1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

Transkript

1 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle proměnná) funkční předpis funkční hodnota (závisle proměnná).t, u, v,.g, h, φ, ψ u, w, z, Píšeme pak např. y φ (), z h (t), Množina D se nazývá definiční obor funkce f (přesnější označení D f, resp. D(f) ). Množina H se nazývá obor hodnot funkce f (přesnější označení H f, resp. H(f) ). Poznámka. 1. U konkrétních funkcí užíváme pro funkční předpis místo písmene f různé smluvené znaky, např. sin, cos, log,, Píšeme pak y sin, y log (+1),

2 2. Zápis funkce vždy musí obsahovat argument a funkční předpis. y sin to není nic. 3. Závorku kolem argumentu u jednoduchých funkcí vynecháváme. Místo y sin() píšeme pouze y sin. Avšak pozor y log log log (+1). Je-li předpis, který každému argumentu přiřazuje právě jednu funkční hodnotu ve tvaru y vzorec pro, říkáme, že funkce je zadána eplicitně. 2 Např. y log 1+. Je-li tento předpis ve tvaru vzorec pro a y, mluvíme o implicitním zadání. Např. 2 + y 2 r 2 resp. 2 + y 2 r 2 y sin y resp. y sin y Grafem funkce y f () je množina všech bodů v rovině o souřadnicích [, f () ]. Z definice funkce [Pravidlo, které každému přiřazuje právě jedno y se nazývá funkce.] plyne, že rovnoběžka s osou y protíná graf funkce nejvýše v jednom bodě. Jestliže definičním oborem D f jsou reálná čísla jednoho nebo několika intervalů, je grafem funkce jeden nebo několik oblouků souvislé křivky. Tvoří-li definiční obor pouze jednotlivá čísla (např. přirozená), pak se graf skládá pouze z jednotlivých bodů. Funkční závislost (předpis) pak bývá dána pouze tabulkou.

3 Vlastnosti funkcí A. Funkce monotónní Funkce f() je na množině M: a) rostoucí, jestliže pro každé 1 < 2 z M je f( 1 ) < f( 2 ) b) klesající, jestliže pro každé 1 < 2 z M je f( 1 ) > f( 2 ) c) neklesající, jestliže pro každé 1 < 2 z M je f( 1 ) f( 2 ) d) nerostoucí, jestliže pro každé 1 < 2 z M je f( 1 ) f( 2 ) B. Funkce prostá Funkce f() se nazývá prostá na množině M, jestliže pro každé 1 2 z M je f( 1 ) f( 2 ) Graf prosté funkce protíná rovnoběžka s osou nejvýše v jednom bodě. Věta. Je-li funkce na množině M rostoucí nebo klesající, pak je zde prostá. C. Funkce sudá a lichá Funkce f() se nazývá sudá, jestliže pro každé D f platí f(-) f(). Funkce f() se nazývá lichá, jestliže pro každé D f platí f(-) - f().

4 Graf sudé funkce je souměrný podle osy y, graf liché funkce podle počátku [,]. D. Funkce ohraničená Funkce f() je na množině M ohraničená zdola, jestliže eistuje číslo d takové, že pro každé M je f() d Funkce f() je na množině M ohraničená shora, jestliže eistuje číslo h takové, že pro každé M je f() h E. Funkce periodická Nechť definiční obor funkce f() obsahuje s každým bodem také bod + kp, kde k Z, p>. Funkce f() se nazývá periodická, jestliže platí f( + kp) f() Elementární funkce Elementární funkce jsou: Mocninná funkce y n, Eponenciální funkce y a y n 1 n, y n n 1, n єn Logaritmická funkce Goniometrická funkce y log a y sin, y cos, y tg, y cotg Cyklometrické funkce y arcsin, y arccos, y arctg, y arccotg.

5 Funkce inverzní a složená A. Funkce inverzní Definice. Nechť f je prostá funkce. Funkci f -1, která každému y є H f přiřazuje právě to є D f, pro které platí yf(), nazýváme funkce inverzní k funkci f. Tedy f -1 (y). Protože však nezávisle proměnnou kreslíme na vodorovnou osu a značíme a závisle proměnnou na svislou osu a značíme y, zaměníme formálně za y. Dostaneme y f -1 (), což je eplicitní tvar funkce inverzní k funkci y f(). Grafy vzájemně inverzních funkcí f a f -1 jsou shodné křivky a jsou souměrné podle osy 1. kvadrantu, tj. podle přímky y. U základních elementárních funkcí, je zpravidla inverzní funkcí jiná elementární funkce. Např. y f() y f -1 () y y 2, > y e y ln y log a y a y sin, π π, y arsin 2 2 B. Funkce složená Funkce můžeme skládat. Dosazením libovolné elementární funkce za argument jiné vzniká funkce složená.

