Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.

Měřicí aparatura 1 / 34

Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost vyjádřena v násobcích dobře definované jednotky Podle počtu složek: Skalární pouze velikost (hmotnost délka, čas) vektorové velikost a směr (rychlost, síla, hybnost) Tenzorové matice NxN (tenzor napětí) 2 / 34

Fyzikální veličiny Hodnotu dané fyzikální veličiny X uvádíme VŽDY: X=velikost [jednotka] Samostatně nemá ani jedno smysl. Jednotky - reprodukovatelné veličiny určené na základě standardizace. Různé standardy: SI - mezinárodní soustava jednotek (1960) [m], [kg], [s], [A], [K], [Cd], [mol] CGS - zavedena 1832 Gaussem, vše se vyjadřuje pomocí [cm], [g], [s] 3 / 34

Jednotky fyzikálních veličin Jednotky - reprodukovatelné veličiny určené na základě standardizace. Požadavky na standard: Neporušitelnost Stálost v čase a prostoru Dostupnost Totožnost Standard lze definovat Prototypem (např. prototyp kilogramu)- může se čase měnit Měřícím postupem-reprodukovatelné (s určitou chybou) 4 / 34

Soustava jednotek SI mezinárodní soustava jednotek (1960) tzv. metrický systém Jednotky: Základní Doplňkové Odvozené Násobky a díly 5 / 34

Soustava jednotek SI 6 / 34

Měření a nejistota chyba... nejistota versus nepřesnost Měřená veličina X: x 0 - skutečná hodnota (nám neznámá) x - hodnota zjištěná měřením (náš odhad reality) skutečná (absolutní) chyba měření ɛ = x x 0 relativní chyba měření δ = ɛ x 0 = x x 0 x 0 Při fyzikálním měření se snažíme určit co nejpravděpodobnější hodnotu měřené veličiny a pravděpodobnou hodnotu chyby. 9 / 34

Chyby měření 1. Chyby hrubé: např. omyl pozorovatele, měření zatížené touto chybou je nutné nebrat do úvahy, lze je rozeznat a z výsledku měření odstranit příčiny hrubých chyb : nedokonalost, nepřesnost měřicích přístrojů, nespolehlivost smyslů vliv okolí na měření,... 2. Chyby systematické: vyskytují se pravidelně, jsou dány např. povahou metody odstranění: dokonalejší přístroj, změna měřící metody, korekce měření,... snaha potlačit je pod míru přesnosti měření příklady : vážení ve vzduchu - pro látky řidší než závaží dostaneme menší váhu, pro látky hustší než závaží větší váhu kvůli vztlaku vzduchu měření napětí voltmetrem - dostaneme hodnoty menší než skutečné, protože vnitřní odpor voltmetru není nekonečně velký 10 / 34

Chyby měření 3.chyby náhodné(nahodilé, statistické): vznikají působením náhodných vlivů, které z výsledku nelze vyloučit. hlavní oblast pro statistické zpracování dat 40x zmerena delka 12 příklad: opakované měření délky 10 8 6 4 2 0 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 delka[cm] 11 / 34

Vizuální představa střelba do terče: 12 / 34

Vizuální představa střelba do terče: 13 / 34

Chyby měření a interpretace výsledků Příklad: Teoretické předpovědi pro veličinu X jsou 0 nebo 5. Dva nezávislé experimenty A a B změřily x = 0.5 a x = 3.7. Interpretace výsledků závisí na chybách měření... X 10 experiment A experiment B 5 0 Chyby měření jsou nezbytné pro fyzikální interpretaci výsledků. 14 / 34

Pravděpodobnost - připomenutí Pro náhodnou diskrétní proměnnou: Pravděpodobnost P (A) jevu A je P (A) = počet možností kdy nastane A počet všech možných výsledků Příklad: házení mincí, nebo kostkou. 15 / 34

Pravděpodobnost - připomenutí Pro náhodnou spojitou proměnnou: Pravděpodobnost popsána hustotou pravděpodobnosti f(x) - spojitá funkce s f(x)dx = 1. Pravděpodobnost jevu A : x 1 < x < x 2 je pak dána plochou pod křivkou f(x): x 2 P (A) = f(x)dx x 1 16 / 34

