AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

Podobné dokumenty
Statistika II. Jiří Neubauer

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

Náhodné vektory a matice

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

Téma 22. Ondřej Nývlt

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Vícerozměrná rozdělení

Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

10. N á h o d n ý v e k t o r

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

STATISTICKÁ VAZBA. 1.1 Statistická vazba Charakteristiky statistické vazby dvou náhodných veličin Literatura 9

1 Rozptyl a kovariance

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Zpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Charakterizace rozdělení

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Matematika pro chemické inženýry

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

AVDAT Nelineární regresní model

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

MATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT

PROGRAMECH JOSEF TVRDÍK ČÍSLO OBLASTI PODPORY: STUDIJNÍCH PROGRAMECH OSTRAVSKÉ UNIVERZITY REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/2.2.00/28.

STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými

Pravděpodobnost a matematická statistika

AVDAT Mnohorozměrné metody metody redukce dimenze

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

Statistická analýza jednorozměrných dat

Chyby měření 210DPSM

p(x) = P (X = x), x R,

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Odhady Parametrů Lineární Regrese

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

Obr. 1: Vizualizace dat pacientů, kontrolních subjektů a testovacího subjektu.

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

ZÁklady teorie pravděpodobnosti

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

Evgeny Kalenkovich. z Teorie pravděpodobnosti I

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

Základy teorie pravděpodobnosti

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

MATEMATICKÁ STATISTIKA

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika. 13. listopadu 2017

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

Pravděpodobnost a matematická statistika

4EK211 Základy ekonometrie

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

Pravdepodobnosť. Rozdelenia pravdepodobnosti

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

Transkript:

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita

Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární náhodný jev do R Distribuční funkce F(x) = P(X < x) diskrétní veličina pravděpodobnostní funkce [x i, P(X = x i )] spojitá veličina hustota F (a) = a f (x) dx, f (x) = df (x) dx

Opakování, náhodná veličina, střední hodnota, rozptyl Střední hodnota diskrétní veličina E X = x i P(X = x i ) Střední hodnota spojitá veličina E X = + x f (x)dx Rozptyl var X = E[X E X] 2

Opakování, kovariance, korelační koeficient Kovariance cov(x 1, X 2 ) = E [(X 1 E X 1 )(X 2 E X 2 )] Korelační koeficient ϱ(x 1, X 2 ) = cov(x 1, X 2 ) var X1 var X2 1 ϱ(x 1, X 2 ) 1

Náhodný vektor rozdělení Náhodný vektor X = [X 1, X 2,, X p ] T je vektor, jehož složky X 1, X 2,, X p jsou náhodné veličiny. U náhodného vektoru musíme rozlišovat rozdělení sdružené, marginální a podmíněné.

Sdružené rozdělení - p = 2 sdružená distribuční funkce F(x 1, x 2 ) = P(X 1 < x 1, X 2 < x 2 ) X 1, X 2 diskrétní veličiny, pak sdružená pravděpodobnostní funkce je P(x 1, x 2 ) = P(X 1 = x 1, X 2 = x 2 ) Existuje-li nezáporná funkce f (x 1, x 2 ) taková, že F(x 1, x 2 ) = x1 x2 f (u, v)dudv, pak náhodný vektor [X 1, X 2 ] T má rozdělení spojitého typu. Funkce f (, ) se nazývá sdružená hustota.

Sdružené rozdělení Pravděpodobnost, že náhodné veličiny X 1, X 2 nabývají hodnot z intervalů [a 1, b 1 ), [a 2, b 2 ) je určena vztahem P(a 1 X 1 < b 1, a 2 X 2 < b 2 ) = Sdružená hustota je b1 b2 a 1 f (x 1, x 2 ) = 2 F(x 1, x 2 ) x 1 x 2 a 2 f (x 1, x 2 )dx 1 dx 2 Pro p > 2 platí analogické vztahy, mimo jiné sdružená hustota je derivací distribuční funkce: f (x) = f (x 1, x 2,, x p ) = p F(x 1, x 2,, x p ) x 1 x 2 x p

Příklad sdružená pravděpodobnostní funkce Sdružená pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru [X, Y ] T je zadána tabulkou X = x 1 X = x 2 X = x 3 Y = y 1 p 11 p 12 p 13 Y = y 2 p 21 p 22 p 23

Marginální rozdělení F (x 1, x 2 ) je sdružená distribuční funkce, pak marginální distribuční funkce veličin X 1 a X 2 jsou F 1 (x 1 ) = P(X 1 < x 1, X 2 < ) = F(x 1, ) F 2 (x 2 ) = P(X 1 <, X 2 < x 2 ) = F(, x 2 ) Pro diskrétní rozdělení marginální pravděpodobnostní funkce jsou definovány takto: P 1 (x 1 ) = M 2 P(x 1, x 2 ) P 2 (x 2 ) = M 1 P(x 1, x 2 ) kde M i je množina hodnot diskrétní náhodné veličiny X i.

