25.1 ELEKTRICKÁ POTENCIÁLNÍ ENERGIE

25 Elektrick potenci l Blesk zabìjel Kyû se na vyhlìkovè ploöinï tato ûena tïöila z pohleu na okolì, zjistila, ûe jì na hlavï stojì vlasy. JejÌ bratr ji tak vyfotografoval. Ït minut po jejich ochou ue il o ploöiny blesk, zabil jenu osobu a sem alöìch zranil. roë se ûenï zjeûily vlasy? Z jejìho pohleu lze souit, ûe to nebyl strach ó i kyû k nïmu byl p n vo.

25.1 ELEKTRICKÁ OTENCIÁLNÍ ENERGIE 641 25.1 ELEKTRICKÁ OTENCIÁLNÍ ENERGIE Newtonův zákon pro gravitační sílu a Coulombův zákon pro elektrostatickou sílu mají stejný matematický tvar, takže některé obecné závěry týkající se gravitační síly, ke kterým jsme ošli v kap. 14, mohou být zřejmě použity i pro sílu elektrostatickou. řeevším je zřejmé, že elektrostatická síla je silou konzervativní. Systému složenému ze vou nebo více nabitých částic lze tey přiřait potenciální energii E p, kterou nazýváme elektrostatickou nebo též elektrickou. Změní-li se v takovém systému poloha částic z počáteční konfigurace K i o koncové K f, pak elektrostatická síla vykoná na částicích práci W. Z rov. (8.1) plyne, že opovíající změna E p potenciální energie systému je E p = E p,f E p,i = W. (25.1) ro elektrostatickou sílu platí stejně jako pro jiné konzervativní síly, že práce touto silou vykonaná nezávisí na trajektorii. řepokláejme, že se jena z nabitých částic patřících o systému přesune z počáteční polohy r i o koncové polohy r f vlivem elektrostatické síly o ostatních nabitých částic. Za přepoklau, že se polohy ostatních částic nemění, je práce vykonaná touto silou stejná při libovolném tvaru (tey i élce) trajektorie částice mezi boy s polohovými vektory r i a r f (ále jen mezi boy (i) a (f)). Za vztažnou (referenční) konfiguraci ané soustavy nabitých částic je vhoné zvolit takové vzájemné rozmístění částic, při němž jsou částice v nekonečnu, tey tak aleko o sebe, že jejich vzájemné působení můžeme zanebat. otenciální energie, která takovéto konfiguraci částic opovíá, se obvykle volí rovna nule. řepokláejme, že několik nabitých částic přeje z počátečního stavu s nekonečně velkými rozestupy (konfigurace K i ) o nového stavu a vytvoří tak uvažovaný systém částic (v konfiguraci K f ). Nech počáteční potenciální energie částic E p,i je nulová a nech symbol W přestavuje práci vykonanou elektrostatickými silami působícími mezi částicemi při jejich přesunu z nekonečna o poloh v konfiguraci K f.* ak pole rov. (25.1) potenciální energie E p systému částic v koncové konfiguraci K f je E p = W. (25.2) Elektrickou potenciální energii považujeme stejně jako jiné ruhy potenciální energie za jenu z forem energie. * Abychom mohli elektrické síly považovat za elektrostatické, musí se částice pohybovat natolik pomalu, aby se neuplatnily jevy spjaté s pohybem náboje, např. elektrický prou. řipomeňme z kap. 8, že (mechanická) energie izolovaného systému se zachovává, poku v systému působí pouze konzervativní síly. Tento fakt náležitě využijeme v alší části této kapitoly. RADY A NÁMĚTY Bo 25.1: Elektrická potenciální energie. ráce vykonaná elektrickým polem Elektrickou potenciální energii spojujeme se systémem částic jako s celkem. Setkáme se však i s výroky (poprvé u př. 25.1), v nichž je tato energie přiřazena pouze jeiné částici systému. Napříkla čteme elektron v elektrickém poli má elektrickou potenciální energii 10 7 J. I takové výroky jsou přijatelné, ale vžy si musíme uvěomit, že ve skutečnosti je potenciální energie vlastností celého systému v uveeném příklau celé konfigurace elektronnabité částice, které vytvářejí elektrické pole. řiřazujeme-li potenciální energii jen jeiné částici z celého systému, říkáme často, že práce vykonaná na částici je vykonána elektrickým polem. Tím rozumíme, že práci na částici vykoná výslená síla vyvolaná ostatními částicemi systému prostřenictvím jejich společného elektrického pole. Zapamatujme si také, že přiřait honotu potenciální energie částici nebo systému částic (jako v uveeném příklau honotu 10 7 J) má smysl jen tehy, zaáme-li honotu potenciální energie ve vhoném referenčním stavu. ŘÍKLAD 25.1 Elektrony se uvolňují náhonými srážkami molekul vzuchu s částicemi kosmického záření přicházejícího z vesmíru. Uvolněný elektron poléhá působení elektrostatické síly F vyvolané elektrickým polem o intenzitě E, které je v atmosféře vytvořeno nabitými částicemi nacházejícími se vžy v nějakém množství na zemském povrchu. Blízko zemského povrchu má elektrická intenzita velikost E =. 150 N C 1 a směřuje k zemi. Jaká je změna E p elektrické potenciální energie uvolněného elektronu, jestliže se působením elektrostatické síly posunul vzhůru po svislé ráze élky = 520 m (obr. 25.1)? E F Q Obr. 25.1 říkla 25.1. Elektron v atmosféře se přemís uje svisle vzhůru o vzálenosti vlivem elektrostatické síly F = QE. ŘEŠENÍ: Rov. (25.1) uváí o vzájemného vztahu změnu elektrické potenciální energie elektronu E p a práci W vykonanou na elektronu elektrickým polem. ole kap. 7 je práce

642 KAITOLA 25 ELEKTRICKÝ OTENCIÁL vykonaná konstantní silou F, působící na částici a vyvolávající posunutí částice, rovna W = F. (25.3) ole rov. (23.28) platí F = QE. řipomeňme, že znaménko náboje Q je o této vektorové rovnice zahrnuto a že Q je náboj elektronu (Q = e. = 1,60 10 19 C). Do rov. (25.3) osaíme za sílu F, čímž ostaneme W = QE = QE cos θ, (25.4) ke θ je úhelmezi směry vektorů E a. Intenzita E směřuje k zemskému povrchu a posunutí má směr svisle vzhůru. roto θ = 180. Dosaíme-li tuto honotu spolu s ostatními honotami o rov. (25.4), ostaneme W = ( 1,60 10 19 C)(150 N C 1 )(520 m) ( 1) = = 1,20 10 14 J. ole rov. (25.1) pak je E p = W = 1,20 10 14 J. (Opově ) To znamená, že během 520 m louhého výstupu klesne elektrická potenciální energie elektronu o 1,20 10 14 J. KONTROLA 1: Na obrázku znázorněný proton se pohybuje ve směru šipky v homogenním elektrickém poli o intenzitě E z bou (i) o (f). (a) Koná elektrické pole působící na proton klanou, nebo zápornou práci? (b) Roste, nebo klesá elektrická potenciální energie protonu při jeho pohybu? f 25.2 ELEKTRICKÝ OTENCIÁL, NAĚTÍ Z př. 25.1 je viět, že elektrická potenciální energie nabité částice v elektrickém poli závisí na velikosti jejího náboje. Avšak potenciální energie vztažená na jenotkový náboj má jenoznačnou honotu, závislou už jen na poloze v elektrickém poli. řepokláejme napříkla, že jsme za testovací částici zvolili proton s klaným nábojem 1,60 10 19 C a umístili ho o pole v boě,v němž má tato částice potenciální energii i E 2,40 10 17 J. otenciální energie připaající na jenotkový náboj je tey 2,40 10 17 J 1,60 10 19 C = 150 J C 1. Dále přepokláejme, že proton nahraíme α-částicí, která má vakrát větší klaný náboj, tey 3,20 10 19 C. Zjistili bychom, že α částice má energii vakrát větší než proton, tj. 4,80 10 17 J. Energie připaající na jenotkový náboj však zůstává stejná (150 J C 1 ). Energii připaající na jenotkový náboj můžeme zapsat poílem E p /Q. Je nezávislá na náboji Q částice, kterou jsme k testování použili, a charakterizuje pouze elektrické pole, které v boě s polohovým vektorem r vyšetřujeme. Nazýváme ji elektrický potenciál ϕ (neboli potenciál elektrického pole; v alším píšeme též jen potenciál, poku nehrozí záměna s potenciály polí jiných sil gravitační, pružnosti, ): ϕ(r) = E p (efinice potenciálu). (25.5) Q oznamenejme, že potenciálje skalární veličina, nikoli vektorová. Rozílhonot potenciálu ϕ mezi věma libovolnými boy (i) a (f) elektrického pole je roven rozílu honot potenciální energie jenotkového náboje v těchto boech: ϕ = ϕ f ϕ i = E p,f Q E p,i Q = E p Q (25.6) a nazýváme ho (elektrické) napětí U mezi těmito boy. řívlastek elektrický bueme používat tehy, poku by hrozilo neorozumění, např. záměna s mechanickým napětím τ = F/S z kap. 13. Dosaíme-li rov. (25.1) o (25.6), ostaneme U = ϕ = ϕ f ϕ i = W Q (efinice napětí). (25.7) Napětí mezi věma boy elektrického pole je tey rovno záporně vzaté práci vykonané elektrostatickou silou při přemístění náboje jenotkové velikosti mezi těmito boy. Může být klané, záporné, nebo nulové; to záleží na znaménkách náboje Q a práce W. Jestliže za referenční (vztažnou) honotu elektrické potenciální energie zvolíme E p,i = 0 v nekonečnu, pak pole rov. (25.5) bue honota potenciálu ϕ v nekonečnu také nulová. Elektrický potenciál ϕ f v libovolném boě (f) elektrického pole je pole rov. (25.7) án vztahem ϕ f = W Q, (25.8)

