Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 2013 Aktualizováno: 2015
Použitá literatura: Technická mechanika I pro SOU, Ing. K. Mičkal, Informatorium, 2008, čtvrté vydání Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal, Informatorium, 1998, páté vydání Studijní materiál: Mechanika I (Statika, Pružnost a Pevnost), M.H. 2003, SPŠ Uherské Hradiště. Průběhy vnitřních sil na nosnících, přednáška 4 a 5, Doc. Ing. Michal Micka, CSc., Ústav mechaniky a materiálů Fakulty dopravní ČVUT v Praze. 2013 Strojnické tabulky, Jan Leinveber, Jaroslav Řasa, Pavel Vávra, Scientia spol s.r.o. pedagogické nakladatelství, 1999, třetí vydání Dílo smí být dále šířeno pod licencí CC BY-SA (www.creativecommons.cz). Výukový text je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. OBSAH: Pružnost a Pevnost se zabývá deformací a napětím (tlakem) v zatížených konstrukcích... 3 Při výpočtech rozlišujeme 3 základní úlohy:... 3 Způsoby zatížení:... 3 Druhy namáhání:... 4 Druhy napětí:... 4 Popis základních druhů namáhání:... 5 o Tah... 5 o Tlak... 5 o Smyk Střih... 6 o Krut... 7 o Ohyb... 8 Tahový diagram (pracovní diagram, diagram napětí)... 10 Mechanické vlastnosti materiálu:... 11 o Příklady výpočtu:... 11 Dovolené namáhání:... 12 Pevnostní podmínka:... 13 Deformační podmínka:... 13 Kontrola:... 13 o Příklady výpočtu:... 15 o Výpočet namáhání v Tahu - Tlaku... 16 o Výpočet namáhání na Střih (smyk)... 16 o Výpočet namáhání na Krut... 17 o Výpočet namáhání na Ohyb... 17 2
PRUŽNOST A PEVNOST Pružnost a Pevnost se zabývá deformací a napětím (tlakem) v zatížených konstrukcích. Při výpočtech rozlišujeme 3 základní úlohy: 1. zjištění rozměrů a tvaru dimenzování 2. zjištění napětí (tlaku) a deformace 3. zjištění velikosti max. (dovoleného) zatížení součásti (konstrukce) Způsoby zatížení: A) podle zatížení druh síly osaměle působící síla spojité zatížení B) podle charakteru časového průběhu zatížení statické zatížení dov 1 3
dynamické zatížení proměnlivá síla Střídavé zatížení dov 0,85 Rázové zatížení - buchar 2/3 dov 0,65 dov 0,65 Druhy namáhání: Tah Tlak Smyk (střih) Krut Ohyb σt τs τk σo Účinek vnějších sil, musí být vždy v rovnováze s účinkem sil vnitřních. Druhy napětí: Normálové napětí směr jeho účinku je kolmý na průřez. Označujeme ho písmenem σ (sigma). Tečné napětí směr jeho účinku je rovnoběžný s průřezem. Označujeme ho písmenem τ (tau). 4
Popis základních druhů namáhání: o Tah Definice: Součást je namáhána tahem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují ven z průřezu. Síly jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace materiálu: prodloužení a zúžení průřezu Pevnostní rovnice: Druh napětí: t - normálové napětí Deformační rovnice: o Tlak 5
Definice: Součást je namáhána tlakem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují dovnitř průřezu. Síly jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace materiálu: zkrácení a rozšíření průřezu Pevnostní rovnice: Druh napětí: d - normálové napětí Deformační rovnice: E modul pružnosti v tahu [MPa] (konstanta, která vyjadřuje pružnost materiálu,u materiálu zůstává trvalá deformace 0,005% původní délky) o Smyk Střih Definice: Součást je namáhána smykem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a rovnoběžné s průřezem. Deformace materiálu: posunutí součásti proti sobě (střih) Pevnostní rovnice: Druh napětí: τs - tečné napětí 6
Deformační rovnice: G modul pružnosti ve smyku [MPa] o Krut Definice: Součást je namáhána krutem, působí-li na ni dvojice sil a rovnoběžná s průřezem. Deformace materiálu: zkroucení Pevnostní rovnice: Druh napětí: τk - tečné napětí 7
