příklad 1 Teoretická část krátké úlohy (max. 40 bodů) Při pozorování kulové hvězdokupy je určeno, že hvězdná velikost hvězd na jejím přilehlém okraji je o m = 0,02 menší, než na protějším okraji. Za předpokladu, že kupa je tvořena totožnými hvězdami, určete její úhlový průměr na obloze. Je nutné předpokládat, že výsledný úhel bude malý. (10 bodů) Označme fyzický poloměr kupy jako R, její vzdálenost od pozorovatele jako l a zářivý výkon jedné z hvězd jako L. Pro hustotu zářivého toku z přilehlého okraje platí Pro vzdálený okraj platí I 1 = I 2 = L 4π(l R) 2. L 4π(l + R) 2. Po dosazení do Pogsonovy rovnice se zářivý výkon vykrátí. Za předpokladu, že výsledný úhlový průměr je malý, můžeme (v radiánech) psát θ 2R/l. Z Pogsonovy rovnice tudíž vypadne i vzdálenost ke kupě a získáme ( ) 1 + θ/2 m = 5 log. 1 θ/2 Zavedeme-li získáme Číselně θ. = 32. příklad 2 p = 10 m/5, θ = 2 p 1 p + 1 = 2 10 m/5 1 10 m/5 + 1. Dvě rovinná zrcadla A a B jsou nastavená proti sobě ve vzdálenosti 10 Mpc. Vyšleme-li od A k B svazek fotonů o vlnové délce 500 nm, určete nejmenší počet cest svazku mezi A a B, abychom u A nebo B naměřili vlnovou délku větší než 510 nm. Hubbleova konstanta je H 0 = 70 km s 1 Mpc 1. (10 bodů) Jelikož požadovaná změna vlnové délky λ = 10 nm je malá vůči původní vlnové délce λ = 500 nm, bude změna vzdálenosti mezi zrcadly rovněž malá. Konkrétně, označíme-li původní vzdálenost r 0, potom pro její změnu r platí r/r 0 = λ/λ 0 z (všechny délky se rozpínají se stejným faktorem). 1 / 7
Z Hubbleova zákona píšeme r H 0 r 0 t, kde t je čas, za který se od vypuštění svazku vlnová délka fotonů zvětšila o λ. Hledaný nejmenší počet cest svazku mezi A a B tedy spočteme jako ct c λ N = = = 9, H 0 r 0 λ r 0 kde v prvním přiblížení zanedbáváme změnu dráhy fotonu mezi A a B, protože r r 0 a navíc zaokrouhlujeme nahoru na celé číslo. příklad 3 Higgsův boson se rozpadá na dva fotony podle rovnice H γγ. Při konkrétním rozpadu detekujeme dva fotony s energiemi E 1 = 150 GeV a E 2 = 26 GeV pohybující se v opačných směrech v soustavě detektoru. Najděte klidovou energii Higgsova bosonu a velikost jeho rychlosti v soustavě detektoru. Celková energie a celková hybnost se zachovávají. Píšeme tedy γmcv = E 1 E 2 a γmc 2 = E 1 + E 2, (10 bodů) kde m, resp. v jsou klidová hmotnost Higgsova bosonu, resp. velikost jeho rychlosti vůči detektoru a γ = (1 v 2 /c 2 ) 1/2 je Lorentzův faktor. Vydělením rovnic výše získáme a tedy (dosadíme za v do vztahu pro energii) Číselně mc 2. = 125 GeV a v. = 0,7 c. příklad 4 v = E 1 E 2 E 1 + E 2 c mc 2 = 2 E 1 E 2. Lagrangeovy body L1 a L2 soustavy Země Slunce leží ve vzdálenosti x od středu Země (v prvním přiblížení jsou oba body od středu Země stejně daleko). Jejich definující vlastností je fakt, že se v nich vyrovnávají účinky gravitace obou těles s účinky zdánlivé odstředivé síly, která vzniká v důsledku studia rotující vztažné soustavy Země Slunce. Určete vzdálenost x za předpokladu, že x 1 au. Leží L1 a L2 uvnitř Země? K čemu by došlo, pokud by tyto body ležely uvnitř Země? Při řešení předpokládejte, že dráha Země kolem Slunce je kruhová a že Slunce je mnohem hmotnější než Země. Lagrangeovy body mají konstantní vzdálenost od Země i od Slunce, obíhají tedy kolem Slunce se stejnou úhlovou rychlostí jako Země. Dále předpokládejte, že body L1 a L2 leží na přímce procházející středem Země a Slunce. Rada: Pro malá x platí, že (1 + x) a 1 + ax. (10 bodů) 2 / 7
