6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
|
|
|
- Kryštof Ševčík
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
2 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost 3. Postačující podmínky pro nezávislost funkcí 4. Báze vektorového prostoru 5. Souřadnice vektoru 6. Použití souřadnic
3 6. Lineární nezávislost a báze p. 3/ Závislé a nezávislé vektory DEFINICE 1 Neprázdná konečná množina vektorů S = {v 1,...,v k } vektorového prostoru V je (lineárně) nezávislá, jestliže rovnice α 1 v 1 + +α k v k = o ( ) má jediné řešení α 1 = = α k = 0.
4 6. Lineární nezávislost a báze p. 3/ Závislé a nezávislé vektory DEFINICE 1 Neprázdná konečná množina vektorů S = {v 1,...,v k } vektorového prostoru V je (lineárně) nezávislá, jestliže rovnice α 1 v 1 + +α k v k = o ( ) má jediné řešení α 1 = = α k = 0. JestližeS = {v 1,...,v k } je (lineárně) nezávislá, říkáme také, že vektory v 1,...,v k jsou (lineárně) nezávislé. Má-li rovnice ( ) i jiné řešení, pak říkáme, že S je (lineárně) závislá a vektory v 1,...,v k jsou (lineárně) závislé.
5 6. Lineární nezávislost a báze p. 4/ Závislé a nezávislé vektory Geometrický význam lineární závislosti pro dvourozměrné vázané vektory α 2 v v w α 1 u = u o u α 1 u o v α 3 w = -w α 2 v = -u α 1 u + α 2 v + α 3 w = o α 1 u + α 2 v = o
6 6. Lineární nezávislost a báze p. 5/ Závislé a nezávislé vektory PŘÍKLAD 1 Jestližev 1 = [2, 1,0],v 2 = [1,2,5] av 3 = [7, 1,5], pak množina vektorů S = {v 1,v 2,v 3 } je lineárně závislá, nebot 3v 1 +v 2 v 3 = o.
7 6. Lineární nezávislost a báze p. 5/ Závislé a nezávislé vektory PŘÍKLAD 1 Jestližev 1 = [2, 1,0],v 2 = [1,2,5] av 3 = [7, 1,5], pak množina vektorů S = {v 1,v 2,v 3 } je lineárně závislá, nebot 3v 1 +v 2 v 3 = o. PŘÍKLAD 2 Mnohočleny p 1 (x) = 1 x,p 2 (x) = 5+3x 2x 2 a p 3 (x) = 1+3x x 2 tvoří lineárně závislou množinu v P 3, nebot pro každéx R platí 3p 1 (x) p 2 (x)+2p 3 (x) = 0, tj. 3p 1 p 2 +2p 3 = o.
8 6. Lineární nezávislost a báze p. 5/ Závislé a nezávislé vektory PŘÍKLAD 1 Jestližev 1 = [2, 1,0],v 2 = [1,2,5] av 3 = [7, 1,5], pak množina vektorů S = {v 1,v 2,v 3 } je lineárně závislá, nebot 3v 1 +v 2 v 3 = o. PŘÍKLAD 2 Mnohočleny p 1 (x) = 1 x,p 2 (x) = 5+3x 2x 2 a p 3 (x) = 1+3x x 2 tvoří lineárně závislou množinu v P 3, nebot pro každéx R platí 3p 1 (x) p 2 (x)+2p 3 (x) = 0, tj. 3p 1 p 2 +2p 3 = o. PŘÍKLAD 3 Vektory e 1 = [1,0,0],e 2 = [0,1,0] ae 3 = [0,0,1] tvoří lineárně nezávislou množinu reálných třírozměrných aritmetických vektorů, nebot α 1 e 1 +α 2 e 2 +α 3 e 3 = o pouze pro α 1 = 0,α 2 = 0,α 3 = 0.
