4 Kriteriální matice a hodnocení variant V teorii vícekriteriálního rozhodování pracujeme s kritérii, kterých je obecně k, a s variantami, kterých je obecně p. Hodnotu, které dosahuje varianta i pro j-té kritérium označíme symbolem y ij a budeme ji nazývat kriteriální hodnotou. Nabízí se uspořádat tyto hodnoty do do matice, kterou budeme nazývat kriteriální maticí. Řádky kriteriální matice jsou tvořeny jednotlivými variantami, sloupce kriteriální matice odpovídají jednotlivým kritériím. Obecně tedy kriteriální matice vypadá následovně: y y 2... y k y 2 y 22... y 2k...... y p y p2... y pk Opět budeme pracovat s příkladem Upíra. Příklad Upír Již známe devět rozhodujících kritérií pro hodnocení obětí upírem:. Vzdálenost od česnekového pole (ČES) maximalizovat 2. Vzdálenost nejbližšího upíra (VUP) maximalizovat. Kvalita prostředí (KPR) maximalizovat 4. Vzdálenost od kostela (KOS) maximalizovat. Krevní skupina (KS) minimalizovat 6. Obranyschopnost (OS) minimalizovat 7. Finanční zázemí (FIN) maximalizovat 8. Vzdálenost od rakve (VOR) minimalizovat 9. Věk (VĚK) minimalizovat Pozn.: Jakým způsobem jsou jednotlivá kritéria hodnocena je uvedeno v předchozí kapitole. Předpokládejme, že jste si vybrali 0 potenciálních obětí, ale jen 6 postoupilo do užšího kola. V následující tabulce jsou shrnuta hodnocení všech obětí:
j 2 4 6 7 8 9 kriter. ČES VUP KPR KOS KS OS FIN VOR VĚK jednot. m km body km znám. body tis.kč km roky typ kr. max max max max min min max min min Adéla 2 80 0 9 Běla 48 6 68 2 0 2 0 Cecilka 07 72 2 0 22 4 44 Dana 0 6 9 2 2 0 0 8 Evžen 0 40 8 2 0 Františka 8 4 40 2 0 4 40 Z takovéto tabulky není těžké sestavit kriteriální matici: 2 80 0 9 48 6 68 2 0 2 0 07 72 2 0 22 4 44 0 6 9 2 2 0 0 8 0 40 8 2 0 8 4 40 2 0 4 40 S takovouto maticí se pak již velmi snadno pracuje. Důležité ovšem je, udržovat zároveň s kriteriální maticí informaci o tom, jakého typu jsou jednotlivá kritéria. 4. Převod kritérií na stejný typ Pro práci s kriteriální maticí je vhodné, když jsou všechna kritéria stejného typu (minimalizační nebo maximalizační). Převod kriterií na stejný typ není problém, neboť každé minimalizační kritérium lze velmi snadno převést na kritérium maximalizační. a) Stupnice je dána podstatou věci (např. známky ve škole) v takovém případě vezmeme maximální hodnotu, které může být dosaženo (ve škole známka ) a odečteme od ní kriteriální hodnotu. b) Stupnice dána není v takovém případě mezi variantami vyhledáme nejvyšší (nejhorší) hodnotu a od té odečteme hodnotu kriteriální. Tento krok můžeme prezentovat jako úsporu oproti nejhorší variantě. 2
V případě Upíra musíme tedy v původní kriteriální matici upravit hodnoty pro páté, šesté, osmé a deváté kritérium. Pro KS se jedná o známky, nejvyšší (nejhorší) hodnota může být známka, transformace tedy bude vypadat tak, že původní kriteriální hodnotu y i nahradíme hodnotou y i. Pro OS je nejvyšší hodnotou jednička, transformace tedy bude vypadat tak, že původní kriteriální hodnotu y i6 nahradíme hodnotou y i6. Pro VOR může být nejvyšší hodnotou desítka (0 km), transformace tedy bude vypadat tak, že původní kriteriální hodnotu y i8 nahradíme hodnotou 0 y i8. Pro VĚK je nejvyšší hodnotou 0, transformace tedy bude vypadat tak, že původní kriteriální hodnotu y i9 nahradíme hodnotou 0 y i9. Upravená kriteriální matice tedy bude vypadat následovně: 2 80 4 9 9 48 6 68 2 7 20 07 72 22 6 6 0 6 9 2 0 9 2 0 40 2 0 8 8 0 8 4 40 4 7 0 4.2 Dominované a nedominované varianty Varianta se nazývá nedominovanou, pokud k ní neexistuje žádná lepší varianta v tom smyslu, že by bylo možno některou hodnotu (či některé hodnoty) kritérií zlepšit, aniž by se hodnoty jiných kritérií zhoršily. Varianta se nazývá dominovanou, pokud k ní existuje taková varianta, která má všechny hodnoty kritérií alespoň stejně dobré a minimálně jednu hodnotu lepší. Variantu považujeme za optimální, pokud je jedinou nedominovanou variantou ve výběru. Pokud je nedominovaných variant více, vybereme z nich jednu, kterou považujeme za reprezentativní. Tuto variantu nazveme variantou kompromisní. Ukažme si termíny na příkladu Upíra.