Cílem této úlohy bylo odhadnout velikost Rocheova laloku pro Zemi obíhající kolem Slunce (kde Rocheův lalok jednoho z těles mnohočetného systému je takovou oblastí, v níž dominuje přitažlivost daného tělesa). Úlohu vyřešíme v rotující vztažné soustavě, v níž je spojnice Země a Slunce nehybná. V této soustavě jsou Slunce, Země i hmotný bod v klidu. Výslednice sil působících na hmotný bod je tedy nulová. Necht je vzdálenost Země od Slunce R, hmotnost Země m a hmotnost Slunce M. Necht zkoumaný bod leží o x dále od Slunce než Země na přímce Slunce Země. Na hmotný bod působí 3 síly: gravitace Země a Slunce a odstředivá síla. Úhlová rychlost pohybu Země kolem Slunce se snadno určí jako ω 2 = GM/R 3. Z rovnosti sil pro hmotný bod tedy platí GM (R + x) 2 + Gm x 2 = GM(R + x) R 3. Použitím zadané aproximace na první člen získáme výsledek ( m ) 1/3 x = R. 3M Stejný výsledek získáme, uvažujeme-li bod směrem ke Slunci. Číselně získáme 1,5 10 6 km, tedy mnohem více než poloměr Země. Pokud by tento bod ležel pod zemským povrchem, znamenalo by to, že zemská gravitace není dostatečná k udržení vlastní stability. Takovýto stav by nikdy nenastal, protože by se Země ani nezformovala. 3 / 7
příklad 5 Teoretická část dlouhé úlohy (max. 45 bodů) Planeta Mars má dva měsíce Phobos a Deimos. Větší z nich, Phobos, obíhá po přibližně kruhové oběžné dráze s poloměrem R = 9 376 km. V rámci tohoto příkladu uvažujte rovinu oběhu za shodnou s rovníkem Marsu. Pro zjednodušení považujte Phobos za kouli o poloměru ρ = 11 km. Mars má hmotnost M = 6,418 5 10 23 kg, poloměr r = 3 396 km a siderickou dobu rotace 24 h 37 m 22 s. Hmotnost Phobosu je zanedbatelná v porovnání s hmotností Marsu. Oběh Phobosu a rotace Marsu jsou ve stejném směru. Vše řešte obecně a dosad te až do hotového výrazu. a) Určete siderickou dobu oběhu Phobosu kolem Marsu. b) Určete synodickou dobu oběhu Phobosu pro pozorovatele na povrchu Marsu. Sonda Viking 2 přistála na Marsu v oblasti Utopia Planitia na ϕ = 47,97 severní marsovské šířky. V následujících podotázkách ignorujte vliv atmosféry Marsu a vše určujte při pohledu ze sondy. Analytická geometrie vám usnadní řešení některých otázek. c) Bude Phobos alespoň někdy viditelný? Pokud ano, určete jeho maximální výšku nad obzorem. d) Určete maximální a minimální úhlovou velikost Phobosu na obloze. Uvažujte o takových polohách, při nichž je vidět minimálně polovina disku tělesa. e) Pokud se bude za západ a východ označovat moment dotyku středu Phobosu s horizontem určete, po jak dlouhou dobu se Phobos vyskytuje nad horizontem, na dané marsovské šířce. f) Určete, na jakém marsovském azimutu vychází a zapadá Phobos. (25 bodů) a) Siderickou dobu oběhu určíme výpočtem kruhové rychlosti GM/R a obvodem kruhové oběžné dráhy Phobosu 2πR. Celkově vychází R 3. T sid = 2π = 7,66 h. GM Totožné řešení můžeme nalézt použitím 3. Keplerova zákona. b) Mars sám o sobě rotuje ve stejném směru jako obíhá Phobos. Synodická doba oběhu tedy bude delší. Rozdílem úhlových rychlostí určíme, že ( 1 T syn = 1 ) 1.