9 6. Lineární nezávislost a báze p. 6/ Lineární kombinace a závislost DEFINICE 2 Vektor v z vektorového prostoru V budeme nazývat lineární kombinací vektorův 1,...,v k V, jestliže existují skaláry α 1,...,α k tak, že v = α 1 v 1 + +α k v k.
10 6. Lineární nezávislost a báze p. 6/ Lineární kombinace a závislost DEFINICE 2 Vektor v z vektorového prostoru V budeme nazývat lineární kombinací vektorův 1,...,v k V, jestliže existují skaláry α 1,...,α k tak, že v = α 1 v 1 + +α k v k. PŘÍKLAD 4 Mnohočlen p 1 (x) = x z vektorového prostoru P 2 všech lineárních reálných mnohočlenů je lineární kombinací mnohočlenů p 2 (x) = x+1 ap 3 (x) = x+2, nebot pro libovolné reálnéxplatí p 1 (x) = x = 2(x+1) (x+2) = 2p 2 (x) p 3 (x), takžep 1 = 2p 2 p 3.
11 6. Lineární nezávislost a báze p. 7/ Lineární kombinace a závislost VĚTA 1 Konečná množina nenulových vektorůs = {v 1,...v m } je lineárně závislá, právě když existuje k 2 tak, že vektorv k je lineární kombinací vektorů v 1,...,v k 1.
12 6. Lineární nezávislost a báze p. 7/ Lineární kombinace a závislost VĚTA 1 Konečná množina nenulových vektorůs = {v 1,...v m } je lineárně závislá, právě když existuje k 2 tak, že vektorv k je lineární kombinací vektorů v 1,...,v k 1. DŮKAZ: Necht S je množina nenulových lineárně závislých vektorů. Uvažujme množiny S 1 = {v 1 },S 2 = {v 1,v 2 },...,S m = {v 1,...,v m } a necht S k je nejmenší množina vektorů, které jsou lineárně závislé, takže platí α 1 v 1 + +α k v k = o ( ) a některý z koeficientůα 1,...,α k je nenulový. Pak k 2, nebot S 1 je zřejmě nezávislá množina vektorů, aα k 0, nebot jinak by S k 1 byla lineárně závislá.
13 6. Lineární nezávislost a báze p. 8/ Lineární kombinace a závislost DŮKAZ: Pokračování Rovnici ( ) můžeme tedy upravit pomocí axiomů vektorového prostoru na tvar v k = ( ) α1 v α k ( αk 1 α k ) v k 1.
14 6. Lineární nezávislost a báze p. 8/ Lineární kombinace a závislost DŮKAZ: Pokračování Rovnici ( ) můžeme tedy upravit pomocí axiomů vektorového prostoru na tvar v k = ( ) α1 v α k Obráceně, jestliže pro 2 k m platí ( αk 1 α k v k = α 1 v 1 + +α k 1 v k 1, ) v k 1. pak (α 1 v 1 )... (α k 1 v k 1 )+1v k +0v k v m = o, takžes m je lineárně závislá, nebot koeficient1uv k je nenulový.
15 6.3 Postačující podmínky pro nezávislost 6. Lineární nezávislost a báze p. 9/18 funkcí Necht S = {f 1,...,f k } je konečná množina reálných funkcí vektorového prostoru F.S je nezávislá právě tehdy, když z α 1 f 1 (x)+ +α k f k (x) = 0 pro všechna x R plyne, žeα 1 = = α k = 0.
16 6.3 Postačující podmínky pro nezávislost 6. Lineární nezávislost a báze p. 9/18 funkcí Necht S = {f 1,...,f k } je konečná množina reálných funkcí vektorového prostoru F.S je nezávislá právě tehdy, když z α 1 f 1 (x)+ +α k f k (x) = 0 pro všechna x R plyne, žeα 1 = = α k = 0. Dosadíme-li zaxpostupně různá čísla x 1,...,x k, dostaneme soustavu k lineárních rovnic o k neznámýchα 1,...,α k ve tvaru: α 1 f 1 (x 1 ) α k f k (x 1 ) = α 1 f 1 (x k ) α k f k (x k ) = 0 Pokud má tato soustava regulární matici, plyne odsud, že α 1 = = α k = 0 as je nezávislá množina.