U krutu a ohybu záleží na poloze, tvaru, nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Charakteristickou průřezovou veličinou je MODUL PRŮŘEZU v krutu Wk [mm 3 ]. Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách. Další důležitou veličinou charakterizující průřez, polohu, tvar a rozložení podél průřezové osy je KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU (Jx = ΣΔS.x 2, Jy ΣΔS.y 2,). Kromě toho ještě rozeznáváme POLÁRNÍ MOMENT PRŮŘEZU (Jp = Jx + Jy). Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách. Deformační rovnice: M k l 180 ( rad); ; J G p J p viz tabulky o Ohyb Definice: Součást je namáhána ohybem, působí-li na ni dvojice sil (ohybový moment) jejíž rovina je kolmá k rovině průřezu. 8
Část vláken se prodlužuje (TAH) část vláken se zkracuje (TLAK) Deformace materiálu: průhyb Pevnostní rovnice: Druh napětí: o - normálové napětí U ohybu záleží na poloze, tvaru, nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Charakteristickou průřezovou veličinou je MODUL PRŮŘEZU v ohybu Wo [mm 3 ]. Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách. Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech silových účinků po jedné straně řezu vůči řezu (metoda řezu). Pokud v řezu působí pouze ohybový moment, hovoříme o čistém ohybu. Ohybový moment bývá zpravidla doprovázen posouvající (smykovou) silou, tj. silou ležící v rovině řezu (u běžných nosníků tyto síly zanedbáváme). Výpočet max. ohybového momentu: 1. pomocí podmínky rovnováhy ΣF ix = 0; ΣF iy = 0; ΣM i = 0, vypočítáme reakce v podporách A, B. 2. Zakreslíme průběh vnitřních sil. Začínáme z levé strany na nulové čáře. 3. Z levé strany počítáme průběh ohybových momentů. (ohybový moment v nosníku je reakcí na akci momentu vnějších silových účinků) 9
Tahový diagram (pracovní diagram, diagram napětí) Z důvodu bezpečnosti je nutné, aby skutečné napětí vznikající v zatížených součástech, nepřekročila přímkovou oblast oblast pružné deformace. Tgα = /ε = E [MPa] Hookův zákon 10
Mechanické vlastnosti materiálu: Charakterizují houževnatost materiálu Tažnost Kontrakce (poměrné zúžení) o Příklady výpočtu: Výpočet napětí Dimenzování rozměrů Výpočet velikosti deformace Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal 1. Vypočítej, jaké napětí vzniká při zatížení strojní součásti silou F v jednotlivých průřezech a. d1 = 120 [mm]; l1 = 60 [mm]; d2 = 640 [mm]; l2 = 40 [mm]; obr. V-1 E = 2,1 10 5 [MPa] F = 1,2 10 5 [N] 2. Vypočítej, rozměry tyče čtvercového průřezu namáhané tahem viz obr. V-2 obr. V-2 dov = 150 [MPa]; l = 200 [mm]; F = 1,5 10 5 [N] 11
3. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti viz obr. V-1 z příkladu 1. 4. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti viz obr. V-3. d1 = 80 [mm]; l1 = 500 [mm]; E = 0,7 10 5 [MPa] d2 = 60 [mm]; l2 = 700 [mm]; F = 1,4 10 5 [N] Dovolené namáhání: 12
A) U houževnatých materiálů je zřetelná mez kluzu dov = kt / k = 0,6 pt / k kt mez kluzu v tahu pt mez pevnosti v tahu k míra bezpečnosti, volí se hodnota 1,4 až 2 (2 se volí, pokud není přesně určené namáhání, nebo jde-li o lidi) uhlíková ocel kt = 0,5 až 0,6 pt slitinová ocel kt = 0,75 až 0,8 pt B) U křehkých materiálů se počítá s mezí pevnosti dov = pt / k k míra bezpečnosti, volí se hodnota 2,5 až 4 Pevnostní podmínka: Deformační podmínka: Kontrola: + Nebezpečný průřez místo s nejmenším průřezem, tedy s největším napětím. 13
14
o Příklady výpočtu: Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal 1. Výpočtem zkontrolujte navrženou součást, zatíženou proměnlivou silou. obr. V-1 d = 20 [mm]; D = 40 [mm]; l = 60 [mm]; F = 12 10 4 [N] materiál ocel 11370 pt = 370 [MPa]; míra bezpečnosti k = 1,8. 2. Určete největší dovolené zatížení F dřevěného sloupku, jehož průřez má plochu S. S = 160 x 160 [mm]; materiál dřevo Dov = 10 [MPa] 3. Určete největší dovolené zatížení F ocelového svorníku. b = 300 [mm]; h = 15 [mm]; d = 25 [mm]; Dov = 90 [MPa] 15