Příklad marginální pravděpodobnostní funkce Sdružená pravděpodobnostní funkce a marginální pravděpodobnostní funkce vektoru [X, Y ] T : X = x 1 X = x 2 X = x 3 marg1 Y = y 1 p 11 p 12 p 13 p 1 Y = y 2 p 21 p 22 p 23 p 2 marg2 p 1 p 2 p 3 1 Kolik marginálních rozdělení má tento vektor?

Marginální hustoty Pro spojité rozdělení marginální hustoty jsou f 1 (x 1 ) = f (x 1, x 2 )dx 2 M 2 f 2 (x 2 ) = f (x 1, x 2 )dx 1 M 1 kde M i je obor hodnot spojité náhodné veličiny X i.

Podmíněné rozdělení - diskrétní veličiny podmíněná pravděpodobnostní funkce P(x 1 x 2 ) = P(x 1, x 2 ) P 2 (x 2 ) podmíněná distribuční funkce t<x F(x 1 x 2 ) = 1 P(t, x 2 ) P 2 (x 2 ) pro P 2 (x 2 ) 0 pro P 2 (x 2 ) 0

Příklad podmíněné rozdělení Pro Y = y 2 : X = x 1 X = x 2 X = x 3 marg1 Y = y 1 p 11 p 12 p 13 p 1 Y = y 2 p 21 p 22 p 23 p 2 marg2 p 1 p 2 p 3 1 Podmíněná pravděpodobnostní funkce P((X = x i ) y 2 ) = p 2i p 2 p 2 0 Kolik je podmíněných rozdělení tohoto vektoru?

Nezávislé náhodné veličiny Pro nezávislé veličiny platí: F(x 1, x 2 ) = F 1 (x 1 ) F 2 (x 2 ) P(x 1, x 2 ) = P 1 (x 1 ) P 2 (x 2 ) f (x 1, x 2 ) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ) Jsou-li veličiny nezávislé, pak podmíněná rozdělení jsou rovna marginálním.

Charakteristiky náhodného vektoru X = [X 1, X 2,, X p ] T Marginální charakteristiky: Střední hodnoty pro diskrétní: E(X j ) = M j x j P j (x j ), j = 1, 2,..., p Střední hodnoty pro spojité: E(X j ) = x j f j (x j )dx j, M j j = 1, 2,..., p Podmíněné charakteristiky podobně, jen místo marginálního rozdělení je podmíněné. Podmíněná střední hodnota E(X 1 x 2 ) se nazývá regresní funkce (závislost X1 na X2).

Vektor středních hodnot, kovarianční matice E(X) = a kovarianční (varianční) matice Σ = var(x) = cov(x) = E E(X 1 ) E(X 2 ). E(X p ) [ (X E(X))(X E(X)) T ] (1) což znamená, že Σ = σ1 2 σ 12 σ 1p σ 21 σ2 2 σ 2p......, σ p1 σ p2 σp 2

Vícerozměrné normální rozdělení f (x) = (2π) p/2 Σ 1/2 exp ( (x µ)t Σ 1 (x µ) 2 kde µ je vektor středních hodnot a Σ je kovarianční matice. Pro jednorozměrné normální rozdělení z rov. (2) dostaneme f (x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 2σ 2 Vícerozměrné normální rozdělení má tyto vlastnosti: lineární kombinace prvků z X mají normální rozdělení všechny podmnožiny X mají normální rozdělení nekorelovanost veličin z X (složek vektoru X) znamená i jejich nezávislost všechna podmíněná rozdělení jsou normální ), (2)

Dvourozměrné normální rozdělení parametry EX 1 = µ 1, EX 2 = µ 2, varx 1 = σ1 2, varx 2 = σ2 2 a kovariancí σ 12 je kovarianční matice [ ] [ σ 2 Σ = 1 σ 12 σ σ 12 σ2 2 = 1 2 ] σ 1 σ 2 ρ σ 1 σ 2 ρ σ2 2 nebot korelační koeficient ρ = σ 12 /(σ 1 σ 2 ). Determinant kovarianční matice je pak Σ = σ 2 1 σ2 2 σ2 12 = σ2 1 σ2 2 (1 ρ2 ). Vidíme, že tento determinant je roven nule, když ρ 2 = 1.

µ 1 = µ 2 = 0, σ 1 = σ 2 = 1, ρ = 0

µ 1 = µ 2 = 0, σ 1 = 1, σ 2 = 2, ρ = 0

µ 1 = µ 2 = 0, σ 1 = σ 2 = 1, ρ = 0.6

µ 1 = µ 2 = 0, σ 1 = σ 2 = 1, ρ = 0.8

µ 1 = µ 2 = 0, σ 1 = 1, σ 2 = 2, ρ = 0.8

µ 1 = µ 2 = 0, σ 1 = 1, σ 2 = 2, ρ = 0.8