Střední hodnota a rozptyl Dvě nejzákladnější charakteristiky rozdělení náhodné veličiny jsou Střední hodnota: diskrétní proměnná µ = i P (X i)x i Rozptyl(charakterizace šířky): diskrétní proměnná σ 2 = i P (X i)(x i µ) 2 spojitá proměnná µ = xf(x)dx spojitá proměnná σ 2 = (x µ) 2 f(x)dx 17 / 34

Opakovaná měření - odhad střední hodnoty Každé měření je zatíženo náhodnými fluktuacemi. Většinou neznáme konkrétní rozdělení f(x). Můžeme ale předpokládat, že měření fluktuují v průměru okolo hledané hodnoty x 0 s nějakým rozptylem σ 2. Předpoklad: chceme určit správnou hodnotu měřené veličiny x měření je zatíženo pouze náhodnými chybami (ne hrubými a systematickými) tj. velkým množství nezávislých odchylek od správné hodnoty měřené veličiny, přičemž jednotlivé odchylky jsou se stejnou pravděpodobností kladné nebo záporné. Postup: provedeme několik měření x 1, x 2, x 3,..., x n Ze změřených dat odhadneme nejpravděpodobnější hodnotu měřené veličiny jako aritmetický výběrový průměr 12 10 40x zmerena delka x = x1 + x2 + + xn n Jak přesně jsme určili x? = 1 n n x i i=1 8 6 4 2 18 / 34 0 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 delka[cm]

Opakovaná měření - rozptyl jednotlivých měření Míru fluktuace jednotlivých měření lze vyjádřit pomocí směrodatné odchylky jednoho měření n (x i x) 2 i=1 σ = n 1 odhad rozptylu rozdělení měření z naměřených dat σ - míra reprodukovatelnosti měření Pozor: σ nám říká, jak moc se nám při měření klepe ruka. Nikoliv jak přesně jsme určili průměr x. K tomu potřebujeme... 19 / 34

Centrální limitní věta Motivace: Pokud bychom provedli nezávisle vícekrát celé měření průměru, jak bude vypadat rozdělení x? A hlavně, jaká bude jeho šířka? Centrální limitní věta - ve zjednodušeném znění: Pokud provedeme n měření z neznámého rozdělení, které má průměr µ rozptyl σ 2. Potom aritmetický průměr x z tohoto výběru bude konvergovat ke Gaussovu(Normálnímu) rozdělení: s parametry f(x) = N(µ 0, σ 0) = (x µ 1 0 ) 2 2σ e 0 2 σ 0 2π µ 0 = µ, σ 2 0 = σ2 n σ0 = σ n 20 / 34

Centrální limitní věta avg of 1 normal r.v. [ 1,1] avg of 2 normal r.v. [ 1,1] avg of 3 normal r.v. [ 1,1] f(x) 0.5 f(x) 1 f(x) 1 0.4 0.8 0.3 0.6 0.8 0.6 0.2 0.4 0.4 0.1 0.2 0.2 0 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 X 0 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 X 0 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 X avg of 4 normal r.v. [ 1,1] avg of 8 normal r.v. [ 1,1] avg of 15 normal r.v. [ 1,1] f(x) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 f(x) 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 f(x) 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.2 0 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 X 0 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 X 0 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 X 21 / 34

Centrální limitní věta sum of 1 exponential r.v. with la=2 sum of 2 exponential r.v. with la=2 sum of 4 exponential r.v. with la=2 X 2 1.8 1.6 X 1.4 1.2 X 1.6 1.4 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 sum of 10 exponential r.v. with la=2 sum of 30 exponential r.v. with la=2 sum of 60 exponential r.v. with la=2 X 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 X 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 X 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 22 / 34

Odhad chyby měření Míru přesnosti stanovení výsledku měření určuje střední kvadratická chyba aritmetického průměru: n (x i x) 2 n i=1 σ 0 = = 1 (x i x) 2 i=1 = σ n(n 1) n n 1 n při cca n > 30 lze nahradit n (x i x) 2 i=1 σ 0 = n 2 = 1 n (x i x) n 2 i=1 Přesnost měření (určení průměru) lze tedy zlepšit: Snížením rozptylu jednotlivých měření σ - lepší kontrola reprodukovatelnost: snížení šumu, lepší přístroj,... Zvýšením počtu měření n - na desetinásobné zpřesnění experimentu potřebujeme stonásobně zvýšit statistiku 23 / 34

Postup zpracování přímých měření

měření délky objektu Příklad

0 = 1 n 1 p i