Celkem existuje asi 300 zobrazení, používá se jen několik desítek.

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ KARTOGRAFICKÉ OBRAENÍ Kartografické zobrazení je způsob, který každému bodu na referenčním elipsoidu resp. referenční kouli přiřazuje body v rovině. Určení věrných obrazů bodů na kouli či elipsoidu v rovině mapy je velmi složité. Každým kartografickým zobrazením totiž dochází k jisté deformaci, tj. ke zkreslení některých prvků (veličin) v mapě. ři stanovení zobrazovacích rovnic, podle nichž k převodu bodů z koule či elipsoidu do roviny mapy dochází, lze však zabezpečit takové podmínky, aby se některá z veličin převedených do mapy nezkreslovala (zůstala stejná). Celkem existuje asi 300 zobrazení, používá se jen několik desítek. Dělení kartografických zobrazení I. odle cesty... a) kartografické zobrazení odvozeno matematicky b) kartografická projekce poměr mezi referenční a zobrazovací plochou je určen centrálním promítáním (odvození geometrickou cestou) II. odle zobrazovací plochy... a) Jednoduchá (pravá) vznikají převedením referenční plochy do roviny přímo nebo prostřednictvím válce či kužele; zobrazovací rovnice jsou funkcí jedné proměnné. Azimutální zobrazení zobrazovací plocha je rovina. kreslení roste s rostoucí vzdáleností od dotykového bodu. Vhodné pro zobrazení oválných území. Válcová zobrazení zobrazují referenční plochu nejprve na plášť válce, který se potom rozvine do roviny. Hodí se pro mapy území protáhlých podél dotykové kružnice. V tomto zobrazení jsou mapy světa. Válec může být tečný i sečný. Kuželová zobrazení zobrazují referenční plochu na plášť kužele, který se pak rozvine do roviny. Vhodné pro zobrazení menších částí zemského povrchu (např. mapa ČR). Kužel může být tečný i sečný. b) Obecná ostatní zobrazení, jejichž konstrukci nelze vysvětlit názorně prostřednictvím jediné zobrazovací plochy. oužívají se takřka výhradně pouze v normální poloze. Nepravá zobrazení odvozena z jednoduchých zobrazení (dávají lepší výsledky), dělí se dále na nepravá azimutální zobrazení (např. Aitovovo zobrazení, Hammerovo zobrazení, Wagnerovo zobrazení, Winkelovo zobrazení), nepravá válcová zobrazení (např. Eckertovo zobrazení, Mollweidovo zobrazení, Robinsonovo zobrazení) a nepravá kuželová zobrazení (Bonneovo zobrazení). olykonická zobrazení používají nekonečně mnoho tečných kuželů (každá rovnoběžka má svůj vlastní kužel), cílem je zobrazit větší území bez nárůstu zkreslení (např. Hasslerovo zobrazení, CNIIGAIK). Víceplošná zobrazení zmenšují zkreslení pomocí rozdělení zobrazovaného území na více ploch (Gauss-Krügerovo zobrazení, UTM). Matematická kartografie kartografická zobrazení

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ Neklasifikovaná zobrazení ostatní zobrazení. c) Geodetická úhlojevná zobrazení, která se používají pro geodetické účely a mapování velkých měřítek. Vycházejí výhradně z elipsoidu (např. Křovákovo zobrazení, UTM, Gauss-Krügerovo zobrazení). III. odle polohy konstrukční osy... a) Normální (polární) poloha konstrukční osa roviny, válce či kužele je shodná se zemskou osou. V této poloze je běžné použití válcového a kuželového zobrazení, azimutální vzácně (pro polární oblasti). b) říčná (transverzální, rovníková) poloha konstrukční osa je shodná s rovinou rovníku. oužívá se u azimutálních zobrazení hlavně pro mapy polokoulí. c) Šikmá poloha konstrukční osa prochází středem glóbu v libovolném jiném směru. Tato poloha je využívána především u azimutálních a kuželových zobrazení, u kuželových je používána pro české civilní mapy (Křovákovo zobrazení). Matematická kartografie kartografická zobrazení

