhly dle připjenéh rázku Je α' + β' + γ = 18 Prtže však α ' = α ; β ' = β (střídavé úhly), je tj,: + + = 18 α β γ Sučet vnějšíh úhlů trjúhelníka: V ABC značme α '; β'; γ ' vnější úhly Je tedy α ' = 18 α ; β ' = 18 β ; γ ' = 18 γ, ' + ' + ' = (18 ) + (18 ) + (18 ) α β γ α β γ α' + β' + γ ' = 54 ( α + β + γ) α' + β' + γ ' = 54 18 α β γ ' + ' + ' = 36 Trjúhelníky dělíme: pdle délek stran na pdle veliksti vnitřníh úhlů na - různstranné - rvnramenné - rvnstranné, - tupúhlé - pravúhlé - strúhlé Trjúhelníkvá nervnst: Sučet délek livlnýh dvu stran trjúhelníka je vždy větší než délka třetí strany Rzdíl délek livlnýh dvu stran trjúhelníka je vždy menší než délka třetí strany Prti větší straně trjúhelníka leží větší vnitřní úhel 1
Prti menší straně trjúhelníka leží menší vnitřní úhel Prti shdným stranám trjúhelníka leží shdné vnitřní úhly Shdnst trjúhelníků: Trjúhelníky stejně jak jiné útvary jsu shdné právě tehdy, lze-li jeden na druhý přemístit tak, že splynu V případě trjúhelníků t znamená, že musí mít shdné všehny strany a všehny úhly Zapisujeme ABC A' B ' C ' Vrhly trjúhelníka v tmt zápisu je třea hápat jak uspřádané trjie Tent zápis ttiž znamená, že shdné jsu právě strany AB A' B ' ; AC A' C '; BC B' C' a úhly α = α ' ; β = β ' ; γ = γ ' Při zjišťvání shdnsti trjúhelníků však není nutné dkazvat shdnst všeh tří stran a zárveň všeh tří úhlů Stačí dkázat, že je splněna některá z pstačujííh pdmínek shdnsti trjúhelníků Ty jsu frmulvány v tzv větáh shdnsti trjúhelníků: Dva trjúhelníky jsu shdné právě tehdy, když se shdují: věta sss: ve všeh třeh stranáh; věta sus: ve dvu stranáh a v úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: ve dvu stranáh a v úhlu prti větší z nih; věta usu: v jedné straně a úhleh k ní přilehlýh Pdnst trjúhelníků: Dva trjúhelníky ABC ; A' BC ' ' se nazývají pdné (značíme ABC A' B ' C ') právě tehdy, když existuje kladné reálné čísl k (kefiient pdnsti) takvé, že AB = k A' B ' ; AC = k A' C ' ; BC = k B' C' Stejně jak v zápisu shdnsti i v zápisu pdnsti je třea hápat vrhly jak uspřádané trjie Zápis nás tedy infrmuje nejen pdnsti samtné, ale rvněž tm, které vrhly, strany a úhly si v tét pdnsti dpvídají Ani pdnst trjúhelníků nemusíme věřvat vždy přím z definie, i zde existují věty pdnsti analgiké větám shdnsti: Dva trjúhelníky jsu pdné právě tehdy, když: věta uu: se shdují ve dvu úhleh; věta sus: se shdují v pměru dvu stran a úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: se shdují v pměru dvu stran a úhlu prti větší z nih Příčky v trjúhelníku jsu spjnie významnýh dů Jejih názvy se pužívají pět v pdstatě ve třeh význameh: a) jak značení přímky, na které leží dva významné dy; ) jak značení úsečky, kde významné dy jsu zárveň dy krajními; ) jak velikst úsečky z du ) Většinu se hápu ve významu ), případný jiný význam je většinu patrný z kntextu (např trjúhelník má výšku 5 m ) Střední příčka - spjnie středů dvu stran Trjúhelníky ABC a SBSAC se shdují v pměru velikstí dvu stran AC = SBC ; BC = SAC a úhlu jimi sevřeném (úhel γ mají splečný) Pdle věty sus jsu tedy pdné Znamená t, že i AB = SSa, a BAC SaSC Tyt úhly jsu však 11
