U3V Matematika Semestr 1 Přednáška 0 Matematika a hudení harmonie Učíme se opět od starých Řeků
Jaké prolémy z historie matematiky si dnes vyereme? Různé průměry a jejich vlastnosti Různé posloupnosti čísel Exponenciální funkce a nepřímá úměrnost Pythagorejská harmonie v dur a moll
Chvála průměrnosti Základní potřená fakta
Nejdříve nějaké jednoduché úlohy Je dán odélník, jehož strany mají délky a,. Vypočítejte délku strany čtverce, který má: stejný ovod jako daný odélník, stejný osah jako daný odélník, stejný poměr osahu a ovodu jako daný odélník.
Jak se počítají průměry? aritmetický geometrický harmonický Snadno lze dokázat, že platí: ), ( a a A + = a a G. ), ( = a a a H + = ), ( a A a G a H a a < < < < < < ), ( ), ( ), ( 0 Jak to znázornit geometricky? Průměry.fig
Zajímavé poměry mezi průměry A( a, ) a + = G ( a, ) = a. H ( a, ) a = a + Pohledem na definice zjistíme, že platí: A ( a, ). H ( a, ) = G( a, ). G( a, ) = a. Jaké vztahy z toho lze odvodit?
Aritmetické a geometrické posloupnosti Jak se vytvářejí tyto posloupnosti? Postačí znát prvníčlen a výtvarný zákon : u aritmetické se neustále přičítá jistéčíslo, u geometrické se neustále násoí jistým číslem.
Jak souvisí posloupnosti s průměry? Soustřeďme se na tři po soě jdoucíčleny! Jak vypočítat prostřední z nich pomocí oou krajních? Aritmetická: Geometrická: a d, a, a + d a / q, a, a. q Posloupnost vytvořená pomocí vztahu y = k / x se nazývá harmonická. Proč asi?
Konstrukce zajímavé funkce Vytvořme funkci, kde hodnoty nezávisle proměnné tvoří aritmetickou posloupnost a jim odpovídající hodnoty závisle proměnné tvoří geometrickou posloupnost. Například: 0 1 3 4 5 6 1 4 8 16 3 64 Jaké vlastnosti tato funkce má? aritm a geom posl.xls
Co plyne ze základní vlastnosti této funkce? Funkce je popsána rovnicí y = x, je definovaná na množině všech reálných čísel a pro liovolná x, y platí, že x+y = x. y. Budeme jen usuzovat, co ze základní rovnice plyne, když udeme šikovně volit hodnoty x a y!
Počítání harmonie
Poměry frekvencí tónů stanovené ve starém Řecku: 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 3 4 5 6 7 8 kvarta kvinta oktáva oktáva : 1 kvinta 3 : kvarta 4 : 3 velká tercie 5 : 4 malá tercie 6 : 5
Jak dělili pythagorejci oktávu? kvarta (4 : 3) kvinta (3 : ) oktáva ( : 1) kvinta (3 : ) kvarta (4 : 3) F 0 F 5 F 7 F 1 harmonický průměr aritmetický průměr 1 H ( 1,) = = 1+ 4 3 1+ A( 1,) = = 3
Jak dále dělili kvintu? malá tercie (6 : 5) velká tercie (5 : 4) kvinta (3 : ) velká tercie (5 : 4) malá tercie (6 : 5) F 0 F 3 F 4 F 7 harmonický průměr 3 1 3 3 H ( 1, ) = = = 3 5 1+ aritmetický průměr 6 5 3 5 1+ 3 A( 1, ) = = = 5 4
Jak počítat durové a mollové kvintakordy? Kvintakord se skládá se ze tří tónů. První a třetí tón tvoří kvintu (7 půltónů). Prostřední druhý tón tvoří s oěma krajními tercie. Pak jsou dvě možnosti: Dur Moll velká tercie (4 půltóny) - malá tercie (3 půltóny) malá tercie (3 půltóny) - velká tercie (4 půltóny)
Co je to temperované ladění? Výpočty frekvencí tónů u temperovaného ladění vycházejí z tohoto předpokladu: Frekvence jednotlivých po soě jdoucích tónů tvoří geometrickou posloupnost. Temperované ladění.xls Harmonie.xls
Řetězce kvart a kvint
Jak můžeme jinak počítat frekvence? kvarta kvinta 0 0 11 1 11 1 10 10 9 3 9 3 kvarta 8 4 8 4 7 5 7 5 6 6 kvarta kvinta
Jaké jsou výsledky? Počet půltónů Jméno intervalu Frekvence z kvart Frekvence z kvint 0 prima 0 : 3 0 = 1,000 3 0 : 0 = 1,000 1 malá sekunda 8 : 3 5 1,053 3 7 : 11 1,068 velká sekunda 16 : 3 10 1,110 3 : 3 1,15 3 malá tercie 5 : 3 3 1,185 3 9 : 14 1,01 4 velká tercie 13 : 3 8 1,49 3 4 : 6 1,66 5 kvarta : 3 1 1,333 3 11 : 17 1,35 6 triton 10 : 3 6 1,405 3 6 : 9 1,44 7 kvinta 18 : 3 11 1,480 3 1 : 1 1,500 8 malá sexta 7 : 3 4 1,580 3 8 : 1 1,60 9 velká sexta 15 : 3 9 1,665 3 3 : 4 1,687 10 malá septima 4 : 3 1,778 3 10 : 15 1,80 11 velká septima 1 : 3 7 1,873 3 5 : 7 1,898 1 oktáva 0 : 3 1 1,973 3 1 : 18,07
Co je to pythagorejské comma, ptolemaiovské comma a schizma? Vypočítejte poměry frekvencí z kvint a kvart pro jednotlivé tóny mimo primy a oktávy! Jaký výsledek jste održeli? Vypočítejte pro malou tercii poměry tří hodnot, které jsme již získali: 5 : 3 3 1,185 6 : 5 1,00 3 9 : 14 1,01
Jak se ladí kytara? Jednotlivé struny od nejnižší k nejvyšší jsou: e, a, d, g, h, e. Příslušné intervaly mezi nimi jsou tedy: kvarta, kvarta, kvarta, velká tercie, kvarta. Jaké chyy při ladění se dopustíme, když udeme ladit čistě?
Jak dlouhé jsou pražce na kytaře? Co plyne z faktu, že součin délky struny a frekvence jejího tónu je konstantní?
Děkuji vám za pozornost.