25.3 EKVIOTENCIÁLNÍ LOCHY 643 ke W je práce vykonaná elektrickým polem při přemístění částice s nábojem Q z nekonečna o uvažovaného bou (f). otenciáltey může být klaný, záporný, nebo nulový. Z rov. (25.8) vyplývá, že jenotkou pro elektrický potenciáli pro napětí v soustavě SI je J C 1. Tato jenotka se vyskytuje tak často, že pro ni bylzaveený samostatný název volt (značka V). latí tey 1 volt = 1 joule na 1 coulomb. (25.9) Tato jenotka pro potenciálumožňuje zavést vhonější jenotku pro intenzitu elektrického pole E, kterou jsme až osu vyjařovali v newtonech na coulomb. řihléneme-li ke vztahům (25.4) a (25.6), ostaneme 1N C 1 = (1N C 1 )(1V C J 1 )(1J N 1 m 1 ) = = 1V m 1. (25.10) V alším bueme ávat přenost jenotce V m 1 pře osavaní jenotkou 1 N C 1. Nyní můžeme stanovit velikost jenotky energie nazvané elektronvolt, která byla zaveena v čl. 7.1 pro měření energie v atomovém a subatomovém světě. Jeen elektronvolt (značka ev) je energie, která se rovná práci nutné k přemístění jenoho elementárního náboje e (tj. náboje velikosti např. jenoho elektronu nebo protonu) mezi věma místy elektrického pole, mezi nimiž je napětí jenoho voltu. Z rov. (25.7) vyplývá, že tato práce je určena výrazem Q ϕ, takže 1eV= e(1v). =. = (1,60 10 19 C)(1J C 1 ). = 1,60 10 19 J. RADY A NÁMĚTY Bo 25.2: otenciál a potenciální energie Elektrický potenciál ϕ a elektrická potenciální energie E p jsou rozílné veličiny a nesmíme je zaměňovat. Elektrický potenciál charakterizuje elektrické pole jako takové. Honota potenciálu se vyjařuje v joulech na coulomb neboli ve voltech. Elektrická potenciální energie je energie nabitého tělesa umístěného o vnějšího elektrického pole (nebo přesněji, je to energie systému sestávajícího z nabitého tělesa a vnějšího elektrického pole); vyjařuje se v joulech. ráce vykonaná v elektrickém poli vnější silou řepokláejme, že se v elektrickém poli vlivem vnější síly přemís uje částice s nábojem Q z bou (i) o bou (f). ři takovém přemístění částice koná vnější síla práci W ext a elektrické pole koná práci W. ole rov. (7.15) je změna kinetické energie E k částice rovna E k = E k,f E k,i = W ext W. (25.11) řepokláejme, že částice byla pře přemístěním v kliu a po něm bue rovněž v kliu. ak E k,f = E k,i = 0 a rov. (25.11) se zjenouší: W ext = W. (25.12) Slovy: práce W ext vykonaná vnější (neboli externí) silou během přemístění částice je rovna záporně vzaté práci W vykonané elektrickým polem. Dosaíme-li rov. (25.12) o (25.1), ostaneme vztah mezi prací vnější síly a změnou elektrické potenciální energie částice během jejího pohybu: E p = E p,f E p,i = W ext. (25.13) oobně osazením rov. (25.12) o rov. (25.7) ostaneme vztah mezi prací vnější síly W ext a potenciálovým rozílem ϕ mezi boy v počáteční a výslené poloze částice: W ext = Q ϕ. (25.14) ráce W ext může zřejmě být také klaná, záporná, nebo nulová. Je to práce, kterou musíme vykonat, abychom přemístili částici s nábojem Q mezi věma boy, mezi nimiž je napětí U = ϕ, aniž se přitom změní kinetická energie částice. KONTROLA 2: Na obrázku v kontrole 1 přemís ujeme proton z bou (i) o bou (f) v homogenním elektrickém poli naznačeného směru. (a) Koná vnější síla klanou, nebo zápornou práci? (b) ohybuje se přitom proton směrem k vyšším, nebo k nižším honotám potenciálu? 25.3 EKVIOTENCIÁLNÍ LOCHY Boy, ve kterých má elektrický potenciál stejnou honotu, tvoří ekvipotenciální plochu. Ta může být reálná fyzická (např. povrch nějakého tělesa) anebo jen myšlená (např. jeho rovina symetrie). ři přemístění částice mezi boy (i) a (f), které leží na téže ekvipotenciální ploše, nevykoná elektrické pole žánou úhrnnou práci. To vyplývá z rov. (25.7): jestliže platí ϕ i = ϕ f,pakw = 0. rotože práce elektrostatické síly je nezávislá na trajektorii, je vykonaná práce nulová, a to pro libovolnou trajektorii spojující

644 KAITOLA 25 ELEKTRICKÝ OTENCIÁL boy (i) a (f), bez ohleu na to, za celá trajektorie leží, či neleží na ekvipotenciální ploše. I II III IV ϕ 1 = 100V ϕ 2 = 80V ϕ 3 = 60V ϕ 4 = 40V Obr. 25.2 Části čtyř ekvipotenciálních ploch. Jsou zobrazeny čtyři trajektorie, po nichž se může pohybovat testovací nabitá částice. Dále jsou naznačeny vě elektrické siločáry. Obr. 25.2 ukazuje svazek ekvipotenciálních ploch v elektrostatickém poli. ráce vykonaná silou tohoto pole při přemístění nabité částice z počátečního o koncového bou v přípaě trajektorie I nebo trajektorie II je nulová, protože kažá z nich začíná a končí na téže ekvipotenciální ploše. ráce vykonaná při přesunu nabité částice z počátečního bou o koncového bou poéltrajektorie III i trajektorie IV je nenulová a v obou přípaech stejně velká, protože potenciál má v počátečních boech obou trajektorií stejnou honotu a rovněž v koncových boech má stejnou honotu. (Trajektorie III a IV spojují stejnou vojici ekvipotenciálních ploch.) V elektrickém poli boového náboje stejně jako v poli náboje rozloženého střeově symetricky jsou ekvipotenciálními plochami soustřené kulové plochy. Ekvipotenciální plochy v homogenním poli tvoří svazek vzájemně rovnoběžných rovin kolmých k siločárám (obr. 25.3). Ekvipotenciální plochy jsou vžy kolmé k siločárám, a tey také k elektrické intenzitě E (protože její směr je án tečnou k elektrickým siločárám). Kyby totiž vektor E nebyl kolmý k příslušné ekvipotenciální ploše, měla by jeho složka ve směru tečném k této ploše nenulovou honotu. Tato složka by konala práci na nabité částici při jejím pohybu po ekvipotenciální ploše. Avšak pole rov. (25.7) při posunutí nabité částice po ekvipotenciální ploše nekonají elektrické síly práci. Z toho plyne jeiný možný závěr, že vektor E musí být v kažém boě ekvipotenciální plochy k ní kolmý. Obr. 25.3 ukazuje elektrické siločáry a příčné řezy ekvipotenciálních ploch (a) homogenního elektrického pole, (b) pole boového náboje a (c) pole elektrického ipólu. Nyní obrátíme svou pozornost k fotografii ženy, uveené na začátku této kapitoly. rotože žena stála na plošině, která byla voivě spojena s horským svahem, byla přibližně na stejném potenciálu jako tento svah. Elektricky vysoce nabitý mrak vytvořil elektrostatickou inukcí silné elektrické pole kolem ženy a kolem horského svahu s intenzitou E směřující kolmo k povrchu o ní a o svahu. Elektrostatické síly tohoto pole přinutily některé volné elektrony v těle ženy k pohybu směrem olů, ponechávajíce prameny jejích vlasů klaně nabité. Intenzita pole byla zřejmě vysoká, ale menší než asi 3 10 6 V m 1, protože ta by vyvolala elektrický průraz molekulami vzuchu. (A k průrazu skutečně o něco pozěji ošlo: o plošiny ueřil blesk.) Ekvipotenciální plochy obklopující ženu stojící na horské plošině lze ohanout pole jejích vlasů, které jsou nataženy ve směrech vektoru E, a jsou tey kolmé k ekvipotenciálním plochám, jak je znázorněno na obr. 25.4. ekvipotenciální plocha siločára (a) (b) (c) Obr. 25.3 Elektrické siločáry (fialově) a příčné řezy ekvipotenciálních ploch (zlatě) (a) v homogenním elektrickém poli, (b) v elektrickém poli boového náboje, (c) v poli elektrického ipólu.