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ IV. odle vlastností z hlediska zkreslení... a) lochojevná (ekvivalentní) zobrazení nezkreslují plochy, zkreslují úhly a délky. Uplatňují se především v geografii. b) Úhlojevná (konformní) zobrazení nezkreslují úhly a poměrně dobře zachovávají tvar, ale na úkor zkreslení ploch a délek. oužívají se hodně v geodézii a pro námořní mapy. c) Délkojevná (ekvidistantní) zobrazení nezkreslují některé délky v mapě (nejčastěji ve směrech poledníků či rovnoběžek), celá mapa však délkojevná být nemůže. d) Vyrovnávací (kompenzační) zobrazení zkreslují vše, ale ne příliš. Matematická kartografie kartografická zobrazení 3

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ působy transformace souřadnic mezi referenčními plochami a zobrazovací rovinou. Konečné souřadnice jsou vždy pravoúhlé souřadnice x, y. V praxi se lze setkat se všemi kombinacemi transformace. obrazení vojenských topografických map je přímou transformací mezi zeměpisnými souřadnicemi φ, λ na referenčním elipsoidu na rovinné pravoúhlé souřadnice x, y. obrazení základních map ČR je naopak postupnou transformací od zeměpisných souřadnic na referenčním elipsoidu, přes zeměpisné souřadnice na referenční kouli, kartografické souřadnice, polární souřadnice k výsledným rovinným pravoúhlým souřadnicím. Matematická kartografie kartografická zobrazení 4

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ AIMUTÁLNÍ OBRAENÍ Jsou limitním případem kuželových zobrazení, kdy vrchol kužele má nulovou" výšku nad zemským povrchem. obrazovací rovnice: ρ = f(š) nebo ρ = f(u) nebo ρ = f() ε = D nebo ε = V R... poloměr emě Lambertovo ekvivalentní zobrazení Johann Heinrich Lambert (77) obrazovací rovnice: R ε = V Charakteristickým znakem je pozvolné zmenšování vzdálenosti mezi dvěma rovnoběžkami směrem od středu mapy. oužití: Vhodné pro zobrazení polárních oblastí a pro mapy hemisfér (východní a západní). Další použití je např. pro školní nástěnné mapy a v atlasech. ostelovo ekvidistantní zobrazení Guillaume ostel (58) obrazovací rovnice: R arc ε = V Délkojevné po polednících. atří mezi tzv. vyrovnávací zobrazení a má důležitou vlastnost pro konstrukci map v seismice a letectví. Udává totiž skutečnou sférickou vzdálenost libovolného bodu mapy od jejího středu (tento kruhový oblouk se zobrazuje do mapy jako přímka a to nezkresleně). Také azimut ortodromy procházející středem mapy je nezkreslen. oužití: ro mapy v seismice a letectví a dále pro konstrukci map polárních oblastí. rojekce gnómonická, stereografická, ortografická Matematická kartografie kartografická zobrazení 5

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ Gnómonická projekce Thalés z Milétu (7. stol. př. n. l.) projekce ze středu emě rovnoběžky se zobrazí jako kuželosečky poledníky se zobrazí jako svazek přímek procházející obrazem pólu (severního či jižního) ortodroma se zobrazí jako přímka nelze zobrazit celou polokouli cvičení: Normální poloha (do 30 z. š.) Měřítko volíme tak, aby kružnice představující třicátou rovnoběžku měla poloměr 0 mm, S (obraz pólu) umístíme v CorelDRAW do bodu [0; 40]. oledníky se zobrazí jako svazek 40 mm dlouhých úseček procházejících bodem S = [0; 40]. Rovnoběžky se zobrazí jako soustředné kružnice se středem S. Jejich vzájemné vzdálenosti narůstají směrem od středu mapy. Transformace souřadnic: U, V ρ, ε x, y říčná poloha Měřítko volíme tak, abychom na dotykovém poledníku byli schopni zobrazit emi až do 60 z. š., S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [0; 40]. oledníky se zobrazí jako různě dlouhé svislé úsečky. Jejich vzájemné vzdálenosti narůstají směrem od středu mapy. Rovnoběžky (kromě rovníku) se zobrazí jako kuželosečky osově souměrné podle dotykového poledníku. Rovník se zobrazí jako vodorovná úsečka délky 40 mm procházející bodem S = [0; 40]. Transformace souřadnic: U, V x, y Šikmá poloha Nechť bod dotyku (kartografický pól) má souřadnice [U k, V k ]. Měřítko mapy volíme tak, abychom na dotykovém poledníku (poledníku se zeměpisnou délkou V k ) byli schopni zobrazit rozmezí zeměpisných šířek U k 60 až U k + 60 úsečkou délky 40 mm, S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [0; 40]. Transformace souřadnic: U, V Š, D ρ, ε x, y oledníky se zobrazí jako různě dlouhé úsečky procházející obrazem pólu. Rovnoběžky (kromě rovníku) se zobrazí jako kuželosečky osově souměrné podle dotykového poledníku. Rovník se zobrazí jako vodorovná úsečka délky menší než 40 mm. Návody, dodatečné pokyny, ukázky, zobrazovací a transformační rovnice ke stažení na adrese: http://www.bossof05.cz/html_kartografie/kartografie.html Matematická kartografie kartografická zobrazení 6