= 11,12 h. T sid T c) Maximální výška Phobosu nad obzorem se dá určit jednoduše z trojúhelníku, jehož vrcholy jsou místo přistání, Phobos a střed Marsu. Použitím kosinové a sinové věty získáme ( ) R h max = arccos R2 + r 2 2Rr cos ϕ sin ϕ. = 22,5. Phobos tedy z Vikingu 2 viditelný byl. V opačném případě by byl úhel h max záporný. 4 / 7
d) Minimum a maximum úhlové velikosti Phobosu nastává při maximální a minimální vzdálenosti mezi měsícem a pozorovatelem. Podmínka viditelnosti poloviny disku omezuje zkoumaný rozsah možných poloh. Maximum velikosti nastává při horní kulminaci a minimum při západu/východu. Z jednoduché geometrie se dá určit, že během kulminace je Phobos vzdálený l min = R 2 + r 2 2Rr cos ϕ a během západu/východu l max = R 2 r 2. Pro vzdálenost od Phobosu l je jeho úhlový průměr ( ρ ) δ(l) = 2 arctg. l Dosazením získáme 10,0 pro maximální průměr a 8,7 pro minimální průměr. (Nevadí, pokud počítáme bez tangenty úhly jsou malé.) e) Pro dobu výskytu na obloze použijeme stejné odvození jako v příkladu 3 krajského kola kategorie AB využívá sice analytickou geometrii, ale studenti si ho mohli vyzkoušet doma. Doba výskytu nad obzorem je tedy T syn π ( ) r arccos, R cos ϕ kde na rozdíl od krajského kola započítáváme i rotaci Marsu (počítáme s T syn a ne T sid ). Číselně 3,54 h. f) Azimut východu/západu je taktéž určen stejně jako v příkladu 3 z krajského kola kategorie AB. Azimut západu je [ ] tg ϕ A = arccos, (R/r)2 1 číselně 64,5. Pro azimut východu platí to samé vzhledem k symetrii. Východ tedy nastane na azimutu 64,5 = 295,5. 5 / 7
příklad 6 Určete délku intervalu, ve kterém se pohybuje střední vlnová délka sluneční čáry H α (laboratorní vlnová délka λ = 656,28 nm) pro pozorovatele na Merkuru v průběhu oběhu kolem Slunce. Merkur obíhá Slunce s hmotností M = 1,99 10 30 kg po oběžné dráze s velkou poloosou a = 0,387 au a numerickou excentricitou e = 0,206. Při výpočtu zanedbejte všechny jevy kromě toho, který má v dané situaci největší vliv. Nápověda: Může se vám hodit, že ax 2 + bx + c = a ( x + b ) 2 b2 4ac. 2a 4a (20 bodů) Na velikost intervalu, ve kterém se pohybuje střední vlnová délka (neuvažujeme tedy rozšíření profilu čáry vlivem rotace, termálních jevů atd.), má zásadní vliv pouze radiální Dopplerův jev. Oběžná rychlost Merkuru kolem Slunce je malá v porovnání s rychlostí světla, takže transverzální Dopplerův jev je oproti radiálnímu zanedbatelný. Navíc v obou místech na orbitě, kde je velikost radiální rychlosti extremální, je velikost tečné rychlosti stejná, takže transverzální jev pouze zanedbatelně posune hranice intervalu a jeho délku téměř nezmění (očekáváme, že samotná délka intervalu bude malá v porovnání s λ = 656,28 nm). Gravitační červený posuv pak také pouze posune hranice intervalu a jeho délku změní pouze zanedbatelně. Vyjdeme ze známého vztahu pro okamžitou velikost