1. Lineární rovnice, lineární rovnice s parametrem, soustavy lineárních rovnic Základní typy algebraických rovnic. Vysvětlete význam zkoušky. Princip řešení rovnic s parametrem, diskuse řešení, přípustnost parametru. Ukažte základní metody řešení soustavy lineárních rovnic a související pojmy, např. matice soustavy a Gaussova eliminační metoda. 1. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p=0 nedefin. P nemá řeš., P - = R, ostatní = 1/(p-) p 1 + 1 = p. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p + + p + p p (p = p p=± nedefin., P nemá řeš., ostatní -6p /(p-). Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p + 6p + p = 0 p=0 všechna reál. čísla, -1/ 1, 1/ -1, (-1/, 0) (0, 1/) nemá řeš., ostatní = -p± (9p -1) 4. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: 1 = a a + a = a a 5. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: 1 a = 0 nepřípustná hodnota, ostatní = a/(a 1) 6. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: řešení, a = ± = 1/(a-) V: = 1/(a ) a 1 + 1 = a V: a = ± 1 nemá řeš. + 4) 9 V: a = - R, a = nemá 7. Řešte v R zvolenou metodou soustavy rovnic: a) y + z = 0 5y z = - 7 -y + z = 16 V:,, 1 b) y + z = 0 + y z = + y + z = 1 V:,, 5 c) y + 4z = 8 + 5y z = 10 7 y + 7z = 15 V: nemá řešení 8. Řešte v R soustavu rovnic: 1/( + ) + 10/(y + 5) = 1 /( + ) - 5/(y + 5) = -1 V: 1; 10. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice. 1. Je dán bod A a dvě soustředné kružnice k(s; cm) a l(s; cm). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby B k, C l.. Je dán čtverec vhodné velikosti. Na jedné straně je dán bod A (v žádné speciální poloze). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby zbývající vrcholy B, C ležely na obvodu čtverce.. Je dán bod A, přímka p a kružnice k. Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné ABC se základnou BC, pro které platí B k, C p. 4. Jsou dány dvě různé kružnice k, l a bod S. Sestrojte všechny obdélníky ABCD se středem S, pro které platí AB =. BC, B k, C l. 5. Je dán bod C, přímka p a kružnice k(s; 4 cm), S,p = 5 cm, přitom body C, S leží v téže polorovině s hraniční přímkou p. Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky ABC ( <ACB = 90 ) tak, aby A p, B k.
. Užití určitého integrálu objem rotačního tělesa Definujte funkci, derivaci spojité funkce a primitivní funkci. Primitivní funkce a určitý integrál, Newton- Leibnitzova věta. 1. Vypočítejte objem rotačního paraboloidu o poloměru podstavy r = cm, výšce v = 6 cm. V: y = (/), V = 7. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule o daném poloměru r.. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y =, y = 1/, y = 0, = kolem osy. V: (5/6) 4. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotačního kužele o poloměru podstavy r, výšce v. 5. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = +, = -1, = 1, y = 0 kolem osy. 6. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = 1 - a y = kolem osy. 7. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblouku sinusoidy y = sin kolem osy v intervalu <0; >. 4. Základy vektorové algebry, operace s vektory Definujte vektor, sčítání a odčítání vektorů, násobení vektoru reálným číslem, radiusvektor bodu v kartézské soustavě souřadnic. Lineární kombinace vektorů. Skalární, vektorový a smíšený součin, využití při řešení geometrických úloh. 1. Vypočtěte souřadnice bodu B, je-li B = A +.u v, kde A[; 4], u = (1; ), v = ( ; 5).. Zjistěte, zda vektor u = (1; 1; ) je lineární kombinací vektorů a = ( 1; 0; 1), b = (; ; ) a vektor v = ( ; 4; 6) lineární kombinací p = (1; ; ), q = (; 1; 1).. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku A, B, C. Uveďte alespoň dvě metody řešení. A[0; 1], B[ 1; ], C[1; ]. 4. Je dán ABC, A(-1, -, 8), B(0, 0, 0), C(6,, 0). Užitím vektorového součinu vypočítejte jeho obsah. 5. Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a = (, 4, 0), b = (0, -, 1), c = (, 0, 5). 6. Jsou dány vektory a = (, ), b = (1, 4), c = (0, ). Určete početně i graficky: a) u = a + b + c, b) v = a + b c. 7. Jsou dány body K (,, -4), L (, 6, -5), M (-4, -1, 0). Vypočítejte souřadnice bodu N, jestliže platí: L K = u, M N = -u. 8. Je dán ABC, A (,, 1), B (1, -, 0), C (0,, 5). Užitím skalárního součinu určete velikost vnitřního úhlu. 9. Jsou dány vektory a = (, -, 1), b = (1, 1, ), c = (, 1, -1). Vypočtěte a. (b c). 10. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, a = 6, v =.. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete velikost boční hrany jehlanu, úhel hran AV a BC a úhel hran AV a CV. 11. V krychli ABCDEFGH dokažte, že rovina AFH je kolmá na rovinu CGE. Využijte vhodně zvolenou soustavu souřadnic a vektory.