25.4 VÝOČET OTENCIÁLU ZE ZADANÉ INTENZITY ELEKTRICKÉHO OLE trajektorie silou F = Q0 E a tato síla koná práci.* Z kap. 7 víme, že elementární práce, kterou vykoná síla F při posunutí částice o r, je rovna ekvipotenciální plochy W = F r. E E 645 E (25.15) V našem přípaě je F = Q0 E a posunutí r označíme s (obr. 25.5). Rov. (25.15) pak má tvar W = Q0 E s. E E E Vyjářit celkovou práci W vykonanou elektrostatickou silou, působící na nabitou částici, která se vlivem tohoto působení pohybuje z bou (i) o bou (f), vyžauje sečíst všechny ílčí práce vykonané při infinitezimálních posunutích s poél celé trajektorie C částice: W = Q0 Obr. 25.4 Schématem oplněná fotografie z úvoní strany této kapitoly ukazuje ůsleek působení nabitého mraku, který vytvořil silné elektrické pole o intenzitě E blízko hlavy ženy. Mnohé prameny jejích vlasů se natáhly poél směru elektrického pole, které je vžy kolmé k ekvipotenciálním plochám a silnější je tam, ke jsou tyto ekvipotenciální plochy těsněji u sebe, tj. v tomto přípaě na temenem hlavy ženy. (25.16) C E s. (25.17) i siločára trajektorie Q0 s f ole bylo zřejmě nejsilnější právě na hlavou ženy, protože ze jsou její vlasy nataženy více než po stranách hlavy (proto jsou ekvipotenciální plochy na hlavou ženy blíž u sebe). oučení je jenouché. Jestliže vám vlivem vnějšího elektrického pole vstanou vlasy na hlavě, běžte raěji o úkrytu a nepózujte pro fotografický snímek. 25.4 VÝOČET OTENCIÁLU ZE ZADANÉ INTENZITY ELEKTRICKÉHO OLE otenciálový rozíl neboli napětí mezi věma libovolnými boy (i) a (f) v elektrickém poli můžeme vypočítat, známe-li vektor intenzity elektrického pole E v kažém boě libovolné spojnice těchto vou boů. K výpočtu je třeba určit práci vykonanou elektrickým polem při přemístění klaného testovacího náboje z bou (i) o bou (f) a pak použít rov. (25.7). Uvažujme libovolné elektrické pole, např. pole zobrazené siločárami na obr. 25.5, a klaný testovací náboj Q0, který se pohybuje poél znázorněné trajektorie z bou (i) o bou (f). ole působí na částici v kažém boě její Q0 E Obr. 25.5 Testovací částice s klaným nábojem Q0 se pohybuje (posunutí s) v nehomogenním elektrickém poli E z bou (i) o bou (f) poél trajektorie C. ůsobí na ni elektrostatická síla Q0 E ve směru tečny k siločáře; síla koná práci W = Q0 E s. rotože elektrostatická síla je konzervativní, veou všechny integrační cesty (jenouché i jakkoli složité) spojující tutéž vojici boů ke stejnému výsleku. roto není nutné u křivkového integrálu v rov. (25.17) pro výpočet práce vyznačovat trajektorii C, stačí uvést jen počáteční a koncový bo. Jestliže práci W z rov. (25.17) osaíme o rov. (25.7), ostaneme f ϕf ϕi = E s. (25.18) i Rozíl potenciálů (ϕf ϕi ) mezi věma libovolnými boy (i) a (f) elektrického pole je tey roven záporné honotě * K tomu, aby se částice pohybovala po znázorněné trajektorii, musí na ni zřejmě působit kromě F ještě i jiná síla F (např. vazební). ráci této síly neuvažujeme; víme ostatně z čl. 8.2, že vazební síla je vžy k trajektorii kolmá, a práci tey nekoná.

646 KAITOLA 25 ELEKTRICKÝ OTENCIÁL křivkového integrálu o (i) o (f).všimněme si,že tento výsleek je nezávislý na velikosti náboje Q 0 testovací částice, kterou jsme použili k určení rozílu potenciálů (tj. napětí) v elektrickém poli. Je-li intenzita pole v určité části prostoru známa, pak rov. (25.18) umožňuje vypočítat napětí mezi věma libovolnými boy pole v této části prostoru. Zvolíme-li potenciál ϕ i v boě (i) roven nule, pak rov. (25.18) ává f ϕ f = ϕ = E s. (25.19) i V rov. (25.19) už nepíšeme inex (f) u potenciálu ϕ f. Rov. (25.19) určuje honotu elektrického potenciálu ϕ vlibovolném boě (f) vzhleem k nulové honotě potenciálu v boě (i). Nulovou honotu potenciálu volíme zpravila v nekonečnu nebo na některé v aném přípaě ůležité voivé ploše. ŘÍKLAD 25.2 (a) Na obr. 25.6a viíme va boy (i) a (f) v homogenním elektrickém poli o intenzitě E. Oba boy leží na téže elektrické siločáře (která není znázorněna) ve vzálenosti. Určete potenciálový rozíl (ϕ f ϕ i ) pomocí klaně nabité testovací částice s nábojem Q 0, pohybující se z bou (i) o bou (f) po trajektorii rovnoběžné se směrem pole. ŘEŠENÍ: rotože se testovací částice pohybuje z bou (i) o bou (f) (obr. 25.6a), má vektor jejího infinitezimálního posunutí s směr stejný jako intenzita E.Úhelθ mezi směry těchto vou vektorů je roven nule, takže rov. (25.18) ává ϕ f ϕ i = = f i f i E s = E s. f i E(cos 0) s = rotože pole je homogenní, je vektor intenzity E konstantní (má konstantní velikost i směr) ve všech boech integrační cesty a jeho velikost lze vytknout pře integrál f ϕ f ϕ i = E s = E. i (Opově ) V tomto vztahu je integrálroven élce trajektorie částice. Záporné znaménko ve výsleku znamená, že elektrický potenciálv boě (f) má menší honotu než v boě (i). Tento výsleek potvrzuje, že elektrický potenciál klesá ve směru elektrických siločár. (b) Nyní určeme rozílpotenciálů (ϕ f ϕ i ) sleováním pohybu stejné testovací částice, která se však pohybuje z bou (i) o bou (f) přes bo (c) pole obr. 25.6b. ŘEŠENÍ: Ve všech boech spojnice boů (i) a (c) jsou vektory E as vzájemně kolmé. roto platí E s = 0 ve všech boech této části integrační cesty. ole rov. (25.18) mají boy (i) a (c) stejnou honotu elektrického potenciálu. Jinými slovy, boy (i) a (c) leží na stejné ekvipotenciální ploše. Ve všech boech spojnice boů (c) a (f) je θ = 45,a proto pole rov. (25.18) je ϕ f ϕ c = f c E s = = E f s. 2 c f c E(cos 45 ) s = Integrálv této rovnici je roven élce spojnice boů (c) a (f), a má tey honotu /sin 45 = 2. roto ϕ f ϕ c = E 2 2 = E. (Opově ) oněvaž ϕ c = ϕ i, ostali jsme stejný výsleek jako v otázce (a) tohoto příklau. Tím je opět ověřeno, že napětí mezi věma boy nezávisí na volbě trajektorie, po které přejeme o jenoho bou ke ruhému. oučení: hleáme-li napětí mezi věma boy elektrického pole pomocí testovací částice pohybující se mezi nimi, pak lze volit takovou trajektorii, pro kterou bue výpočet integrálu v rov. (25.18) co nejjenouší. (a) i f Q 0 s E i f Q 0 E s (b) Q 0 s 45 E 45 Obr. 25.6 říkla 25.2. (a) Testovací částice s nábojem Q 0 se pohybuje po přímé ráze z bou (i) o bou (f) ve směru intenzity homogenního elektrického pole. (b) Táž částice se pohybuje ve stejném elektrickém poli poél spojnice boů (i), (c), (f). K ONTROLA 3: Obrázek znázorňuje několik vzájemně rovnoběžných ekvipotenciálních ploch (v příčném řezu) a pět trajektorií, po kterých bueme přemís ovat elektron z jené plochy na ruhou. (a) Jaký je směr vektoru intenzity elektrického pole, které je těmito c