17 6.3 Postačující podmínky pro nezávislost 6. Lineární nezávislost a báze p. 10/18 funkcí PŘÍKLAD 5 Rozhodněte, zda jsou mocniny x,x 2 ax 3 lineárně nezávislé.
18 6. Lineární nezávislost a báze p. 10/ Postačující podmínky pro nezávislost funkcí PŘÍKLAD 5 Rozhodněte, zda jsou mocniny x,x 2 ax 3 lineárně nezávislé. ŘEŠENÍ:Zvolíme si body x 1 = 1,x 2 = 2 ax 3 = 3, které postupně dosadíme do funkcíf 1 (x) = x,f 2 (x) = x 2,f 3 (x) = x 3, a vytvoříme soustavu: α 1 + α 2 + α 3 = 0 2α 1 + 4α 2 + 8α 3 = 0 3α 1 + 9α α 3 = 0 Matici této soustavy převedeme na schodový tvar. Dostaneme r 1 3r r Matice soustavy je regulární, takže soustava má jen nulové řešení α 1 = α 2 = α 3 = 0. Funkce x,x 2 a x 3 jsou tedy lineárně nezávislé..
19 6. Lineární nezávislost a báze p. 11/ Báze vektorového prostoru DEFINICE 3 Konečná množina E vektorů vektorového prostoru V je báze vektorového prostoru V, jestliže E je nezávislá. Každý vektor v V lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorůe.
20 6. Lineární nezávislost a báze p. 11/ Báze vektorového prostoru DEFINICE 3 Konečná množina E vektorů vektorového prostoru V je báze vektorového prostoru V, jestliže E je nezávislá. Každý vektor v V lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorůe. Ne každý vektorový prostor má bázi ve smyslu naší definice. Například neexistuje žádná konečná množina reálných funkcí, jejichž lineární kombinací by bylo možno vyjádřit libovolnou reálnou funkci.
21 6. Lineární nezávislost a báze p. 12/ Báze vektorového prostoru PŘÍKLAD 6 Vektory e 1 = [1,0,0],e 2 = [0,1,0],e 3 = [0,0,1] tvoří báziv = R 3. Jakýkoli vektor v = [v 1,v 2,v 3 ] tohoto prostoru lze vyjádřit ve tvaru v = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3. BázeE = (e 1,e 2,e 3 ) je zvláštním případem standardní báze R n, která je tvořena řádky či sloupci jednotkové matice I n.
22 6. Lineární nezávislost a báze p. 12/ Báze vektorového prostoru PŘÍKLAD 6 Vektory e 1 = [1,0,0],e 2 = [0,1,0],e 3 = [0,0,1] tvoří báziv = R 3. Jakýkoli vektor v = [v 1,v 2,v 3 ] tohoto prostoru lze vyjádřit ve tvaru v = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3. BázeE = (e 1,e 2,e 3 ) je zvláštním případem standardní báze R n, která je tvořena řádky či sloupci jednotkové matice I n. PŘÍKLAD 7 Mnohočleny p 1 (x) = 1 ap 2 (x) = x tvoří bázi vektorového prostoru P 2. Každý mnohočlen p(x) = a 0 +a 1 x lze zapsat ve tvaru p = a 0 p 1 +a 1 p 2. Mnohočleny zde považujeme za reálné funkce definované na celé reálné ose. Necht a 0 p 1 +a 1 p 2 = o, tj. a 0 +a 1 x = 0 pro všechna x. Prox = 0 dostáváme a 0 +a 1 0 = 0, odkud a 0 = 0, a pro x = 1 pak z a 1 1 = 0 dostaneme a 1 = 0, takžep 1 a p 2 jsou nezávislé.