suhlasné úhly mezi úsečkami AB ; SS a Tyt úsečky musí ýt tedy rvněžné (viz pslední větu předhzí kapitly) Ttéž platí i pr zývajíí příčky: Každá střední příčka je rvněžná se stranu, kteru neprhází, a má plviční délku Výška - klmie spuštěná z vrhlu na prtější stranu Všehny výšky se prtínají v jednm dě (tzv rtentrum) V případě tupúhléh trjúhelníka se tent d nahází mim trjúhelník ACPa BCP (věta uu a pravúhlé, ACB splečný) Tedy: 1 a a v a va 1 1 = = = a: = : v 1 va va va v v 1 1 Pdně : = : v v Shrnut: 1 1 1 a: : = : : v v v a Těžnie - spjnie vrhlu a středu prtější strany Všehny těžnie se prtínají v jednm dě (tzv těžiště) ATC SaTS (věta uu - SS a AC) AC = SSa AT = TSa (analgiky na zývajííh těžniíh) Težiště dělí každu těžnii v pměru :1 63 Kružnie a kruh Kružnie: je mnžina dů v rvině, které mají d danéh pevnéh du (středu) stejnu vzdálenst (tzv plměr kružnie) Plměrem kružnie nazýváme zárveň každu úsečku s jedním krajním dem ve středu kružnie a druhým na kružnii Kružnii značíme nejčastěji k (v případě ptřey dlišujeme indexem) Kružnii nejčastěji zadáváme jejím středem a plměrem Je-li kružnie k určena středem S a plměrem r, zapisujeme k ( S, r) Kruhvý luk: Dva dy kružnie A k; B k rzdělí tut kružnii na dva kruhvé luky (kruhvý luk značíme AB ) Tětiva kružnie k ( S, r) je livlná úsečka AB, kde AB, k Prhází-li středem kružnie, nazýváme ji průměrem kružnie Průměr je tedy nejdelší tětiva kužnie Pdně 1
jak u plměru pužíváme i termín průměr také ve smyslu velikst nejdelší tětivy Značíme d a platí d = r Kružnie a přímka: mají a) dva splečné dy (takvu přímku nazýváme sečnu), ) jeden splečný d (přímku nazýváme tečnu, splečný d je d dtyku, říkáme také, že kružnie se dtýká přímky), ) žádný splečný d (hvříme vnější příme) Pata klmie vedené ze středu kružnie na sečnu AB je středem úsečky AB (tětivy) Tečna kružnie je klmá k plměru, který spjuje střed s dem dtyku Bdem M ležíím vně kružnie k prházejí právě dvě tečny tét kružnie Délka úsečky MT se nazývá délka tečny Úhel ω = ASB, jehž vrhlem je střed kružnie a ramena prházejí krajními dy luku AB, nazýváme středvý úhel příslušný tmut luku Každý úhel α = AVB, kde dy AV,, B leží na kružnii, nazýváme vdvým úhlem příslušným k luku AB, který v tmt úhlu leží Uvažujme případ, že S AVB (viz připjený rázek) Rzdělme středvý i vdvý úhel přímku spjujíí dy V, S, druhý průsečík s kružnií značme W Dále značme AVS = α 1 ; BVS = α ; ASW = ω1 ; BSW = ω Prtže VS = AS ( = r), je VAS = α1 Ze známéh sučtu úhlů v VAS máme ASV = 18 α 1 Úhel ASV je však také vedlejší k ω 1, je tedy ASV = 18 ω1 Znamená t, že ASV = 18 ω1 = 18 α1 ω1 = α1 Stejně lze ukázat, že ω = α Je tedy ω1 + ω = α1 + α ω1 + ω = ( α1 + α) Avšak ω1 + ω = ω; α1 + α = α, tj ω = α V případě, že S AVB je pstup analgiký a výsledek stejný Velikst středvéh úhlu je rvna dvjnásku veliksti úhlu vdvéh příslušnéh k témuž luku Všehny vdvé úhly příslušné k témuž luku jsu shdné Speiálním případem je: Thaletva věta: Ovdvý úhel příslušný k půlkružnii je pravý (neli všehny úhly nad průměrem kružnie jsu pravé) 13
Knvexní úhel ABX, kde dy AB leží na kružnii a X na tečně k tét kružnii v dě A (ppř B ) se nazývá úsekvý úhel příslušný k luku AB, který v tmt luku leží Úsekvý úhel je shdný se všemi vdvými úhly příslušnými k témuž luku Mnst du ke kružnii: Je dána kružnie k ( S, r) a livlný d M Tímt dem veďme sečnu (event tečnu) p ke kružnii k a značme A, B průsečíky tét přímky s kružnií, tj A, B k p (event pr tečnu je A B T ) Pr každu takt sestrjenu přímku prházejíí pevným dem M je MA MB = knst = MT Je-li d M vně kružnie k, nazýváme tent sučin mnstí du ke kružnii, je-li uvnitř kružnie, je mnstí čísl MA MB Mnst dů ležííh na kružnii, je rvna nule Kružnie a trjúhelník: Kružnie trjúhelníku psaná: je kružnie, která prhází všemi vrhly trjúhelníka Její střed leží v průsečíku s stran, plměr značíme vykle r Kružnie trjúhelníku vepsaná: je kružnie, která se dtýká všeh stran trjúhelníka Její střed leží v průsečíku s vnitřníh úhlů, její plměr značíme vykle ρ Kruh: je mnžina dů v rvině, které mají d danéh pevnéh du (středu) vzdálenst menší ne rvnu danému kladnému číslu (tzv plměr kruhu) Plměrem kruhu nazýváme zárveň každu úsečku s jedním krajním dem ve středu kružnie a druhým na kružnii 14
