Geometrie RNDr. Yetta Bartákoá Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázaou
Objemy a porchy těles koule, kuloá plocha a jejich části VY INOVACE_05 9_M Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázaou
Objemy a porchy těles A) Koule - je těleso, které znikne rotací kruhu kolem přímky, která obsahuje jeho průměr - je množina bodů prostoru, jejichž zdálenost od bodu S je menší nebo rona r B) Kuloá plocha - je těleso, které znikne rotací kružnice kolem přímky, která obsahuje její průměr - je množina bodů prostoru, jejichž zdálenost od bodu S je rona r
Objem: 4 V r Porch: S 4 r
C) Části koule - Kuloá úseč je průnik koule a poloprostoru s hraniční roinou, jejíž zdálenost od středu je menší než poloměr Objem: V h r h 6 Porch: S r h r
- Kuloá rsta je průnik koule a rsty s hraničními roinami, jejichž zdálenosti od středu koule jsou menší než poloměr - Kuloá ýseč je sjednocení kuloé úseče a rotačního kuželu s podstaou shodnou s podstaou úseče a rcholem e středu koule Objem: V hr r h 6 V h r Porch: S r h r r r h r r S 4
D) Části kuloé plochy - Kuloý rchlík je průnik kuloé plochy a poloprostoru s hraniční roinou, jejíž zdálenost od středu je menší než poloměr ( S r h ) - Kuloý pás je průnik kuloé plochy a rsty s hraničními roinami, jejichž zdálenosti od středu koule jsou menší než poloměr ( S r h ) 5
6 Příklad Válcoá nádoba o poloměru cm je naplněna odou. Určete, kolik ody ytlačí koule o poloměru 5 cm, ložená na álcoou nádobu, a jak elký je porch suché části koule. 5 9 9 0 9 0 0 0 5 6 5 9 5 r r r
7 4 9 6 6 cm V r V 90 5 5 4 4 cm S S r r S Koule ytlačí 4 cm ody a porch suché části koule je 90 cm.
Příklad Kolik km měří mírné pásmo na Zemi? Mírné pásmo se rozprostírá mezi obratníkem Raka ( 7 seerní zeměpisné šířky) a polárním kruhem ( 66 seerní zeměpisné šířky), poloměr Země je 678 km. h sin 7 r h 678 sin 7 58,6 km h sin 66 r h 678 sin 66 585,6 km h h h h, km 8
S S S S r h 678, 4 6 0,6 km,80 8 km Mírné pásmo na Zemi měří S 8,80 km. 9
Příklady. Jakou hmotnost má kulečníkoá koule ze slonoiny, je-li délka její hlaní kružnice 6 cm a hustota 900kg/ m.. Do ronostranného álce je epsána koule a kužel. Podstaa kužele je shodná s podstaou álce a rchol je e středu druhé podstay. Určete poměr objemů těchto tří těles.. Jakou část zemského porchu idíme z ýšky 50 km nad Zemí? 4. Krychli opište a epište kouli. Vypočtěte poměr objemů koule opsané, krychle a koule epsané. 5. Určete objem kuloé úseče, jejíž ýška je 7 cm, je-li obsah jejího rchlíku 88 dm. 0
Úlohy na procičoání: Př.. Skleněná kulička má čtyřnásobný poloměr než kulička hliněná. Kolikrát má skleněná kulička ětší porch, kolikrát má ětší objem? Př.. Vypočtěte objem kuloé rsty 8 cm ysoké. Průměr dolní podstay je 80 cm, průměr horní podstay je 60 cm. Př.. Vypočtěte porch a objem kuloé ýseče, když kuloá úseč, která je částí ýseče, má poloměr podstay 6 cm a ýšku = cm. Př.4. Vypočtěte objem kuloé rsty, která zbude z polokoule po odříznutí úseče o ýšce = cm. Výška polokoule je 0 cm.
Př.5. Jakou hmotnost má kooé těleso e taru činky složené ze dou koulí o průměru 6 cm a příčky taru álce o průměru,5 cm a ýšce cm? Hustota tělesa je 800 kg/ m. Př.6. Vypočtěte porch kuloé úseče, znáte-li její objem 4,4 cm a ýšku cm. Př.7. Plynojem toří álec ysoký 6 m o průměru 8 m, který je nahoře uzařen kuloým rchlíkem. Střed kuloé plochy leží 4 m pod dnem álce. a) Vypočtěte poloměr kuloé plochy a ýšku rchlíku. b) Jaký je objem plynojemu? Př.8. Dě koule o poloměrech r = cm, r = 4 cm mají středy S, S, jejichž zdálenost je s = 0 cm. Určete porch tělesa, které je společnou částí obou koulí.
Př.9. Z jaké ýše idí letec porch Země o rozloze 00000 km? Př.0. V jaké ýšce je nutno protnout polokouli o poloměru cm roinou ronoběžnou s její podstaou, aby obsah rchlíku byl dakrát ětší než obsah pásu? Př.. Určete porch a objem kuloé úseče, je-li poloměr koule 5 cm a poloměr řezu cm. Př.. Určete porch a hmotnost dojypuklé čočky o průměru 0 cm, je-li poloměr křiosti jedné kuloé plochy 0 cm a poloměr druhé 8 cm. ( 500 kg/ m )
Př.. Ze dou koulí o poloměrech cm a 5 cm je ulita koule. Určete její poloměr a porch. Př.4. Určete elikost středoého úhlu, který přísluší rchlíku, jehož obsah je jednou pětinou porchu koule. Př.5. Určete obsah rchlíku, příslušného středoému úhlu 0, je-li poloměr kruhoé hrany 0 cm. Př.6. Z koule o poloměru 8 cm je oddělena úseč, jejíž ýška je jednou třetinou průměru koule. Určete porch kuloé úseče. Př.7. Nalijeme-li do nádoby taru polokoule litry ody, naplní se do ýšky 6 cm. Určete poloměr polokoule. 4
Př.8. Rotační kužel má ýšku 80 cm. Jeho strana určuje s ýškou odchylku 60. Určete objem kuloé úseče, která doplňuje tento kužel na kuloou ýseč. Př.9. Určete objem kuloé rsty, která znikne z polokoule o poloměru 5 cm odříznutím úseče o ýšce,5 cm. Př.0. Kouli o poloměru cm je opsán ronostranný kužel. Středem koule eďte roinu ronoběžnou s roinou podstay kužele. Určete objem tělesa, které znikne z komolého kužele yjmutím polokoule. 5
Výsledky:. 6krát; 64krát;. 7,7 dm ;. S = 4,5 cm ; V = 48,879 cm ; 4. 89,96 cm ; 5.,08 kg; 6. 97,99 cm ; 7. a) r = 4,4 m; = 4,4 m; b) 55,69 m ; 8. 59,66 cm ; 9. 5 km; 0. 4 cm od podstay;. 4 V cm, S 9 cm V 6 cm, S 8 cm ;. S = 7,9 cm ; m = 440 g;. r = 5,0 cm; S = 5,8 cm ; 4. 065 7 ; 5. 400 S cm ; 6. 80 S cm 9 ; 7. 9,68 cm; 8. 680,8 dm ; 9. 0 cm ; 0. 9 cm 6
Procičoání:. Maturitní minimum sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str.8-84, př.7.4, 7.5. Sbírka úloh z M pro OA a SOŠ, J.Klodner, str. str. 98, př. -5 7