25.5 OTENCIÁL BODOVÉHO NÁBOJE 647 ekvipotenciálními plochami zobrazeno? (b) U kažé znázorněné trajektorie určete, za práce námi vykonaná po této trajektorii je klaná, záporná, nebo nulová. (c) Uveené trajektorie seřa te sestupně pole práce na nich vykonané. 90V 3 80V 1 2 5 70V 60V 4 50V 40V 25.5 OTENCIÁL BODOVÉHO NÁBOJE Rov. (25.18) nyní použijeme pro ovození vztahu pro potenciál ϕ pole boového náboje. Uvažujme bo ve vzálenosti r o pevného klaného boového náboje Q (obr. 25.7). řestavme si, že se klaně nabitá testovací částice Q 0 pohybuje z bou o nekonečna. rotože nezáleží na trajektorii, po které se testovací částice pohybuje, zvolíme tu nejjenoušší: vybereme trajektorii směřující z bou o nekonečna poélpaprsku vycházejícího z boového náboje Q. ole boového náboje je raiální a pro Q>0směřuje o něj. Z obr. 25.7 je viět, že vektory E as jsou souhlasně rovnoběžné, a také, že s = r.roto E s = E(s)(cos 0 ) = E s = E r, (25.20) Dosaíme tuto rovnici o rov. (25.18), přičemž položíme r i = r a r f =, ostaneme: ϕ f ϕ i = ϕ( ) ϕ(r) = r E r. (25.21) Velikost intenzity elektrického pole v místě testovací částice je ána rov. (23.3) a má honotu E = 1 Q. (25.22) 4pε 0 r 2 Dosazením tohoto výsleku o rov. (25.21) a integrováním ostaneme ϕ( ) ϕ(r) = Q 4pε 0 = Q 4pε 0 = Q 4pε 0 r [ 1 r ] r 1 r 2 r = = ( ( 0 1 )) = r = 1 4pε 0 Q r. (25.23) Nulovou hlainu potenciálu zvolíme v nekonečnu, tey ϕ( ) = 0. otom potenciál ϕ klaného boového náboje Q v boě je vyjářen vztahem ϕ(r) = 1 Q 4pε 0 r (pro klaný boový náboj Q), (25.24) ke r je vzálenost bou o náboje Q. To znamená, že potenciál ϕ v libovolném boě elektrického pole klaného boového náboje je klaný vzhleem k nulové honotě potenciálu v nekonečnu. Dosu jsme uvažovali klaný náboj Q. Nyní jej nahraíme nábojem záporným Q. V tomto přípaě vektor intenzity E elektrického pole směřuje k náboji Q, a proto jsou vektory E as orientovány nesouhlasně. otom E s = E r a znaménko pře integrálem v rov. (25.21) je klané. ro potenciál tey ostaneme ϕ(r) = 1 Q 4pε 0 r (pro záporný boový náboj Q). (25.25) Q r r Q 0 E s otenciál ϕ v libovolném boě elektrického pole buzeného záporným nábojem je záporný vzhleem k nulové honotě potenciálu v nekonečnu. oku symbol Q chápeme tak, že reprezentuje nejen velikost elektrického náboje, ale i jeho znaménko, lze rov. (25.24) a (25.25) pro potenciálboového náboje ve vzálenosti r o něj zapsat jeinou rovnicí Obr. 25.7 Klaný boový náboj Q vyvolává v boě elektrické pole o intenzitě E a potenciálu ϕ. otenciálv boě určujeme s pomocí testovací částice s nábojem Q 0,kteroupřemís- ujeme z bou o nekonečna. Je znázorněno infinitezimální posunutí částice o s ve vzálenosti r o boového náboje. ϕ(r) = 1 Q 4pε 0 r (pro klaný i záporný boový náboj Q). (25.26) Znaménko potenciálu ϕ je tey stejné jako znaménko elektrického náboje Q, který pole vytváří.

648 KAITOLA 25 ELEKTRICKÝ OTENCIÁL Obr. 25.8 ukazuje počítačem vytvořený prostorový graf závislosti ϕ na vzálenosti r o klaného boového náboje pole rov. (25.26). ovšimněme si, že velikost ϕ vzrůstá, jestliže r 0. Vskutku, pole rov. (25.26) potenciál ϕ elektrického pole boového náboje má v boě r = 0 nekonečně velkou honotu (i kyž na obr. 25.8 je graf v tomto boě pochopitelně ukončen nějakou honotou konečnou). ϕ(r) ŘÍKLAD 25.3 (a) Jaký je potenciál ϕ elektrického pole jára voíkového atomu ve vzálenosti r = 2,12 10 10 m o jeho střeu? (Járo voíku tvoří jeiný proton.) ŘEŠENÍ: Dosazením o rov. (25.26) ostaneme ϕ = 1 4pε 0 e r = = (8,99 109 N m 2 C 2 )(1,60 10 19 C) (2,12 10 10 = m) = 6,78 V. (Opově ) (b) Jakou potenciální energii E p (v elektronvoltech) má elektron v této vzálenosti? (Tato potenciální energie je energií systému elektron proton, tj. voíkového atomu.) ŘEŠENÍ: Dosazením potenciálu ϕ = 6,78 V a náboje elektronu o rov. (25.5) ostaneme E p = Qϕ = eϕ = ( 1,60 10 19 C)(6,78 V) = = 1,09 10 18 J = 6,78 ev. (Opově ) x Obr. 25.8 očítačem vytvořený prostorový iagram průběhu elektrického potenciálu ϕ v boech roviny z = 0 v závislosti na vzálenosti r o klaného boového náboje v počátku roviny xy. Honoty potenciálu v boech této roviny jsou vyneseny svisle. Nekonečná honota potenciálu ϕ, vyplývající z rov. (25.26) pro r = 0, není samozřejmě zobrazena. Rov. (25.26) vyjařuje také elektrický potenciál kulové vrstvy (slupky) s kulově symetricky rozloženým nábojem, a to na jejím vnějším povrchu i vně této vrstvy. Lze to okázat s použitím jenoho ze slupkových teorémů uveených v čl. 22.4 a 24.9 myšleným stažením celkového náboje o střeu koule. Rov. (25.26) ovšem nevyjařuje potenciálani ve vrstvě, ani v její utině. RADY A NÁMĚTY Bo 25.3: Určení napětí (neboli potenciálového rozílu) Napětí ϕ mezi libovolnými věma boy v elektrickém poli boového náboje lze určit pomocí rov. (25.26). Nejprve vypočítáme honoty potenciálu v obou boech a poté je o sebe oečteme. Je zřejmé, že honota rozílu ϕ = ϕ f ϕ i bue stejná při kterékoli volbě referenční potenciální energie. y (c) Kyby se elektron přiblížil k járu, zvětšila by se, nebo zmenšila jeho potenciální energie? ŘEŠENÍ: otenciál ϕ elektrického pole protonu je vyšší blíže protonu. ole výsleku části (b) tohoto příklau tey energie E p klesne o větších záporných honot. Jinými slovy, přiblížením k járu potenciální energie E p elektronu klesne (tím klesne i energie celého systému čili celého atomu). 25.6 OTENCIÁL SOUSTAVY BODOVÝCH NÁBOJŮ otenciál v libovolném boě elektrického pole soustavy boových elektrických nábojů určíme pomocí principu superpozice. Nejprve vypočítáme pole rov. (25.26) potenciály elektrických polí jenotlivých nábojů, samozřejmě s přihlénutím ke znaménkům nábojů. otom tyto potenciály sečteme. Soustava n boových nábojů má potenciál ϕ = n i=1 ϕ i = 1 4pε 0 n i=1 Q i r i (n boových nábojů). (25.27) Symbol Q i ze znamená honotu i-tého boového náboje a r i jeho vzálenost o bou, v němž potenciál určujeme. Součet v rov. (25.27) je součet algebraický, nikoli vektorový jako v přípaě výpočtu intenzity pole soustavy nábojů. V tom spočívá výhoa potenciálu pře intenzitou: je mnohem snazší sčítat skaláry než vektory.