Kruh značíme nejčastěji K (v případě ptřey dlišujeme indexem) Kruh nejčastěji zadáváme jeh středem a plměrem Je-li kruh takt určen, zapisujeme K ( S, r) Mnžinu dů, jejihž vzdálenst je rvna plměru, nazýváme hranií kruhu (ppř hraniční kružnií), mnžina dů, jejihž vzdálenst je menší, tvří vnitřní last (vnitřek) kruhu, mnžina dů, jejihž vzdálenst je větší, tvří vnější last (vnějšek) kruhu Dva plměry SA, SB rzdělí kruh na dvě kruhvé výseče, tětiva AB na dvě kruhvé úseče Je-li AB průměr kruhu, nazýváme úseč půlkruhem Dvě kružnie: Dvě kružnie různýh plměreh mhu mít nejvýše dva splečné dy Mají-li dvě kružnie splečný střed, nazýváme je sustředné Sustředné kružnie uď nemají žádný splečný d ne mají všehny dy splečné (splynu) Dvě sustředné kružnie k 1 ( S; r 1 ); k ( S; r) ; r > r1 určují tzv mezikruží Je t mnžina dů, které mají d du S vzdálenst r r1; r Čísl r r1 nazýváme šířku mezikruží Průnik středvéh úhlu a mezikruží se nazývá výseč mezikruží Kružnie, které nemají splečný střed, se nazývají nesustředné Dvě nesustředné kružnie k1 ( S; r1) ; k ( S; r) ; r > r1 mhu mít právě jednu z plh znázrněnýh na připjeném rázku 15
64 n -úhelníky n -úhelníkem rzumíme mnžinu dů, kteru lze zapsat jak sjednení n trjúhelníků, z nihž vždy právě dva mají právě jednu splečnu stranu (tzv tvřiíh trjúhelníků) n -úhelník nazýváme knvexní právě tehdy, když platí: leží-li dy AB ; v mnhúhelníku, pak v mnhúhelníku leží elá úsečka AB Úhlpříčka je spjnie dvu vrhlů, které splu nesusedí Sučet vnitřníh úhlů je sučtem vnitřníh úhlů všeh tvřiíh trjúhelníků, tj ( n ) 18 Pravidelný n -úhelník je n -úhelník, který lze zapsat jak sjednení n rvnramennýh trjúhelníků, které mají splečný hlavní vrhl a vždy právě dva mají právě jedn splečné ramen Speiálně míst pravidelný trjúhelník pužíváme název rvnstranný trjúhelník a míst pravidelný čtyřúhelník pužíváme název čtvere Speiální čtyřúhelníky: Lihěžník: je čtyřúhelník, který má právě jednu dvjii rvněžnýh stran Strany, které rvněžné nejsu, nazýváme ramena Lihěžník, jehž ramena jsu shdná, se nazývá rvnramenný Rvněžník: je čtyřúhelník, který má právě dvě dvjie rvněžnýh stran Na připjeném rázku je ACD CAB pdle věty usu (strana AC je splečná, úhly k ní přilehlé jsu střídavé mezi rvněžkami) Znamená, t, že AB CD; BC DA Dále tedy ABS CDS (pět věta usu, neť AB CD a přilehlé úhly jsu pět střídavé úhly mezi rvněžkami) T znamená, že AS SC ; BS SD Shrnut: Prtější strany v rvněžníku jsu shdné Úhlpříčky rvněžníka se půlí Oě tyt vlastnsti jsu pdmínkami pstačujíími, tj platí věty: Jestliže jsu prtější strany čtyřúhelníka shdné, pak jde rvněžník Jestliže se úhlpříčky čtyřúhelníka půlí, pak jde rvněž rvněžník Ksčtvere: je rvněžník, který má shdné i susední strany V tm případě je ADS CDS (usu), a prt ASD CSD Tyt úhly jsu ale úhly vedlejší, prt musejí ýt pravé: Úhlpříčky v ksčtveri jsu na see klmé 16
Klmst úhlpříček však není pstačujíí pdmínku k tmu, ay čtyřúhelník yl ksčtverem (psuňte vrhl A p úhlpříče AS!) Odélník: je rvněžník, jehž strany jsu na see klmé Čtvere: je délník se shdnými stranami (ppř ksčtvere s klmými stranami) Oený rvněžník (tj rvněžník, který není délníkem, čtverem ani ksčtverem) nazýváme ksdélník 6 5 Pravúhlý trjúhelník Euklidva věta výše: Na připjeném rázku máme sestrjen pravúhlý ABC a d D je pata výšky v Tat výška rzděluje tent trjúhelník na dva trjúhelníky ACD CBD pdné pdle věty uu Oa jsu ttiž pravúhlé a dále: ACD = 9 DAC BCD = 9 ACD = ( ) = =, tedy BCD DAC Platí tedy: v = v = a v 9 9 DAC DAC a Osah čtvere sestrjenéh nad výšku pravúhléh trjúhelníka se rvná sahu délníka sestrjenéh z u úseků přepny Euklidva věta dvěsně: Na dalším rázku je pravúhlý ABC pět rzdělen výšku, tentkrát nás však zajímá pdnst ABC CBD (pět věta uu - a jsu pravúhlé a úhel β mají splečný) Platí: = = Osah čtvere sestrjenéh nad dvěsnu pravúhléh trjúhelníka se rvná sahu délníka sestrjenéh z přepny a přilehléh úseku Pythagrva věta: Tat asi nejznámější matematiká věta je důsledkem dvu vět Euklidvýh Zakresleme je d jednh rázku a pužijme jiné značení: dvěsna a pravúhléh ABC je nyní výšku pravúhléh ADB Úseky jeh přepny jsme značili d, Pdle Euklidvy věty výše pr ADB je a = d 17