rychlosti tělesa v eliptické dráze o velké poloose a ve vzdálenosti r od centrálního tělesa o hmotnosti M v ohnisku elipsy, který nám dává Tento vztah můžeme přepsat jako v = 1 2 v2 GM r [ ( 2 GM r 1 )] 1 2. a = GM 2a = h = konst., Dále rozložíme rychlost ve dráze do tečné a radiální složky a píšeme v 2 = v 2 r + r 2 ω 2, kde v r, resp. ω jsou okamžitá radiální, resp. okamžitá úhlová rychlost obíhajícího tělesa. Můžeme rovněž psát ze zákona zachování momentu hybnosti l = ωr 2 = konst., a tedy v 2 r = 2h + 2GM r l2 r 2 = 2h + 2GMx l2 x 2 = ax 2 + bx + c, kde x = 1/r, a = l 2, b = 2GM a c = 2h. Vidíme tedy, že vr 2 má maximum v bodě x 0 = b/(2a) = GM/l 2, což odpovídá r 0 = l 2 /GM. Dosadíme-li r 0 zpět do vztahu pro v r, dostaneme maximální velikost radiální rychlosti ( ) 2 ( ) 2 GM GM vr 2 = 2h + 2 = GM ( ) 2 GM l l a +. l 6 / 7
Zbývá najít l. Velikost průvodiče Merkuru v perihelu určíme jako r p = a(1 e). Velikost rychlosti Merkuru v perihelu je Konečně l = r p v p, a tedy takže v p = [ ( GM 2 a(1 e) 1 a )] 1 2 = ( GM a l = GMa (1 e 2 ), v 2 r = GM a + GM a (1 e 2 ) = GM a ) 1 2 1 + e 1 e. e 2 1 e 2. Pro délku intervalu, ve kterém se vlnová délka pohybuje, pak máme GM e λ = 2 2 ac 2 1 e λ, 2 číselně λ. = 0,044 nm. Korekce na gravitační červený posuv v gravitačním poli Slunce se do výsledku promítne na sedmém desetinném místě, korekce na transverzální Dopplerův jev (ve smyslu popsaném v prvním odstavci) se projeví na desátém desetinném místě a korekce na gravitační červený posuv v gravitačním poli Merkuru se projeví na dvanáctém desetinném místě. Autory úloh jsou Stanislav Fořt (příklady 1, 4 a 5) a Jakub Vošmera (příklady 2, 3 a 6). 7 / 7
příklad 7 Analýza dat (max. 40 bodů) Ostravští astronomové pozorovali proměnnou hvězdu V1086 Cas se záměrem naměřit periodu změn jasnosti. V tabulce 1 naleznete naměřené časy minim v juliánských datech (JD) během několika nocí v průběhu dvou a půl let a také nejistoty měření ve zlomcích dne. Předpokládejte, že v noci z 22. na 23.12.2006 astronomové pozorovali hvězdu nepřerušovaně. a) S využitím tab. 1 vypočtěte periodu P změn jasnosti s relativní nejistotou menší než 0,000 1 metodou přesných zlomků: Nejprve spočtěte hrubý odhad periody ze dvou po sobě jdoucích minim. Následně použijte tento odhad k výpočtu počtu period uběhlých mezi naměřenými minimy. Jelikož počet period mezi dvěma minimy musí být celé číslo, vydělení doby mezi dvěma časově vzdálenými minimy tímto číslem nám dá přesnější odhad periody. Tento proces opakujte, dokud nedostanete nejpřesnější možnou hodnotu. Určete rovněž nejistotu získané hodnoty. Poznámka: Máme-li naměřené veličiny A a B s absolutními, resp. relativními nejistotami A, B, resp. δa, δb, potom pro nejistoty C a δd vypočtených veličin C = A ± B a D = A m B n platí C = ( A) 2 + ( B) 2 a δd = (m δa) 2 + (n δb) 2. Datum minima Čas minima (JD) Nejistota určení minima (JD) 22.12.2006 2 454 092,411 1 0,001 5 23.12.2006 2 454 092,547 8 0,001 7 25.12.2006 2 454 094,863 5 0,002 2 05.01.2007 2 454 106,461 0 0,000 9 06.01.2007 2 454 106,734 0 0,001 1 06.03.2007 2 454 165,955 0 0,002 