25.6 OTENCIÁL SOUSTAVY BODOVÝCH NÁBOJŮ 649 KONTROLA 4: Obrázek znázorňuje tři různá uspořáání vou protonů. Seřa te tato uspořáání sestupně pole velikosti potenciálu v boě jejich elektrického pole. D D (a) (b) (c) ŘÍKLAD 25.4 Jaký je potenciálv boě uprostře čtverce, v jehož rozích se nacházejí boové elektrické náboje (obr. 25.9a)? Délka strany čtverce je = 1,3 m a náboje mají velikosti Q 1 =12 nc, Q 2 = 24 nc, Q 3 =31 nc, Q 4 =17 nc. D náboj, bue mít potenciál jeho elektrického pole záporné honoty. roto v rovině uveeného čtverce musí existovat boy, v nichž má potenciálstejnou honotu jako v boě. Křivka na obr. 25.9b ukazuje průsečnici roviny čtverce a ekvipotenciální plochy procházející boem. Libovolný bo této průsečnice má stejnou honotu potenciálu jako bo. ŘÍKLAD 25.5 (a) Dvanáct elektronů na obr. 25.10a (s náboji e) je rovnoměrně rozloženo na kružnici o poloměru R. Jaká je honota elektrického potenciálu a intenzity elektrického pole ve střeu S kružnice, je-li referenční honota potenciálu ϕ = 0 zvolena v nekonečnu? Q 1 Q 2 ϕ = 350V Q 1 Q 2 R S 120 S Q 3 Q 4 (a) Q 3 Q 4 Obr. 25.9 říkla 25.4. (a) Čtyři boové náboje leží v rozích čtverce. (b) Uzavřená křivka je průsečnicí roviny čtverce a ekvipotenciální plochy, která prochází boem. ŘEŠENÍ: Bo leží ve stejné vzálenosti r o kažého boového náboje, takže pole rov. (25.27) ostaneme: ϕ = (b) 4 ϕ i = 1 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4. 4pε 0 r i=1 rotože r = / 2. = 0,919 m a součet nábojů je Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 = (12 24 31 17) 10 9 C = ostaneme = 36 10 9 C, ϕ = (8,99 109 N m 2 C 2 )(36 10 9 C). = (0,919 m). = 350 V. (Opově ) oznámka: Uvážíme-li pouze tři klané boové náboje v obr. 25.9a, bue mít potenciál jejich společného elektrického pole klané honoty. Uvážíme-li pouze jeiný záporný (a) Obr. 25.10 říkla 25.5. (a) Dvanáct elektronů rovnoměrně rozmístěných na kružnici. (b) Tytéž elektrony jsou nyní nepravielně rozmístěny na oblouku půvoní kružnice. ŘEŠENÍ: Jelikož všechny elektrony mají stejný (záporný) náboj a jsou ve stejné vzálenosti R o bou S, bue pole rov. (25.27) platit (b) ϕ = 12 1 e. (Opově ) (25.28) 4pε 0 R rotože potenciál je veličina skalární, není orientace polohových vektorů nábojů vzhleem k bou S pro výpočet potenciáluϕ postatná. Intenzita elektrického pole je však veličina vektorová, proto orientace polohových vektorů elektrických nábojů pro výpočet E postatná je. rotože elektrony jsou na kružnici rozloženy symetricky, je v boě S vektor intenzity elektrického pole libovolného elektronu vykompenzován vektorem intenzity elektrického pole toho elektronu, který je umístěn symetricky vzhleem ke střeu kružnice. roto v boě S je E = 0. (Opově ) (b) Jak se změní (změní-li se vůbec) potenciál a intenzita v boě S, jestliže elektrony rozmístíme nerovnoměrně na oblouku kružnice se střeovým úhlem 120 pole obr. 25.10b?

650 KAITOLA 25 ELEKTRICKÝ OTENCIÁL ŘEŠENÍ: otenciálje i ze án rov. (25.28), protože vzálenosti mezi boem S a kažým elektronem se nezměnily, a orientace polohových vektorů elektronů je pro potenciálbezvýznamná. Avšak intenzita je nyní nenulová, protože uspořáání elektronů již není symetrické. Výslená intenzita směřuje k oblouku s náboji. 25.7 OTENCIÁL ELEKTRICKÉHO OLE DIÓLU oužijme rov. (25.27), abychom našli potenciál ipólu v boě pole obr. 25.11a. ole rov. (25.26) klaný náboj buí ve vzálenosti r () potenciál ϕ (), záporný náboj ve vzálenosti r ( ) buí potenciál ϕ ( ). Výslený potenciál je pole rov. (25.27) součtem: ϕ = 2 i=1 ϕ i = ϕ () ϕ ( ) = 1 ( Q Q ) = 4pε 0 r () r ( ) = Q 4pε 0 r ( ) r () r ( ) r (). (25.29) kterou platí prakticky vžy r.) ak pole obr. 25.11b platí: r ( ) r (). = cos θ a r( ) r (). = r 2. o osazení o rov. (25.29) ostaneme pro potenciál ϕ pole ipólu ϕ = Q cos θ 4pε 0 r 2, ke θ je úhelměřený o osy ipólu (obr. 25.11a). Je tey ϕ = 1 4pε 0 p cos θ r 2 (elektrický ipól), (25.30) ke p je velikost ipólového momentu p = Q efinovaného v čl. 23.5. řipomeňme, že vektor p leží na ose ipólu a je orientován o záporného ke klanému pólu a úhel θ měříme o směru p. KONTROLA 5: řepokláejme, že tři boy jsou rozmístěny ve stejných (velkých) vzálenostech r o střeu ipólu (obr. 25.11): bo A leží na ose ipólu na jeho klaným nábojem, bo B leží na ose ipólu po záporným nábojem a bo C leží na kolmici k ose ipólu procházející střeem O ipólu. Seřa te tyto boy sestupně pole velikosti jejich elektrického potenciálu. O z Q θ Q (a) r r () r ( ) r () r ( ) z Q Q (b) θ r () r ( ) r ( ) r () Obr. 25.11 (a) Bo je ve vzálenosti r o střeu O elektrického ipólu. Úsečka O svírá s osou ipólu úhel θ. (b)je-li bo velmi aleko o ipólu, jsou úsečky r () a r ( ) přibližně rovnoběžné s úsečkou O a čárkovaná černá úsečka je přibližně kolmá k úsečce r ( ). Často se zajímáme o pole ipólu ve vzálenosti r mnohem větší než élka ipólu, tj. r. (ak mluvíme o elementárním ipólu; to je např. polární molekula, pro Inukovaný ipólový moment Mnohé molekuly,např.molekuly voy,jsou polární,tj. mají permanentní (trvalé) elektrické ipólové momenty. U molekul nepolárních a také v kažém atomu splývá stře všech klaných nábojů se střeem nábojů záporných (obr. 25.12a). roto elektrický ipólový moment takových molekul a atomů je nulový. (a) (b) E p Obr. 25.12 (a) Atom s klaně nabitým járem (zeleně) a záporně nabitými elektrony (zlatě stínované). Stře klaného náboje jára splývá se střeem záporně nabitého elektronového obalu atomu. (b) Je-li atom umístěn o vnějšího elektrického pole, jsou elektronové orbity eformovány a tím se střey klaného a záporného náboje oálí. Atom tak získá elektrický ipólový moment. Deformace elektronových rah je značně přehnána. Umístíme-li však atom nebo nepolární molekulu o vnějšího elektrického pole, eformují se vlivem elektrických silelektronové orbity, a tím se stře všech záporných