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ Stereografická projekce Hipparchos (. stol. př. n. l.) projekce z obrazu bodu dotyku ve středové souměrnosti se středem ve středu emě všechny poledníky a rovnoběžky se zobrazí jako kružnice (přímku lze chápat jako kružnici s nekonečným poloměrem) konformní zobrazení cvičení: Normální poloha Měřítko volíme tak, aby kružnice představující rovník měla poloměr r = 0 mm, S (obraz pólu) umístíme v CorelDRAW do bodu [0; 40]. oledníky se zobrazí jako svazek 40 mm dlouhých úseček procházejících bodem S = [0; 40]. Rovnoběžky se zobrazí jako soustředné kružnice se středem S. Jejich vzájemné vzdálenosti narůstají směrem od středu mapy. Transformace souřadnic: U, V ρ, ε x, y říčná poloha Měřítko volíme tak, aby úsečka odpovídající rovníku (resp. dotykovému poledníku) měla délku 40 mm, S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [0; 40]. oledníky (kromě dotykového) se zobrazí jako části nesoustředných kružnic s různými poloměry se středy na přímce obsahující rovník. Rovnoběžky (kromě rovníku) se zobrazí jako části nesoustředných kružnic s různými poloměry se středy na přímce obsahující dotykový poledník. Rovník se zobrazí jako vodorovná úsečka procházející středem mapy S = [0; 40], obraz dotykového poledníku prochází bodem S a je kolmý na rovník. Transformace souřadnic: U, V x, y Šikmá poloha Nechť bod dotyku (kartografický pól) má souřadnice [U k, V k ]. Měřítko mapy volíme tak, abychom na dotykovém poledníku (poledníku se zeměpisnou délkou V k ) byli schopni zobrazit rozmezí šířek U k 90 až U k + 90 úsečkou délky 40 mm, S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [0; 40]. Transformace souřadnic: U, V Š, D ρ, ε x, y oledníky (kromě dotykového) se zobrazí jako části nesoustředných kružnic s různými poloměry. Rovnoběžky se zobrazí jako části nesoustředných kružnic s různými poloměry se středy na přímce obsahující dotykový poledník. Dotykový poledník se zobrazí jako 40 mm dlouhá úsečka procházející bodem S = [0; 40]. Návody, dodatečné pokyny, ukázky, zobrazovací a transformační rovnice ke stažení na adrese: http://www.bossof05.cz/html_kartografie/kartografie.html Matematická kartografie kartografická zobrazení 7