0 Tabulka 1: Data z pozorování V1086 Cas v letech 2006 a 2007. O dva roky později se astronomové rozhodli hvězdu V1086 Cas pozorovat znovu, tentokrát s častějšími záznamy časů minim (tabulka 2). Hlavní motivací bylo přesněji určit vlastnosti této proměnné hvězdy a otestovat přesnost dříve určené hodnoty periody. b) Sestrojte takzvaný O C diagram, tedy graf znázorňující časový vývoj rozdílu mezi pozorovaným časem minima (O, observed) a vypočteným časem minima (C, calculated). Na vodorovnou osu naneste epochu E, tj. počet period uběhlých od prvního pozorování, a na svislou osu rozdíl O C. Vypočtené časy minima určete jako C = O 0 + P E, kde O 0 je čas prvního minima a P je perioda změn jasnosti vypočtená v části a). Poznámka: Měření jsou zatížena podobnými nejistotami jako v části a), ale v části b) je uvažovat nebudeme. 1 / 7
Datum Epocha Naměřené Vypočtené O C (počet cyklů) minimum (O) minimum (C) 30.12.2008 2 454 365,955 0 01.01.2009 2 454 368,279 2 18.01.2009 2 454 385,054 7 23.01.2009 2 454 390,931 6 07.02.2009 2 454 405,118 6 11.02.2009 2 454 409,751 0 16.02.2009 2 454 414,393 6 21.02.2009 2 454 419,584 0 02.03.2009 2 454 428,736 5 07.03.2009 2 454 433,102 2 20.03.2009 2 454 446,075 4 26.03.2009 2 454 452,217 5 28.03.2009 2 454 453,996 3 Tabulka 2: Data z nové série pozorování V1086 Cas. c) Jaké závěry byste učinili o hvězdě V1086 Cas na základě sestrojeného O C diagramu? Byla perioda v části a) určená správně? Jestliže ne, určete z grafu lepší hodnotu. (20 bodů) a) Všimneme si, že první dvě pozorování byla učiněna během po sobě jdoucích minim. Rozdíl mezi nimi nám tedy dá náš první odhad periody P 1 : P 1 = (2 454 092,547 8 ± 0,001 7 2 454 092,411 1 ± 0,001 5) d = 0,136 7 ± 0,002 3 d. Tento odhad použijeme k výpočtu počtu period uběhlých mezi druhým a třetím pozorováním. 2 454 094,863 6 ± 0,002 2 2 454 092,547 8 ± 0,001 7 n 2 3 = = 0,136 7 ± 0,002 3 = 16,940 7 ± 0,285 8 =. 16,9 ± 0,3. Jak však již bylo řečeno, mezi minimy musí vždy uběhnout celočíselný počet period. Toto číslo je založené na našem prvním (nepřesném) odhadu; ve skutečnosti mezi druhým a třetím minimem uběhlo N 2 3 = 17 period. Toto číslo nyní použijeme k výpočtu nového, přesnějšího odhadu periody proměnné hvězdy: 2 454 094,863 6 ± 0,002 2 2 454 092,547 8 ± 0,001 7 P 2 = d = 17 = (0,136 22 ± 0,000 16) d. Dostali jsme výsledek s relativní nejistotou 0,0011, což je menší přesnost, než vyžaduje zadání. Výpočet tedy opakujeme pro třetí a čtvrté pozorování 2 454 106,461 0 ± 0,000 9 2 454 094,863 5 ± 0,002 2 n 3 4 = = 0,136 22 ± 0,000 16 = 85,14 ± 0,10. 2 / 7
Tedy N 3 4 = 85. Nová hodnota periody je 2 454 106,461 0 ± 0,000 9 2 454 094,863 5 ± 0,002 2 P 3 = 85 = (0,136 441 ± 0,000 028) d d = a relativní nejistota je rovna 0,000 2. To je stále více, než chceme, proto výpočet opakujeme znovu, tentokrát pro některé dvě vzájemně časově vzdálenější minima, např. první a poslední: 2 454 165,955 0 ± 0,002 0 2 454 092,411 1 ± 0,001 5 n 1 5 = 0,136 411 ± 0,000 028 = 539,02 ± 0,11 = a stejně jako výše toto číslo zaokrouhlíme na 539 period. Naše opravená (a zároveň výsledná) hodnota periody