25.8 OTENCIÁL SOJITĚ ROZLOŽENÉHO NÁBOJE 651 nábojů nepatrně posune vůči střeu všech klaných nábojů (obr. 25.12b). rotože elektrony jsou záporně nabité, posunou se proti směru vektoru intenzity vnějšího elektrického pole. Tím vznikne ipól, jehož ipólový moment p má směr souhlasný s vnějším elektrickým polem. Říkáme, že takový ipólový moment je inukovaný elektrickým polem a atom nebo molekula je tímto polem polarizována (získá klaný a záporný pól). Je-li vnější elektrické pole ostraněno, inukovaný ipólový moment a polarizace zanikají. 25.8 OTENCIÁL SOJITĚ ROZLOŽENÉHO NÁBOJE Je-li náboj Q rozložen spojitě (např. na voivé tyči, isku apo.), je nutno pro výpočet elektrického potenciálu ϕ v rov. (25.27) sčítání nahrait integrací. Zvolíme infinitezimální elementy Q náboje, vyjáříme v boě jejich potenciály ϕ, a poté integrujeme přes celý spojitě rozložený náboj. Infinitezimální náboj Q považujeme vžy za boový. Zvolíme-li nulovou honotu potenciálu v nekonečnu, je pole rov. (25.26) potenciál jeho pole v boě án vztahem ϕ = 1 Q 4pε 0 r, (25.31) ke r je vzálenost bou o náboje Q. Abychom určili celkový potenciál ϕ v boě, musíme integrovat přes všechen spojitě rozložený náboj: ϕ = ϕ = 1 Q 4pε 0 r. (25.32) Dále vyšetříme va přípay spojitě rozloženého náboje: na úsečce a na isku. Náboj spojitě rozložený na úsečce Na obr. 25.13a je tenká nevoivá tyč élky L, rovnoměrně nabitá klaným elektrickým nábojem o élkové hustotě náboje τ = konst. Určíme potenciál ϕ elektrického pole buzeného v boě nábojem na tyči. Bo se nachází v kolmé vzálenosti o levého konce tyče. Infinitezimální élkový element x tyče (obr. 25.13b) nese infinitezimální náboj Q = τ x. (25.33) Tento náboj buí v boě (který leží ve vzálenosti r = x 2 2 o Q) elektrické pole o potenciálu ϕ. Určíme jej pole rov. (25.31): ϕ = 1 Q = 1 τ x 4pε 0 r 4pε 0 x 2. (25.34) 2 L (a) x Obr. 25.13 (a) Tenká, rovnoměrně nabitá tyč buí v boě elektrické pole o potenciálu ϕ. (b) Element náboje Q vyvolává v boě pole o potenciálu ϕ. Jelikož náboj tyče je klaný a nulová honota potenciálu byla zvolena v nekonečnu, je pole čl. 25.5 potenciál ϕ v rov. (25.34) také klaný. otenciál ϕ elektrického pole buzeného nábojem celé tyče ostaneme integrací rov. (25.34) přes celou élku tyče, o x = 0ox = L. Dostaneme tak (oatek E) ϕ = ϕ = = τ L 4pε 0 0 L 0 = τ 4pε 0 [ ln ( x = τ 4pε 0 [ ln ( L r x (b) x 1 τ 4pε 0 x 2 x = 2 x x 2 2 = x 2 2)] L 0 = L 2 2) ln rotože platí ln A ln B = ln(a/b),je ( ϕ = τ L ) L ln 2 2. (25.35) 4pε 0 rotože argument funkce logaritmus je větší než 1, je logaritmus klaný, a potenciál ϕ je také klaný, jak bylo možné očekávat. Rovnoměrně nabitý isk V čl. 23.7 jsme počítali velikost intenzity elektrického pole v boech na ose nevoivého isku o poloměru R, který je rovnoměrně nabit nábojem s plošnou hustotou σ. Nyní ovoíme výraz pro potenciál ϕ(z) elektrického pole v libovolném boě na ose tohoto isku. Nejprve uvažujme plošný element tvaru nekonečně tenkého mezikruží poloměru R a raiální šířky R (obr. 25.14). Náboj na něm má velikost Q = σ(2pr )(R ), ke (2pR )(R ) je obsah mezikruží. Všechny boy tohoto mezikruží jsou ve stejné vzálenosti r o bou na ose ]. x

652 KAITOLA 25 ELEKTRICKÝ OTENCIÁL isku, a proto příspěvek náboje na tomto mezikruží k celkové honotě elektrického potenciálu v boě můžeme vyjářit vztahem ϕ = 1 Q = 1 σ(2pr )(R ). (25.36) 4pε 0 r 4pε 0 z 2 R 2 otenciál elektrického pole buzeného v boě všemi náboji na isku vypočítáme integrací příspěvků o všech proužků mezikruží s poloměry o R = 0oR = R: ϕ = ϕ = σ R R R 2ε 0 0 z = 2 R 2 = σ ( z 2ε 2 R 2 z ). (25.37) 0 ovšimněme si, že proměnnou ve ruhém integrálu rovnice (25.37) je R, a nikoli vzálenost z, která zůstává konstantní v průběhu integrace přes plochu isku. (oznamenejme, že při výpočtu integrálu jsme přepokláali, že z 0.) r R z R R Obr. 25.14 Nevoivý isk poloměru R je na horní ploše rovnoměrně nabit elektrickým nábojem s plošnou hustotou náboje σ. Hleáme potenciál ϕ elektrického pole v boě na ose isku. rotože σ je plošná hustota náboje, je celkový náboj na isku σ pr 2. oužijeme-li rov. (25.38), ostaneme Q = σ pr 2 = 2pε 0 Rϕ 0 = = 2p(8,85 10 12 C 2 N 1 m 2 )(0,035 m)(550 V) = = 1,1 10 9 C = 1,1nC. (Opově ) ři úpravě jenotek ve výsleku jsme použili rov. (25.9), tj. 1V= 1J C 1 = 1N m C 1. (b) Jaký potenciálje na ose isku ve vzálenosti z = 5,0R o isku? ŘEŠENÍ: ole rov. (25.37) je ϕ = σ 2ε 0 ( (5,0R) 2 R 2 5,0R ). Dosazením za σ z rov. (25.38) ostaneme ϕ = ϕ 0 ( 26R R 2 5,0R ) ( ) = ϕ 0 26 5,0 = = (550 V)(0,099) = 54 V. (Opově ) 25.9 VÝOČET INTENZITY ZE ZADANÉHO OTENCIÁLU V čl. 25.4 jsme se seznámili s tím, jak určit elektrický potenciál, jestliže známe intenzitu elektrického pole v kažém boě trajektorie spojující tento bo s referenčním boem. V tomto článku bueme postupovat obráceně, tj. bueme hleat intenzitu elektrického pole pomocí známého potenciálu. Jak naznačuje obr. 25.3, grafické řešení tohoto problému je snané: je-li znám potenciál ϕ všue v okolí nábojů, lze sestrojit ekvipotenciální plochy. Elektrické siločáry, které vžy protínají ekvipotenciální plochy kolmo, pak naznačují průběh vektoru intenzity E. Nyní najeme k této grafické metoě její matematický ekvivalent. ŘÍKLAD 25.6 otenciálve střeu rovnoměrně nabitého kruhového isku o poloměru R = 3,5cmjeϕ 0 = 550 V. (a) Jak velký je celkový náboj Q na isku? ŘEŠENÍ: Ve střeu isku je z = 0, a proto se rov. (25.37) reukuje na ϕ 0 = σr 2ε 0, z čehož plyne σ = 2ε 0ϕ 0 R. (25.38) E Q θ 0 s s vě ekvipotenciální plochy Obr. 25.15 Testovací náboj Q 0 se posune o s o jené ekvipotenciální plochy ke ruhé. Vektor posunutí s svírá úhel θ se směrem vektoru intenzity elektrického pole E.