5. Obor kompleních čísel. Zavedení oboru kompleních čísel, algebraický a goniometrický tvar, číslo kompleně sdružené, Gaussova rovina, Moivreova věta, absolutní hodnota a argument kompleního čísla, odmocnina kompleního čísla, diskuse řešení kvadratické rovnice v R a v C. 1. Jsou dána komplení čísla: z = 1 + i, u = 5i. Vypočtěte: a) Součin z.u, b) z + u - z - u, c) Podíl z/u ( 1 + i; -8; -7/4 + 11/4 i). Převeďte daná komplení čísla z, u na goniometrický tvar. Porovnejte výsledky operací z.u, z/u metodou algebraickou a goniometrickou, vysvětlete geometrickou interpretaci násobení a dělení: z = 1 i; u = i ( (cos7 /4 + isin7 /4); (cos /4 + isin /4) ). Zobrazte čísla z, pro která platí: a) z 1 + i = ( kružnice S(1, -1), r = ) b) z - 1 z - i ( polorovina y ) 4. Najděte všechna komplení čísla z, pro která platí: a) z + z = 6 i, b) z z = 6 + 8i (+i, -i) 5. V Gaussově rovině zobrazte všechna komplení čísla, pro která platí: a) 1 + i z > ½, b) 1 + i z, c) - i z 1 + i - i 6. Vypočítejte z = 5 + 1i bez přechodu ke goniometrickému tvaru kompleního čísla. ( z = ± ± i) 7. Řešte v oboru C rovnici: i 1 + i = 1 i + i (1/10 + 1/10 i) 8. Užitím Moivreova věty vypočítejte: a) (cos / + i.sin /) 6, b) (1 i) 100 1, c) 1 + i (-1/ + i /; - 50 ; -i/) 10 6. Shodná zobrazení v rovině středová souměrnost, posunutí Definujte shodné zobrazení, středovou souměrnost, posunutí. Popište zobrazení bodu, přímky a kružnice. Vztah středové souměrnosti a otočení. 1. Je dána přímka p, kružnice k(s; r), bod M, který neleží na přímce ani na kružnici. Sestrojte všechny úsečky, jejichž krajní body jsou na zadaných útvarech, přičemž tyto úsečky jsou půleny zadaným bodem M.. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li velikosti všech těžnic trojúhelníka. Řešte užitím středové souměrnosti.. Jsou dány dvě protínající se kružnice k, l. Jedním jejich průsečíkem veďte přímky tak, aby na nich kružnice vytínaly stejně dlouhé tětivy. 4. V ABC je dáno: t b = 5 cm, a = 7 cm, = 60. Výchozím prvkem je t b. Sestrojte jej. 5. Je dána kružnice k(s;,5 cm) a její dvě rovnoběžné tečny t 1 a t. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC o délce strany 5,5 cm, aby A t 1, B t, C k. 7. Binomická věta Definujte faktoriál, kombinační číslo, uveďte jeho vlastnosti. Binomická věta, Pascalův trojúhelník. 1. Zjistěte, který člen binomického rozvoje neobsahuje proměnnou. Pokud takový člen eistuje, určete jeho pořadí a jeho hodnotu. Použijte vztah pro výpočet k-tého členu binomického rozvoje:
a) ) 15 1 10 ( b) ( ) V: A6, A6. Vypočtěte 10. člen binomického rozvoje. Kolikátý člen binomického rozvoje 4 7 5 10 1 V: -44.10 4.odmoc() neobsahuje proměnnou? V:.člen 4. Vypočtěte a) ( - i) 5 b) (1 + i. ) 4 5. Pro které reálné platí, že čtvrtý člen rozvoje výrazu (1 + ) 6 je čtyřikrát větší než třetí člen? 6. Vypočítejte čtvrtý člen binomického rozvoje ( 1/ + y 1/ ) 4 V: 4y 1/ 8. Lineární funkce, grafy. Absolutní hodnota. Definujte binární relaci, zobrazení, funkci, lineární funkci. Definujte absolutní hodnotu reálného čísla. Definujte graf funkce, uveďte způsob výpočtu průsečíku grafu dvou funkcí. 1. Určete průsečík funkce f: y = - + se souřadnými osami. Pak napište rovnici lineární funkce g, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce f() a prochází bodem [4; ].. Sestrojte graf funkce: a) f: y = + 1 - b) g: y = + 1 -. Sestrojte graf funkce f: y = - - 5 - +. 1 - a vypočtěte jeho průsečíky se souřadnými osami. 4. Sestrojte graf relace + y 4. 5. Sestrojte graf funkce f: y = - - + 1 6. Vypočtěte průsečík funkce f: y = + 1 s funkcí g: y = - + -1. 4