Příklad Upír var./krit. 2 4 6 7 8 9 a 2 80 4 9 9 a 2 48 6 68 2 7 20 a 07 72 22 6 6 a 4 0 6 9 2 0 9 2 a 0 40 2 0 8 8 0 a 6 8 4 40 4 7 0 Z tabulky či kriteriální matice (max. kritéria) vidíme, že: varianta a je dominována variantami a a a 4 varianta a 6 je dominována variantami a, a 2 a a 4 varianta a je nedominovaná, neboť je v kritériu f nejlepší, neexistuje k ní tedy ve všech kritériích alespoň stejně dobrá varianta varianta a 2 je nedominovaná, neboť je v kritériu f 9 nejlepší, neexistuje k ní tedy ve všech kritériích alespoň stejně dobrá varianta varianta a 4 je nedominovaná, neboť je v kritériích f, f a f 7 nejlepší, neexistuje k ní tedy ve všech kritériích alespoň stejně dobrá varianta varianta a je nedominovaná, neboť je v kritériích f 4 a f 6 stejně dobrá jako a a a 2, ale a je lepší podle f, a 2 je lepší podle f 9 a a je lepší podle f 7 množina nedominovaných variant je tedy a, a 2, a, a 4 žádná z těchto variant není optimální a jakoukoliv z nich můžeme zvolit za kompromisní 4. Ideální a bazální varianta Ideální varianta je nejlepší varianta, které lze teoreticky nebo prakticky dosáhnout. relativní nejvyšší hodnota v kriteriální matici pro dané kritérium absolutní nejvyšší teoreticky možná hodnota 4
Pro příklad Upíra: kritérium f f 2 f f 4 f f 6 f 7 f 8 f 9 ideální hodnota 0 6 00 4 0 0 20 typ hodnoty rel rel abs rel abs abs rel abs rel Bazální varianta je nejhorší varianta, které lze teoreticky nebo prakticky dosáhnout. relativní nejnižší hodnota v kriteriální matici pro dané kritérium absolutní nejnižší teoreticky možná hodnota Pro příklad Upíra: kritérium f f 2 f f 4 f f 6 f 7 f 8 f 9 bazální hodnota 07 0 0 0 0 0 4 0 0 typ hodnoty rel rel abs rel abs abs rel abs rel Pozn.: Nejkratší vzdálenost od kostela, hradu nebo sídla jiného upíra může být 0 km. ideální varianta = (0, 6, 00,, 4,, 0, 0, 20) bazální varianta = (07, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0) 4.4 Grafické zobrazení variant V podstatě existují dva způsoby zobrazení variant hvězdicový a polygonální. Máme-li k kritérií, nakreslíme si v obou případech hvězdu s k paprsky vepsanou do jednotkové kružnice. Z každého paprsku vytvoříme osu pro jedno kritérium, ve středu bude bazální hodnota kritéria a na kružnici bude pro příslušné kritérium ideální hodnota. Na každou osu pak vyneseme lineární měřítko. Variantu pak můžeme zobrazit hvězdicí nebo k-úhlelníkem. V případě polygonálního zobrazení bude ideální variantě odpovídat pravidelný k-úhelník, bazální variantě pak odpovídá střed kružnice. Při polygonálním zobrazení můžeme snadno a rychle určit dominované a nedominované varianty. Pokud celý k-úhelník zobrazující variantu a i leží uvnitř