25.9 VÝOČET INTENZITY ZE ZADANÉHO OTENCIÁLU 653 Na obr. 25.15 je zachycen příčný řez soustavou ekvipotenciálních ploch. otenciálový rozíl mezi kažou vojicí souseních ploch je ϕ. Na obr. 25.15 je znázorněno, že vektor intenzity E v libovolném boě je kolmý k ekvipotenciální ploše, která boem prochází. řepokláejme, že klaný testovací náboj Q 0 se posune o s o jené ekvipotenciální plochy k ploše sousení. ole rov. (25.7) práce vykonaná elektrickým polem při posunutí testovacího náboje je Q 0 ϕ. ole rov. (25.16) a obr. 25.15 práce vykonaná elektrickým polem může být vyjářena také skalárním součinem Q 0 E s.roto ϕ = E s. (25.39) Vyjáříme-li skalární součin E s výrazem E cos θ s, ostaneme z rov. (25.39) ϕ = E cos θ s. rotože E cos θ je složka vektoru E ve směru posunutí s, lze tuto rovnici vyjářit ve tvaru E s = ϕ s. (25.40) Rov. (25.40), která je v postatě obráceným vztahem k rovnici (25.18), vyjařuje: Složka intenzity pole E v libovolném směru je rovna poklesu potenciálu v tomto směru (tj. záporně vzatému přírůstku) připaajícímu na jenotkovou vzálenost. bylo ukázáno v kap. 23. Ve ruhém z nich nejprve určíme (skalární) potenciál ϕ(x,y,z) a intenzitu elektrického pole určíme z rov. (25.41). Druhý způsob bývá zpravila snazší. V homogenním elektrickém poli (ke E je vektor konstantní co o velikosti i co o směru), můžeme použít i konečná posunutí s a rov. (25.40) má tvar: E s = ϕ s. Volíme-li s kolmo k ekvipotenciální ploše ve směru poklesu potenciálu ϕ, je ϕ < 0 a ostáváme E = ϕ s (25.42) pro velikost vektoru E. Složka intenzity ve směru rovnoběžném s ekvipotenciální plochou je vžy nulová. KONTROLA 6: Na obrázku jsou tři vojice rovnoběžných esek stejně vzálených. Kažá eska má určitý elektrický potenciál. Elektrické pole mezi eskami je homogenní a vektor intenzity E je kolmý k eskám. (a) Seřa te vojice těchto esek sestupně pole velikosti intenzity elektrického pole mezi eskami. (b) Ve které vojici esek směřuje vektor intenzity elektrického pole vpravo? (c) Co se stane, umístíme-li elektron oprostře mezi třetí vojice esek: zůstane na místě? Bue se pohybovat konstantní rychlostí vpravo, nebo vlevo? Bue se pohybovat zrychleně vpravo, nebo vlevo? Za směr s zvolíme postupně osy x, y a z. Dostaneme tak příslušné tři složky intenzity elektrického pole: E x = ϕ x, E y = ϕ y, E z = ϕ z ; (25.41) 50V 150V (1) 20V 200V (2) 200V 400V (3) vektor E elektrické intenzity pak můžeme vyjářit vektorovým vztahem E = E x i E y j E z k = ( ϕ = x i ϕ y j ϕ ) z k = gra ϕ. Známe-li tey funkci ϕ = ϕ(x,y,z) ve všech boech pole, pak lze určit složky E x, E y, E z (a tím také vektor intenzity E) v libovolném boě pomocí uveených parciálních erivací. Máme tey va způsoby jak určit E pro ané rozložení nábojů. V prvním z nich určíme přímo vektor E tak, jak ŘÍKLAD 25.7 Elektrický potenciál v libovolném boě na ose nabitého isku je určen rov. (25.37) ϕ = σ ( z 2ε 2 R 2 z ). 0 Vyjěte z tohoto výrazu a ovo te vztah pro intenzitu elektrického pole v libovolném boě na ose isku. ŘEŠENÍ: Vektor intenzity elektrického pole musí ležet v ose isku, protože rozložení náboje na isku je prostorově symetrické. Zvolíme-li směr s tak, aby splýval s osou z, pak pole

654 KAITOLA 25 ELEKTRICKÝ OTENCIÁL rov. (25.40) ostaneme E z = ϕ z = σ 2ε 0 z = σ ( 1 2ε 0 ( z 2 R 2 z ) = ) z. (Opově ) z 2 R 2 Toto je stejný výraz jako výraz ovozený v čl. 23.7 integrací s použitím Coulombova zákona. 25.10 ELEKTRICKÁ OTENCIÁLNÍ ENERGIE SOUSTAVY BODOVÝCH NÁBOJŮ V čl. 25.1 jsme se zabývali potenciální energií testovacího náboje jako funkcí jeho polohy ve vnějším elektrickém poli. řepokláali jsme, že náboje, které elektrické pole vyvolávají, mají pevné polohy, neovlivněné přítomností testovacího náboje. V tomto článku vyšetříme jinou situaci; najeme vztah pro konfigurační potenciální energii soustavy nábojů v poli vytvořeném těmito náboji. Uve me jenouchý příkla. Jestliže k sobě přiblížíme vě nabitá tělesa s náboji stejného znaménka, pak práce, kterou přitom musíme vykonat (tj. vynaložit na překonání opuivých elektrických sil),se přemění v potenciální energii soustavy vou nabitých těles (za přepoklau, že se jejich kinetická energie nemění). Jestliže poté tělesa uvolníme, začnou se pohybovat a nahromaěnou elektrickou potenciální energii můžeme získat zpět jako kinetickou energii nabitých těles (vzalujících se o sebe). Elektrickou potenciální energii soustavy elektrických nábojů zaujímajících určité polohy, tey energii určité konfigurace nábojů, efinujeme takto: otenciální energie soustavy nábojů je rovna práci W ext, kterou musela vykonat vnější síla proti silám pole při sestavování této konfigurace nábojů, tj. při přemístění kažého náboje z nekonečna o jeho polohy v ané konfiguraci. řitom přepoklááme, že náboje jsou ve výchozí i v koncové poloze v kliu. Formulací náboje v nekonečnu myslíme, stejně jako v čl. 25.1, náboje umístěné tak aleko o sebe, abychom jejich vzájemné působení mohli v ané úloze zanebat. Obr. 25.16 znázorňuje va boové náboje Q 1 a Q 2,ve vzálenosti r. řestavme si, že ve snaze najít elektrickou potenciální energii tohoto systému vou nábojů uskutečníme násleující proces. řepokláejme, že oba náboje jsou nejprve nekonečně vzálené a v kliu. řeneseme-li náboj Q 1 z nekonečna o jeho koncové polohy, nekonáme práci, protože nemusíme překonávat žánou elektrostatickou sílu. Vezmeme-li však alší náboj Q 2 a přeneseme-li ho o aného místa, práci již konáme, protože přítomnost náboje Q 1 se projevuje elektrostatickou silou působící na náboj Q 2 během jeho přemís ování. Q 1 Q 2 r Obr. 25.16 Dva náboje ržené v neměnné vzálenosti r.jaká je elektrická potenciální energie této konfigurace? ráci při tomto procesu námi vykonanou (tj. vnější silou) určíme pole rov. (25.8) a (25.12). Označíme-li přenášený náboj jako Q 2, bue tato práce rovna Q 2 ϕ, ke ϕ je potenciál elektrického pole vyvolaného nábojem Q 1 v boě, o kterého bylnáboj Q 2 přemístěn. ole rov. (25.26) má tento potenciálhonotu ϕ = 1 Q 1 4pε 0 r. Dvojice boových elektrických nábojů má tey elektrickou potenciální energii E p = 1 Q 1 Q 2. (25.43) 4pε 0 r Mají-li oba náboje stejná znaménka, pak při jejich vzájemném přibližování se překonává opuivá síla mezi nimi působící a práce námi vykonaná je klaná. otenciální energie systému je pak klaná, což je zřejmé i z rov. (25.43), a vzájemným přibližováním obou nábojů se zvyšuje. Mají-li náboje opačná znaménka, musíme vykonat stejně velkou, ale zápornou práci proti vzájemné přitažlivé síle působící mezi náboji. otenciální energie takového systému vou nábojů se jejich vzájemným přibližováním snižuje. V př. 25.8 je naznačeno, jak tento postup výpočtu rozšířit na soustavu libovolného počtu nábojů. ŘÍKLAD 25.8 Obr. 25.17 ukazuje tři náboje ržené v pevných polohách silami, které na obrázku nejsou znázorněné. Jaká je elektrická potenciální energie této soustavy nábojů? Je ána vzálenost = 12 cm a náboje Q 1 =Q, Q 2 = 4Q, Q 3 =2Q, ke Q = 150 nc. ŘEŠENÍ: řestavme si, že soustavu tří nábojů na obr. 25.17 teprve sestavujeme. Dejme tomu, že na začátku je již na svém místě jeen z nábojů, řekněme Q 1, a ostatní va jsou ještě v nekonečnu. Nyní přeneseme alší náboj, třeba Q 2,znekonečna na jeho místo v soustavě. Dosaíme-li místo r