9. Kvadratická rovnice (i s parametrem), Vietovy vzorce. Metody řešení. Objasněte pojem kvadratické rovnice, systém jejího řešení. Vysvětlete význam zkoušky. Proveďte diskusi řešení kvadratické rovnice v R. Algebraické a grafické metody řešení. 1. Najděte alespoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla a) opačná b) dvojnásobná ke kořenům rovnice 4-11 + 5 = 0, aniž danou rovnici řešíte.. Sestavte alespoň jednu kvadratickou rovnici, která má za kořeny převrácená čísla ke kořenům rovnice 6 + 7 = 0, aniž danou rovnici řešíte.. V kvadratické rovnici (a - 5) (a 1) + = 0 určete hodnotu parametru a R tak, aby tato rovnice měla dvojnásobný kořen. V: a = 4 4. Součet. mocnin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je o 40 menší než. mocnina součtu těchto čísel. Určete obě čísla. V: +(+1) +40=(+1), čísla 14, 15 5. Vypočítejte obsah obdélníku, jehož úhlopříčka je o cm delší než délka obdélníku a o 16 cm delší než jeho šířka. V: =(-) +(-16), čísla 6, 10 nemá smysl, S=4.10=40 6. Pro která reálná čísla m bude mít rovnice 4-8m - 6m + 9 = 0 jeden kořen třikrát větší než druhý? 7. Řešte v R: a) p + (p + ) + p + 0,75 = 0 b) a + 6a + a = 0 10. Neurčitý integrál jednoduché metody integrace Definujte funkci, derivaci spojité funkce v bodě a intervalu, primitivní funkci (neurčitý integrál). Základní vzorce a metody integrace jednoduchých funkcí. 1. K dané funkci f určete primitivní funkci F tak, aby graf funkce F procházel bodem A(, ), jestliže f: y = + 11. y = -(/) +11-1 1 5 d d 4 d 5 7. Vypočtěte: 4. Vypočtěte: tg d d cot g d 1 d sin cos d cos cos sin d cos.sin d 4. Vypočtěte: d 5. Vypočtěte: sin d lnd e d cos d 1 1 ( + 1) + 1 6. Vypočtěte: d d 1 d sin tg d cos 5
11. Aritmetická posloupnost. Definujte posloupnost, aritmetickou posloupnost. Rekurentní vyjádření. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená. Graf posloupnosti. Základní vztahy pro práci s aritmetickou posloupností, odvození, Gaussův vzorec. 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen: n + 1 n n = 1. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte některé rekurentní zadání.. Posloupnost je dána rekurentně: a 1 = -, a n+1 = a n +. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte vzorec pro n-tý člen.. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a + a 5 = 8 a + a 7 = 14 V: a 1 = -1, d = 4. Určete 1. člen, diferenci a vzorec pro n-tý člen AP, v níž je součet prvních členů roven 7 a součet. mocnin těchto členů roven 75. (a 1 = 5, d = 4, a n = 4n + 1) 5. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a 1 + a 5 = 6 a.a 4 = 160 V: a 1 = 7, d = nebo a 1 = 19, d = - 6. Určete součet těch dvou sousedních členů AP: -, -17, -11, -5, 1,, mezi nimiž leží číslo 1 000. (Pozor: číslo 1 000 nemusí být členem této posloupnosti) ( 000) 7. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: součet prvních 4 členů je -, součet prvních 8 členů je. V: a 1 = -17, d = 6 1. Analytická geometrie lineárních útvarů polohové úlohy Definujte vzájemnou polohu přímek a rovin v rovině a prostoru. Uveďte základní způsoby vyjádření přímky v rovině a v prostoru a roviny v prostoru. 1. Napište parametrické rovnice roviny určené třemi body A(6; -; ), B(7; -; 0), C(5; -; ). Převeďte na obecnou rovnici.. Určete vzájemnou polohu přímky PQ, P(0; 0; 0), Q(1; 0; ) a roviny + y + z + 8 = 0. Jsou-li rovnoběžné, vypočítejte vzdálenost, jsou-li různoběžné, vypočítejte souřadnice průsečíku. (různoběžné, (-; 0; -4). Určete vzájemnou polohu rovin y 6z + 5 = 0, y 6z = 0. Jsou-li rovnoběžné, vypočítejte vzdálenost, jsou-li různoběžné, vypočítejte rovnici průsečnice a odchylku. (rovnoběžné, v = 5) 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny. Napište rovnici přímky q, která je pravoúhlým průmětem přímky p do roviny. a) p: = 1 - t, y = + t, z = 4 + t, t R; : + y - z - 6 = 0 b) p: = 1 - t, y = + t, z = 4 + t, t R; : - y + z + 18 = 0 5. Určete vzájemnou polohu rovin a : a) : - 5y + 4z - 10 = 0, : 4-10y + 8z - 10 = 0 b) : - 5y + 4z - 10 = 0, : - y - z - = 0 c) : - 5y + 4z - 10 = 0, : 4-10y + 8z - 0 = 0 6. Jsou dány přímky p: = 6 - t, y = m + t, z = -5 + t, t R; q: = -4 + s, y = 4 + s, z = 8-4s, s R. Určete číslo m tak, aby přímky byly různoběžné a vypočtěte jejich průsečík. Napište parametrickou a obecnou rovnici roviny určené přímkami p, q. 6