o Výpočet namáhání v Tahu - Tlaku Příklad: 1.1. Vypočítej, jaké napětí vzniká při zatížení strojní součásti silou F v jednotlivých průřezech a. Řešení: d1 = 100 [mm]; d2 = 600 [mm]; 2 2 d1 100 S1 7854 [ mm 4 4 l1 = 50 [mm]; E = 2,1 10 5 [MPa] l2 = 30 [mm]; F = 10 5 [N] 2 ] 2 2 d2 600 S2 282743[ mm 4 4 F 10 5 F 10 5 t1 12,7 [ MPa] t 0,354 [ MPa] 2 S 7854 S 282743 1 Napětí v průřezu d1 = 100 [mm], l1= 50 [mm] 2 Napětí v průřezu d2 = 600 [mm], l2= 30 [mm] 2 ] 1.2. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti. l F l0 t l0 [ mm] S E E 1 absolutní prodloužení t1 l01 t2 l02 3 3 3 l l1 l2 3,0310 5,057 10 3,080510 [ mm] E E relativní prodloužení l l 0 0 5,003085 3,8510 50 30 [%] o Výpočet namáhání na Střih (smyk) Příklad: Vypočítej, jaká bude střižní síla průstřižníku? Materiál, který se bude stříhat - ocel 11500 uhlíková ocel - koeficient (0,6). d = 20 [mm]; tl. = 2 [mm]; Řešení: s c P, t 0,6 500 300 [ MPa] s F S F F obvod tlouštka d tl. F S d tl 20 2300 37699 [ N] s Střižná síla musí být větší než 37 699 [N]. s 16
o Výpočet namáhání na Krut Příklad: Navrhni d a urči velikost úhlu zkroucení kruhové hřídele, která je namáhána krouticím momentem M k. Mk = 10 4 [Nmm]; l = 3 [m]; materiál - ocel 11500; G = 8 10 4 [MPa] Řešení: M k l 180 ( rad); ; Jp viz tabulky J G p τd,k viz strojnické tabulky pro materiál ocel 11500, statická síla (τd,k= 100 [MPa]) M k M k D, k Wk 100 [ mm W 100 k D, k Navržení d pro kruhový průřez: W k d 16 3 d Velikost úhlu zkroucení: 3 Wk 16 10 4 3 3 ] 10016 7,986 [ mm] 4 4 d M k l 10 3000 180 Jp ; ( rad) 0,939 ( rad); 0,939 53, 80 4 32 J p G 7,986 4 810 32 o Výpočet namáhání na Ohyb Příklad 1: Navrhněte rozměry nápravy železničního vagónu, jde-li a) o kruhový průřez d, b) mezikrohový průřez d 1, d 2. G = 8 10 4 [N]; a = 180 [mm]; l = 800 [mm]; materiál - ocel 11500 Do = 80 [MPa]; d1 : d2 = 2. Řešení: 1. Nakreslíme výpočtové schéma podle obrázku a), výsledkem je obrázek b). 2. Určíme vazbové síly. Vzhledem k souměrnosti konstrukce i zatížení platí: RA = RB = F = G/2 = 4 10 4 [N] Poznámka: Pro výpočet vazbových sil použijeme podmínky rovnováhy: ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0. ΣMiA = 0 = F1 a+ F2 (a+l)+ RB (2a+l)= - 4 10 4 180-4 10 4 980+ RB 1160 17
RB = ( 4 10 4 180-4 10 4 980) / 1160 = 4 10 4 [N] ΣFiy = 0 = RA + F1 + F1 + RB = RA - 4 10 4-4 10 4 + 4 10 RA = 4 10 4 [N] 3. Narýsujeme průběh posouvajících sil a ohybových momentů a určíme MO max. MOx1 = RA a = 4 10 4 180 = 7,2 10 6 [N mm] MOx2 = RA (a+l) + F1 l = 4 10 4 (180+800) + (- 4 10 4 800) = 7,2 10 6 [N mm] MOx1 = MOx2 = MO max = 7,2 10 6 [N mm] 4. Rozměry nápravy určíme z pevnostní rovníce: 6 M Omax M Omax 7,2.10 4 3 Do Wo 9.10 [ mm ] Z modulu průřezu vypočítáme požadované rozměry. Ve Wo Do 80 strojnických tabulkách vyčteme požadované výpočtové vztahy k jednotlivým průřezům. 3 32 W a) Pro kruhový průřez: 3 o Wo d d 97,1[ mm] 32 b) Pro mezikruhový průřez: d1 : d2 2 2d2 d1 po dosazení a úpravě rovnice W o 4 d d2 32 W 16 1 3 o d2 99,26 [ mm]; d1 49,63[ ] 32 d 15 mm Příklad 2: 1 4 Vypočítejte maximální ohybový moment nosníku zatížený osamělou silou. a = 1 [m]; b = 2 [m]; F1 = 10 [kn] Řešení: 1. Vypočítáme vazbové síly (Rx, Ry, Mi). Vzhledem k nesouměrnosti konstrukce i zatížení: RA RB Poznámka: Pro výpočet vazbových sil použijeme podmínky rovnováhy: ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0. ΣFiy = 0 = F1 + RA + RB = 0 ΣMiA = 0 = RA 0 + F1 a+ RB (a+b)= 0 + (-10.000 1) + RB (1+2) RB = ( 10.000) / 3 = 3.333 [N] 18
ΣFiy = 0 = F1 + RA + RB = (- 10.000)+ 3.333 + RA RA = 6.667 [N] 3. Narýsujeme průběh posouvajících sil a ohybových momentů a určíme MO max. Tx1 = F RB = 10.000 3.333 = 6.667 [N] (posouvající síla počítaná zleva) Tx2 = F RA = 10.000 6.667 = 3.333 [N] (posouvající síla počítaná zprava) Postupujeme z levé strany: MOx1 = RA a = 6.667 1 = 6.667 [N m] MOx2 = RA x2 - F1 (x2 a) poznámka: (moment počítáme z leva jako součin síly a ramene) MOx1 = MO max = 6.667 [N m] 19
20