25.10 ELEKTRICKÁ OTENCIÁLNÍ ENERGIE SOUSTAVY BODOVÝCH NÁBOJŮ 655 o rov. (25.43), ostaneme potenciální energii E p,12 vojice nábojů Q 1 a Q 2 E p,12 = 1 Q 1 Q 2. 4pε 0 Nakonec přemístíme třetí (poslení) náboj Q 3 z nekonečna na jeho místo v soustavě. ráce, kterou musíme vykonat v tomto poslením kroku, je rovna součtu vou prací: práce W ext,13, kterou musíme vykonat, abychom náboj Q 3 přiblížili z nekonečna k náboji Q 1, a práce W ext,23, kterou musíme vykonat, abychom náboj Q 3 současně přiblížili k náboji Q 2. ráce, kterou vykonáme při přemístění náboje Q 3,jetey W ext,13 W ext,23 = E p,13 E p,23 = = 1 Q 1 Q 3 1 Q 2 Q 3. 4pε 0 4pε 0 Celková elektrická potenciální energie soustavy tří nábojů je rovna součtu potenciálních energií tří vojic nábojů, které lze z nábojů vytvořit. Tento součet (který je nezávislý na pořaí nábojů ve vojicích) je roven E p = E p,12 E p,13 E p,23 = = 1 ( Q( 4Q) Q(2Q) 4pε 0 = 1 10Q 2 = 4pε 0 ( 4Q)(2Q) ) = = (8,99 109 N m 2 C 2 ) 10 (150 10 9 C) 2 (0,12 m) = 1,7 10 2 J. = (Opově ) Energie je záporná, tzn., že je záporná i celková práce vynaložená na přemístění těchto tří nábojů z nekonečna o poloh pole obr. 25.17. A obráceně, abychom úplně rozrušili tuto strukturu a vzálili náboje o sebe o nekonečna, musíme vykonat práci 17 mj, ta je rovna vazební energii soustavy. Q 1 Q 2 Obr. 25.17 říkla 25.8. Tři náboje jsou umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka. Jaká je jejich potenciální energie? Q 3 ŘÍKLAD 25.9 Částice α (která se skláá ze vou protonů a vou neutronů) letí z velké álky k atomu zlata, prolétá jeho elektronovým obalem a míří přímo na jeho járo, které je tvořeno 79 protony a 118 neutrony. Zpomaluje se, až se zastaví ve vzálenosti r = 9,23 fm o střeu atomového jára* a pak se vrací zpět po půvoní ráze (obr. 25.18). Jaká byla její počáteční kinetická energie E k? (rotože járo atomu zlata je mnohem hmotnější než α-částice, můžeme přepokláat, že poloha jára se při této interakci prakticky nezmění.) Uvažujte pouze elektrickou interakci, vliv silné jaerné interakce vzhleem k uveené vzálenosti zanebejte. r α-částice járo atomu zlata Obr. 25.18 říkla 25.9. Částice α, pohybující se přímo na stře jára atomu zlata, se zastavila v okamžiku, ky se její kinetická energie celá přeměnila v elektrickou potenciální energii. ŘEŠENÍ: Během celého procesu se zachovává mechanická energie systému α-částice atom zlata. oku je α-částice vně atomu, je elektrická potenciální energie systému nulová, protože atom má stejný počet elektronů jako protonů, a je tey navenek elektricky neutrální, nevytváří vnější elektrické pole. Jakmile však α-částice pronikne elektronovým obalem atomu, působí již jen opuivá elektrostatická síla, zpočátku slabá, ale rychle se zesilující se zmenšující se vzáleností střeů částice a jára atomu. Je vyvolána opuzováním protonů α-částice protony atomového jára. (Neutrony, které jsou elektricky neutrální, k této opuivé síle nepřispívají a jejich silnou interakci lze vzhleem k uveené vzálenosti zanebat. Elektrony, nyní vně oblasti výskytu α-částice, působí jako homogenně nabitá kulová vrstva, jejíž pole uvnitř je nulové.) Vlivem opuivé síly se α-částice zpomaluje a její kinetická energie se přeměňuje v elektrickou potenciální energii celého systému. Tato přeměna je ukončena v okamžiku, ky rychlost α-částice klesne na nulu. Ze zákona zachování mechanické energie plyne, že počáteční kinetická energie E k částice α se musí rovnat elektrické potenciální energii E p systému v okamžiku, ky se α-částice zastaví: E k = E p, (25.44) ke E p je áno rov. (25.43). Dosazením Q 1 = 2e, Q 2 = 79e (ke e je elementární náboj, jehož velikost je 1,60 10 19 C) * Můžeme také říci, že se v této vzálenosti částice orazila o jára.

656 KAITOLA 25 ELEKTRICKÝ OTENCIÁL a r = 9,23 fm ostaneme 12 12 E k = 1 4pε 0 (2e)(79e) (9,23 fm) = = (8,99 109 N m 2 C 2 )(158)(1,60 10 19 C) 2 (9,23 10 15 m) = 3,94 10 12 J = 24,6MeV. (Opově ) KONTROLA 7: Zaměňme v př. 25.9 částici α jením protonem se stejnou kinetickou energií. Orazí se tento proton o jára ve stejné vzálenosti jako α-částice (tj. 9,23 fm o jára atomu zlata), ále o něho, nebo blíž k němu? 25.11 OTENCIÁL NABITÉHO VODIČE V čl. 24.6 jsme ošli k závěru, že ve všech vnitřních boech izolovaného voiče je E = 0. omocí Gaussova zákona elektrostatiky jsme okázali, že volný náboj je rozložen na jeho vnějším povrchu. (To platí i v přípaě, že voič má uvnitř práznou utinu.) Z toho, že E = 0 ve všech vnitřních boech voiče, ovoíme alší poznatek: Volný náboj na izolovaném voiči se samovolně rozprostře po vnějším povrchu voiče tak, že všechny boy voiče a je jeno za na povrchu nebo uvnitř mají stejný potenciál. To platí bez ohleu na to, za voič má či nemá utinu. Důkaz vyplývá přímo z rov. (25.18), tj. ze vztahu f ϕ f ϕ i = E s. i Jelikož E = 0 ve všech boech ve voiči, vyplývá otu, že ϕ f = ϕ i pro všechny možné vojice boů (i) a (f) voiče. Obr. 25.19a ukazuje závislost potenciálu na vzálenosti r o střeu izolované kulové voivé plochy o poloměru 1,0 m mající náboj 1,0 mc. V boech vně koule můžeme potenciál ϕ(r) vypočítat z rov. (25.26), protože vzhleem k nim se celkový náboj projevuje jako boový, umístěný ve střeu koule. Tato rovnice platí i pro boy na povrchu koule. Nyní vsuňme malý testovací náboj malým otvorem ovnitř koule. řitom nekonáme práci, protože na testovací náboj uvnitř voivé koule elektrická síla nepůsobí. otenciálve všech boech uvnitř koule má tey stejnou honotu jako v boech na povrchu, jak ukazuje obr. 25.19a. Obr. 25.19b ukazuje průběh závislosti velikosti elektrické intenzity E téže nabité koule na vzálenosti r o = ϕ (kv) 8 4 0 0 1 2 3 4 r (m) (a) E (kv/m) 8 4 0 0 1 2 3 4 r (m) Obr. 25.19 (a) růběh potenciálu ϕ(r) nabité kulové plochy. (b) růběh velikosti intenzity elektrického pole E(r) stejné kulové plochy. Na povrchu koule je intenzita nespojitá. jejího střeu. Všimněme si, že uvnitř koule platí E = 0. Křivku na obr. 25.19b lze ovoit erivováním funkce z obr. 25.19a pole r, viz rov. (25.40). Naopak křivka na obr. 25.19a může být ovozena integrováním funkce z obr. 25.19b přes proměnnou r pole rov. (25.19). Na povrchu voičů, které nejsou kulově symetrické, se náboj nerozělí rovnoměrně. Hustota náboje roste se zakřivením, takže na hrotech a hranách může hustota náboje a tím i intenzita vnějšího elektrického pole, která je jí úměrná osahovat velmi vysokých honot. Vzuch se může kolem takových hrotů ionizovat a vytvořit koronový výboj; ten mohou viět při blížících se letních bouřkách např. hráči golfu na koncích golfových holí, horolezci na koncích svých cepínů a na skalních útesech, turisté např. na koncích větví keřů. Takové koronové výboje, vypaající jako zježené vlasy, jsou často přezvěstí úeru blesku. Za takových okolností je rozumné schovat se v utině nějakého voivého přemětu, ke je intenzita elektrického pole zaručeně nulová. Auto se svou kovovou karoserií (obr. 25.20) je k tomu téměř ieální (poku neje o auto se skláací střechou). Je-li izolovaný voič vložen o vnějšího elektrického pole (obr. 25.21), pak bue ve všech jeho boech stejný potenciál bez ohleu na to, za voič je či není nabit. Volné voivostní elektrony se totiž rozělí po povrchu voiče takovým způsobem, že elektrické pole, které vyvolají, zruší ve vnitřních boech voiče to elektrické pole, které o voiče proniklo z vnějšku (a které by tam jinak zůstalo nezrušeno, kyby ve voiči nebyly volné náboje). Rozložení elektronů po povrchu voiče také způsobí, že siločáry výsleného pole buou v kažém boě povrchu voiče k němu kolmé. Kybychom mohli voič na obr. 25.21 z vnějšího elektrického pole vyjmout tak, aby jeho povrchové náboje zůstaly fixovány na svých místech, zůstalo by elektrické pole vně i uvnitř voiče zcela nezměněné (a tey i průběh siločár by zůstal stejný). (b)