1. Geometrická posloupnost. Definujte posloupnost, geometrickou posloupnost. Rekurentní vyjádření. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená. Graf posloupnosti. Základní vztahy pro práci s geometrickou posloupností, jejich odvození. 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen: 1 n n = 1. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte některé rekurentní zadání.. GP kladných čísel má tu vlastnost, že součet jejích prvních dvou členů je roven 1, zatímco součet prvních čtyř členů je roven. Vypočítejte kvocient a 1. člen GP. (q=, a 1 = -1). Součet 1. a. členu geometrické posloupnosti kladných čísel je roven 15. Součet prvních čtyř členů této posloupnosti je roven 45. Určete sedmý člen této posloupnosti. (a 1 =, q=, a 7 =19) 4. Velikosti hran kvádru tvoří po sobě jdoucí členy GP, součet jejich délek je 7 cm, objem kvádru je 8 cm. Vypočtěte povrch kvádru. (hrany: 1,, 4, V = 8) 5. Firma odepisuje každoročně 18 % z pořizovací ceny zakoupeného služebního auta. Za jak dlouho klesne cena pořízeného auta na 40 % ceny auta nového? (n = 4,617 = 4 roky 5 dnů) 6. Pan Rozhodný si uložil na 5 let do banky částku 50 000 Kč na % úrok. Kolik mu banka vyplatí po uplynutí 5 let, jestliže je nutno každoročně státu platit 15 % daň z úroků, úrokovací období je 1 rok. (54 97 Kč) 7. Firma GKH se na začátku roku rozhodla, že v každém čtvrtletí zvýší svůj obrat o % ve srovnání s předcházejícím čtvrtletím. Předpokládejme, že se jí tento záměr daří plnit. A) O kolik procent vzroste obrat této firmy za roky? B) Za jak dlouho vzroste obrat o 5 %? V: a) 17, 17 %, b) během 1. čtvrtletí (n = 11,68) 14. Poloha dvou přímek v prostoru analytická metoda Definujte vzájemnou polohu přímek v rovině a prostoru. Uveďte základní způsoby vyjádření přímky v rovině a v prostoru. 1. Zjistěte vzájemnou polohu přímek v prostoru: p: = 1 - t, y = + t, z = t, t R, q: = 1 + s, y = -1 - s, z = s, s R. V: různoběžné, P(7, -4, -6). Bodem P[1; ; ] veďte přímku, která je kolmá k rovině : + y + z - 1 = 0. Určete souřadnice průmětu bodu P do této roviny.. Jsou dány body A[-1; 1; -1], B[5; 1; 7], C[4; ; ], D[1; ; -1]. Dokažte, že obrazec ABCD je lichoběžník. Určete, které strany jsou základnami a v jakém poměru jsou jejich velikosti. Vypočítejte velikost úhlu BAD. V: Základny AB, CD, poměr je :1, úhel = 57st. min 4. Dokažte, že přímky AB a CD jsou mimoběžné a vypočítejte jejich odchylku: A(1,,0), B(4,,-), C(,0,1), D(5,,-). stup 1 min 5. Pro které hodnoty reálného parametru m jsou přímky AB, CD rovnoběžné? A(,,), B(-1,0,), C(m,- 1,), D(1,1,). m = -1 6. Jsou dány body A, B, C: A(7, 0, 5), B(1,-,-1), C(,,-1). Dokažte, že tyto body vytvářejí v prostoru pravoúhlý trojúhelník. Vypočítejte pak souřadnice těžiště, ortocentra, středu kružnice opsané ABC. Přepona AB, C = O, S je středem AB 7