Délka přepny v ADB je + d, přepna v ABC je dvěsnu v ADB Pdle Euklidvy věty dvěsně pr ADB tedy je ( d) d = + = + Prtže však d a =, dstáváme pr ABC : = a + Osah čtvere sestrjenéh nad přepnu pravúhléh trjúhelníka se rvná sučtu sahů čtverů sestrjenéh nad ěma jeh dvěsnami Pythagrvu větu lze také ilustrvat následujíím způsem: Na připjenýh rázíh jsu dva čtvere straně a+, ze kterýh jsu derány čtyři shdné pravúhlé trjúhelníky ABC P dečtení jejih sahů zývají šedé útvary: nahře čtvere sestrjený nad přepnu, dle dva čtvere sestrjené nad dvěsnami a ; Oa tyt útvary mají sah ( a+ ) 4 S ABC, tedy sah stejný: = a + Platí i věta ráená, tj: je-li trjúhelník pravúhlý = a +, pak je Orázky naví gemetriky ilustrují vzrečky pr druhu mninu dvjčlenu: Spdní rázek říká: Ke čtverům sazíh a ; jsu přičteny dva délníky, každý sahu a Vše dhrmady dává čtvere straně a+, tedy sahu ( a+ ) Znamená t, že a + + a = ( a+ ) Pdně lze jevit vzre (pkuste se t) a + a = ( a ) 1 Příklad: Sestrjme čtvere, který má stejný sah jak délník stranáh 5 m; 3 m Řešení: a) Pmí Euklidvy věty výše: v pravúhlém trjúhelníku platí v = Je tedy třea a setrjit pravúhlý trjúhelník tak ay = 5 m; = 3 m Jeh přepna ude tedy = + = 8 m Nad jeh výšku pak sestrjíme hledaný čtvere: a a 18
Knstruke: = AB = 8m k -Thaletva kružnie nad AB D AB; DA = 5 m v AB; D v C v k DC je strana hledanéh čtvere ) Pmí Euklidvy věty dvěsně: v pravúhlém trjúhelníku platí = Je tedy třea sestrjit pravúhlý trjúhelník tak ay = 5 m; = 3 m Jeh dvěsna pak ude mít stejnu velikst jak strana hledanéh čtvere: Knstruke: = AB = 5m k - Thaletva kružnie nad AB D AB; DA = 3 m v AB; D v C v k AC je strana hledanéh čtvere Příklad: Sestrjme úsečku veliksti 17 m Řešení: uď a) dle př 1a: DA = 17m ; DB = 1m DC = 17 m ne ) dle př 1: DA = 16m ; DB = 1m AC = 17 m 3 Příklad: Sestrjme úsečku veliksti 41 m Řešení: Je mžn pstupvat pdle př V tmt případě je všem mžn pužít i větu Pythagrvu, neť 41 = 5 + 16 = 5 + 4 Sestrjíme-li tedy pravúhlý trjúhelník s dvěsnami 5 m a 6 m, jeh přepna ude mít velikst 41 m 4 Příklad: Pravúhlý trjúhelník má přepnu = m a výšku v = 8 m Jak velké úseky a; vytíná výška v na straně? Řešení: Pdle Euklidvy věty výše je v = a, ze zadání je zřejmé, že = a + = Řešíme tedy sustavu rvni 8 = a a = 16; = 4 = a + 5 Příklad: Odélník ABCD má velikst susedníh stran v pměru 3:4, průměr psané kružnie je 1 m Určeme veliksti stran Řešení: Průměr kružnie psané délníku je rven déle úhlpříčky, která tent délník dělí na dva shdné pravúhlé trjúhelníky Je tedy: 19
Řešením tét sustavy dstaneme a a 3 = 4 + = 1 3 + = 1 4 5 = 1 16 16 = 1 5 4 = 1 = 8 m a= 6 m 5 6 Příklad: Turista dměřil na mapě v měřítku 1 : 5 vzdálenst dvu míst vab (, ) = 1,4 m Jaká je nejkratší vzdálenst u míst, má-li d A kótu 1 88 m a d B kótu 74 m? Řešení: Hrizntální vzdálenst danýh dů je 1, 4 5 = 1 7 m =1,7 km, převýšení 1 88 74 = 584 m=,584 km Skutečná vzdálenst mezi těmit místy je tedy d A B (, ) = 1,7 +,584 1,716 km Gnimetriké funke v pravúhlém trjúhelníku: V kpt 58 jsme zavedli gnimetriké funke pr ený úhel Tyt funke mají širké uplatnění v trignmetrii tj při řešení prlémů suvisejííh s pravúhlým i eným trjúhelníkem Je znám, že v pravúhlém trjúhelníku ABC dle připjenéh rázku platí: a sin α = sα = a tg α = tgα = a Je však třea si dře uvědmit tyt vztahy i v trjúhelníku značeném a plženém jinak (viz další rázek): l n sin λ = s λ = m m l n tg λ = tgλ = n l 7 Příklad: Vypčtěme zývajíí strany a úhly v pravúhlém trjúhelníku: a) ABC : = 1; α = 5 ' (pravý úhel při vrhlu C ) ) RST : r = 4, ρ = 59 3' (pravý úhel při vrhlu T ) 13