k-úhelníku zobrazující variantu a j, pak varianta a j dominuje variantu a i a naopak varianta a i je dominována variantou a j. Pokud se k-úhelníky protínají, varianty jsou nedominované. 4. Normalizace kriteriální matice Pokud známe ideální a bazální varianty, můžeme snadno znormalizovat kriteriální matici. Všechny hodnoty v kriteriální matici pak budou z intervalu 6
< 0, >, ideální hodnota v kriteriální matici pak bude prezentována číslem jedna, bazální hodnotou nula. Důležitou vlastností této normalizované kriteriální matice je skutečnost, že je zcela nezávislá na jednotkách. Označme symbolem D j bazální (dolní) hodnotu pro kritérium j a symbolem H j ideální (horní) hodnotu pro kritérium j. Normalizovaná kriteriální matice (r ij ) vzniká transformací původní kriteriální matice (y ij ) podle vztahu: r ij = y ij D j H j D j. Příklad Upír Máme kriteriální matici pro maximalizační kritéria, přidáme si řádky s ideální a bazální variantou a podle výše uvedeného vztahu sestavíme normalizovanou kriteriální matici. Podle vztahu uvedeném v posledním řádku snadno sestavíme žádanou matici: var./krit. 2 4 6 7 8 9 a 2 80 4 9 9 a 2 48 6 68 2 7 20 a 07 72 22 6 6 a 4 0 6 9 2 0 9 2 a 0 40 2 0 8 8 0 a 6 8 4 40 4 7 0 H j 0 6 00 4 0 0 20 D j 07 0 0 0 0 0 4 0 0 H j D j 4 6 00 4 6 0 20 r ij y i 07 4 y i2 6 y i 00 y i4 y i 4 y i6 y i7 4 6 y i8 0 y i9 20 R = 4 4 4 6 0.80 6 0.9 0.68 7 0.7 4 4 6 0 0.72 0.6 2 4 2 0 0.9 2 0.9 4 0.40 0 0.8 0 4 2 2 4 4 2 0.40 4 0 0.7 4 2 7
4.6 WSA metoda váženého součtu Při užití této metody pracujeme s váhami jednotlivých kritérií, které jsou buď dány, nebo které jsme již nějakým vhodným způsobem odhadli (metodou pořadí, bodovací metodou, metodou párového srovnávání, metodou kvantitativního párového srovnávání). Máme tedy dány váhy v = (v, v 2,..., v k ) pro k maximalizačních kritérií. Metoda váženého součtu pak maximalizuje vážený součet, tedy k j= v jr ij. Spočítáme proto hodnotu tohoto váženého součtu pro každou variantu a za kompromisní variantu vybereme tu, která bude mít vážený součet nejvyšší. Příklad Upír Použijeme váhy, které jsme dostali metodou párového srovnávání a kriteriální matici z předchozího kroku. v = (0, 0.7, 0.9, 0., 0.0, 0.9, 0.06, 0.7, 0.08) R = 0.80 0.9 6 6 4 0.68 7 0.7 4 4 6 4 4 4 0 0.72 0.6 2 4 2 0 0.9 2 0.9 4 0.40 0 0.8 0 4 2 2 4 4 2 0.40 4 0 0.7 2 Vážený součet pro variantu a je 0 4 + 0.7 + 0.9 0.80 + 0. + 4 6 0.0 + 0.9 + 0.06 + 0.7 0.9 + 0.08 = 0.84. 6 4 Podobně spočítáme vážený součet i pro zbývajících variant: var. WSA pořadí a 0.84 2. a 2 0.8470. a 0.700 4. a 4 0.8897. a 0.67 6. a 6 0.97. 8