15. Nerovnice algebraické a grafické řešení Popište řešení algebraických rovnic a nerovnic metodou nulových bodů, jiné způsoby řešení, ekvivalentní a neekvivalentní úpravy. Vysvětlete význam zkoušky. Definujte absolutní hodnotu reálného a kompleního čísla. 1. Řešte v R nerovnici: - 5 + 10 V: -1, 15. Řešte v R nerovnici: + 1 - V: -4, /. Řešte v R algebraicky i graficky nerovnici: < 0 V: (-1, ) 4. Určete definiční obor funkce f: y = + 14 V: (-, -7/, + ) 5. Řešte v R nerovnici: ( ).( 5)/( ).( 7) < 0 V: (, ) (5, 7) 6. Určete definiční obor funkce f: y = log (5 8 4) V: (-, -/5) (, + ) 16. Trigonometrické řešení obecného trojúhelníka Vyslovte sinovou a kosinovou větu, uveďte jejich možné použití. Vztahy pro výpočet obsahu trojúhelníka, úvahy vedoucí k výpočtu poloměru kružnice opsané a vepsané trojúhelníku. 1. Řešte trojúhelník ABC (tj. vypočítejte velikosti všech stran a vnitřních úhlů), je-li dáno: c = 59 cm, = 40 0, S = 1 087 cm.. Letadlo letí ve výšce 00 m směrem k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem, v druhém okamžiku pod výškovým úhlem 58. Určete vzdálenost, kterou letadlo proletělo.. Je dán trojúhelník ABC: a = 7, cm, b = 4,8 cm, = 65. Vypočítejte: délku strany c, výšky v c, těžnice t c. V: c = 6,8, v c =4,6, t c =5,1 4. Patu věže C a místa A, B, ze kterých věž pozorujeme, jsou vrcholy trojúhelníku, ve kterém c = 80 m, = 60, = 8. Vypočítejte výšku věže, je-li z místa A vidět vrchol věže pod výškovým úhlem = 50. V: asi 60 m 5. Budova je vysoká 15 metrů, je vzdálena 0 metrů od břehu řeky. Z vodorovné střechy této budovy je vidět šířku řeky pod úhlem e = 15. Vypočítejte šířku řeky. V:asi 4 m 8
17. Derivace funkce, geometrická interpretace Vysvětlete geometrický způsob zavedení derivace. Derivace funkce v bodě a intervalu. Derivace součtu, součinu a podílu, derivace elementárních funkcí. Derivace a intervaly monotónnosti funkce. 1. Vypočítejte derivace následujících funkcí f() v libovolném bodě, ve kterém je fce def. a spojitá: 4 + 5 a) f() = 1/; b) f() = ; c) f() = ; d) f() = ;e)f () = 4. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f() = 4 + - 1 v jejím bodě T(1; t ). (y = 5 4). Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: f() =, g() =. ( = 45, = 18 6 ) 4. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: f() =, g() =. ( = 45, = 6 4 ) 5. Vypočtěte 1. derivaci: a) y = sin : (1 - sin ) b) y = 5 cos + 7 6. Napište rovnici tečny a normály funkce y = ( - 1) : ( + ) v bodě T[0,?]. 7. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: a)f() =, g() = sin, b) f() = sin, g() = cos 8. Napište rovnici tečny ke grafu funkce f: y = + 8, která prochází bodem T(1; y) ležícím na grafu této funkce. V: T(1, 5), t: y = + 4 9. Určete, ve kterých intervalech je funkce f: y = 1 + 5 rostoucí a ve kterých klesající, stanovte stacionární body a lokální etrémy. klesající (-1, ) V: rost. (-nek, -1) (, nek.), 18. Stejnolehlost, podobnost, využití v konstrukčních úlohách Definujte shodné a podobné zobrazení, typy. Samodružné body. Skládání zobrazení. Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití při odvození Euklidových vět a Pythagorovy věty. Stejnolehlost. Společné tečny dvou kružnic. Apolloniovy úlohy. 1. Zobrazte trojúhelník ABC ve stejnolehlosti H(S, k). a) S AB, k =,5 b) S leží vně ABC, k = : c) S = A, k = -0,75. Do ostroúhlého trojúhelníku ABC vepište čtverec PQRS tak, aby P, Q AB, R BC, S AC.. Jsou dány dvě různoběžky a, b a bod M, který neleží na žádné z nich. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. 4. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte všechny úsečky XY, kde X p, Y k a AY =. AX 5. Je dán konvení úhel AVB a bod M ležící uvnitř tohoto úhlu. Bodem M veďte přímku m, protínající VA a VB v bodech X a Y tak, že VX : VY = : 6. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte ABC tak, aby B p, C k, = 60 a AC =. AB. 7. Sestrojte ABC, pro který platí: a : c = 4 : 7; = 45 ; t c = 4,5 cm. 8. Je dána přímka t, ve stejné polorovině určené touto přímkou jsou dány dva různé body A, B tak, že jejich spojnice není ani kolmá k přímce t, ani není rovnoběžná s t. Sestrojte všechny kružnice, které procházejí body A, B a zároveň se dotýkají přímky t. 9