Řešení: a a) β = 9 5 ' = 39 4' ; sinα = a= sinα = 1 sin 5 ' 9,37 strana : např sα = = sα = 1 s 5 ' 76, 6 ne: = a = 1 9,37 76, 6 s ) σ = 9 59 3' = 3 3' ; tgσ = s= rtgσ = 4 tg3 3' 141,37 r s s 141,37 s ρ = t = = 78,54 t s ρ s59 3' 8 Příklad: Klik shdů musí mít shdiště, je-li třea sklnem 5 překnat výšku 3,7 m a shd má ýt širký 7 m? Řešení: Prfil shdu je pravúhlý trjúhelník dle rázku Zde je v tg 5 = v = 7 tg 5 1,59 7 37 a ptřený pčet shdů je tedy n = 6 1,59 Neřešené příklady: 1) Sestrjte úsečky veliksteh 8; 13 ; ; 9 ) Určete sah délníka, jehž délka je a = 84m a jehž úhlpříčka je 7m delší než jeh šířka 3) Určete vzdálenst dvu rvněžnýh tětiv v kružnii plměru 6m, je-li délka tětiv 6 m;1m 4) Štít střehy tvaru rvnramennéh trjúhelníka má šířku 1,8 m, spád střehy je 38º Vypčtěte výšku štítu 5) Trať má stupání a) 1% ) 9 Jaký je úhel stupání? 6) Z pzrvaí věže 15 m nad hladinu mře je zaměřena lď v hlukvém úhlu 1º49 Jak dalek je lď d věže? 7) Sílu veliksti F = 1N rzlžte na dvě navzájem klmé slžky F 1 ; F tak, ay úhel mezi výslednií a jednu slžku yl 43º5 8) Břemen je zavěšen ke strpu dvěma lany, která se strpem svírají úhel 45º Jakými silami jsu lana namáhána, je-li tíha řemene G = N? 9) Ve výhdním větru ryhlsti 1ms -1 letí k severu letadl vlastní ryhlstí 7kmh -1 O jaký úhel se dhýlí d severníh směru? 1) Na vdrvné lue na 5º severní šířky stjí samělý smrk, který 1 řezna v pravé pledne vrhá stín dluhý 1 m Jak je smrk vyský? 131
Výsledky: 1) Dle řeš př 1 a) AD = 4 DB = DC = 8; AD = 13 DB = 1 DC = 13 ; AD = 11 DB = DC = ; AD = 9 DB = 1 DC = 9 ne dle řeš př 1 ) AB = 6 AD = AC = 8 ; AB = 13 AD = 1 AC = 13 AB = 11 AD = AC = ; AB = 9 AD = 1 AC = 9 ) 19m 3) dvě řešení: 188 m;851m 4) 5 m 5) a) 6º51 ) 1º51 6) asi 3 31 m F = 79 N; F = 693N 8) F1 = F 141N 9) º5 1) asi 1 m 7) 1 66 Oený trjúhelník Při řešení enéh trjúhelníka pužíváme dvu důležitýh vět: Sinvá věta: Mějme ený trjúhelník ABC dle připjenéh rázku Výška v h rzdělí v na dva pravúhlé trjúhelníky ACD ; BCD, ve kterýh platí: sin α = ; sin v β =, tedy a v = sinα v = asin β Odečtením těht rvni dstáváme = sinα asin β neli asin β = sin α, a = sinα sin β Zela analgiky lze ukázat, že stejná rvnst platí i pr stranu a úhel γ, a dále lze ukázat, že tent pdíl je rven průměru kružnie trjúhelníku psané Platí tedy a = = = r sinα sin β sinγ Tent vztah je pět třea si uvědmit i v trjúhelníku značeném jinak, např: k m n = = = r sinκ sin µ sinν 1 Příklad: Vypčtěme zývajíí strany a úhly v trjúhelníku, je-li dán: a) ABC : = 1; α = 6 3' ; β = 48 56' ; ) RST : s = 7 ; ρ = 49 5' ; τ = 18 4' Řešení: a) γ = 18 α β = 18 6 3 ' 48 56' = 68 3 ' a sinα 1sin 6 3' = a = =, sinα sinγ sin γ sin 68 3' a asin β, sin 48 56' = = = 17,13 sinα sin β sinα sin 6 3' 13