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ Ortografická projekce Apollonius (3. stol. př. n. l.) projekce z nekonečna lze zobrazit maximálně jednu polokouli použití zejména pro mapy Měsíce a jiných vesmírných těles cvičení: Normální poloha Měřítko volíme tak, aby kružnice představující rovník měla poloměr r = 0 mm, S (obraz pólu) umístíme v CorelDRAW do bodu [0; 40]. oledníky se zobrazí jako svazek 40 mm dlouhých úseček procházejících bodem S = [0; 40]. Rovnoběžky se zobrazí jako soustředné kružnice se středem. Jejich vzájemné vzdálenosti se s rostoucí vzdáleností od středu mapy zmenšují. Transformace souřadnic: U, V ρ, ε x, y říčná poloha Měřítko volíme tak, aby úsečka odpovídající rovníku (resp. dotykovému poledníku) měla délku 40 mm, S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [0; 40]. Každý poledník (kromě dotykového) se zobrazí jako polovina elipsy se středem v bodě S a se svislou hlavní poloosou délky 0 mm. Rovnoběžky se zobrazí jako vodorovné úsečky a jejich vzájemné vzdálenosti (a taktéž délky) se zmenšují od rovníku k pólům. Rovník se zobrazí jako vodorovná úsečka procházející středem mapy S, obraz dotykového poledníku prochází bodem S a je kolmý na rovník. Transformace souřadnic: U, V x, y Šikmá poloha Nechť bod dotyku (kartografický pól) má souřadnice [U k, V k ]. Měřítko mapy volíme tak, abychom na dotykovém poledníku (poledníku se zeměpisnou délkou V k ) byli schopni zobrazit rozmezí šířek U k 90 až U k + 90 úsečkou délky 40 mm, S (obraz bodu dotyku) umístíme v CorelDRAW do bodu [0; 40]. Transformace souřadnic: U, V Š, D ρ, ε x, y Každý poledník (kromě dotykového) se zobrazí jako část elipsy se středem v bodě S a s hlavní poloosou délky 0 mm. Rovnoběžky se zobrazí jako elipsy (nebo jejich části) s vodorovnou hlavní poloosou a se středem na přímce obsahující dotykový poledník. Dotykový poledník se zobrazí jako 40 mm dlouhá svislá úsečka procházející bodem S. Návody, dodatečné pokyny, ukázky, zobrazovací a transformační rovnice ke stažení na adrese: http://www.bossof05.cz/html_kartografie/kartografie.html Matematická kartografie kartografická zobrazení 8

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ VÁLCOVÁ OBRAENÍ Vznikají zobrazením glóbu na plášť válce. V normální poloze je dotykovou kružnicí rovník, v příčné poloze hlavní poledník, v šikmé poloze kterákoliv jiná hlavní kružnice. Dotyková kružnice se volí tak, aby tvořila osu zobrazovaného území. Válec také může protínat glóbus ve dvou vzájemně paralelních kružnicích o stejném poloměru (sečný válec). V normální poloze má obraz celé zeměpisné sítě tvar obdélníku, poledníky jsou stejně dlouhé, taktéž rovnoběžky. V příčné a šikmé poloze vytváří obraz zeměpisné sítě složité křivky. Marinovo (čtvercové) zobrazení Marinus z Tyru (cca 00), použito údajně již Archimédem ve 3. stol. př. n. l. obrazovací rovnice: x = R V y = R U Obrazy rovnoběžek a poledníků tvoří čtvercovou síť. Délkojevné po polednících a na rovníku (v normální poloze). oužití: V kartografické praxi se příliš se nepoužívá. Vhodné pro mapy území kolem rovníku, v atlasech je občas užíváno pro mapy pásmových časů. Lambertovo ekvivalentní zobrazení Johann Heinrich Lambert (77) Ortografická projekce na plášť válce. obrazovací rovnice: x = R V y = R U Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se od rovníku k pólům zmenšují, vzdálenosti obrazů poledníků jsou stejné. ól se zobrazí jako úsečka, rovník je délkojevný. oužití: Nepoužívá se pro extrémní zkreslení v oblasti pólů. Behrmannovo ekvivalentní zobrazení Walter Behrmann (909) Odvozené z Lambertova válcového ekvivalentního zobrazení, tečný válec nahrazen sečným válcem (U 0 = 30 ). Upravuje nevhodný obrys emě u Lambertova zobrazení (úzký a protáhlý obdélník). Důsledkem je menší úhlové zkreslení. Délkojevné podél sečných rovnoběžek. U obrazovací rovnice: x = R VcosU 0 y = R cosu 0 oužití:?? Mercatorovo konformní zobrazení V roce 569 použito Gerhardem Mercatorem bez uvedení matematických vztahů. Ty odvodil v roce 645 Henry Bond. o Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se směrem k pólům zvětšují, vzdálenosti poledníků jsou stejné. o ól se nezobrazí. Matematická kartografie kartografická zobrazení 9