19. Limita posloupnosti a limita funkce 1. Rozhodněte, zda dané posloupnosti jsou konvergentní či divergentní. Pokud jsou konvergentní vypočítejte limitu pro n + : n + 1 n + n = 1 n, n + 1 n = 1 n, n + n = 1 n 4, 5n n = 1 5 +, ( 1) n n.n n = 1. Vypočítejte limity: a) b). Vypočítejte limity: a) b) 4. Vypočítejte limity: a) b) c) 5. Vypočítejte limity: a) b) c) 0. Kartézský součin, binární relace a zobrazení, vlastnosti a grafy. Definujte kartézský součin, binární relaci a zobrazení. Inverzní relace a zobrazení, definiční obor, obor hodnot. Grafy. 1. Je dána množina A = {1,,, 4} a relace S = {[1; ], [; ], [; ], [4; 4]}. Určete definiční obor a obor hodnot relace S. Určete, zda relace S v množině A je zobrazení (funkce), prosté zobrazení. Najděte inverzní relaci S -1 a určete, je-li zobrazením.. V množině R jsou dány dvě binární relace: A: + y 9, B: y + 0. Sestrojte jejich kartézské grafy a vyznačte: A B, A B, A B, B A.. V množině R jsou dány dvě binární relace: A: + y, B: y - 0. Sestrojte jejich kartézské grafy a vyznačte: A B, A B, A B, B A. 4. Sestrojte do jednoho obrázku kartézské grafy tří binárních relací v množině R: A: y + 1, B: y, C: y + 0. Vyznačte: A B, C B, A C, A B C. 5. Sestrojte v R grafy relací T: y - 4 + 7 a U: y +. Určete graf relace V = T U a vypočtěte obsah grafu relace V. 10
1. Vyšetřování průběhu funkce Definujte kartézský součin, relaci, funkci, definiční obor, obor hodnot, omezenost, spojitost, monotónnost, sudost a lichost, etrémy, inflení body, asymptoty grafu. Vyšetřování průběhu pomocí derivací a limit. 1. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: V: asymptoty = -1, y=- y = + 1. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: V: as: =, = -, y = 1, sudá. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: y = 4 y = + 4 4 4. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: 1 y = 1 +. Goniometrické rovnice Definujte goniometrické funkce obecného úhlu. Definiční obory a obory hodnot, asymptoty a body nespojitosti. Grafy. 1. Řešte rovnici v R: a) sin ( + /6) = -1 b) cos ( - /8) = -1. Řešte rovnici v R: sin cos 4sin + = 0. Řešte rovnici v R: cos = sin 4. Řešte rovnici v R: tg + 4 cotg = 9 5. Řešte rovnici v R:.sin + 7.cos - 5 = 0 6. Řešte rovnici v R: a) cos + sin = 0 b).sin =.tg 7. Řešte rovnici v R: tg + tg = 1 + tg 11
. Eponenciální rovnice Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, prostou funkci, graf funkce. Pojem inverzní funkce, kritérium eistence, souvislost D(f), H(f), D(f-1), H(f-1). Definujte eponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Přirozený logaritmus. 1. Řešte v oboru R rovnici:. Řešte v oboru R rovnici: 6 5 (10 5 1 = ) log 7 log 0,01 = = 1,. Řešte v oboru R rovnici: 5.. = 0 = 1, 4 1 8 1 1 8 1 4. Řešte v oboru R rovnici: = 1 + = ½ = 4 5. Řešte v oboru R rovnici: 6 1+ + 6 1- = 1 = ± 0,69 6. Řešte v oboru R rovnici: +. 9 7 4 6.8 7 = = 5 7. Řešte v oboru R rovnici: 81 + = 1 =, 4 81 4. Nekonečná geometrická řada Definujte posloupnost, aritmetickou a geometrickou posloupnost, řadu, geometrickou řadu. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená, neomezená. Konvergence a součet nekonečné geometrické řady. 1. Určete hodnotu součinu:.. 4. 8. V: součin = 4 n 1 4. Řešte v R rovnici: a) = b) ( n ) 4 sin = tg V: 6, /4+k n = 1 n = 1. Do rovnostranného trojúhelníku A 1 B 1 C 1 o straně a je vepsán trojúhelník A B C tvořený jeho středními příčkami. Do něj je stejným způsobem vepsán další trojúhelník atd. Vypočtěte součet obvodů a součet obsahů všech takto získaných trojúhelníků. n = 1 4. Řešte v R rovnici: 1 n = V: def. obor je 0, výsl. = -1 5. Na jednom rameni úhlu AVB, jehož velikost je / rad, je z bodu A spuštěna kolmice na druhé rameno, její pata je označena A 1, z ní je spuštěna kolmice na první rameno, její pata je A, atd až do nekonečna. Vypočítejte délku takto vzniklé lomené čáry, je-li AV = 10 cm. 6. V rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB sestrojíme výšku CC 1 z vrcholu C, dále v trojúhelníku ACC 1 výšku C 1 C z vrcholu C 1, atd. Vyjádřete délku lomené čáry CC 1 C C pomocí délky odvěsny BC = a. V: a( +1) 1