) σ = ρ τ = = 18 18 49 5' 18 4' 1 55' t s ssinτ 7 sin18 4' t sinτ sinσ sinσ sin 1 55' = = = 1 83,57 r s ssin ρ 7 sin 49 5' = r = = 1 469,4 ρ σ σ sin sin sin sin 1 55' Pdle Pythagrvy věty je: Ksinvá věta: Uvažujme ený trjúhelník ABC, v němž jsu známy strany a ; a úhel γ, který tyt strany svírají (viz připjený rázek) Naším úklem je zjistit velikst strany Sestrjme výšku v, která rzdělí trjúhelník na dva pravúhlé trjúhelníky a její pata rzdělí stranu na úseky 1; Platí: v sinγ = v = asinγ, a 1 sγ = 1 = asγ a = v + = v + ( ) = v + + 1 1 1 Dsazením za v a 1 z výše uvedenýh vztahů je: = v + + = a sin γ + asγ + a s γ = a sin γ + a s γ + asγ 1 1 Tedy: = a + + a = a + a 1 (sin γ s γ) sγ sγ Pslední uvedený vztah vyjadřuje tzv ksinvu větu pr stranu Při výpčtu strany a resp yhm dstali analgiké vztahy Shrnut: a a = + sγ a = + sα a a = + sβ Opět je důležité uvědmit si tyt vztahy i pr trjúhelník značený jinak: m n r nr = + s µ, n m r mr = + s ν, r m n mn = + s ρ Ksinvá věta je zeněním věty Pythagrvy, neť např je-li v trjúhelníku ABC úhel π γ = 9 =, pak je π = a + asγ = a + as = a + a = a + 133
Příklad: Vypčtěme zývajíí strany a úhly v trjúhelníku, je-li dán: a) ABC : a = 7 ; = 4 ; γ = 38 ) KLM : l = 3 ; m = 4 ; κ = 1 1' Řešení: a) a a γ = + s = 7 + 4 7 4 s 38 457, sinγ 4 sin 38 sin β 5389 β 3 36' = = =, sin β sinγ 457 α = 18 β γ = 18 3 36' 38 = 19 4' ) k = l + m lmsκ = 3 + 4 3 4 s1 1' 5553, k m msinκ 4 sin1 1' = sin µ = = 786 µ 45 7 ', sinκ sin µ k 5553 λ κ µ = 18 = 18 1 1' 45 7 ' = 34 3 ' Větu sinvu pužíváme, je-li trjúhelník dán a) dvěma úhly a jednu stranu (tj pdle věty usu); ) dvěma stranami a úhlem prti jedné z nih Je-li dán úhel prti větší straně, je trjúhelník zadán jednznačně pdle věty Ssu a úlha má právě jedn řešení Není-li tmu tak, má úlha dvě řešení Větu ksinvu pužíváme, je-li trjúhelník dán a) dvěma stranami a úhlem jimi sevřeným (tj pdle věty sus); ) třemi stranami (tj pdle věty sss) 3 Příklad: Vypčtěme zývajíí prvky (strany a úhly) v trjúhelníku ABC, je-li dán: a = 1,4 ; β = 3 4' ; γ = 7 3' Řešení: Trjúhelník je zadán pdle věty usu pužijeme sinvu větu Především dpčítáme zývajíí úhel: α = 18 ( β + γ) = 18 (3 4' + 7 3') = 74 5' a a 1,4 sin 7 3' Dále je: = = sinγ = 1, 75, sinα sin γ sinα sin 74 5' a a 1,4 sin 3 4' = = sin β = 6,93 sinα sin β sinα sin 74 5' Je tedy: α = 74 5' ; 6,93 ; 1,3 4 Příklad: Vypčtěme zývajíí prvky (strany a úhly) v trjúhelníku ABC, je-li dán: a = 8,7 ; = 19,5 ; α = 53 ' Řešení: Trjúhelník je pět zadán pdle věty usu pužijeme sinvu větu a 19,5 sin 53 ' = sin β = sinα =,545 β 33 sinα sin β a 8,7 γ 18 ( α + β) = 18 (53 ' + 33 ) = 93 4' a a 8,7 sin 93 4' = = sin γ = 35,7 sinα sinγ sinα sin 53 ' 134
5 Příklad: Vypčtěme zývajíí prvky (strany a úhly) v trjúhelníku ABC, je-li dán: a = 34,8 ; = 56,3 ; γ = 6 Řešení: Trjúhelník je zadán pdle věty sus pužijeme ksinvu větu: = a + asγ = a + asγ = 34,8 + 56,3 34,8 56,3 s 6 49, Dále již lze pužít větu sinvu: a a 34,8 sin 6 = sinα = sin γ =, 616 α 37 5' sinα sinγ 49, Knečně β = 18 ( α + β) 18 (37 5' + 6 ) = 8 1' 6 Příklad: Vypčtěme vnitřní úhly trjúhelníka ABC, jsu-li dány všehny jeh strany - a = 3,4 ; = 56,3 ; = 7,8 Řešení: + a 56,3 + 7,8 3, 4 a = + sα sα = =,951 α 5 1' 56,3 7,8 Úhel β můžeme pčítat stejným způsem, lze již také pužít sinvu větu: β = 47 37 ' Úhel γ pak již lze jen dpčítat γ = 18 ( α + β) = 17 13' 7 Příklad: Těles hmtnsti m = kg je zavěšen dvěma lany různé délky na vdrvné traverze Lana svírají s traverzu úhly α = 38 6' ; β = 49 54 ' Určeme 1 namáhání lan v tahu (pčítejme s gravitačním zrahlením g = 1 ms ) Neřešené úlhy: Řešení: G = mg = 1 = N γ = 18 α β = 18 38 6' 49 54' = 91 4' Řešíme trjúhelník zadaný pdle věty usu pužijeme sinvu větu: G F1 Gsinα sin 38 6 ' = F1 = = 1 437 N sin γ sinα sinγ sin 91 4' G F sinγ sin β sinγ sin 91 4 ' Gsin β sin 49 54 ' = F = = 15 35 N 1) V ABC je a) a = 16; = 5; = 36 ) a = 5; = 6; = 7 Vypčtěte veliksti vnitřníh úhlů ) V ABC je a) a = 165; β = 4 5'; γ = 69 ' ) Vypčtěte zývajíí strany a úhly α γ = 7; = 49 5'; = 18 48' 3) Na vrhlu kpe stjí rzhledna vyská 35 m Z údlí vidíme patu rzhledny pd úhlem 8 a vrhl rzhledny pd úhlem 31 Jak vysk je vrhl kpe nad údlím? 135