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ o Rovník a hlavní poledník jsou délkojevné. o Velké plošné zkreslení. o Loxodroma se zobrazí jako úsečka (výhodné při námořní navigaci). U obrazovací rovnice: x = R V y = R ln tg 45 oužití: Námořní mapy, navigační letecké mapy. oměrně časté i v atlasech. Web Mercator standard pro webové mapy. ro snazší a rychlejší výpočty počítá z referenční koule, nicméně zeměpisné souřadnice bere z elipsoidu WGS84. To při větších měřítkách způsobuje mírné zkreslení tvarů (ztrátu konformity). Mercatorovo zobrazení v transverzální poloze propracováno a prvně použito Gaussem (Gaussovo zobrazení). oužití: V geodézii. UTM síť šedesáti zón zobrazených Mercatorovým zobrazením v příčné poloze. Vyvinuto v USA pro vojenské mapy NATO. oužívá se pouze na území mezi osmdesátými rovnoběžkami. Gnómonická projekce Stereografická projekce Matematická kartografie kartografická zobrazení 0

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ KUŽELOVÁ OBRAENÍ obrazení glóbu na plášť kužele. Ten může být tečný i sečný. V normální poloze je délkově zachovanou kružnicí některá rovnoběžka, v ostatních polohách jiná kružnice (volí se tak, aby probíhala středem zobrazovaného územního pásu). Obrazy poledníků jsou v normální poloze stejně dlouhé úsečky sbíhající se v počátku soustavy souřadnic, obrazy rovnoběžek jsou oblouky kružnic se středem v počátku soustavy souřadnic. tolemaiovo zobrazení tolemaios (cca 50) obrazovací rovnice: R cotgu R U U 0 0 V U 0 Délkojevné v polednících. Dotyková rovnoběžka nezkreslena, přičemž zkreslení přibývá od základní rovnoběžky rychleji k severu než k jihu. oužití: ro zobrazení velkých částí emě (světadílů) v normální poloze (až třetina map ve školním atlase). Další kuželová zobrazení: Albersovo, Delisleovo, Lambertovo, Gaussovo, Křovákovo. Žádné z nich není projekcí, odvození rovnic je u některých z nich dosti náročné. Křovákovo zobrazení ro geodetické a kartografické práce v ČR má prvořadý význam obecné konformní kuželové zobrazení Křovákovo, neboť tohoto zobrazení používáme v současné době jak pro geodetické výpočty, tak i pro mapy velkých a středních měřítek. obrazení je pojmenováno po svém autorovi Ing. Josefu Křovákovi, který jej odvodil pro potřeby vytvoření nové a přesnější trigonometrické sítě na území tehdejšího Československa. Navrhl jej roku 9 jako prozatímní a od roku 933 je používáno jako definitivní zobrazení, které je základem pro soustavu rovinných souřadnic systému S-JTSK. Obecné konformní kuželové zobrazení Křovákovo je dvojitým zobrazením, jímž byl nejprve zobrazen Gaussovým konformním zobrazením Besselův elipsoid na kouli o poloměru R = 6 380 703,605 m. Na kouli byla provedena transformace kulových souřadnic U, V na kartografické souřadnice Š, D s pólem Q o souřadnicích φ Q = 48 5 s. š. a λ Q = 4 30 východně od Ferra na Besselově elipsoidu, jimž odpovídají kulové souřadnice U Q = 59 4 4,6969 s. š., V Q = 4 3 3,475 východně od Ferra. obrazení koule do roviny bylo provedeno konformním kuželovým zobrazením v obecné poloze s pólem Q. oužit byl tečný kužel se základní rovnoběžkou o šířce Š 0 = 78 30. a základní poledník byl zvolen poledník, spojující zemské póly a pól zobrazení Q. Maximální délkové zkreslení na okraji státního zemí bylo sníženo zavedením redukovaného poloměru referenční koule R = 0,9999R. Tímto obratem bylo dosaženo obdobného výsledku jako při použití sečného kužele. Délkové zkreslení základní rovnoběžky má hodnotu m = 0,9999, rovnoběžky na okraji státního území hodnotu m =,0004. Dvě kartografické rovnoběžky o šířce Š = 79 8 03 a Š = 77 40 50 mají délkové zkreslení m =. Maximální délkové zkreslení na okraji státního území bylo ještě sníženo obecnou polohou kužele při tomto zobrazení. V případě normální polohy kuželové plochy by byl totiž pás území Československa mnohem širší než při poloze obecné, určené z podmínky, aby se státní Matematická kartografie kartografická zobrazení