23 6. Lineární nezávislost a báze p. 13/ Souřadnice vektoru DEFINICE 4 Necht E = (e 1,...,e n ) je uspořádaná báze vektorů vektorového prostoru V. Necht v V. Potom čísla v 1,...,v n, pro která platí v = v 1 e 1 + +v n e n, nazýváme souřadnice vektoru v v bázie.
24 6. Lineární nezávislost a báze p. 13/ Souřadnice vektoru DEFINICE 4 Necht E = (e 1,...,e n ) je uspořádaná báze vektorů vektorového prostoru V. Necht v V. Potom čísla v 1,...,v n, pro která platí v = v 1 e 1 + +v n e n, nazýváme souřadnice vektoru v v bázie. VĚTA 2 Necht E = (e 1,...,e n ) je uspořádaná báze vektorového prostoru V a necht x 1,...,x n a y 1,...,y n jsou souřadnice vektoru v V v bázie. Pakx 1 = y 1,...,x n = y n.
25 6. Lineární nezávislost a báze p. 13/ Souřadnice vektoru DEFINICE 4 Necht E = (e 1,...,e n ) je uspořádaná báze vektorů vektorového prostoru V. Necht v V. Potom čísla v 1,...,v n, pro která platí v = v 1 e 1 + +v n e n, nazýváme souřadnice vektoru v v bázie. VĚTA 2 Necht E = (e 1,...,e n ) je uspořádaná báze vektorového prostoru V a necht x 1,...,x n a y 1,...,y n jsou souřadnice vektoru v V v bázie. Pakx 1 = y 1,...,x n = y n. DŮKAZ: Necht E = (e 1,...,e n ) je báze a v = x 1 e 1 + +x n e n = = y 1 e 1 + +y n e n. Pako = v+( 1)v = x 1 e 1 + +x n e n + +( 1)(y 1 e 1 + +y n e n ) = (x 1 y 1 )e 1 + +(x n y n )e n. Jelikož vektory báze jsou nezávislé, plyne odtud x 1 = y 1,...,x n = y n.
26 6. Lineární nezávislost a báze p. 14/ Souřadnice vektoru Souřadnice každého vektoru v V jsou v dané bázie určeny jednoznačně. Budeme je zapisovat také do aritmetického vektoru, který se nazývá souřadnicový vektor a značí se[v] E.
27 6. Lineární nezávislost a báze p. 14/ Souřadnice vektoru Souřadnice každého vektoru v V jsou v dané bázie určeny jednoznačně. Budeme je zapisovat také do aritmetického vektoru, který se nazývá souřadnicový vektor a značí se[v] E. PŘÍKLAD 8 Libovolný aritmetický vektor v = [v 1,v 2,v 3 ] má ve standardní bázie = (e 1,e 2,e 3 ) z příkladu 6 souřadnice v 1,v 2,v 3, nebot [v 1,v 2,v 3 ] = v 1 [1,0,0]+v 2 [0,1,0]+v 3 [0,0,1]. Jeho souřadnicový vektor je[v] E = [v 1,v 2,v 3 ].
28 6. Lineární nezávislost a báze p. 14/ Souřadnice vektoru Souřadnice každého vektoru v V jsou v dané bázie určeny jednoznačně. Budeme je zapisovat také do aritmetického vektoru, který se nazývá souřadnicový vektor a značí se[v] E. PŘÍKLAD 8 Libovolný aritmetický vektor v = [v 1,v 2,v 3 ] má ve standardní bázie = (e 1,e 2,e 3 ) z příkladu 6 souřadnice v 1,v 2,v 3, nebot [v 1,v 2,v 3 ] = v 1 [1,0,0]+v 2 [0,1,0]+v 3 [0,0,1]. Jeho souřadnicový vektor je[v] E = [v 1,v 2,v 3 ]. PŘÍKLAD 9 Mnohočlen p(x) = x+2 má v bázip = (p 1,p 2 ) z příkladu 7, kde p 1 (x) = 1 ap 2 (x) = x, souřadnice 2,1, nebot p(x) = x+2 = 2p 1 (x)+1p 2 (x). Jeho souřadnicový vektor je[p] P = [2,1].