4) Oe A, B jsu spjeny s í C přímými estami, které svírají úhel 3 m, resp 1 593 m Jak dluhá je přímá esta z A d B? 63 ' a jsu dluhé 5) Dvě nepřístupná místa PQ, jsu pzrvána z míst AB,, jejihž vzdálenst je AB = m Byly změřeny úhly rvině) QBA = 81 15' QAB = 5 4' ; PBA = 4 1' ; PAB = 86 4' ; Určete vzdálenst PQ (předpkládáme, že všehny dy leží ve stejné 6) Z du A je vyslán světelný paprsek, který má p drazu d rvinnéh zradla dspět d du B Vzdálenst dů AB, je AB = 36 m, vzdálenst du A, resp du B d zradla je a = 7 m resp = 18 m Určete úhel dpadu paprsku na zradl 7) Světelný paprsek dpadá na skleněnu tauli pd úhlem 59 17 ' Určete tlušťku taule, jestliže se p průhdu taulí paprsek psunul,9 mm (index lmu skla je n = 1, 53 ) 8) Síly veliksteh F1 = 4 N; F = 35N půsí na stejný d a svírají úhel velikst výsledné síly? 77 1 ' Jaká je 9) Letadl letí ve výše 3 5 m k pzrvatelně Při dvu měřeníh yl z pzrvatelny vidět pd úhly 5, resp 48 Jaku vzdálenst urazil letadl mezi ěma měřeními? 1) P rampě se sklnem 18 4' je třea vytáhnut těles tíhy 8 N Jak velká síla je k tmu ptřea a jak velká ude tlakvá síla na rampu (tření zanedejte)? Výsledky: 1) a) α '; β 36 5'; γ 11 15' ) α 44 5'; β 57 7 '; γ 78 8' ) a) α 69 5'; 114,9; 164,5 ) β 1 55'; a 1 469; 1 833 3) 69 m 4) 1 m 5) 1 633 m 6) 65,7 N 53 54 ' 7),8 mm 8) F 6,35 N 9) asi 4 354 m 1) 89,6 N ; 67 Ovdy a sahy gemetrikýh razů Gemetrikým razem (dále jen razem) rzumíme mnžinu dů v rvině hraničenu uzavřenu křivku (hranií raze), která d tét mnžiny rvněž patří Hranií raze může ýt např sjednení n úseček (u n -úhelníka), kružnie (u kruhu), sjednení kruhvéh luku a úsečky (kruhvá úseč), sjednení kruhvéh luku a dvu úsečkek (kruhvá výseč) apd Hranii raze může tvřit i víe křivek - např sjednení dvu kružni u mezikruží Ovdem raze (značíme ) rzumíme délku jeh hranie Osahem raze (značíme S ) je nezáprné reálné čísl, které má následujíí vlastnsti: 1) Osahy shdnýh razů jsu si rvny ) Je-li raze O sjednením razů O1; O, jejihž průnikem je nejvýše jejih hranie, je sah raze O rven sučtu sahů razů O1; O 3) Osah čtvere straně a = 1 ( m, m,) je S = 1 ( m, m,) 136
Přehled vzrů pr výpčet vdů a sahů nejdůležitějšíh razů: trjúhelník = a+ + 1 S = a va 1 = v 1 = v délník = ( a+ ) S = a čtvere = 4a 1 S = a = e ksdélník = ( a+ ) S = a v = v a 1 Příklad: Odélníkvá zahrada má vd 13 m a sah 1 m Vypčtěme její rzměry Řešení: Úlha vede na řešení sustavy dvu rvni ( a+ ) = 13 a = 1 13 Z první rvnie je a = Dsazením d druhé rvnie držíme: 13 = 1 13+ = 1, ksčtvere = 4a 1 S = a v = e f lihěžník = a+ + + d 1 S = ( a+ ) v kruh d = r = πr = πd 1 S = π r = π d 4 mezikruží d1 = r1; d = r = π( r1 + r) = π( d1 + d) 1 S = π( r r1 ) = π( d d1 ) 4 pravidelný n -úhelník = n a 1 1 S = n a ρ = ρ 13 ± 13 4 13 ± 9 13 ± 3 = = = = 4 4 Dsazením d kterékli rvnie dstaneme [ a1; 1] = [5;4]; [ a; ] = [4;5] Zahrada má tedy rzměry 5 4 m Příklad: Jak se změní sah délníka rzměreh a; ; jestliže a) zvětšíme stranu a dvakrát a stranu třikrát? ) zmenšíme-li a rzměry 5%? 4 5 137
Řešení: a) Osah půvdníh délníka je S = a ; sah zvětšenéh S = a 3= 6 a = 6 S, tj sah se zvětší šestkrát ) Osah půvdníh délníka je S = a ; sah zmenšenéh S = 95a 95=,95 a 9 S, tj sah délníka se zmenší asi 1% 3 Příklad: Strany trjúhelníka jsu v pměru 3:5:7, jeh vd je 45 m Určeme délky stran Řešení: Jestliže jsu strany trjúhelníka v daném pměru, znamená t, že existuje čísl k takvé, že a = 3k ; = 5k; = 7k Je-li O = a + + = 3k + 5k + 7k = 15k = 45, pak k = 3, a tedy a = 3k = 9m; = 5k = 15m; = 7k = 1m 4 Příklad: Cestvatel vyknal p rvníku estu klem světa Nad jeh hlavu tutéž estu (jeden let) aslvval satelit ve výše 5 km O klik kilmetrů yla