je tedy 2 454 165,955 0 ± 0,002 0 2 454 092,411 1 ± 0,001 5 P = 539 = (0,136 445 ± 0,000 005) d, d = s relativní nejistotou 0,000 04 < 0,000 1. b) Jakožto první minimum zvolíme první pozorování v tabulce, tedy O 0 = 2 454 365,955. S využitím hodnoty periody z předchozí části, tj. P = 0,136 445 d, doplníme sloupec Epocha v tabulce 2 a poté již jednoduše dopočítáme hodnoty sloupce C podle vzorce udaného v zadání a spočteme rozdíly mezi O a C. Dostáváme tabulku 3. Datum Epocha Naměřené Vypočtené O C (počet cyklů) minimum (O) minimum (C) 30.12.2008 0 2 454 365,955 0 2 454 365,955 0 0,000 0 01.01.2009 17 2 454 368,279 2 2 454 368,274 6 0,004 6 18.01.2009 140 2 454 385,054 7 2 454 385,057 3 0,002 6 23.01.2009 183 2 454 390,931 6 2 454 390,924 4 0,007 2 07.02.2009 287 2 454 405,118 6 2 454 405,114 7 0,003 9 11.02.2009 321 2 454 409,751 0 2 454 409,753 8 0,002 8 16.02.2009 355 2 454 414,393 6 2 454 414,393 0 0,000 6 21.02.2009 393 2 454 419,584 0 2 454 419,577 9 0,006 1 02.03.2009 460 2 454 428,736 5 2 454 428,719 7 0,016 8 07.03.2009 492 2 454 433,102 2 2 454 433,085 9 0,016 3 20.03.2009 587 2 454 446,075 4 2 454 446,048 2 0,027 2 26.03.2009 632 2 454 452,217 5 2 454 452,188 2 0,029 3 28.03.2009 645 2 454 453,996 3 2 454 453,962 0 0,034 3 Tabulka 3: Tabulka k části b). Nyní na milimetrovém papíru sestrojíme O C diagram, viz obr. 1. c) V grafu si můžeme všimnout zajímavého jevu: hodnota O C nejprve osciluje okolo nuly, což naznačuje, že perioda P je určená správně (hodnoty se nerovnají nule v důsledku nepřesností 3 / 7
Obrázek 1: O C diagram k části b). měření). Okolo E = 400 však dojde k náhlé změně a O C začne lineárně růst. Zdá se, že perioda proměnné hvězdy se skokově prodloužila jedná-li se o fyzickou proměnnou hvězdu, tato změna může nastat v důsledku fyzikálních procesů ve hvězdě. Můžeme učinit dva závěry: jednak, že námi dříve určená perioda je velmi blízká skutečné periodě hvězdy až do zhruba E = 400. Poté se perioda skokově změnila; hodnotu této nové periody můžeme odhadnout proložením bodů nad E = 400 přímkou. Sklon této přímky udává průměrný rozdíl mezi skutečnou a námi vypočtenou hodnotou periody. Směrnice této přímky je přibližně P = 0,000 116 d a perioda hvězdy v tomto období je tedy P = P + P = (0,136 445 + 0,000 116) d = 0, 136 561 d. 4 / 7
příklad 8 Tématem této úlohy bude určení vybraných parametrů expanze modelového vesmíru. V tabulce 4 jsou uvedena modelová data pro 9 blízkých supernov typu Ia: červený posuv z, pozorovaná hvězdná velikost maxima V a pozorovaný barevný index (B V ). Předpokládejte, že supernovy typu Ia mají v maximu absolutní hvězdnou velikost M V = 19,3 a vlastní barevný index (B V ) 0 0. Uvažujeme rovněž plochý vesmír. SN z (B V ) V SN z (B V ) V SN z (B V ) 1 0,004 3 0,23 12,74 4 0,008 2 0,15 13,91 7 0,007 1 0,32 14,16 2 0,002 7 0,38 12,16 5 0,004 5 0,09 12,29 8 0,013 2 0,12 14,86 3 0,008 9 0,24 14,45 6 0,004 3 0,37 13,23 9 0,011 9 0,43 15,57 Tabulka 4: Data pro blízké supernovy typu Ia. a) Pro každou supernovu z tab. 4 určete celkovou extinkci A V. Platí A V 3,1E B,V, kde E B,V = (B V ) (B V ) 0. b) Určete