5. Kvadratická funkce. Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, prostou, rostoucí, klesající funkci, graf funkce. Pojem inverzní funkce, kritérium eistence, vztahy mezi D(f), H(f), D(f -1 ), H(f -1 ). Definujte kvadratickou funkci. 1. Načrtněte graf funkcí: y =, y = -, y = ( ), y = -( +), y = -( -1) +. Popište vlastnosti těchto funkcí.. Načrtněte graf funkce: a) y = + b) y = 6 8. Nalezněte souřadnice vrcholu paraboly, která je grafem této funkce.. Načrtněte graf funkce: a) y = + 5-1 b) y = 0,5 + +. Nalezněte souřadnice vrcholu paraboly, která je grafem této funkce. 4. Načrtněte graf funkce: a) y =. b) y =. -. Popište jejich vlastnosti. 5. Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí: y =, y =, y =. Popište, jak spolu souvisejí jednotlivé grafy. 6. Je dána úsečka délky d. Rozdělte tuto úsečku na části tak, aby součet obsahů rovnostranných trojúhelníků sestrojených z těchto částí byl minimální. 6. Kombinatorika - variace, permutace, kombinace, vlastn. kombinačních čísel Definujte základní kombinatorické postupy a pojmy, variace, permutace, kombinace, faktoriál, kombinační číslo a jeho vlastnosti, Pascalův trojúhelník. Anagramy. 1. Kolik 4-ciferných přirozených čísel lze sestavit z cifer 0, 1,,, 4, 5, 6, jestliže a) žádná cifra se neopakuje, b) v každém čísle se mohou cifry jakkoliv opakovat. V(4,7)-V(,6)=70 V (4,7)- V (,7)=7 4-7 =058. Kolik anagramů je možno sestavit ze slova MATEMATIKA? 10!/(!!!1!1!1!)=151 00. 5 účastníků sportovního kurzu se na cestu zpět rozdělilo na 4 skupiny: 17 se jich vracelo vlakem, 8 autobusem, 6 na kole, 4 pěšky. Kolika způsoby se mohli rozdělit? 5!/(17!8!6!4!) tj. asi 4,1696. 10 16 4. Kolika způsoby lze ze 7 chlapců a 4 dívek vybrat 6 členné volejbalové družstvo tak, aby v něm byla alespoň děvčata? (4nad).(7nad4)+(4nad).(7nad)+(4nad4).(7nad)=71 5. Kolik je Apolloniových úloh, tj. konstrukce kružnice ze daných prvků bod, přímka, kružnice, prvky se mohou jakkoliv opakovat. Pokuste se je specifikovat. K (,) = (5nad) =10 (n+k-1nadk) 6. V TIPSPORTU se tipuje 1 fotbalových zápasů výhra hostů, výhra domácích, remíza. Kolik je všech možných tipů? V (1,)= 1 =51 441 7. Je dáno 1 bodů v rovině, z nichž 5 leží na jedné přímce. Žádné další body na přímce neleží. Kolik přímek je těmito body určeno? 8. V rovině je 10 bodů, z nichž 6 leží na jedné kružnici. Kolik kružnic je těmito body určeno? 9. V prostoru je dáno 1 bodů. z nichž 6 leží v jedné rovině. Kolik čtyřstěnů lze ze všech bodů vytvořit? 10. V kolika bodech se protíná 9 přímek, z nichž 4 jsou navzájem rovnoběžné? 11. Zvětší-li se počet prvků o 1, zvýší se počet trojčlenných kombinací bez opakování o 1. Kolik je dáno prvků? 1. Ve třídě je 18 chlapců a 14 dívek. Kolikerým způsobem se mohou zvolit do tříčlenné skupiny její zástupci, mají-li to být: a) samí chlapci b) samé dívky c) dva chlapci a jedna dívka? 1. Test se skládá z 5 otázek otázky z dějepisu (připraveno je jich 0), dvě otázky ze ZSV (připraveno je jich 5) a 1 otázka ze zeměpisu (připraveno je jich 0). Kolik variant testu připravené otázky umožňují? 14. Vyřešte danou kombinační rovnici: a) (n nad k) (n nad k) = 0. (nad1)nebo(nad) 1