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ území vešlo do šířkově (ve smyslu kartografické šířky) nejužšího pásu. Je známo, že s rostoucí šířkou pásu roste maximální zkreslení v okrajových částech. atímco pro normální polohu je vliv zkreslení při tečném kuželu na okrajích asi 43 cm na jeden kilometr, v poloze obecné je maximální zkreslení přibližně poloviční. emské poledníky a rovnoběžky se v tomto zobrazení jeví jako křivky na sebe kolmé s výjimkou poledníku bodu Q, který se zobrazí jako přímka a je volen za osu x pravoúhlých souřadnic, jejíž kladný směr byl zvolen k jihu. Osa y prochází obrazem bodu Q a je kladná směrem k západu. Tímto uspořádáním bylo dosaženo, že celé státní území Československa leží v prvním kvadrantu a tedy všechny souřadnice x, y bodů na státním území jsou kladné. Navíc pro libovolný bod na území bývalé ČSR platí y < x. kreslení délek je tedy velmi malé. Dosahuje hodnot od 0 cm/km po +4 cm/km. Úhlové zkreslení je nulové (konformní zobrazení). Umístění kartografického pólu Křovákova zobrazení na Gaussově kouli. S = severní pól. Matematická kartografie kartografická zobrazení

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ KARTOGRAFICKÉ KRESLENÍ rotože referenční plocha (eliptická nebo kulová) a rovinný obraz (mapa) mají rozdílnou křivost, deformují se délky, úhly a plochy. ro určení hodnot zkreslení používáme tzv. Tissotovu indikatrix = elipsu zkreslení. Ta podává informace o průběhu zkreslení v daném bodě. kreslení může být: Délkové poměr délkového elementu v mapě a délkového elementu na referenční ploše. lošné poměr ploch nekonečně malých obrazců v mapě a referenční ploše. Úhlové rozdíl velikosti úhlu na mapě a odpovídajícího úhlu na referenční ploše. Míra zkreslení narůstá spojitě směrem od dotykových bodů v závislosti na použitém zobrazení a referenční ploše. V bodech dotyku je poměr zkreslení k =. k p... zkreslení v poledníkovém směru k r... zkreslení v rovnoběžkovém směru Je-li k k, pak je mapa plochojevná. Je-li p r k k, pak je mapa úhlojevná. p r Výpočty týkající se kartografického zkreslení mohou být dosti složité a ani u těch nejjednodušších příkladů se nevyhneme matematice nad rámec běžně probíraného učiva na SŠ. řesto se pokusím danou problematiku vysvětlit na dvou konkrétních (a co možná nejjednodušších) příkladech. říklad : Lambertovo azimutální ekvivalentní zobrazení dokážeme jeho plochojevnost. říklad : Stereografická projekce (azimutální) dokážeme její úhlojevnost. Matematická kartografie kartografická zobrazení 3

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ říklad ) Lambertovo azimutální ekvivalentní zobrazení v normální poloze obrazení je určeno rovnicemi: ε = V R ro většinu smrtelníků nic neříkající matematická formule ohledně polární souřadnice ρ se stane srozumitelnou díky obrázku na další straně. řehled značení: S... severní pól, bod dotyku roviny mapy s referenční koulí S... střed emě R... poloměr emě (6378 km),, 3... vybrané body ležící na tomtéž poledníku o, o, o 3... obrazy bodů,, 3,, 3... zenitové šířky bodů,, 3 Δ... desetistupňový oblouk na poledníku ρ... polární souřadnice bodu o Matematická kartografie kartografická zobrazení 4

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ rincip zobrazení je názorně demonstrován na dvojici bodů a o. Trojúhelník STV je pravoúhlý, úhel VST má velikost. VT VT latí: VT R ST R VT Tím je princip zobrazení vysvětlen. Nyní vyšetříme zkreslení k r v rovnoběžkovém směru. Ještě dodám, že u úhlů budeme pracovat výhradně v radiánech. Skutečná délka rovnoběžky (o zenitové šířce ): d real = R Délka obrazu této rovnoběžky v mapě: d mapa = 4 R Matematická kartografie kartografická zobrazení 5

