PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést jedinou přímku. Bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky a jej jejich společným počátkem. Úsečka AB je průnikem polopřímek AB a BA; přitom A B. Úsečku lze měřit, její délku určujeme pomocí určité jednotkové úsečky (1 mm, 1 cm,..). 2) Polorovina, úhel, dvojice úhlů Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hraniční přímkou. Hraniční přímka patří do obou polorovin. Značení: CBA A p C p Dvě polopřímky VA a VB se společným počátkem V dělí rovinu na dva úhly AVB. Pozn. Geometrický útvar se nazývá konvexní, právě když úsečka s krajními body v libovolných dvou bodech útvaru je částí tohoto útvaru.
Pozn. Dva geometrické útvary U 1 a U 2 pokládáme za shodné, lze-li je přemístěním ztotožnit. Zápis: U1 U 2 Osa úhlu je polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu, která úhel rozdělí na dva shodné úhly. Vedlejší a vrcholové úhly Pravý úhel je úhel shodný se svým úhlem vedlejším. Každý úhel lze změřit. Velikost úhlu můžeme změřit úhloměrem. Velikosti úhlů značíme malými písmeny řecké abecedy. Existuje více úhlových měr, my budeme pracovat s mírou stupňovou. Jednotkou stupňové míry je úhel 1, což je úhel, který vznikne rozdělením přímého úhlu na 180 shodných úhlů. Platí: 1 = 60 = 3 600 3) Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Dvě různé přímky v rovině mohou být: a) různoběžné zápis: p q = P (průsečík) b) rovnoběžné zápis p q = Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku. Rovnoběžnost je tranzitivní.
r... příčka dvou rovnoběžek α, δ úhly souhlasné Jsou-li vyťaté příčkou dvou rovnoběžek, pak jsou shodné. δ, γ úhly střídavé Jsou-li vyťaté příčkou dvou rovnoběžek, pak jsou shodné. Odchylkou dvou přímek p, q v rovině nazýváme: a) velikost ostrého popř. pravého úhlu, který přímky svírají, jsou-li různoběžné, b) velikost nulového úhlu v případě rovnoběžek. Je-li odchylka dvou přímek α = 90, nazýváme tyto přímky kolmicemi. Zápis: Průsečík kolmice s danou přímkou se nazývá pata kolmice.
Trojúhelník Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB ; přitom body A, B, C jsou různé a neleží na jedné přímce. Značení: Δ ABC Trojúhelníky můžeme dále dělit: a) podle délek stran - různostranné - rovnoramenné - rovnostranné b) podle velikosti vnitřních úhlů - ostroúhlé - pravoúhlé - tupoúhlé Pozn. Různostranné trojúhelníky, které nejsou pravoúhlé, zveme obecné. Střední příčka trojúhelníku je úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku. Každá střední příčka trojúhelníku je rovnoběžná se stranou trojúhelníku, jejíž střed nespojuje. Její délka je rovna polovině délky této strany. Výška trojúhelníku je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice spuštěné z tohoto vrcholu k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku. Značení: v a, v b, v c Těžnice trojúhelníku je úsečka spojující vrchol trojúhelníku a střed protější strany trojúhelníku. Všechny tři těžnice t a, t b, t c se protínají v jednom bodě těžišti T. Tento bod dělí každou těžnici v poměru 1 : 2. Kružnice opsaná trojúhelníku prochází vrcholy trojúhelníku a má střed v průsečíku os stran trojúhelníku. Kružnice vepsaná trojúhelníku se dotýká všech tří stran trojúhelníku a má střed v průsečíku os vnitřních úhlů trojúhelníku. Cvičení: 1) Mezi vnitřními úhly trojúhelníku platí vztahy: α = 2β; β = 3γ. Určete je. 2) Osy vnitřních úhlů trojúhelníku ABC se protínají v bodě S. Vyjádřete velikost úhlu ASB pomocí úhlu gama. 3) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: a = 35 cm, b = 18 cm. Jakým podmínkám musí vyhovovat délka třetí strany?
Shodnost trojúhelníků Trojúhelníky ABC a A B jsou shodné, přejde-li při přemístění bod A do bodu A, B do B a C do. Zápis: ABC A B Věty o shodnostech trojúhelníků Věta sss: Dva trojúhelníky shodující se ve všech třech stranách jsou shodné. Věta sus: Dva trojúhelníky shodující se ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném jsou shodné. Věta usu: Dva trojúhelníky shodující se v jedné straně a úhlech k ní přilehlých jsou shodné. Věta Ssu: Dva trojúhelníky shodující se ve dvou stranách a úhlu naproti větší z nich jsou shodné. Otázka k větě Ssu: Proč v úhlu naproti větší z nich? Při konstrukci trojúhelníku dostaneme dvě řešení. Nejednoznačnost. Při konstrukci trojúhelníku dostaneme jediné řešení. Jednoznačnost.
Cvičení: 4) Na obrázku níže je bod S středem úsečky AC a body B, S, D leží v téže přímce. Dokažte, že bod S je také středem úsečky BD. 5) Je dán trojúhelník ABC, p je přímka, v níž leží těžnice t c daného trojúhelníku. Dokažte, že body A, B mají od přímky p stejnou vzdálenost.
Podobnost trojúhelníků Trojúhelník A B je podobný trojúhelníku ABC, právě když existuje kladné reálné číslo k tak, že pro jejich strany platí: A B k AB A k AC B k CB Zápis: A B ~ ABC Číslo k zveme koeficientem podobnosti trojúhelníků ABC a A B. Je-li k < 1, jedná se o zmenšení. Je-li k > 1, jedná se o zvětšení. Je-li k = 1, jedná se o shodnost. Pozn. Je-li trojúhelník A B podobný trojúhelníku ABC s koeficientem k, je Δ ABC podobný Δ A B s koeficientem 1/k. Věty o podobnostech trojúhelníků Věta sus: Dva trojúhelníky shodující se v poměru délek dvou stran a úhlu jimi sevřeném jsou podobné. Věta uu: Dva trojúhelníky shodující se ve dvou úhlech jsou podobné. Cvičení: 6) Danou úsečku AB rozdělte bodem C tak, aby platilo AC : CB = 5 : 2. 7) Trojúhelníkové pole je na plánu v měřítku 1 : 5 000 zakresleno jako trojúhelník o stranách délek 32,5 mm, 23,5 mm a 36 mm. Určete jeho skutečné rozměry.