7. Analytická geometrie kvadratických útvarů elipsa, kružnice Definujte kružnici, elipsu. Rovnice v základních případech. Ohniska, osy, vrcholy, střed, ecentricita. Tečna. Vzájemné polohy útvarů. Kuželosečky obecně. 1. Určete rovnici kružnice, která se dotýká přímky + 4y 6 = 0 v bodě T(9;?) a prochází bodem A(11; 7).. Pro které reálné číslo q je přímka y = + q tečnou kružnice + y + 4 8y + 10 = 0?. Napište rovnici elipsy s ohnisky E[; 5], F[; 1] procházející bodem M[5; 1]. 4. Určete souřadnice středu a velikosti poloos elipsy dané rovnicí 5 + 9y + 400 6y + 1411 = 0. Načrtněte tuto elipsu. 5. Napište rovnici elipsy vepsané do obdélníka, jehož rozměry jsou 10cm a 8cm. Vrchol obdélníka je v počátku soustavy souřadnic a strany leží na osách, y. 6. Napište rovnice tečen elipsy s rovnicí ( - 1) + 0,5(y + ) = 1 v jejích průsečících s přímkou y = -. 7. Určete c tak, aby přímka y = + c byla tečnou elipsy 0,5 + y = 1. 8. Napište rovnici kružnice opsané a vepsané ABC: A[1; ], B[-; -1], C[-5; ]. 9. Najděte společné body elipsy + 4y = 17 a kružnice + y = 5. Vysvětlete postup výpočtu odchylky těchto křivek v bodech průniku. 10. Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa + y = 18 na přímce p s rovnicí + y - 6 = 0. 8. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou a odmocninou Definujte absolutní hodnotu reálného čísla. Postup řešení rovnice s absolutní hodnotou a odmocninou. Význam zkoušky při řešení rovnice. Rozdíly při řešení rovnice a nerovnice. Možnosti grafického řešení. 1. Řešte v R: a) + 1 = b) + 1 < c) + 1 >. Řešte v R: a) + 1 = - b) + 1 - - = 6. Řešte v R: a) + > - b) + - 5 < 8 4. Řešte v R: - - 5 > 4( ) 5. Řešte v R: a) 4 8 + 5 = + 1 b) + 5 + 1 = 8 a) -0,5, b) 10 6. Řešte v R: 5 + 4 1 = + 1 = 1 14
9. Objemy a povrchy těles válec, hranol, jehlan, koule Uveďte základní vztahy pro výpočet objemu a povrchu válce, hranolu, jehlanu, koule. Cavallieriho princip při řešení objemů těles. Integrální počet a jeho využití při výpočtu objemu rotačního tělesa. 1. Součet obsahů tří stěn kvádru, které procházejí týmž vrcholem, je 00 cm. Rozměry kvádru jsou v poměru : : 5. Vypočítejte objem kvádru. (asi 90 cm ). Vypočítejte rozměry rotačního válce o objemu 1 litr a výšce rovné dvojnásobku průměru podstavy. (r je asi 4, cm). Poměr pláště rotačního válce k obsahu podstavy je 5 :. Úhlopříčka osového řezu má velikost 6 cm. Vypočítejte objem válce. (asi 1 008 cm ) 4. Do rovnostranného válce (výška je rovna průměru podstavy) je vepsána koule a kužel. Podstava válce je podstavou kužele, který má vrchol ve středu druhé podstavy válce. Vypočítejte poměr objemů těchto tří těles. ( : : 1) 5. V pravidelném trojbokém jehlanu jsou boční hrany navzájem kolmé, velikost podstavné hrany je 0 cm. Vypočtěte objem jehlanu. (asi 1 590) 6. Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana má velikost 8 cm a odchylka boční hrany od roviny podstavy je = 5. 7. Pravidelný 6-boký jehlan má podstavnou hranu a = 10 cm. Dvě sousední boční hrany určují odchylku b = 4. Vypočítejte objem a povrch jehlanu. 0. Eponenciální a logaritmická funkce Definujte funkci, inverzní funkci, podmínky eistence. Definujte eponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Základní vztahy pro počítání s logaritmy (logaritmus součinu, podílu, mocniny, dekadický a přirozený logaritmus. 1. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y =, y = -, y =, y = -. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = +1, y = --1, y = -1. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = log, y = log 1/, y = log, y = log (-1) 4. Na základě vlastností eponenciální funkce rozhodněte, které z následujících mocnin jsou menší než 7 jedna, větší než jedna, rovny jedné. Zdůvodněte: 0,5, 5 0,75,,18 5. Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: y =, y = +1, y = -. 0,1 5, 4 7 41, 40 6. Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: y = ln, y = ln, y = ln ( e). Jakou odchylku svírá graf funkce y = ln s osou? 0,. 15