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ Vzhledem k normální poloze je zkreslení k r v každém bodě rovnoběžky stejné, a proto platí: d 4 R mapa k r d R real Následující tabulka udává zkreslení k r pro vybrané rovnoběžky. Všimněte si, jak zkreslení směrem od severního pólu k jihu narůstá. V reálu je nejdelší rovnoběžka rovník, v mapě se jako nejdelší rovnoběžka jeví jižní pól (což je bod, takže zkreslení k r je zde nekonečně velké). Vzdálenosti jsou v kilometrech. ( ) skutečná délka rovnoběžky délka rovnoběžky v mapě k r 0 6958,8044 6985,38564,0038984 0 3706,685 397,6083,05466 30 0037,0779 0743,9095,035768 40 5759,709 74,337,0647777 50 30698,5844 3387,40,033779 60 34705,37 40074,559,5470054 70 37657,3886 4597,83,077459 80 39465,3394 558,347,3054079 90 40074,559 56673,448,44356 00 39465,3394 6397,689,5557383 0 37657,3886 65653,6534,7434468 0 34705,37 6940,474 30 30698,5844 7639,039,366058 40 5759,709 7534,777,938044 50 0037,0779 7747,343 3,8637033 60 3706,685 78930,6788 5,75877048 70 6958,8044 79843,333,47373 80 0 8048,38 nekonečno rovník jižní pól Nyní vyšetříme zkreslení k p v poledníkovém směru. Tady už bude situace trošičku složitější. Souvisí to s tím, že zkreslení k p směrem od severního pólu k jihu narůstá spojitě, tzn. je pro každou zenitovou šířku různé. novu připomínám, že budeme pracovat výhradně v radiánech. Matematická kartografie kartografická zobrazení 6

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ ro názornost si vybereme např. oblouk. Skutečná délka tohoto oblouku = R Délka úsečky o o = R R R Následující tabulka udává, jak se mění délky desetistupňových oblouků Δ na poledníku. Vzdálenosti jsou v kilometrech. 0 oblouk (Δ) S: skutečná délka 0 oblouku na kulové ploše M: vzdálenost na mapě M:S 90-80 3,70997,75865 0,998734 80-70 3,70997 03,975 0,99303 70-60 3,70997 086,43959 0,9759865 60-50 3,70997 06,33 0,9534436 50-40 3,70997 08,096 0,935864 40-30 3,70997 987,08453 0,886794 30-0 3,70997 938,540 0,843385 0-0 3,70997 88,85777 0,793063 0-0 3,70997 80,45535 0,7370434 0 -(-0) 3,70997 75,80886 0,67537586-0 -(-0) 3,70997 677,44056 0,6085688-0 -(-30) 3,70997 597,96574 0,53793-30 -(-40) 3,70997 53,8408 0,4660-40 -(-50) 3,70997 45,856939 0,38560-50 -(-60) 3,70997 334,630769 0,3006039-60 -(-70) 3,70997 40,857857 0,637094-70 -(-80) 3,70997 45,587 0,3048478-80 -(-90) 3,70997 48,54043 0,04360555 atímco na kulové ploše mají všechny oblouky stále stejnou délku, v mapě tomu tak není. Obrazy rovnoběžek se směrem od severu k jihu zhušťují. odíl M:S však nelze považovat za zkreslení k p, je to jen jakýsi nástřel situace. kreslení k p je limitním případem tohoto podílu, kdy délka oblouku bude nekonečně malá, tj.. Teď trochu té matematiky. k p lim R R lim Matematická kartografie kartografická zobrazení 7

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ V čitateli i jmenovateli zaměníme pořadí rozdílu (zlomek rozšíříme číslem ). Dostaneme: k p lim ovažujeme-li za proměnnou blížící se k, pak výše uvedená limita je derivací funkce k p v bodě a platí: lim = cos cos rušíme-li indexy (tj. opustíme konkrétní body a zobecníme), dostaneme: Má-li být mapa plochojevná (ekvivalentní), musí platit k k. r p k cos p. cos cos (v čitateli zlomku jsme použili vzorec pro dvojnásobný úhel) Tím je plochojevnost Lambertova azimutálního zobrazení v normální poloze dokázána. Matematická kartografie kartografická zobrazení 8