rovněž r L, resp. r, tj. luminozitní, resp. skutečné (vlastní) vzdálenosti supernov. Platí 5 log r L pc 5 = V A V M V a r = r L 1 + z. c) Vyneste do grafu závislost r(z) a výsledek interpretujte. Z grafu co nejpřesněji odhadněte současnou střední hodnotu Hubbleovy konstanty H 0 (odhad dále považujte za přesný). Decelerační parametr q 0 rozpínání vesmíru (pro q 0 < 0 expanze zrychluje, pro q 0 > 0 zpomaluje) je úzce spjat se zakřivením funkce r(z) v bodě z = 0. Definujeme-li (z) r(z) cz/h 0, pak pro malá z píšeme (z) Az 2, kde 2AH 0 = c(1 + q 0 ). V částech d) a e) použijte hodnotu H 0 z části c). d) Máte k dispozici modelová data pro 9 vzdálených supernov (tab. 5). Metodou lineární regrese (viz níže) určete střední hodnotu parametru A a její nejistotu. e) Vypočtěte střední hodnotu deceleračního parametru q 0 a její nejistotu. Pozorujeme zrychlenou nebo zpomalenou expanzi? Splňují-li data (x i, y i ) regresní závislost y = βx (kde i = 1,..., n), potom pro střední hodnotu ˆβ a nejistotu s ˆβ parametru β platí ˆβ = S xy 1 R a s S ˆβ = xx n 1, kde R = S yy + ˆβ 2 S xx 2 ˆβS xy, S xx a kde S xx = i x2 i, S yy = i y2 i a S xy = i x iy i. SN z (B V ) V SN z (B V ) V SN z (B V ) 1 0,127 0,51 21,51 4 0,086 0,12 19,27 7 0,183 0,32 21,93 2 0,201 0,38 22,31 5 0,198 0,22 21,80 8 0,147 0,16 20,78 3 0,122 0,07 19,94 6 0,156 0,32 21,40 9 0,109 0,17 19,96 Tabulka 5: Data pro vzdálené supernovy typu Ia. V V (20 bodů) 5 / 7
a), b) Dosazením dat z tabulky 4 do zadaných vztahů získáme tabulku 6. SN z (B V ) V A V r L Mpc r Mpc 1 0,004 3 0,23 12,74 0,71 18,42 18,35 2 0,002 7 0,38 12,16 1,18 11,39 11,36 3 0,008 9 0,24 14,45 0,74 39,92 39,57 4 0,008 2 0,15 13,91 0,47 35,40 35,11 5 0,004 5 0,09 12,29 0,28 18,29 18,21 6 0,004 3 0,37 13,23 1,15 18,91 18,83 7 0,007 1 0,32 14,16 0,99 31,16 30,94 8 0,013 2 0,12 14,86 0,37 57,23 56,48 9 0,011 9 0,43 15,57 1,33 50,98 50,38 Tabulka 6: Tabulka k částem a) a b). Obrázek 2: Vynesená závislost r(z) s proloženou přímkou, část c). c) Na obr. 2 vidíme vynesenou závislost r(z), která je zřejmě lineární. To je v souladu s Hubbleovým zákonem, kdy pro malá z píšeme H 0 r(z) cz. Daty tedy proložíme přímku procházející počátkem. Z jejího sklonu potom snadno získáme H 0 70 km s 1 Mpc 1. d) Pomocí vztahů uvedených v zadání získáme tabulku 7. Identifikujeme-li x = z 2, y = a β = A, můžeme rovnou aplikovat vzorce pro výpočet ˆβ Â a s ˆβ sâ. Máme (v jednotkách tabulky 7) S xx. = 0,006 027, Syy. = 102 070, Sxy. = 24,645 8, 6 / 7
SN r Mpc cz/h 0 z 2 (z) Mpc Mpc 1 622,1 544,3 0,016 1 77,8 2 1 015,9 861,4 0,040 4 154,5 3 568,3 522,9 0,014 9 45,5 4 401,6 368,6 0,007 4 33,0 5 1 011,9 848,6 0,039 2 163,3 6 756,2 668,6 0,024 3 87,6 7 943,2 784,3 0,033 5 158,9 8 719,8 630,0 0,021 6 89,8 9 503,1 467,1 0,011 9 35,9 Tabulka 7: Tabulka k části d). takže R. = 1 295,65 a tedy (v našem případě n = 9) Píšeme A = (4,09 ± 0,16) Gpc. e) Máme Â. = 4 089 Mpc, sâ. = 164 Mpc. q 0 = 2AH 0 1 c.. a tedy ˆq 0 = 2,908, sˆq0 = 0,077. Píšeme q0 = 2,91 ± 0,08. Pozorujeme tedy zrychlenou expanzi. Autory úloh jsou Filip Murár (příklad 7) a Jakub Vošmera (příklad 8). 7 / 7