6 Funkce y sin 2 (sin ) 2 je složením funkcí y 2 a y sin ( ) 2 sin f φ Tedy y f(φ()) Funkce y log cos 2 2 log([cos(2)] 2 ) log(cos 2 (2)) log(cos 2 2) je složením funkcí y log, y 2, y cos, y 2 f g φ ψ Takže y f(g(φ(ψ()))) LIMITA FUNKCE 1. 2 Limita funkce sin Funkce y není definovaná v bodě nula. Budeme-li dosazovat za hodnoty blízké, zjistíme, že funkční hodnoty se velmi má- lo liší od 1. Fakt, že pro ležící v okolí bodu se f() velmi málo liší od čísla L vyjádříme slovy funkce y f() má v bodě itu L a zapíšeme symbolicky f L sin V našem případě 1.

7 Okolím bodu rozumíme interval ( - δ, + δ) tzv. δ - okolí bodu. Označíme ho O( ). O( ) znamená, že - δ < < + δ tj. vzdálenost bodů, je menší než δ. neboli <δ Interval (, + δ) se nazývá pravé okolí bodu. O + ( ). Interval ( - δ, ) se nazývá levé okolí bodu O -- ( ). Vyloučíme-li z O( ) bod, je < < δ. Vzdálenost bodů, je menší než δ, ale není, tj.. Hovoříme o ryzím okolí bodu. Definice. Funkce y f() má v bodě itu L, když ke každému ε> eistuje takové δ>, že pro všechna z ryzího okolí bodu platí f L < ε Píšeme f L. Tedy ke každému O(L) eistuje ryzí O( ) tak, že pro každé z tohoto ryzího okolí je f() O(L). Použijeme-li v definici pouze pravé okolí resp. levé okolí, dostaneme: definici ity zprava + f L

8 resp. definici ity zleva f L Věta. Funkce má v bodě itu L, právě když f + f L Věta. Funkce má v daném bodě nejvýše jednu itu. Aby eistovala ita funkce f() v bodě, nemusí být funkce v tomto bodě definovaná. Musí však být definovaná v nějakém ryzím okolí tohoto bodu (případně v pravém nebo v levém ryzím okolí). Takže např. výrazy 1 2 nebo ln nemají smysl Rozšířená množina reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel R * je množina reálných čísel R rozšířená o prvky ±.. R * R {-,+ }. Přitom pro lib. a R platí: a +, a - -, +, - - -, a a - (- ), (- ) -,, - < a <, ±.

9 Pro a > platí: a, a (- ) -. Pro a < platí: a -, a (- ) +. Prvky -,+ nazýváme nevlastní body množiny R *, ostatní prvky se nazývají vlastní. Poznámka. Nejsou definovány operace, ±, dělení nulou, ± ± Výpočet ity Výpočet ity f provádíme dosazením do f(). U elementárních funkcí je v bodech, které patří do definičního oboru, ita a funkční hodnota stejná. Zajímavý je tedy pouze výpočet ity v bodech, které do definičního oboru nepatří. Pravidla pro počítání s itami skripta str. 35. Limita polynomu a racionální funkce v nevlastních bodech: ( ± n n 1 a + a an 1 + an ) a ± n a b ± + a a + a n n 1 1 n 1 n m m 1 + b + + b m b ± m a b n m

10 1. 5 Nevlastní ita Definice. V případě, že v okolí bodu roste f() nade všechny meze (tj., když ke každému M > eistuje ryzí okolí bodu, tak, že pro každé z tohoto okolí je f() > M), říkáme, že funkce f() má v bodě nevlastní itu +. Píšeme f + zleva. Podobně definujeme f a nevlastní ity zprava a Výpočet nevlastní ity. Při výpočtu nevlastní ity dostaneme po dosazení do f g výraz typu k. Je-li v okolí bodu podíl f g >, je f k g + Je-li v okolí bodu podíl f g <, je f k g Přitom je třeba zkoumat zvlášť levé a zvlášť pravé okolí bodu.