29 6. Lineární nezávislost a báze p. 15/ Použití souřadnic Pomocí souřadnic můžeme převést úlohy s vektory, které lze popsat pomocí lineárních kombinací bázových vektorů daného vektorového prostoru, na úlohy s aritmetickými vektory. K tomu použijeme zobrazení V v [v] E R n
30 6. Lineární nezávislost a báze p. 15/ Použití souřadnic Pomocí souřadnic můžeme převést úlohy s vektory, které lze popsat pomocí lineárních kombinací bázových vektorů daného vektorového prostoru, na úlohy s aritmetickými vektory. K tomu použijeme zobrazení V v [v] E R n LEMMA 1 Pro libovolné vektory u, v V a skalár α platí 1. [u+v] E = [u] E +[v] E 2. [αu] E = α[u] E
31 6. Lineární nezávislost a báze p. 15/ Použití souřadnic Pomocí souřadnic můžeme převést úlohy s vektory, které lze popsat pomocí lineárních kombinací bázových vektorů daného vektorového prostoru, na úlohy s aritmetickými vektory. K tomu použijeme zobrazení V v [v] E R n LEMMA 1 Pro libovolné vektory u, v V a skalár α platí 1. [u+v] E = [u] E +[v] E 2. [αu] E = α[u] E DŮKAZ: Jsou-li u 1,...,u n souřadnice vektoru u a v 1,...,v n souřadnice vektoru v v bázi E = (e 1,...,e n ), tzn.u = u 1 e 1 + +u n e n av = v 1 e 1 + +v n e n, paku+v = u 1 e 1 + +u n e n +v 1 e 1 + +v n e n = = (u 1 +v 1 )e 1 + +(u n +v n )e n aαu = αu 1 e 1 + +αu n e n, odkud [u+v] E = [u] E +[v] E a[αu] E = α[u] E.
32 6. Lineární nezávislost a báze p. 16/ Použití souřadnic Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně:
33 6. Lineární nezávislost a báze p. 16/ Použití souřadnic Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně: Zvolíme si takovou bázie daného vektorového prostoru, ve které lze všechny vektory snadno vyjádřit.
34 6. Lineární nezávislost a báze p. 16/ Použití souřadnic Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně: Zvolíme si takovou bázie daného vektorového prostoru, ve které lze všechny vektory snadno vyjádřit. Najdeme souřadnicové vektory všech vektorů, které se vyskytují v popisu problému.
35 6. Lineární nezávislost a báze p. 16/ Použití souřadnic Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně: Zvolíme si takovou bázie daného vektorového prostoru, ve které lze všechny vektory snadno vyjádřit. Najdeme souřadnicové vektory všech vektorů, které se vyskytují v popisu problému. Řešíme úlohu, kterou dostaneme z původní úlohy záměnou všech vektorů za souřadnicové vektory.
36 6. Lineární nezávislost a báze p. 16/ Použití souřadnic Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně: Zvolíme si takovou bázie daného vektorového prostoru, ve které lze všechny vektory snadno vyjádřit. Najdeme souřadnicové vektory všech vektorů, které se vyskytují v popisu problému. Řešíme úlohu, kterou dostaneme z původní úlohy záměnou všech vektorů za souřadnicové vektory. Postup ovšem předpokládá, že máme k dispozici vhodnou bázi, což nemusí být vždycky splněno.
37 6. Lineární nezávislost a báze p. 17/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ:
38 6. Lineární nezávislost a báze p. 17/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2.
39 6. Lineární nezávislost a báze p. 17/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E.
40 6. Lineární nezávislost a báze p. 17/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p] E = [ 1,0,1],[p 1 ] E = [1,0,0],[p 2 ] E = [1,1,0],[p 3 ] E = [1,1,1].
41 6. Lineární nezávislost a báze p. 17/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p] E = [ 1,0,1],[p 1 ] E = [1,0,0],[p 2 ] E = [1,1,0],[p 3 ] E = [1,1,1]. Řešíme soustavu[p] E = α 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E.