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ říklad ) Stereografická projekce (azimutální) v normální poloze obrazení je určeno rovnicemi: U R tg45 = ε = V R tg Na rozdíl od Lambertova zobrazení, ve stereografické projekci nelze zobrazit celou emi (o což se však ani v případě Lambertova zobrazení rozhodně nikdo nesnaží). Ještě připomenu, že budeme opět pracovat v míře obloukové. Nejprve vyšetříme zkreslení k r v rovnoběžkovém směru. Skutečná délka rovnoběžky (o zenitové šířce ): d real = R Délka obrazu této rovnoběžky v mapě: d mapa = 4 R tg Vzhledem k normální poloze je zkreslení k r v každém bodě rovnoběžky stejné, a proto platí: d 4 R tg mapa k r d R real tg Tabulka na následující straně udává zkreslení k r pro vybrané rovnoběžky. kreslení směrem od severního pólu k jihu narůstá, ovšem mnohem rychleji než u Lambertova zobrazení. Rovník na mapě je dvakrát delší než ve skutečnosti (v Lambertově zobrazení je tento poměr roven : ). Vzdálenosti jsou v kilometrech. Matematická kartografie kartografická zobrazení 9

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ ( ) skutečná délka rovnoběžky délka rovnoběžky v mapě k r 0 6958,8044 70,06868,0076547 0 3706,685 43,3098,0309 30 0037,0779 475,6754,0779677 40 5759,709 97,5998,347433 50 30698,5844 37373,776,74483 60 34705,37 4673,6494,33333333 70 37657,3886 560,45,490906 80 39465,3394 675,489,7040889 90 40074,559 8048,38 00 39465,3394 9557,0385,407663 0 37657,3886 4463,65 3,03960673 0 34705,37 3880,948 4 30 30698,5844 7878,609 5,59890993 40 5759,709 005,677 8,548637 50 0037,0779 997,57 4,9803 60 3706,685 454543,663 33,634375 70 6958,8044 96099,396 3,646096 80 0 nekonečno nekonečno rovník jižní pól Nyní vyšetříme zkreslení k p v poledníkovém směru (analogicky jako v předchozím příkladu). Vybereme si opět oblouk. Skutečná délka tohoto oblouku = R Délka obrazu oblouku v mapě = R tg R tg R tg tg Následující tabulka udává, jak se mění délky desetistupňových oblouků Δ na poledníku. Vzdálenosti jsou v kilometrech. Matematická kartografie kartografická zobrazení 0

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ 0 oblouk (Δ) S: skutečná délka 0 oblouku na kulové ploše M: vzdálenost na mapě M:S 90-80 3,70997 6,00539,005464 80-70 3,70997 33,57,0803 70-60 3,70997 68,7393,04993 60-50 3,70997 4,8444,003009 50-40 3,70997 305,468,77005 40-30 3,70997 46,45955,745459 30-0 3,70997 567,673,4078406 0-0 3,70997 77,70754,595865 0-0 3,70997 05,445,843784 0 -(-0) 3,70997 446,00883,973343-0 -(-0) 3,70997 305,4475,70888045-0 -(-30) 3,70997 3876,5843 3,4846957-30 -(-40) 3,70997 56,908 4,763989-40 -(-50) 3,70997 769,4968 6,9095395-50 -(-60) 3,70997 559,8,838-60 -(-70) 3,70997 4736,8308,9505-70 -(-80) 3,70997 73458,8763 65,9906488-80 -(-90) 3,70997 nekonečná nekonečno atímco na kulové ploše mají všechny oblouky stále stejnou délku, v mapě tomu tak není. Obrazy rovnoběžek se směrem od severu k jihu rozestupují. kreslení k p je limitním případem podílu M:S, kdy délka oblouku bude nekonečně malá, tj.. A teď zas trochu té matematiky. k p lim R tg R tg lim tg tg Budeme postupovat analogicky jako v předchozím příkladu. k p lim tg tg = tg cos cos Matematická kartografie kartografická zobrazení

ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ Opět zrušíme indexování a dostaneme: k p. cos Má-li být mapa úhlojevná (konformní), musí platit k k. r p tg = cos Rovnici vynásobíme výrazem cos. cos tg cos cos cos oužijeme vzorec pro dvojnásobný úhel. = Tím je úhlojevnost stereografické projekce v normální poloze dokázána. Matematická kartografie kartografická zobrazení