jeh esta delší? Řešme pr Zemi a (hyptetiky) pr Měsí, předpkládejme kruhvé dráhy Řešení: Pr Zemi: plměr Země je RZ = 6 378 km, dráha estvatele je tedy d1 = π RZ = 6 378 π 4 74 km, plměr dráhy satelitu je R = RZ + 5 = 6 878 km, dráha satelitu je tedy d = π R = 6 878 π 43 16 km, rzdíl činí d = d d1 = 43 16 4 74 = 3 14 km Pr Měsí: plměr Měsíe je RM = 1 738 km, dráha estvatele je tedy d1 = π RM = 1 738 π 1 9 km, plměr dráhy satelitu je R = RM + 5 = 38 km, dráha satelitu je tedy d = π RM = 38 π 14 6 km, rzdíl činí d = d d1 = 14 6 1 9 = 3 14 km, (tedy přesně tlik, klik pr Zemi) Vysvětlení tht zdánlivéh paradxu není nijak slžité řešme úlhu eně: Nehť plměr planety je R, výška dráhy satelitu h Délka rvníku je pak d1 = π R, délka dráhy satelitu d = π ( R+ h) a rzdíl d = d d1 = π ( R+ h) πr = πr+ πh πr = πh vůe nezávisí na plměru planety, ale puze na výše satelitu nad ní Neřešené úlhy 1) Vypčtěte vd a sah čtvere, jehž úhlpříčka má délku 1 m ) Vypčtěte sah rvnstrannéh trjúhelníka, jehž vd je 7 m 3) Kl těžní věže má průměr 1,5 m O klik metrů se spustí kle výtahu, tčí-li se kl pětadvaetkrát? 4 Příčný průřez náspu železniční trati má tvar rvnramennéh lihěžníka se základnami AB = 15 m ; CD = 1,5 m a rameny BC = AD = 5 m Vypčtěme sah průřezu 138
5) Kruhvý stůl plměru 8 m vyský rvněž 8 m je pkryt čtvervým urusem déle strany 1, m tak, že střed stlu se kryje se středem urusu Jak vysk nad zemí jsu rhy urusu? 6) Délky základen lihěžníku jsu v pměru 3:, délka střední příčky je 5 m Určete délky základen 7) Běže prěhl třikrát kruhvu dráhu a uěhl dva kilmetry Jaký je plměr dráhy? 8) Antiký matematik a filsf Erathstenes z Kireny si všiml, že v den jarní rvndennsti dpadá Slune v Asuánu v pledne d hlukýh studní až na hladinu vdy O rk pzději v tentýž den v Alexandrii zjistil, že se sluneční paprsky d studní nedstanu, prtže se dhylují d klmie 7 Cesta z Asuánu d Alexandrie yla dluhá 7 km a vedla praktiky stále na sever Z těht skutečnstí usudil, že Země je kulatá a dkne vypčítal přiližnu délku zemskéh pledníku Dkážete t také? Výsledky: 1) = m ; S = 5m ; ) S = 88 3m 3) 118m 4) 574m 5) 3915m 6) 6 m;4m 7) 1616m 8) Cesta představuje kruhvý luk příslušný středvému úhlu 7 Pr délku d eléh pledníku je tedy d : 7 = 36 : 7 d = (7 36) / 7 = 36 km 68 Zrazení v rvině V kapitle 13 jsme shrnuli nejrůznější typy zrazení mnžin Zpakujme, že zrazení z mnžiny S d mnžiny Z je jistá mnžina F uspřádanýh dvji [ x; y ], kde x S; y Z, přičemž každému prvku x S je tímt způsem přiřazen nejvýše jeden prvek y Z Zrazení mnžin zapisujeme F : S Z, zrazení jedntlivýh prvků zapisujeme většinu rvněž F : x y (míst [ x; y] F) Je mžné rvněž hvřit zrazení v mnžině, a sie v případě, že S = Z V tm případě hvříme zrazení v mnžině S, zapisujeme F : S S Tímt zrazením se nyní udeme zaývat s tím, že mnžina S ude mnžina všeh dů rviny Hvříme pak zrazení v rvině, které udeme většinu zadávat pstupem knstruke, který každému du rviny přiřadí d ležíí pět v tét rvině Většinu se ude jednat zrazení (jedné a téže) rviny α na (tutéž) rvinu α Ayhm v zápiseh rzlišili dy d zrazení, udeme zrazení zapisvat psaími písmeny Zápis Z : X X ' tedy znamená, že zrazení Z zrazuje d X d du X ' Bd X se nazývá vzr, X ' raz Oraz útvaru U : Orazem útvaru U v zrazení Z rzumíme mnžinu U ' všeh razů dů útvaru U Samdružný d zrazení Z je každý d X, který v zrazení Z splyne se svým razem, tj X X ' Samdružný útvar zrazení Z je každý útvar U, který v zrazení Z splyne se svým razem, tj U U ' Identita je zrazení, v němž je každý d samdružný Orientvanu úsečku v rvině rzumíme úsečku, kde jeden krajní d je značen jak pčáteční a druhý jak knvý Orientvanu úsečku AB značíme AB 139