42 6. Lineární nezávislost a báze p. 17/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p] E = [ 1,0,1],[p 1 ] E = [1,0,0],[p 2 ] E = [1,1,0],[p 3 ] E = [1,1,1]. Řešíme soustavu[p] E = α 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E. Rozepsáním této rovnice po složkách dostaneme soustavu 1 = α 1 + α 2 + α 3 0 = α 2 + α 3 1 = α 3 která má řešení α 1 = 1,α 2 = 1,α 3 = 1.
43 6. Lineární nezávislost a báze p. 17/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p] E = [ 1,0,1],[p 1 ] E = [1,0,0],[p 2 ] E = [1,1,0],[p 3 ] E = [1,1,1]. Řešíme soustavu[p] E = α 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E. Rozepsáním této rovnice po složkách dostaneme soustavu 1 = α 1 + α 2 + α 3 0 = α 2 + α 3 1 = α 3 která má řešení α 1 = 1,α 2 = 1,α 3 = 1. Snadno ověříme, že opravdu platí p = p 1 p 2 +p 3.
44 6. Lineární nezávislost a báze p. 18/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ:
45 6. Lineární nezávislost a báze p. 18/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2.
46 6. Lineární nezávislost a báze p. 18/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E.
47 6. Lineární nezávislost a báze p. 18/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p 1 ] E = [1,1,1],[p 2 ] E = [1,2,1],[p 3 ] E = [2,1,1].
48 6. Lineární nezávislost a báze p. 18/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p 1 ] E = [1,1,1],[p 2 ] E = [1,2,1],[p 3 ] E = [2,1,1]. Řešíme soustavuα 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E = o.
49 6. Lineární nezávislost a báze p. 18/ Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p 1 ] E = [1,1,1],[p 2 ] E = [1,2,1],[p 3 ] E = [2,1,1]. Řešíme soustavuα 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E = o. Rozepsáním po složkách dostaneme soustavu: α 1 + α 2 + 2α 3 = 0 α 1 + 2α 2 + α 3 = 0 α 1 + α 2 + α 3 = 0
50 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p 1 ] E = [1,1,1],[p 2 ] E = [1,2,1],[p 3 ] E = [2,1,1]. Řešíme soustavuα 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E = o. Rozepsáním po složkách dostaneme soustavu: α 1 + α 2 + 2α 3 = 0 α 1 + 2α 2 + α 3 = 0 α 1 + α 2 + α 3 = 0 [ ] [ Řešíme: r 1. r 1 Odtud vidíme, že soustava má jediné řešení α 1 = 0,α 2 = 0,α 3 = 0. Mnohočleny p 1,p 2,p 3 jsou tedy lineárně nezávislé. ] 6. Lineární nezávislost a báze p. 18/18
11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Základní pojmy z lineární a multilineární algebry p.1/4
Základní pojmy z lineární a multilineární algebry Základní pojmy z lineární a multilineární algebry p.1/4 Základní pojmy z lineární a multilineární algebry 1. Vektorový prostor 2. Lineární nezávislost
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
9. Bilineární formy. 9. Bilineární formy p. 1/14
9. Bilineární formy 9. Bilineární formy p. 1/14 9. Bilineární formy p. 2/14 Bilineární formy 1. Definice a příklady 2. Klasifikace bilineárních forem 3. Matice bilineární formy 4. Změna báze 5. Kongruentní
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
1. Jordanův kanonický tvar
. Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
![transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]](/thumbs/88/115112143.jpg "transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]")
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
![x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.](/thumbs/83/87395437.jpg "x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.")
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Lineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008
Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Lineární (ne)závislost
Kapitola 6 Lineární (ne)závislost Také tuto kapitolu zahájíme základní definicí. Definice 6.1 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Říkáme, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x n prostoru
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
![[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}](/thumbs/26/7692117.jpg "[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}")
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Afinní transformace Stručnější verze
[1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Transformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální